Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Los casos de sucesiones son variados; 1 1 Se te puede pedir que encuentres los términos de una sucesión contando con el Término General 𝑎𝑛 . 2 1 Te pueden dar los términos de una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … y debes encontrar el Término General. 𝑎𝑛 . 3 1 Se puede dar una combinación de esto: completar los términos, encontrar el Término General o encontrar algunos términos que faltan en la sucesión, hagamos un ejemplo de cada uno de ellos. Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 1 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año CASO I Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término general es: 𝑓𝑛 = (1 − 𝑛)𝑛 El primer término: 𝑎1 = (1 − 1)1 = 0 El segundo término: 𝑎2 = (1 − 2)2 = 1 El tercer término: 𝑎3 = (1 − 3)3 = −8 El cuarto término será: ___________ El quinto término es: _____________ Resuelve uno y consúltalo con tu encargado. 𝑓𝑛 = 6n + 11 Encuentra los primeros cinco términos. CASO II Encontrar el Término General de la siguiente sucesión: 1, 7, 13, 19, 25. En este caso debes utilizar la forma general de una sucesión aritmética: 𝑓𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 donde𝑓𝑛 = 𝑎𝑛 1º Obtén el intervalo “d”: 7 – 1, 6 = d 2º contamos con el primer término: 𝑎1 = 1 3º resolvamos: 𝑓𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑓𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)6 𝑓𝑛 = 1 + 6𝑛 − 6 𝑓𝑛 = −5 + 6𝑛 Resuelve el siguiente: -89, -78, -67, -56, -45 Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 2 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año CASO III En una sucesión aritmética, cuando el intervalo “d” es 2 y el octavo termino 𝑎8 = 4, Encontrar el cuarto termino 𝑎4 . El término general de la sucesión es 𝑓𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Contamos con el intervalo “d” = 2 y el octavo termino 𝑎8 = 4 , además n = 8 términos. 𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 Resolvamos entonces: 𝑎8 = 𝑎 + (8 − 1)2 4 = 𝑎 + (7)2 =𝑎 4 = 𝑎 + 14 4 − 14 − 10 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 Conociendo el primer término podemos encontrar el cuarto término como se nos pide: 𝑓𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑎4 = −10 + (4 − 1)2 𝑎4 = −10 + (3)2 Sustituyendo los datos ya conocidos. Resolviendo paso a paso. 𝑎4 = −10 + 6 𝑎4 = −4 El cuarto término es -6 ahora escribe la totalidad de términos: -10, ___, ___, -4, ___, ___, ___, 4. Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 3 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Revisa este caso: En una sucesión aritmética, el primer término es 𝑎1 = −5 y el decimo término es 𝑎10 = 22, encontrar el intervalo “d”, y el termino general 𝑎𝑛 , luego encuentra el quinto termino 𝑎5 y el vigésimo termino 𝑎20 . El término general de la sucesión es 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 , Si tienes 𝑎1 = −5 y 𝑎10 = 22 , tienes n = 10, entonces sustituyendo: Solución 𝑎10 = −5 + (10 − 1)𝑑 22 = −5 + 9𝑑 22 + 5 = 9𝑑 27= 9𝑑 d= 27 9 d = 3. Ya contamos con: d = 3, 𝑎1 = −5, para encontrar el término general 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑎𝑛 = −5 + (𝑛 − 1)3 𝑎𝑛 = −5 + 3𝑛 − 3 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 8 Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 4 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Interpolación de medios aritméticos Cuando hablamos de interpolación de medios aritméticos es simplemente el proceso de colocar entre dos números reales dados un numero especifico de términos que juntos con los dados originalmente pertenecen a una sucesión aritmética. Ejemplo: Interpolar tres medios aritméticos entre 17 y 41. Solución: ¿Cuántos términos son? Se trata de encontrar tres términos más. El término general de la sucesión es 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Datos: a1 = 17 a5 = 41 Entonces tenemos que: n=5 d=? 41 = 17 + (5 − 1)𝑑 41 = 17 + 4𝑑 41 − 17 = 4𝑑 41 − 17 = 4𝑑 24 = 4𝑑 24 = 4𝑑 𝑑= 24 4 𝑑= 6 Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 5 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Encontrando el término a2 Datos: a1 = 17 n = 2 d = 6 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Sustituyendo datos 𝑎2 = 17 + (2 − 1)6 𝑎2 = 17 + 6 𝑎2 = 23 Encontrando el termino a4 Datos: a1 = 17 n = 4 d = 6 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Sustituyendo datos 𝑎4 = 17 + (4 − 1)6 𝑎4 = 17 + 18 𝑎4 = 35 Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 6 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Encontrando el término a3 Datos: a1 = 17 n = 3 d = 6 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Sustituyendo datos 𝑎3 = 17 + (3 − 1)6 𝑎3 = 17 + 12 𝑎3 = 29 Ejercicio Practica en tu cuaderno y entrégalos a tu encargado Interpolar 4 medios aritméticos entre 15 y 40. Deja muestras de tus procesos en este espacio: Suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética Calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética es bastante sencillo, porque en toda sucesión se cumple que Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 7 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año La suma del primero y el último término es igual a la suma del segundo con el penúltimo, a la suma del tercero con el antepenúltimo y a la suma de dos términos cualesquiera que equidisten de los valores extremos. Es decir: 4 1 ₊ 3 ₊ 5 ₊ 7 ₊ 9₊ 11 ₊ 13 ₊ 15 ₊ 17 ₊ 19 ₊ 21 ₊ 23 ₊ 25 ₊ 27 ₊ 29 ₊ 31 ₊ 33 ₊ 35 ₊ 37 ₊ 39 0 4 0 Para encontrar la suma de varios números en progresión aritmética es suficiente con conocer: El primer término a1 El último término an El número de ellos n Fórmula para encontrar la suma de los n primeros términos. Sn = Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga 𝑎1 + 𝑎𝑛 2 .n Página 8 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Caso I Conocemos el término general Ejemplo 1.