Problemas de Olimpiada para el día π 2015

Dı́a Pi del año 2015. Olimpiada
(Las soluciones se puede enviar al profesor Mikhail Malakhaltsev ([email protected]) antes
del dı́a viernes 13 de marzo)
1. A lo largo del ecuador tendremos un alambre cuya longitud es igual a la longitud del ecuador
más 1 metro. ¿Un ratón pueda pasar por el suelo abajo del alambre?
2. Encontrar
2015
−3 −2
5
3
3. Probar que
∞
√ X
(−1)n
.
π=2 3
n (2n + 1)
3
n=0
4. El plano es pintado en dos colores (cada punto de plano tiene su color). ¿Se puede encontrar
dos puntos del mismo color tal que la distancia entre estos puntos sea igual a 1 metro?
5. a) Hallar una formula para encontrar la longitud de la circunferencia del radio r en la esfera de
radio R.
b) Hallar una formula para encontrar el área del cı́rculo del radio r en la esfera de radio R.
¿Que pasa si R → ∞?
Observación. Para medir la distancia entre dos puntos tomemos la longitud del arco menor del
cı́rculo grande que pase por estos dos puntos (un cı́rculo grande es la intersección de la esfera con
el plano que contenga el centro de la esfera). Con esta distancia podemos definir el circulo y la
circunferencia en una esfera: un cı́rculo del radio r es el lugar geométrico de los puntos de la esfera
cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual a r; una circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos de la esfera cuya distancia a otro punto fijo es igual a r.
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