Introducción a los flujos multifásicos

Introducción a los flujos multifásicos
Patricio Bohórquez & Luis Parras
Escuela Politécnica Superior de Jaén
Universidad de Jaén, España
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad de Málaga, España
Curso de Mecánica de Fluidos Computacional Aplicada
Técnicas Reunidas S.A.
02/Julio/2010
Introducción a los flujos multifásicos– p.1
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Flujos inmiscibles:
Nos referimos a 2 o más fases separadas por una superficie infinitesimal.
Ejemplos.- Caída libre de una gota de agua en la atmósfera, rotura de una presa, llenado de
un depósito, etc.
Introducción a los flujos multifásicos– p.2
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface tracking:
Las ecuaciones que gobiernan el problema son, para cada fase, las ecuaciones de
Navier-Stokes. Por ejemplo, para agua y aire, a bajos números de Mach, se tiene:
~
x ∈ el aire :
∇ · ~vg = 0 ,
(1)
∂ρg ~vg
′
′′
+ ∇ · (ρg ~vg ~vg ) = −∇pg + ∇ · (τ g + τ g ) ,
∂t
(2)
~
x ∈ el líquido :
∇ · ~vf = 0 ,
(3)
∂ρf ~vf
′
′′
+ ∇ · (ρf ~vf ~vf ) = −∇pf + ∇ · (τ f + τ f ) ,
∂t
(4)
Arriba, t es tiempo, ~v es la velocidad, p = P − ρ~g · ~
x es la presión reducida, P es la presión
′
absoluta, ρ es la densidad, τ es el tensor de esfuerzos viscosos,
«
»
„
–
2
µ
v
−
(∇ · ~v ) I ,
τ = µl ∇~v + (∇~v )T +
µl
3
′
µl es la viscosidad dinámica, µv es la viscosidad de mezcla y τ
de Reynolds.
(5)
′′
es el tensor de esfuerzos
Introducción a los flujos multifásicos– p.3
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface tracking:
Las ecuaciones de cada fase están acopladas a las de la fase colindante vía la superficie
libre.
La superficie libre, o interfase, representa pues una condición de contorno que está
compuesta por: una condición cinemática y una condición dinámica. Formalmente,
~
x∈Γ:
~vf = ~vg ,
(6)
(τ f − τ g ) · ~
n = (Pf − Pg + σκ) · ~
n,
donde σ es el coeficiente de tensión superficial, ~
n es el vector unitario normal a la interfaz
dibujado desde el gas hacia el líquido, κ es la curvatura local de la superficie,
κ ≡ ∇·~
n
′
′′
y τ ≡τ +τ .
(7)
Si se resuelve la formulación dada anteriormente por (1)-(7), diremos que hacemos uso de un
método tipo interface tracking (ver Tukovic & Jasak, 2008, y Jasak, 2009). Ejemplo,
transporte de sulfactantes entre una gota ascendente y la atmósfera,
Introducción a los flujos multifásicos– p.4
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface tracking:
Hay casos en los que se puede despreciar la influencia del movimiento de una fase en la de
la otra. En tal caso, sólo se resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes en la fase de interés y
se extrapola el campo de velocidades a la fase débil. Ejemplo.- Análisis del flujo sobre un
perfil aerodinámico en un canal de agua:
Ventajas: la interfaz está definida por el contorno de las celdillas de la malla; la difusión
numérica inherente a los métodos de bajo orden de consistencia no distoriona la forma de la
interfaz; permite determinar con exactitud la posición de la superficie libre, calcular la
curvatura y lidiar con efectos dominantes de tensión superficial (no sufre de corrientes
parásitas).
Inconvenientes: requiere deformar la malla; en presencia de distorsión elevada de las
celdillas es necesario remallar e interpolar entre mallas (problemas de conservación de
masas, inestabilidades numéricas, etc); no permite cambios de forma (por ejemplo,
formación y coalescencia de burbujas) a no ser que se lleve a cabo un tratamiento exhaustivo
del método (ver trabajos de Sandeep Menon en http://www.ecs.umass.edu/ smenon/).
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Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface capturing (level set):
El sistema de ecuaciones (1)-(4) y la condición de contorno (6) se pueden combinar
modelando la fuerza de superficie como una fuerza de volumen:
ρ
∂~v
+ ρ∇ · (~v~v ) = −∇p + ∇ · τ − σκδ(d)~
n,
∂t
∇ · ~v = 0 ,
(8)
~
x∈Ω
donde ~v viene dada por
8
>
<~vf
~v = ~vf = ~vg
>
:
~vg
~
x ∈ líquido
~
x∈Γ
~
x ∈ aire
.