- Para 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n – 1, calcular la suma de los primeros 20 términos. Solución: la suma de los n primeros términos se calcula de la siguiente manera. Paso I: Datos: a1 = 1, an= 39 n= 20 Paso II: Sustituyendo datos en la fórmula: Sn = así 𝑎1 + 𝑎𝑛 2 Sn = .n 1+39 2 . 20 Paso II: Resuelve las operaciones establecidas Sn = 40 2 . 20 por lo que Sn= 400 Caso II No Conocemos el termino general de la sucesión Ejemplo 2: Calcular la suma de los términos 2, 9, 16, 23, …, 597. Solución: en este caso lo primero que debe hacerse es encontrar el número de términos de la sucesión aritmética con la ayuda del término general 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 Datos: a1 = 2, an= 597, d = 7, n = ? Sustituyendo datos. 597 = 2 + (𝑛 − 1)7 597 = 2 + 7𝑛 − 7 597 = 7𝑛 − 5 602 = 7𝑛 𝑛= n=86 Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga 602 7 Página 9 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Ahora ya tenemos los datos necesarios para encontrar la suma de los n términos Sustituyendo en ecuación general Sn = 𝑎1 + 𝑎𝑛 2 .n Datos: a1 = 2, an= 597, n = 86 Sn = 2+597 Sn = 2 599 2 . 86 . 86 Sn = 25757 Realiza en tu cuaderno utilizando todas las herramientas necesarias. Calcular la suma 10 ₊ 20 ₊ 30 ₊ … ₊ 990. Practica el proceso antes descrito en la solución de problemas: Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 10 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Sucesiones geométricas Se dice que una sucesión es geométrica si el cociente entre dos términos consecutivos es constante. El cociente constante recibe el nombre de razón. El término general de una sucesión geométrica de la forma f(n) = a rn , a ̂r son constantes y “r” es la razón. Ejemplo 3, 9, 27, 81, …, 3n Calculo del término general de una sucesión geométrica El término general de una sucesión geométrica de la forma f(n) = a rn , se calcula en dos etapas de la manera siguiente: Etapa 1: La primera parte del término general se obtiene elevando a la potencia “n”, el cociente entre dos términos consecutivos. Ejemplo 1 Obtener el término general de 9, 27, 243,… Solución: el cociente entre un término y el anterior es constante e igual a 3 es decir “r” = 3 1) La primera parte del termino general es por lo tanto 2) Al sustituir n por 1 se tiene 3n 31 = 3 Este número debe multiplicarse por 3 para obtener el primer término de la sucesión, que es 9. Por lo tanto el término general buscado es f(n) = 3(3n) Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga = 3n ₊ 1 Página 11 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas 2 4 5 5 8 16 5 5 Obtener el termino general de , , , , 32 5 Segundo Año ,… Solución: el cociente entre un término y el anterior es constante e igual a ( _______ ) es decir “r” = 1) La primera parte del termino general es por lo tanto __n 2) Al sustituir n por 1 se tiene __1 = __ Este número debe multiplicarse por ⬚ ⬚ para obtener el primer término de la sucesión, que es __. Por lo tanto el término general buscado es f(n) = = INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS Se trata de colocar, entre dos números reales dados, un número específico de términos que junto con los dos dados originalmente, pertenezcan a una sucesión geométrica. Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 12 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año Ejemplo 1: Interpolar entre 1 y 216 dos medios geométricos. Solución: Sabemos que el término general de una sucesión geométrica es de la forma f(n) = a rn Debemos encontrar los valores constantes a , r. Como entre 1 y 216 se van a intercalar dos términos. El primero será __ y el cuarto___. Se tienen por tanto las dos igualdades siguientes: Primer término: f(1)= ar1 = 1 Cuarto término: f(4) = ar4 = 216 Al efectuar los cocientes término a término se obtiene: 𝑟 3 = 216 3 r = 216 𝑎𝑟 4 𝑎𝑟 3 = 216 1 r=6 Al sustituir este valor de r en la igualdad resulta: ar = 1 6a = 1 por lo tanto a = 1 6 El término general es f(n) = a r n, por lo tanto 1 f(n) = 6 (6)𝑛 f(n) = 6𝑛 .6−1 f(n) = 6𝑛−1 Al completar la tabla podremos encontrar los cuatro términos: n f(n) = 6𝑛−1 1 2 3 4 ___, ___, ___, ___ Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 13 Unidad 2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas Segundo Año SUMA DE LOS n PRIMEROS TERMINOS DE UNA SUCESION GEOMETRICA Ejemplo 1: Encontrar la suma 2 ₊ 22 ₊ 23 ₊ 24₊ … ₊ 210 Solución: los términos pertenecen a una sucesión geométrica cuya razón es 2 Al designar por 𝑠𝑛 la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica. Entonces en nuestro ejemplo se tiene que: 𝑠10 = 2 ₊ 22 ₊ 23 ₊ 24 ₊ 25 ₊ 26 ₊ 27 ₊ 28 ₊ 29 ₊ 210 Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la razón precedida del signo menos y luego le sumamos término, resulta lo siguiente 𝑠10 = 2 ₊ 22 ₊ 23 ₊ 24 ₊ 25 ₊ 26 ₊ 27 ₊ 28 ₊ 29 ₊ 210 -2𝑠10 = - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 210 - 211 𝑠10 - 2𝑠10 = 2 - 211 - 𝑠10 =211 -2 Encontrar la suma indicada 3 ₊ 32 ₊ 33 ₊ 34₊ … ₊ 39 Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga Página 14