Distribucion_muestral_de_las_medias

Distribución muestral de las medias
Dada una población constituida por un número n de elementos, cuya media aritmética es m y
donde la desviación típica viene dada s, pueden formarse n2 muestras con reemplazo distinto,
formadas por dos elementos de la población.
Para cada una de estas muestras es posible una media muestral, que denotaremos con el
símbolo . Un ejemplo de la tabla de muestras de tamaño 2, tomada de la población {1, 3, 5},
con sus medias aritméticas reflejadas, sería:
A partir de la variable estadística original x de la población se puede construir una nueva
variable estadística , que tendría como valores las medias de las muestras tomadas de la
población. La media aritmética de esta distribución muestral de las medias se denota por
y su desviación típica por .
,
Parámetros de la distribución muestral de las medias de tamaño 2
Establecida una distribución muestral de las medias de tamaño 2, su esperanza matemática
adopta el valor siguiente:
siendo m la media aritmética de la población, la media aritmética de cada muestra,
la
media aritmética de todas las medias, E [x] la esperanza matemática de la variable aleatoria x
(para la población) y E [ ] la esperanza matemática de la variable aleatoria (para la
distribución muestral de las medias).
Por su parte, los valores de la varianza y la desviación típica de esta distribución muestral de
tamaño 2 son:
donde s es la desviación típica de la población, la desviación típica de la distribución
muestral, V [x] la varianza de la variable x (población) y V [ ] la varianza de la variable
(distribución muestral de las medias).
Distribución muestral de las medias de tamaño n
En una distribución muestral de las medias, la variable aleatoria media muestral sigue una ley
normal descrita como N (m,s/Ön). La tipificación de esta distribución con el cambio
produce una distribución normal centrada N (0,1).
Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las medias de tamaño n:
Distribución muestral de las proporciones
Sea una población formada por n elementos, de los cuales algunos poseen una determinada
característica y otros no (llamaremos p a la proporción de los elementos que poseen la
característica, y q = 1 - p a la de los restantes elementos). Entonces, es posible extraer
muestras de la población de manera que a cada una se asocie como valor la proporción de la
característica analizada.
Por ejemplo, en la población {1, 2, 3}, la característica par tiene un valor p = 1 / 3, mientras que
la impar es q = 2 / 3. Mediante la tabla siguiente de muestras se construye una nueva
distribución muestral de las proporciones.
Muestra
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3
Proporción f/n 0
0,5 0
0,5 0
0,5 0
0,5 0
Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las proporciones de tamaño n:
Una distribución muestral de las proporciones se comporta como una distribución normal
descrita por los parámetros N
.
Probabilidad de las medias
Consideremos el ejemplo siguiente. Sea una población que sigue la distribución normal N
(100,15). Si se toma una muestra de tamaño 36, la probabilidad de que la muestra tenga una
media inferior a 105 sería:
N(100,15 / Ö36)=N (100, 2,5)
La probabilidad P sería:
P (£ 105) =
=P [Z £ (105 - 100 / 2,5)],
Tipificada. Consultando la tabla de la distribución normal N (0,1):
P (Z £ 2) = 0,9772.
Distribución muestral de las proporciones
La distribución muestral de las proporciones es de tipo normal, si presenta los siguientes
parámetros:
Si la variable se tipifica como:
la ley se transforma en N (0,1).
Probabilidad de las proporciones
Hallemos la probabilidad de que al lanzar 100 veces al aire una moneda, salga cara entre un
45% y un 55%:
Entonces, si se tipifica la función: