Ecuaciones Lineales

U NE FA – C . I . N . U . M a t e m á t i c a s
Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (2008)
Fundamentos de Matemáticas, Unidad 5: Ecuaciones e Inecuaciones, CIU 2008, UNEFA, Caracas.
ECUACIONES
En lo cotidiano se usa de manera frecuente la palabra igual para indicar que, lo que estamos comparando tiene las mismas características, como
por ejemplo: “Luisa y Antonia usan blusas idénticas”, debemos reconocer que su uso en matemática es importante. Esta relación se representa
con el símbolo " =" .
Cuando se escribe:
1 3
3
+ 27 + − 3 = 1
4
4
significa que la expresión de la izquierda del símbolo “=”, es igual a la expresión que está a la derecha del mismo y representan al mismo
número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual en matemática.
Definiciones Preliminares
Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ejemplos:
5 = 3 + 2 ; a = b - c; 3x + 7 = 16.
Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables contenidas
en ellas.
Ejemplos:
a) 8 x + 9 = 25
b) t 2 − 9t + 1 = t + 3
Ecuaciones: Ecuaciones Lineales
c) x + y = 2 y − 5 .
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Identidad: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables. Así tenemos por ejemplo que estas son identidades:
( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ;
Producto notable
Sen 2α + Cos 2α = 1
Identidad fundamental de trigonometría
− 3(2 x + 1) = −6 x − 3
Propiedad Distributiva
Una de las grandes diferencias entre estas dos definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las ecuaciones se
resuelven. Ambas son operaciones muy importantes en matemática, sin embargo, parte de la segunda es la que se estudiará en esta unidad.
Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor desconocemos y generalmente se denotan por las últimas
letras del alfabeto x, y, z , w, etc.
Miembros de una ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. El primer miembro está al lado izquierdo de la
igualdad y el segundo miembro se encuentra al lado derecho.
8 x + 9 = 25
Así la ecuación:
Lado izquierdo.
Lado derecho.
Lado derecho.
Para:
x 2 − 9x + 1 = x + 3
Lado izquierdo.
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Clases de Ecuaciones:
•
Ecuación Numérica: es una ecuación donde las únicas letras son las variables o incógnitas. Así tenemos que 8 x + 9 = 25 , y 2 − y − 3 = 1
son ecuaciones numéricas.
•
Ecuación literal: Es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, llamadas parámetros, que representan cantidades
conocidas. Así las ecuaciones: ax 2 + bx + c = 0 , ax + dy = c + b son ecuaciones literales donde los parámetros son a, b, c, d y x es la
variable.
Solución o Raíz de una Ecuación
Son los valores que atribuidos o sustituidos en las variables o incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación.
Así para:
1. 8 x + 9 = 25 , el valor de x = 2 hace la ecuación verdadera, es decir, se cumple la igualdad:
8(2) + 9 = 16 + 9 = 25 . En este caso se dice
que x = 2 es la solución o raíz de la ecuación. Si le damos a la variable x un valor diferente de 2, la igualdad no se cumple.
2. x = 4 es solución de la ecuación
3x
= 2 , mientras que x = 1 no es la solución de esta ecuación.
x+2
Resolución de una Ecuación
Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la ecuación.
A continuación vamos a enunciar las reglas básicas para resolver una ecuación.
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Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad (positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma cantidad diferente de cero ( positiva o negativa), la
igualdad no se altera.
Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, la igualdad no se altera.
Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la igualdad no se altera.
Regla 5: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro, cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de
términos y funciona como sigue:
• Si tienes un término realizando dos de las operaciones fundamentales, suma o resta, en uno de los miembros de la igualdad se
pasa al otro lado, efectuando la operación contraria (recuerda que la suma y la resta son operaciones contrarias). Así tenemos que
la ecuación: 5 x + 3 = 23 , el término +3 puede pasar al otro lado de la ecuación restándolo y quedaría: 5 x = 23 − 3 , resolviendo el
lado derecho nos queda: 5 x = 20
• Si tienes un factor diferente de cero realizando las operaciones fundamentales, multiplicación o división, en uno de los miembros de
la ecuación, se pasa al otro lado efectuando la operación contraria (recuerda que la multiplicación y la división son operaciones
contrarias). En el ejemplo anterior 5 x = 20 , para despejar la incógnita x de la ecuación, como 5 está multiplicando a la variable x,
pasaría al otro lado de la ecuación dividiendo: x =
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20
y resolviéndolo nos daría el valor de la incógnita: x = 4
5
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Cambio de Signo en una Ecuación:
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, pues equivale a multiplicar los dos lados o
miembros de la ecuación por (-1). Así la ecuación: 5 x − 3 = 8 es equivalente a: (−1)(5 x − 3) = (−1)8 , es decir , la ecuación 5 x − 3 = 8 es
equivalente a la ecuación − 5 x + 3 = −8
Tipos de ecuaciones
Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son:
a) Polinomiales: las cuales pueden ser de una o varias variables. En esta unidad trataremos estas ecuaciones pero de una variable.
