Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas
Segundo Año
Los casos de sucesiones son variados;
1
1
Se te puede pedir que encuentres los términos de una sucesión contando con
el Término General 𝑎𝑛 .
2
1
Te pueden dar los términos de una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … y debes encontrar el
Término General. 𝑎𝑛 .
3
1
Se puede dar una combinación de esto: completar los términos, encontrar el
Término General o encontrar algunos términos que faltan en la sucesión,
hagamos un ejemplo de cada uno de ellos.
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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CASO I
Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término general es:
𝑓𝑛 = (1 − 𝑛)𝑛
El primer término: 𝑎1 = (1 − 1)1 = 0
El segundo término: 𝑎2 = (1 − 2)2 = 1
El tercer término: 𝑎3 = (1 − 3)3 = −8
El cuarto término será: ___________
El quinto término es: _____________
Resuelve uno y consúltalo con tu encargado.
𝑓𝑛 = 6n + 11
Encuentra los primeros cinco términos.
CASO II
Encontrar el Término General de la siguiente sucesión: 1, 7, 13, 19, 25.
En este caso debes utilizar la forma general de una sucesión aritmética: 𝑓𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
donde𝑓𝑛 = 𝑎𝑛
1º Obtén el intervalo “d”: 7 – 1, 6 = d
2º contamos con el primer término: 𝑎1 = 1
3º resolvamos: 𝑓𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑓𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)6
𝑓𝑛 = 1 + 6𝑛 − 6
𝑓𝑛 = −5 + 6𝑛
Resuelve el siguiente: -89, -78, -67, -56, -45
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CASO III
En una sucesión aritmética, cuando el intervalo “d” es 2 y el octavo termino 𝑎8 = 4, Encontrar
el cuarto termino 𝑎4 .
El término general de la sucesión es 𝑓𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Contamos con el intervalo “d” = 2 y el octavo termino 𝑎8 = 4 , además n = 8 términos.
𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
Resolvamos entonces:
𝑎8 = 𝑎 + (8 − 1)2
4 = 𝑎 + (7)2
=𝑎
4 = 𝑎 + 14
4 − 14
− 10 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
Conociendo el primer término podemos encontrar el cuarto término como se nos pide:
𝑓𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎4 = −10 + (4 − 1)2
𝑎4 = −10 + (3)2
Sustituyendo los datos ya conocidos.
Resolviendo paso a paso.
𝑎4 = −10 + 6 𝑎4 = −4 El cuarto término es -6 ahora escribe la totalidad de términos:
-10, ___, ___, -4, ___, ___, ___, 4.
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Revisa este caso:
En una sucesión aritmética, el primer término es 𝑎1 = −5 y el decimo término es 𝑎10 = 22,
encontrar el intervalo “d”, y el termino general 𝑎𝑛 , luego encuentra el quinto termino 𝑎5 y el
vigésimo termino 𝑎20 .
El término general de la sucesión es 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 ,
Si tienes 𝑎1 = −5 y 𝑎10 = 22 , tienes n = 10, entonces sustituyendo:
Solución
𝑎10 = −5 + (10 − 1)𝑑
22 = −5 + 9𝑑
22 + 5 = 9𝑑
27= 9𝑑
d=
27
9
d = 3.
Ya contamos con:
d = 3,
𝑎1 = −5,
para encontrar el término general 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎𝑛 = −5 + (𝑛 − 1)3
𝑎𝑛 = −5 + 3𝑛 − 3
𝑎𝑛 = 3𝑛 − 8
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Interpolación de medios aritméticos
Cuando hablamos de interpolación de medios aritméticos es simplemente el proceso
de colocar entre dos números reales dados un numero especifico de términos que
juntos con los dados originalmente pertenecen a una sucesión aritmética.
Ejemplo:
Interpolar tres medios aritméticos entre 17 y 41.
Solución: ¿Cuántos términos son? Se trata de encontrar tres términos más.
El término general de la sucesión es 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Datos: a1 = 17
a5 = 41
Entonces tenemos que:
n=5 d=?
41 = 17 + (5 − 1)𝑑
41 = 17 + 4𝑑
41 − 17 = 4𝑑
41 − 17 = 4𝑑
24 = 4𝑑
24 = 4𝑑
𝑑=
24
4
𝑑= 6
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Encontrando el término a2
Datos: a1 = 17 n = 2 d = 6
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Sustituyendo datos
𝑎2 = 17 + (2 − 1)6
𝑎2 = 17 + 6
𝑎2 = 23
Encontrando el termino a4
Datos: a1 = 17 n = 4 d = 6
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Sustituyendo datos
𝑎4 = 17 + (4 − 1)6
𝑎4 = 17 + 18
𝑎4 = 35
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Encontrando el término a3
Datos: a1 = 17 n = 3 d = 6
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Sustituyendo datos
𝑎3 = 17 + (3 − 1)6
𝑎3 = 17 + 12
𝑎3 = 29
Ejercicio
Practica en tu cuaderno y entrégalos a tu encargado
Interpolar 4 medios aritméticos entre 15 y 40.
Deja muestras de tus procesos en este espacio:
Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética
Calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética es bastante sencillo, porque en
toda sucesión se cumple que
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La suma del primero y el último término es igual a la suma del segundo con el penúltimo, a la suma
del tercero con el antepenúltimo y a la suma de dos términos cualesquiera que equidisten de los
valores extremos.
Es decir:
4
1 ₊ 3 ₊ 5 ₊ 7 ₊ 9₊ 11 ₊ 13 ₊ 15 ₊ 17 ₊ 19 ₊ 21 ₊ 23 ₊ 25 ₊ 27 ₊ 29 ₊ 31 ₊ 33 ₊ 35 ₊ 37 ₊ 39
0
4
0
Para encontrar la suma de varios números en progresión aritmética es suficiente con
conocer:
El primer término a1
El último término an
El número de ellos n
Fórmula para encontrar la suma
de los n primeros términos.
