Función inyectiva En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función no entonces sí se obtiene una función inyectiva Ejemplo de función inyectiva. . Definición formal De manera más precisa, una función alguna de las dos afirmaciones equivalentes: es inyectiva cuando se cumple Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2. Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva: Función sobreyectiva En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X". Formalmente, Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva: Ejemplo de función sobreyectiva. Función biyectiva En matemática, una función sobreyectiva. es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y Formalmente, Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Además, a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y); esta es la norma que exige la función sobreyectiva. Ejemplo de función biyectiva. Teorema Si es una función biyectiva, entonces su función inversa biyectiva. existe y también es Ejemplo La función: es biyectiva. Luego, su inversa: también lo es. El siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva: Funciones Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva No sobreyectiva No inyectiva Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo "Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función. Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B": "Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A"). "Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). "Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos. Definiciones formales Inyectivo Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales inyectiva. a es una función (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros números negativos) porque tienes por ejemplo (esto incluye f(2) = 4 y f(-2) = 4) Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. Sobreyectivo (o también "epiyectivo") Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales números pares no negativos es sobreyectiva. al de los Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función. Biyectiva Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. (Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4)