El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, este es el mayor exponente que tiene la incógnita. Por ejemplo:
2 x − 18 = 0
x2 − 4x + 3 = 0
es de primer grado ( x )
( )
es de segundo grado x 2
y3 + 2 y2 − y − 2 = 0
n4 − 4 = 0
( )
es de tercer grado y 3
( )
es de cuarto grado n 4
b) Racionales: son aquellas que contienen expresiones algebraicas racionales, tales como:
b.1.-
x−2
x−4
;
=
x+2
x+4
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b.2.-
3x 2
+ 4x = 2x
5x − 3
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c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la variable o incógnita dentro de una o mas expresiones radicales, también son llamadas
ecuaciones radicales. Así, tenemos:
c.1.-
x+7 +
x −1 = 2
x+2
c.2.-
3
5x 2 + 1 = x + 3
d) Ecuaciones con Valor Absoluto: son aquellas ecuaciones donde las variables o incógnitas están dentro de un valor absoluto, tales como:
d.1.- 3x − 1 = 5 x + 4
d.2.- 5 x 3 − 3 −
2
=0
3
Ecuación de 1er. Grado con una incógnita
Forma General
Una ecuación de 1er grado con una incógnita es una expresión de la forma ax + b = 0 ,
donde “ a ” y “ b ” son números reales llamados coeficientes de la ecuación, con a ≠ 0
ax + b = 0
y “ x ” es la incógnita de la misma.
Lado derecho de
la ecuación.
Lado izquierdo de
la ecuación
Resolver una ecuación, consiste en hallar el valor de la incógnita de tal manera que, al sustituirla en la ecuación, se cumpla la igualdad. Para
hacer esto, utilizamos el proceso anteriormente descrito.
Veamos a continuación algunos ejemplos:
Ecuaciones: Ecuaciones Lineales
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Ejemplo 1: Resuelva la ecuación 2 x + 3 = 0 , y simplifica el resultado si es posible.
2x + 3 = 0 ,
a = 2 , y b = 3 , la idea es despejar, hasta encontrar el valor de x
2x = 0 − 3
Pasamos el 3 para el otro lado de la ecuación restando y resolvemos el
lado derecho
2 x = −3
x=
Pasamos el factor 2 que está multiplicando para el otro lado
de la ecuación dividiendo.
−3
2
Respuesta: la solución de 2 x + 3 = 0 es x = −
El valor de “ x ” es −
3
2
3
, esto significa que si se sustituye este valor en el lugar de “ x ” en la ecuación original, se cumple la igualdad,
2
comprobemos esto:
Comprobación:
Ecuación original
2x + 3 = 0
 − 3
⇒ 2⋅
+3=0
 2 
⇒ −3 + 3 = 0
sustituyendo x = −
3
2
⇒0=0
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Importante: Observa que la igualdad se cumple, por lo tanto x = −
por cualquier valor distinto de −
2x + 3 = 0
3
es la solución de la ecuación. Veamos qué sucede al sustituir “ x ”
2
3
en la ecuación original, digamos por ejemplo x = 1 :
2
Ecuación original
⇒ 2 ⋅ (1) + 3 = 0
⇒5=0
⇒ 2+3= 0
Sustituyendo x = 1
En este caso, la igualdad no se cumple, por lo tanto x = 1 no es solución de la ecuación 2 x + 3 = 0 .
En general para una ecuación de Primer Grado con una incógnita de la forma ax + b = 0 , con a ≠ 0 , la solución es de la forma x = −
b
y
a
además es importante recalcar que ésta solución es única.
Ejemplo 2: Resuelva la ecuación
7x − 2
= 0 , y simplifica el resultado si es posible.
4
Llevamos la ecuación a la forma general. Como es una ecuación racional igualada a cero, ésta se cumple sólo si el numerador es
igual a cero, por lo tanto:
Esta es la forma general.
⇒ 7x − 2 = 0
⇒ 7x = 0 + 2 ⇒ x =
2
7
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Observa que la solución es de la forma
Respuesta: La solución de
b
x = − , donde a = −2 y b = 7 .
a
7x − 2
= 0 es
4
Ejemplo 3: Resuelva la ecuación
x=
2
.