La densidad ρ y viscosidad µ se definen de manera análoga a ~v . Por otro lado, Ω es el
dominio que contiene los fluidos y δ es la delta de Dirac. Por otro lado, d es la función
distancia a la interfaz.
La interfaz Γ está parametrizada por la función distancia φ ≡ d, conocida como level set:
Γ = {~
x | φ(~
x, t) = 0} ,
(9)
siendo φ > 0 en el líquido y φ < 0 en el aire.
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Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface capturing (level set):
La condición cinemática establece que φ se propaga a la velocidad del fluido,
∂φ
+ ∇ · (φ~v ) = 0 .
∂t
(10)
El vector normal y la curvatura de la interfaz se puede expresar fácilmente en términos de
φ(~
x, t): ~
n = ∇φ/|∇φ| and κ = ∇ · (∇φ/|∇φ|).
Para que φ(~
x, t) continue siendo la función distancia para todo t, se debe reinicializar en
cada paso de tiempo,
∂φ
+ sgn(φ0 )(|∇φ| − 1) = 0 ,
∂τ
(11)
donde sgn(φ0 ) es
φ0
.
sgn(φ0 ) = q
φ20 + (∆x)2
(12)
Inconvenientes: la reinicialización de la función distancia no garantiza la conservación de la
masa. Típicamente, levelset pierde un 20 % de la masa fluida a lo largo de la simulación.
Introducción a los flujos multifásicos– p.7
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface capturing (volume of fluid):
Numéricamente es inviable trabajar con magnitudes discontínuas en la interfaz, como son la
viscosidad µ, densidad ρ, ...
Para evitar la aparición de oscilaciones espúreas se suaviza la transición entre fases:
ρ = ρf γ + ρg (1 − γ) ,
µ = µf γ + µg (1 − γ) .
Se supone que las fases son miscibles en una región “cercana” a la interfaz (típicamente,
± 3 celdillas computacionales):
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Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface capturing (volume of fluid):
La velocidad másica ~v viene dada por
(13)
~v = [γρf ~vf + (1 − γ)ρg ~vg ]/ρ .
El flujo volumétrico ~
u viene dado por
~
u ≡ γ~vf + (1 − γ)~vg
satisfaciendo
(14)
∇·~
u = 0.
Se considera que existe un movimiento relativo (de deslizamiento) entre las fases dentro de
la interfaz: ~
urγ ≡ ~vf − ~vg es la velocidad relativa de la fase líquida respecto de la fase
gaseosa.
Las ecuaciones de conservación a resolver son (ver Berberović et al., 2009):
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v ) = 0 ,
∂t
∂ρ~v
x∇ρ ,
+ ∇ · (ρ~v~v ) = −∇p + ∇ · τ − σκ∇γ − ~g · ~
∂t
∂γ
+ ∇ · (γ~
u) + ∇ · [γ(1 − γ)~
urγ ] = 0 .
∂t
(15)
(16)
(17)
Introducción a los flujos multifásicos– p.9
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface capturing (volume of fluid):
Ventajas: es conservativo, permite analizar flujos que experimentan cambios topológicos
(formación y coalescencia de burbujas), es fácil de implementar y permite la resolución de
las pequeñas escalas vía refinado octree (Popinet, 2009).
Inconvenientes: en la malloría de las implementaciones se pierde la localización de la
interfaz e introduce corrientes parásitas en flujos dominados por tensión superficial.
Introducción a los flujos multifásicos– p.10
Flujos multifásicos: caso inmiscible
Interface capturing (volume of fluid):
La velocidad de compresión de la interfaz ~vrγ debe actuar a lo largo de la dirección perpendicular
a la interfaz:
~vrγ = Kc
∇γ
.
|∇γ|
(18)
Existen distintas formulaciones para asignar un valor al factor de compresión Kc . Por defecto,
interFOAM adopta la siguiente ley:
Kc = mı́n(Cγ u
~ ·~
nf , máx(~
u·~
nf ))
(19)
donde ~
nf es el vector normal a la cara de la celdilla. La constante Cγ toma valores comprendidos
entre 0 y 2, usualmente 1.