Sn =
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𝑎1 + 𝑎𝑛
2
.n
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Caso I
Conocemos el término general
Ejemplo 1.- Para 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n – 1, calcular la suma de los primeros 20 términos.
Solución: la suma de los n primeros términos se calcula de la siguiente manera.
Paso I: Datos: a1 = 1, an= 39 n= 20
Paso II: Sustituyendo datos en la fórmula: Sn =
así
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
Sn =
.n
1+39
2
. 20
Paso II: Resuelve las operaciones establecidas
Sn =
40
2
. 20
por lo que Sn= 400
Caso II
No Conocemos el termino general de la sucesión
Ejemplo 2: Calcular la suma de los términos 2, 9, 16, 23, …, 597.
Solución: en este caso lo primero que debe hacerse es encontrar el número de términos de la
sucesión aritmética con la ayuda del término general
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Datos: a1 = 2, an= 597, d = 7, n = ?
Sustituyendo datos.
597 = 2 + (𝑛 − 1)7
597 = 2 + 7𝑛 − 7
597 = 7𝑛 − 5
602 = 7𝑛
𝑛=
n=86
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602
7
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Ahora ya tenemos los datos necesarios para encontrar la suma de los n términos
Sustituyendo en ecuación general Sn =
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
.n
Datos: a1 = 2, an= 597, n = 86
Sn =
2+597
Sn =
2
599
2
. 86
. 86
Sn = 25757
Realiza en tu cuaderno utilizando todas las herramientas necesarias.
Calcular la suma 10 ₊ 20 ₊ 30 ₊ … ₊ 990.
Practica el proceso antes descrito en la solución de problemas:
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Sucesiones geométricas
Se dice que una sucesión es geométrica si el cociente entre dos términos consecutivos es constante. El
cociente constante recibe el nombre de razón.
El término general de una sucesión geométrica de la forma f(n) = a rn , a ̂r son constantes y “r” es la
razón.
Ejemplo 3, 9, 27, 81, …, 3n
Calculo del término general de una sucesión geométrica
El término general de una sucesión geométrica de la forma f(n) = a rn , se calcula en dos etapas de la
manera siguiente:
Etapa 1: La primera parte del término general se obtiene elevando a la potencia
“n”, el cociente entre dos términos consecutivos.
Ejemplo 1
Obtener el término general de 9, 27, 243,…
Solución: el cociente entre un término y el anterior es constante e igual a 3 es decir “r” = 3
1) La primera parte del termino general es por lo tanto
2)
Al sustituir n por 1 se tiene
3n
31 = 3
Este número debe multiplicarse por 3 para obtener el primer término de la sucesión, que es 9.
Por lo tanto el término general buscado es
f(n) = 3(3n)
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= 3n ₊ 1
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2 4
5 5
8 16
5 5
Obtener el termino general de , , ,
,
32
5
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,…
Solución: el cociente entre un término y el anterior es constante e igual a (
_______
) es decir “r” =
1) La primera parte del termino general es por lo tanto __n
2) Al sustituir n por 1 se tiene __1 = __
Este número debe multiplicarse por
⬚
⬚
para obtener el primer término de la sucesión, que es
__. Por lo tanto el término general buscado es f(n) =
=
INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS
Se trata de colocar, entre dos números reales dados, un número específico de términos
que junto con los dos dados originalmente, pertenezcan a una sucesión geométrica.
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Ejemplo 1:
Interpolar entre 1 y 216 dos medios geométricos.
Solución: Sabemos que el término general de una sucesión geométrica es de la forma f(n) = a rn
Debemos encontrar los valores constantes a , r. Como entre 1 y 216 se van a intercalar dos términos. El
primero será __ y el cuarto___. Se tienen por tanto las dos igualdades siguientes:
Primer término: f(1)= ar1 = 1
Cuarto término: f(4) = ar4 = 216
Al efectuar los cocientes término a término se obtiene:
𝑟 3 = 216
3
r = 216
𝑎𝑟 4
𝑎𝑟 3
=
216
1
r=6
Al sustituir este valor de r en la igualdad resulta:
ar = 1
6a = 1 por lo tanto a =
1
6
El término general es f(n) = a r n, por lo tanto
1
f(n) = 6 (6)𝑛
f(n) = 6𝑛 .6−1
f(n) = 6𝑛−1
Al completar la tabla podremos encontrar los cuatro términos:
n
f(n) = 6𝑛−1
1
2
3
4
___, ___, ___, ___
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Segundo Año
SUMA DE LOS n PRIMEROS TERMINOS DE UNA SUCESION GEOMETRICA
Ejemplo 1:
Encontrar la suma 2 ₊ 22 ₊ 23 ₊ 24₊ … ₊ 210
Solución: los términos pertenecen a una sucesión geométrica cuya razón es 2
Al designar por 𝑠𝑛 la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica. Entonces en
nuestro ejemplo se tiene que:
𝑠10 = 2 ₊ 22 ₊ 23 ₊ 24 ₊ 25 ₊ 26 ₊ 27 ₊ 28 ₊ 29 ₊ 210
Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la razón precedida del signo menos y luego le
sumamos término, resulta lo siguiente
𝑠10 = 2 ₊ 22 ₊ 23 ₊ 24 ₊ 25 ₊ 26 ₊ 27 ₊ 28 ₊ 29 ₊ 210
-2𝑠10 = - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 210 - 211
𝑠10 - 2𝑠10 = 2 - 211
- 𝑠10 =211 -2
Encontrar la suma indicada
3 ₊ 32 ₊ 33 ₊ 34₊ … ₊ 39
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