7
8x − 3
5
= 3x − , y simplifique el resultado si es posible.
2
3
Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado derecho de la igualdad. Sin embargo, el
denominador 3 en el lado derecho no puede pasar a multiplicar al lado izquierdo porque no es denominador de todos los términos.
8x − 3
5
= 3x −
2
3
Por eso te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver. Se calcula el m.c.m. entre 2, 3 y 1 que son los
denominadores de ambos lados de la igualdad.
8 x − 3 3 x 5 3.(8 x − 3) 6 ⋅ 3 x − 2 ⋅ 5
=
− =
=
2
1 3
6
6
Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con resolver la igualdad entre los numeradores, como
sigue:
24 x − 9 = 18 x − 10
Se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de la igualdad y los independientes en otro. En este caso, 18x que está
positivo en la derecha, pasa restando a la izquierda y -9 pasa como +9 hacia la derecha:
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⇒ 24 x − 18 x = −10 + 9 ⇒ 6 x = −1 ⇒ x = −
Respuesta: La solución de
1
6
1
8x − 3
5
es x = −
= 3x −
6
2
3
En el siguiente ejercicio, la ecuación original no es de primer grado, sin embargo, notará que se transforma en ésta al resolverla.
Ejemplo 4: Resuelve la ecuación
5
7
, y simplifica el resultado si es posible.
=
2x + 1 2x − 1
Ambos lados de la igualdad tienen una fracción, por lo tanto, pasamos lo que está dividiendo en un lado a multiplicar en el otro lado:
5
7
=
2x + 1 2x − 1
⇒ 5 (2 x − 1) = 7 (2 x + 1)
Luego aplicamos la propiedad distributiva en ambos lados de la ecuación, pasando los términos independientes hacia la derecha y los
que contienen la variable x hacia la izquierda:
10 x − 5 = 14 x + 7 ⇒ 10 x − 14 x = 7 + 5
10 x − 14 x = 7 + 5 ⇒ −4 x = 12 ⇒ x =
Respuesta: La solución de
12
−4
Agrupando términos semejantes y despejando la x
Finalmente simplificamos 12/-4 = -3
5
7
es x = −3 .
=
2x + 1 2x − 1
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Ejercicios Propuestos:
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1.
1
(x − 1) − (x − 3) = 1 (x + 3) + 1
6
3
2
4.
x − (5 x − 1) −
7.
x−4
−5 = 0
3
7 − 5x
=1
10
2.
3
3
+
=0
5 2x − 1
3. 2 x −
5.
2
3
=
4x − 1 4x + 1
6.
8.
(5 x − 2)(7 x + 3) − 1 = 0
7 x(5 x − 1)
9. 2 x +
5x − 6 1
+ ( x − 5) = −5 x
4
3
2x − 9 2x − 3 x
=
+
10
2x − 1 5
17 − x 8 − 3 x 25
=
+
2
3
3
Ecuaciones Literales de Primer Grado
Como ya lo mencionamos anteriormente, en las ecauaciones literales, algunos o todos los coeficientes de las incógnitas o las cantidades
conocidas que figuran en la ecuación están representadas por letras, que generalmente suelen ser a, b, c, d , m, n, etc.
Ejemplos de este tipo de ecuaciones son:
a x + b = c , 2mx + 3x + 7 mn = 5mn + x
Para resolver este tipo de ecuaciones, aplicaremos las mismas reglas que usamos en las ecuaciones numéricas anteriormente estudiadas.
Veamos a continuación varios ejemplos:
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Ejemplo 5: Resuelve
la ecuación
ax
2
= 3ax − , y simplifica el resultado si es posible.
2
3
Observa que el denominador 2 en el lado izquierdo podría pasar a multiplicar al lado derecho de la igualdad. Sin embargo, el denominador 3
en el lado derecho no puede pasar a multiplicar al lado izquierdo, porque no es denominador de todos los términos
ax
2
= 3ax −
2
3
Por lo tanto te sugerimos sacar el m.c.m. de ambos lados de la ecuación y resolver:
Se calcula el m.c.m. entre 2, 3 y 1 (recuerde que
3ax =
3ax
)
1
⇒
3.(ax ) 6 ⋅ 3ax − 2 ⋅ 2
=
6
6
Si los dos lados de una igualdad tienen el mismo denominador, entonces basta con resolver la igualdad entre los numeradores, como sigue:
⇒ 3ax = 18ax − 4 ; se agrupan los términos que contengan incógnitas en un lado de la igualdad y los independientes en otro.