Introducción a los flujos multifásicos– p.11
Flujos multifásicos: caso miscible
Existen dos grandes grupos (ver Ishii & Hibiki, 2006 y Drew & Passman, 1999):
Modelos de mezcla: se emplea cuando el acoplamiento entre las fases es débil y la
concentración de una de las especies es pequeña respecto de la otra. Esto es, cuando
existe poca disparidad de masa entre las especies y, por tanto, la velocidad relativa entre los
distintos componentes es pequeña frente a la velocidad másica de la mezcla. También se
emplea cuando no se satisfacen dichas hipótesis siempre y cuando haya suficiente tiempo
de interacción (Manninen et al., 2006).
Su uso está estandarizado en tanques de sedimentación, separadores, ciclones, etc.
Introducción a los flujos multifásicos– p.12
Flujos multifásicos: caso miscible
(continuación):
Modelos multi-fluídicos: se emplea cuando existe una larga disparidad de masas y no existe
una fase predominante. Por ejemplo, en mezclas binarias de aire y partículas sólidas,
lechos fluidizados, etc.
Constituyen un reto científico. Nótese que existen grandes grupos de trabajo internacionales,
a destacar MFIX y MULTIFLOW (Berend van Wachem Research Group).
Introducción a los flujos multifásicos– p.13
Flujos multifásicos: caso miscible
Modelo de mezcla:
Actualmente disponemos de 1 modelo de mezcla para 2 fases. La descripción teórica del
mismo y de los tutoriales incorporados se encuentra en Brennan (2001).
Las ecuaciones de partida son las de Navier-Stokes para cada especie. Por ejemplo,
continuidad se lee como
∂αf ρf
+ ∇ · (αf ρf h~vf i) = 0 ,
∂t
∂αp ρp
+ ∇ · (αp ρp h~vp i) = 0 ,
∂t
(20)
(21)
¡Y se reescribe de la siguiente forma!
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v ) = 0
∂t
ó ∇ · (h~
ui) = 0 ,
(22)
∂αp
+ ∇ · (αp~v ) + ∇ · (αp (1 − αp )~vr ) = 0 .
∂t
(23)
Interpretamos: ecuación de continuidad de la mezcla + ecuación de trasporte escalar para la
concentración volumétrica de la fase débil.
Introducción a los flujos multifásicos– p.14
Flujos multifásicos: caso miscible
Modelo de mezcla:
Las ecuaciones de partida son las de Navier-Stokes para cada especie. Por ejemplo,
balance de momento se lee como
∂αp ρp h~vp i
+ ∇ · (αp ρp h~vp ih~vp i) = −∇(αp hps i) + ∇ · (αp hτ p i) + αp ρp~g ,
∂t
∂αf ρf h~vf i
+ ∇ · (αf ρf h~vf ih~vf i) = −∇(αf hpi) + ∇ · (αf hτ f i) + αf ρf ~g ,
∂t
(24)
(25)
¡Y se reescribe de la siguiente forma!
∂ρh~v i
x∇ρ ,
+ ∇ · (ρh~v ih~v i) = −∇(αf hpi) − ∇(αp hps i) + ∇ · hτ i − ~g · ~
∂t
~vr = ~vf − ~vp = · · ·
Interpretamos: ecuación de balance de momento cinético de la mezcla + ecuación
constitutiva de movimiento relativo para ~vr , ps y τ .
Hipótesis inheretes: la inercia de la fase p es despreciable.
(26)
(27)
Introducción a los flujos multifásicos– p.15
Flujos multifásicos: caso miscible
Modelo de mezcla:
′
El tensor de esfuerzos generalizado τ contiene: el tensor de esfuerzos viscosos τ , el tensor
de esfuerzos de Reynolds τ
′′
y el tensor de difusión de cantidad de movimiento debido al
movimiento relativo entre fases τ
′′′
.
»
„
–
«
µ
2
v
τ = µl ∇~v + (∇~v )T +
−
(∇ · ~v ) I ,
µl
3
′
τ
′′
τ
′′′
(28)
«
–
»
„
2
µ
v
−
(∇ · ~v ) I ,
= µt ∇~v + (∇~v )T +
µt
3
≡ αp (1 − αp )
(29)
ρf ρp
~vr ~vr .
ρ
(30)
La velocidad de deslizamiento puede incluir efectos difusivos (ley de Fick), velocidad de
fluctuación turbulenta (difusión turbulenta), shear-induced self-diffusion, etc.
El modelo es generalizable a n fases dispersas. Ver, por ejemplo, Liu & García (2007).
Introducción a los flujos multifásicos– p.16
Flujos multifásicos: caso miscible
Modelo multi-fásico:
Actualmente disponemos de 2 modelso multi-físicos para 2 fases:
Modelo para flujos compuestos por fases tipo líquido-gas (bubbleFoam).
Modelos para flujos compuestos por fases tipo sólido-gas (twoPhaseEulerFoam).
La derivación matemática de los mismos es original.
¿Qué hay detrás de los modelos teóricos y de su formulación matemática?
bubbleFoam: descrito en profundidad en Weller (2005) y Rusche (2002).
Alberto Passalacqua ha presentado una descripción detalla tanto del solver numérico
como de su implementación y como de los parámetros que en el intervienen.
twoPhaseEulerFoam: constituye una extensión del anterior, donde se incluyen leyes
reológicas predefinidas para flujos gas-sólido basadas en la teoría cinética
(van Wachem, 2000). Se observa que kineticTheoryModel.C implementa los modelos
descritos en la tesis de van Wachem.
¿Por qué? Muy sencillo, por las leyes de cierre y las ecuaciones constitutivas.
Éstas condicionan la convergencia de los métodos numéricos tipo segregado que son
incorporados en la solución propuesta.
La alternativa son las descritas anteriormente: solvers numéricos específicamente
diseñados para problemas acoplados.
Introducción a los flujos multifásicos– p.17
Flujos multifásicos: esquemas acoplados
La solución propuesta:
Definir una estructura de datos apropiada para lidiar con el acoplamiento de ecuaciones, de
manera análoga a coupledMatrix ⇒ Damos el salto a la versión OpenFOAM-1.5-dev.
Redefinimos la estructura de datos, e.g. blockMatrix (ver Clifford & Jasak, 2009, y
Kissling et al, 2010).
VulaSHAKA: Simultaneous Neutronic, Fuel Performance, Heat And Kinetics Analysis.
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Flujos multifásicos: esquemas acoplados
Referencias:
1. Tukovic, Z. and Jasak, H. (2008) Simulation of free-rising bubble with soluble surfactant using
moving mesh finite volume/area method. 6th International Conference on CFD in Oil & Gas,
Metallurgical and Process Industries.
2. Jasak, H. (2009) Dynamic Mesh Handling in OpenFOAM. AIAA.
3. Menon, S., Rothstein, J. and Schmidt, D. P. (2009) A Numerical Study of Axi-symmetric
Droplet Formation Using A Moving Mesh Approach. 11th Triennial International Annual
Conference on Liquid Atomization and Spray Systems.
4. Berberović, E., van Hinsberg, N. P., Jakirlić, S., Roisman, I. V. and Tropea, C. (2009) Drop
impact onto a liquid layer of finite thickness: Dynamics of the cavity evolution. Physical
Review E 79, 036306.
5. Popinet, S. (2009) An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows.
Journal of Computational Physics, 228(16): 5838-5866.
6. Ishii, M., Hibiki, T. (2006) Thermo-fluid dynamics of two-phase flow. Springer.
7. Drew, D. A. and Passman, S.L. (1999) Theory of Multicomponent Fluids. Springer.
8. Manninen, M., Taivassalo, V., Kallio, S. (1996) On the mixture model for multiphase flow.
Tech. Rep. VTT Publications 288., Centre of Finland.
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Flujos multifásicos: esquemas acoplados
Referencias (continuación):
9. Brennan, D. (2001) The numerical simulation of two-phase flows in settling tanks. Ph.D.
thesis, Imperial College, University of London.
10. Liu, X., Garcia, M. H. (2007). Numerical modeling for the Calumet Water Reclamation Plant
(CWRP) primary settling tank. Tech. rep., University of Illinois.
11. Weller, H. G. (2005). Derivation, modelling and solution of the conditionally averaged
two-phase flow equations. Tech. Rep. TR/HGW/02, Nabla Ltd.
12. Rusche, H. (2002). Computational fluid dynamics of dispersed two-phase flows at high phase
fractions. Ph.D. thesis, Imperial College, University of London.
13. Passalacqua, A (2010) The FOAM Documentation Project, pp 1-1/1-31.
14. van Wachem, B. G. M. (2000). Derivation, implementation, and validation of computer
simulation models for gas-solid fluidized beds. Ph.D. thesis, Delft University of Thechnology.
15. Clifford I and Jasak H. (2009) The application of a multi-physics toolkit to spatial reactor
dynamics. International Conference on Mathematics, Computational Methods & Reactor
Physics.
16. Kissling, K., Springer, J., Jasak, H., Schutz, S., Urban, K. and Piesche, M. (2010) A Coupled
Pressure Based Solution Algorithm. Based on the Volume-Of-Fluid Approach for Two or More
Immiscible Fluids. V European Conference on Computational Fluid Dynamics.
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