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Diseño de experimentos
Hugo Alexer Pérez Vicente
Recuerdo que…
Conceptos estadísticos
Diseño de experimentos - Hugo Alexer Pérez Vicente
Población y muestra
Población
• es una colección de
posibles individuos,
especímenes, objetos o
medidas de interés sobre
los que se hace un
estudio.
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Muestra
• es un subconjunto
representativo de la
población (elementos,
objetos, etcétera)
obtenidos bajo un
método específico sobre
el que se podrán hacer
afirmaciones acerca de los
parámetros de la
población.
Parámetros y estadísticos
Población (toda la
producción del mes)
𝜇 =?
𝜎 =?
Aleatoriamente
PARÁMETROS
(siempre desconocidos)
Muestra
(representativa de la
producción del mes)
𝑋, 𝑆
ESTADÍSTICOS
(conocidos)
Inferencia
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Variables aleatorias
Una variable es la característica numérica de interés del
experimentador que se mide en los resultados posibles
de un estudio.
Para un conjunto de todas las respuestas posibles de
algún fenómeno aleatorio, una variable aleatoria es
cualquier regla que asocie un número con cada
respuesta.
2
1
0
-1
-2
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Variables aleatorias
• Discretas: si el conjunto de sus valores posibles (i.e.
que tiene un número finito de elementos o si sus
elementos pueden listarse en secuencia).
• Continuas: si el conjunto de sus valores posibles es
un intervalo completo de números (i.e. si para cada
A<B, cualquier número 𝑦𝑗 entre A y B es posible).
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Distribuciones de probabilidad
La distribución de probabilidad o distribución de una
variable aleatoria 𝑦 relaciona el conjunto de valores
posible de 𝑦 (rango de 𝑦), con la probabilidad asociada
a cada uno de estos valores y los representa a través de
una tabla o por medio de una función planteada como
una fórmula.
Cuando 𝑦 es discreta, es
común
referirse
a
su
distribución como la función
masa de probabilidad de 𝑦.
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Cuando 𝑦
es continua,
hablamos de la función de
densidad de probabilidad de
𝑦.
Distribuciones de probabilidad
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Resumen de propiedades
• Variable discreta 𝑦
0 ≤ 𝑝 𝑦𝑗 ≤ 1 ∀𝑗
P 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑝 𝑦𝑗 ∀𝑗
𝑝 𝑦𝑗 = 1
∀𝑦𝑗
• Variable continua 𝑦
0≤𝑓 𝑦
𝑏
𝑃 𝑎≤𝑦≤𝑏 =
∞
𝑓 𝑦 𝑑𝑦
𝑎
𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = 1
−∞
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Distribuciones de muestreo
• Un estadístico se define como cualquier función de
las observaciones de una muestra que no contiene
parámetros desconocidos (i.e. media muestral y
varianza muestral).
𝑦=
𝑆2 =
𝑛
𝑖=1 𝑦𝑖
𝑛
𝑛
2
𝑖=1(𝑦𝑖 −𝑦)
𝑛−1
• A la distribución de probabilidad de un estadístico se
le llama distribución de muestreo.
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Distribución normal
• La distribución normal es una de las distribuciones
de muestreo más utilizadas.
• Caracterizada por una media poblacional 𝜇 y una
varianza poblacional 𝜎 2 .
• Estos parámetros se aproximan por los estadísticos 𝑦
y 𝑆2.
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Distribución normal
• Si 𝑦 es una variable aleatoria normal, la distribución
de probabilidad de 𝑦 es:
𝑓 𝑦 =
1
𝜎 2𝜋
1 (𝑦−𝜇) 2
− 2
𝜎
𝑒
−∞<𝑦 <∞
Donde 𝜇 es la media de la distribución y 𝜎 es la
desviación estándar.
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Distribución normal estándar
• Caso especial de la distribución normal con 𝜇 = 0 y
𝜎2 = 1
• Se logra a través de la siguiente estandarización para
la variable 𝑦 distribuida normalmente:
𝑦−𝜇
𝑧=
𝜎
la cual sigue una distribución normal estándar
denotada 𝑧~𝑁 0,1
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Regla 68-95-99.7
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Teorema del límite central
Muchos datos en realidad siguen una distribución
normal y los que no, si se tienen suficientes datos, se
pueden “agregar” para que los datos agregados sigan
una distribución aproximadamente normal (Teorema
Central del Límite o Teorema del Límite Central).
• Sean 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas con una distribución no
especificada y que tienen media μ y varianza 𝜎 2 .
• La media muestral 𝑋 tiene una distribución que tiende a la
normal conforme el tamaño de la muestra tiende a infinito.
2
𝜎
𝑋 ≈ 𝑁 𝜇, 𝑛 cuando 𝑛 → ∞
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Teorema del límite central v2
• Si 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 son 𝑛 variables aleatorias independientes
con una distribución idéntica con media μ y varianza 𝜎 2 y
𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2 + … , +𝑦𝑛 entonces la distribución de:
𝑧𝑛 =
𝑥 − 𝑛𝜇
𝑛𝜎 2
Tiende a la distribución 𝑁 0,1 cuando 𝑛 tiende a infinito.
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Aplicación del teorema del límite
central
Problema 1.
Los tiempos de servicio por auto, en un verificentro, son
variables aleatorias independientes con media de 8 minutos y
varianza 4. ¿Cuál es la probabilidad de que 35 autos sean
verificados en menos de 4 horas?
𝑃
𝑋𝑖 < 240 = 𝑃
𝑥 − 𝑛𝜇
𝑛𝜎 2
<
240 − 35(8)
140
= 𝑃 𝑍 < −3.38
= 0.0004
Es altamente improbable que 35 autos sean verificados en
menos de 4 horas.
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Puntos importantes
• Frecuentemente se considera que el error de una
experimento surge de manera aditiva de varias
fuentes independientes; por consiguiente, la
distribución normal se convierte en un modelo
recomendable para el error experimental
combinado.
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Puntos importantes
• La distribución de muestreo de una estadística 𝜃 es
la distribución de probabilidad de la misma que
podría obtenerse si se tomaran repetidamente
muestras, del mismo tamaño, provenientes de la
misma población de interés.
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Distribución Χ2
Si 𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 son variables aleatorias que tienen una
distribución normal e independiente con media 0 y
varianza 1, entonces la variable aleatoria:
𝑥 = 𝑧12 + 𝑧22 + ⋯ + 𝑧𝑛2
Sigue la distribución ji-cuadrada con k grados de
libertad con función de distribución
1
𝑓 𝑥 =
𝑥 𝑘 2 −1 𝑒 −𝑥 2 , 𝑥 > 0
𝑘
𝑘
2
2 Г
2
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Distribución 𝑡
• Si 𝑧 y Χ2 son variables aleatorias independientes
normal estándar y ji-cuadrada, respectivamente, la
variable aleatoria:
• Sigue la distribución t con k grados de libertad,
denotada tk, y con una función de densidad:
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Distribución 𝐹
• Si Χ2u y Χ2v son dos variables aleatorias ji-cuadrada
independientes con u y v grados de libertad,
respectivamente entonces el cociente
• Sigue la distribución F con u grados de libertad en el
numerador y v grados de libertad en el denominador.
La distribución de probabilidad de x=Fu,v es
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Distribución F de Fisher-Snedecor con u, v grados de libertad
1
0.9
0.8
0.7
0.6
u=2, v=4
0.5
u=5, v=8
u=14, v=16
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
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10
15
20
25
Algo más de distribuciones
Elija una distribución de probabilidad de muestreo y
graficar su función de densidad y su función de
distribución acumulada en una hoja de cálculo.
Problema:
El tiempo que tardan los usuarios de un cajero automático
es una variable aleatoria con media de dos minutos y
desviación estándar 0.6 minutos. Encuentre la probabilidad
de que el tiempo total que tarda en el cajero una muestra
aleatoria de 50 clientes esté entre 90 y 112.5 minutos.
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Estimación puntual y por intervalo
• Un estimador puntual de un parámetro desconocido
es un estadístico que genera un valor numérico simple,
que utiliza para hacer una estimación del valor del
parámetro desconocido
𝜇→𝜇=𝑋
𝜎2 → 𝜎2 = 𝑆2
• La estimación por intervalo es una forma operativa de
saber qué tan precisa es la estimación puntual y
consiste en calcular un intervalo de confianza que
indique un rango “donde puede estar el parámetro”
con cierto nivel de seguridad o confianza.
𝑃 𝐿 ≤𝜃 ≤𝑈 =1−𝛼
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Concepto de prueba estadística
• Una hipótesis estadística es una afirmación sobre los
valores de los parámetros de una población o
proceso que es susceptible de probarse a partir de la
información
contenida
en
una
muestra
representativa que es obtenida de la población.
• Ejemplos:
“Este proceso produce menos de 8% de defectuosos”
La media de la masa de las partes es de 23.5 gramos
La mediana de la vida útil de los clips es de 140
deformaciones a la ruptura
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Concepto de prueba estadística
• En un problema de prueba estadística, se consideran
dos hipótesis estadísticas en contradicción
 Ejemplo: La media de la masa de las partes es de 23.5
gramos contra la media NO ES de 23.5 gramos
El objetivo es decidir, basados
en información muestral, cuál
es la hipótesis correcta.
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Hipótesis nula vs hipótesis alternativa
Hipótesis nula
Hipótesis alternativa
• Hipótesis inicialmente
favorecida o que se
cree inicialmente cierta.
Se denota por 𝐻0 .
• Ej. 𝐻0 : La media de la
masa de las partes es
de 23.5 gramos.
• Hipótesis en contra de
la hipótesis nula. Se
denota por 𝐻𝑎 .
• Ej. 𝐻𝑎 : La media de la
masa de las partes no
es de 23.5 gramos.
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La idea es inclinarnos hacia 𝐻𝑎 solamente si tenemos
suficiente evidencia estadística en contra de 𝐻0 .
Por convención se asocia 𝐻0 con el “no cambio” o con
las condiciones actuales del sistema o proceso, por
ejemplo, si se quiere probar que una variable
controlable disminuye la media de tiempo de ciclo de
un proceso, 𝐻0 se asocia con “la variable que no tuvo
un efecto” lo cual quiere decir “la media del tiempo de
ciclo permaneció igual”.
Hay que conocer siempre 𝐻0
estadísticas.
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en las pruebas
Procedimientos de prueba
• Es una regla, basado en datos muestrales, para
decidir si se debe rechazar 𝐻0 .
• Un procedimiento de prueba específica por los
siguientes:
1. Un estadístico de prueba
• Una función de los datos muestrales (número calculado a partir de
los datos) en el que se basará la decisión de rechazar o no rechazar
𝐻0 .
2. Una región de rechazo
• El conjunto de todos los valores del estadístico de prueba para los
que se rechazará 𝐻0 .
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Valor p / p-value
• Ésta es una forma de reportar los resultados, es
decir, la hipótesis nula se rechazó o no se rechazó a
un nivel de significancia 𝛼 especificado.
• Sin embargo, esto no da al investigador idea de si el
valor calculado de la estadística de prueba estaba en
la frontera de la región crítica o si estaba muy
adentro de ésta. Para eliminar esta deficiencia se
utiliza el p-value.
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Valor p / p-value
El p-value se define como el mínimo
valor del nivel de significación 𝛼 que
llevaría a rechazar la hipótesis nula 𝐻0 .
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Riesgo de una decisión equivocada
• Error tipo I: consiste en rechazar la hipótesis nula 𝐻0
cuando ésta es verdadera.
• Error tipo II: consiste en no rechazar 𝐻0 cuando ésta
es falsa.
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Un buen procedimiento
• Para no tener errores del tipo anterior se requiere
analizar toda la población (por ejemplo todas las
partes producidas en todos los turnos), lo cual es
impráctico.
• Se buscan entonces procedimientos para los cuales
cometer un error del tipo I o II tienen probabilidades
pequeñas.
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Un buen procedimiento
• Escoger una región de rechazo,
probabilidades del error tipo I y tipo II.
fija
las
• Estas probabilidades se denotan tradicionalmente
por 𝛼 y 𝛽 respectivamente.
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Ejemplo
Un ingeniero desea comparar
la resistencia de una fórmula
modificada de cemento a la
cual se le agrega látex
durante el mezclado. Se
tienen diez observaciones de
la resistencia de la fórmula
modificada y otras diez para
la fórmula usual.
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j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mezcla modificada
mezcla sin modificar
kgf/cm 2 (y 1j )
kgf/cm 2 (y2 j )
16.85
16.40
17.21
16.35
16.52
17.04
16.96
17.15
16.59
16.57
17.50
17.63
18.25
18.00
17.86
17.75
18.22
17.90
17.96
18.15
Prueba 𝑡 de dos muestras
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑎 : 𝜇1 ≠ 𝜇2
Dado un nivel de error 𝛼 (digamos 0.05)
Rechazar 𝐻0 si 𝑡0 > 𝑡𝛼,𝑛 +𝑛 −2
2
2 1
𝑡0 =
𝑦1 −𝑦2
𝑆𝑝
1
1
+
𝑛1 𝑛2
2
2
𝑛
−
1
𝑆
+
(𝑛
−
1)𝑆
1
2
1
2
2
𝑆𝑝 =
𝑛1 + 𝑛2 − 2
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Cálculos
𝑆𝑝2
10 − 1 (0.100) + (10 − 1)(0.061)
=
10 + 10 − 2
𝑆𝑝2 = 0.081
𝑆𝑝 = 0.284
𝑡0 =
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16.76 − 17.92
1
1
0.284
+
10 10
= −9.13
Cálculos
𝑡𝛼,𝑛
2
1 +𝑛2 −2
= 𝑡0.05
2
,10+10−2
= 𝑡0.025,18 = 2.101
MS Excel:
DISTR.T.INV(0.05,18)=2.10092204
Debido a que −9.13 > 𝑡𝛼 = 2.101
Decisión: Se rechaza 𝐻0 , es decir, se concluye que las
fuerzas de tensión de adhesión promedio de las dos
formulaciones son diferentes.
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2.101
-2.101
Región crítica
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Otro criterio más práctico
𝑡0
p-value = DISTR.T.2C(9.13,18)= 3.55567E-08
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Referencias
•
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Aguirre, V. et al. (2012). Fundamentos de probabilidad y estadística. México: Jit Press.
Allen, T. (2010). Introduction to Engineering Statistics and Lean Sigma. EUA: Springer.
Cabrera R., M. (2008). Apuntes de curso. México: U. Autónoma de Nuevo León.
Montgomery, D. (2007). Diseño y análisis de experimentos. México: Limusa Wiley.
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