⇒ 4 = 18ax − 3ax
⇒ 4 = 15ax
Agrupamos términos semejantes
Para despejar la variable x de la ecuación, debemos tomar en cuenta que el coeficiente del mismo 15a , pasa para el otro lado de la ecuación
dividiendo, por lo tanto, el literal a tiene que ser diferente ( a ≠ 0 ). Luego tenemos que
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⇒ 4 = 15ax ⇒
Respuesta: La solución de
4
4
si a ≠ 0 .
= x , es decir x =
15a
15a
4
ax
2
es x =
si a ≠ 0
= 3ax −
15a
2
3
Ejemplo 6: Resuelve la ecuación
ax − b 3 (2 x − 5)
, y simplifica el resultado si es posible.
= +
ax − c 8 ax − c
Se calcula mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la suma de fracciones. El m.c.m.( ax − c , 8)= 8(ax − c)
8(ax − b ) 3(ax − c ) + 8 (2 x − 5)
⇒
=
8(ax − c )
8(ax − c )
⇒
Recuerda que en este tipo de procedimiento, el
m.c.m. se escribe como denominador de cada
fracción, y como numerador se escribe el resultado
de: dividir el m.c.m. entre cada denominador y
multiplicarlo por el numerador.
8ax − 8b 3ax − 3c + 16 x − 40
=
8(ax − c )
8(ax − c )
⇒ 8ax − 8b = 3ax + 16 x − 3c − 40
Propiedad de los racionales
Agrupa
y
semejantes
suma
de
términos
⇒ 8ax − 3ax − 16 x = 8b − 3c − 40
⇒ 5ax − 16 x = 8b − 3c − 40
Como queremos despejar la variable x, tenemos que agrupar los términos que contengan dicha variable:
⇒ 5ax − 16 x = 8b − 3c − 40
Factor común x
⇒ (5a − 16 )x = 8b − 3c − 40
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Para despejar la variable x, el factor (5a − 16 ) pasa a dividir al otro lado de la igualdad, por lo tanto, tenemos que asegurar que dicho factor sea
diferente de cero (5a − 16 ≠ 0 ) . Luego
⇒ (5a − 16 )x = 8b − 3c − 40 ⇒ x =
Respuesta: La solución de
8b − 3c − 40
5a − 16
8b − 3c − 40
ax − b 3 (2 x − 5)
es x =
si 5a − 16 ≠ 0
= +
ax − c 8 ax − c
5a − 16
Ejemplo 7: Resuelve la ecuación
x 3 − 3mx 2 x
−
−
= 0 , con m ≠ 0 , y simplifica el resultado si es posible.
2m
m
m2
Se calcula el mínimo común entre los denominadores y se procede a efectuar la resta de fracciones.
El m.c.m.( 2m, m 2 , m ) = 2m 2 , éste se divide entre cada denominador:
2m 2 ÷ 2m = m
2m 2 ÷ m 2 = 2
2m 2 ÷ m = 2m
y el cociente se multiplica por el numerador:
m( x) − 2(3 − 3mx) − 2m(2 x)
x 3 − 3mx 2 x
−
−
=0⇒
=0
2
2m
m
2m 2
m
⇒
mx − 6 + 6mx − 4mx
=0
2m 2
Propiedad de los racionales: si una fracción es igual a cero, es equivalente a que el numerador sea cero.
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⇒
mx − 6 + 6mx − 4mx
= 0 ⇒ mx − 6 + 6mx − 4mx = 0
2m 2
Agrupamos y sumamos los
términos semejantes
⇒ mx(1 + 6 − 4) = 6 ⇒ 3mx = 6
Para despejar la variable x , el factor 3m pasará dividiendo al otro lado de la igualdad y como m ≠ 0 nos queda x =
Respuesta: La solución de
6
2
=
3m m
x 3 − 3mx 2 x
2
con m ≠ 0 .
−
−
= 0 es x =
2
2m
m
m
m
Ejercicios Propuestos:
Resolver las siguientes ecuaciones:
1.
a ( x + 1) = 1
4. ( x + a )( x − b) − ( x + b)( x − 2a ) = b( a − 2) + 3a
7.
1 m
1 1
− =
−
n x mn x
Ecuaciones: Ecuaciones Lineales
2. ( x + b) 2 − ( x − a ) 2 − (a + b) 2 = 0
3. ax + b 2 = a 2 − bx
5. a ( x + b) + x(b − a ) = 2b(2a − x)
6.
a − 1 1 3a − 2
+ =
a
2
x
8. ax − a (a + b) = − x − (1 + ab)
9.
x − 3a 2a − x
1
−
=−
2
ab
a
a
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