Función biyectiva

Función inyectiva
En matemáticas, una función
es inyectiva si a cada valor del conjunto
(dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a
cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto
X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales
, dada por
es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el
dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función
no
entonces sí se obtiene una función inyectiva
Ejemplo de función inyectiva.
.
Definición formal
De manera más precisa, una función
alguna de las dos afirmaciones equivalentes:


es inyectiva cuando se cumple
Si x1,x2 son elementos de tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1
= x2.
Si x1,x2 son elementos diferentes de
, necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:
Función sobreyectiva
En matemática, una función
es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva,
suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la
imagen
, o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la
imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,
Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:
Ejemplo de función sobreyectiva.
Función biyectiva
En matemática, una función
sobreyectiva.
es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y
Formalmente,
Para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada,
que es la regla de la función inyectiva. Además, a cada elemento del conjunto de salida
le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y); esta es la norma
que exige la función sobreyectiva.
Ejemplo de función biyectiva.
Teorema
Si es una función biyectiva, entonces su función inversa
biyectiva.
existe y también es
Ejemplo
La función:
es biyectiva.
Luego, su inversa:
también lo es.
El siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva:
Funciones
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva
No inyectiva
Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo
"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de
una función.
Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto
"A" a los de otro conjunto "B":
"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que
corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en
"A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a
lo mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una
correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
Definiciones formales
Inyectivo
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales
inyectiva.
a
es una función
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros
números negativos) porque tienes por ejemplo


(esto incluye
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un
poco como si fuera biyectiva.
Sobreyectivo (o también "epiyectivo")
Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe
por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo
si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo
menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales
números pares no negativos es sobreyectiva.
al de los
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es
sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.
Biyectiva
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente
un x en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo
conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por
ejemplo


f(2)=4 y
f(-2)=4)