El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español

El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 3. Ejercicio 67, página 292.
(a) Trace por separado las grá…cas de
f (x) = 2x4 + 5x3
21x2
45x + 27, N DER (f (x) ; x) y N DER2 (f (x) ; x).
Estime
(i) los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente;
(ii) los extremos relativos de f ;
(iii) donde la grá…ca es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo;
(iv) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f .
(b) Con…rme las estimaciones del inciso (a) analíticamente e incorpore la información en una tabla semejante a la tabla
4 de la sección 3.8. A partir de la información de esta tabla dibuje la grá…ca de f y compárela con la grá…ca de f trazada
en el inciso (a).
Solución:
Tenemos la función
f (x) = 2x4 + 5x3
21x2
45x + 27
Para calcular la derivada numérica N DER (f (x) ; a) recordamos su de…nición:
2.3.1 De…nición de la derivada numérica (página 119)
La derivada numérica de la función f en el número real a, denotada por N DER (f (x) ; a), está de…nida
por
N DER (f (x) ; a) =
f (a +
donde la elección de
x) f (a
x)
2 x
x depende de la aproximación deseada de N DER (f (x) ; a) a f 0 (a).
y también que
Para denotar la segunda derivada numérica de una función f en x se utiliza la notación N DER2 (f (x) ; a);
esto es,
N DER2 (f (x) ; a) = N DER (N DER (f (x) ; x) ; x).
Tenemos entonces
N DER (f (x) ; x) =
f (x +
x) f (x
2 x
x)
,
sustituyendo f y efectuando toda el álgebra encontramos
N DER (f (x) ; a) = 8x3 + 15x2
Poniendo ahora el valor de
42x
45 + (8x + 5) x2
x = 0:001 nos queda
N DER (f (x) ; x) = 8x3 + 15x2
42x
45 + (8x + 5)
10
6
Para la segunda derivada numérica tenemos
N DER2 (f (x) ; x) =
N DER (f (x) ; x +
x) N DER (f (x) ; x
2 x
1
x)
que sustituyendo N DER (f (x) ; x) obtenida arriba y después de reducir todos los términos obtenemos
5249 999
125 000
N DER2 (f (x) ; x) = 24x2 + 30x + 8 x2
Nuevamente poniendo
x = 0:001 llegamos a la expresión
N DER2 (f (x) ; x) = 24x2 + 30x + 8
10
6
5249 999
125 000
Las grá…cas son:
f(x)
1000
800
600
400
200
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
x
NDER(f(x),x) 1000
500
-5
-4
-3
-2
-1
5
x
-500
NDER2(f(x),x)
600
400
200
-5
-4
-3
-2
-1
5
x
(i) los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente;
La función es decreciente en el intervalo ( 1; 3)
La función es creciente en el intervalo ( 3; 0:9)
2
La función es decreciente en el intervalo ( 0:9; 2)
La función es creciente en el intervalo (2; +1)
(ii) los extremos relativos de f ;
La función tiene extremos relativos en -3, -0.9 y en 2.
(iii) donde la grá…ca es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo;
En el intervalo ( 1; 2) es cóncava hacia arriba.
En el intervalo ( 2; 0:8) es cóncava hacia abajo.
En el intervalo (0:8; +1) es cóncava hacia arriba.
(iv) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f .
Hay dos puntos de in‡exión, -2 y 0.8.
(b) Con…rme las estimaciones del inciso (a) analíticamente e incorpore la información en una tabla semejante a la tabla
4 de la sección 3.8. A partir de la información de esta tabla dibuje la grá…ca de f y compárela con la grá…ca de f trazada
en el inciso (a).
Tenemos que
f (x) = 2x4 + 5x3
21x2
45x + 27
Entonces
f 0 (x) = 8x3 + 15x2
42x
45
y
f 00 (x) = 24x2 + 30x
42
(i) los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente;
La función f es creciente en los lugares donde la derivada es positiva; es decir, donde 8x3 +15x2 !
42x 45 > 0. Sacando
!
p
p
9
561
561
9
3
2
x
+
.
las raices de este polinomio podemos escribir 8x + 15x
42x 45 = 8 (x + 3) x
16
16
16
16
Para que esta expresión sea mayor que 0 tenemos las siguientes posibilidades:
p
p
9
561
9
561
1) x + 3 > 0 y x
>0yx
+
>0
16
16
16
16
ó
2) x + 3 > 0 y x
9
16
p
561
<0yx
16
9
+
16
p
561
<0
16
ó
3) x + 3 < 0 y x
9
16
p
561
>0yx
16
9
+
16
p
561
<0
16
ó
4) x + 3 < 0 y x
9
16
p
561
<0yx
16
9
+
16
p
561
>0
16
3
que se reducen a
p
9
561
1) x >
+
= 2: 042 8
16
16
ó
2)
9
3<x<
16
p
561
=
16
0:917 84
ó
3) vacío
ó
4) vacío
En conclusión,
La función es creciente en el intervalo
La función es creciente en el intervalo
p
561
=
16
9
3;
16
9
+
16
!
0:917 84
!
p
561
= 2: 042 8; +1
16
Como la función es continua para todos los números reales, es fácil concluir que la función es decreciente en los lugares
donde no es creciente, así que
La función es decreciente en el intervalo ( 1; 3)
La función es decreciente en el intervalo
p
9
16
561
=
16
9
0:917 84;
+
16
!
561
= 2: 042 8
16
p
Los resultados con…rma, dentro de la precisión permitida por las grá…cas, los resultados obtenidos arriba.
(ii) los extremos relativos de f ;
Los extremos relativos de f son los puntos en los cuales la derivada, f 0 (x) = 8x3 + 15x2
son los puntos que cumplen la ecuación
8x3 + 15x2
que son
42x
9
3,
16
45 = 0
p
561
=
16
9
0:917 84 y
+
16
42x
45 se anula; es decir,
p
561
= 2: 042 8
16
que, dentro de la precisión permitida, coinciden con los ya encontrados.
(iii) donde la grá…ca es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo;
La grá…ca es cóncava hacia arriba donde la segunda derivada, f 00 (x) = 24x2 + 30x
24x2 + 30x
42 > 0.
Para resolver esta desigualdad, determinamos las raices de 24x2 + 30x
escribir
24x2 + 30x
42, es positiva; es decir, cuando
42 = 24 x
1p
5
137 +
8
8
x+
42 que son
1p
5
137 +
. Para que 24x2 + 30x
8
8
4
1p
137
8
5
y
8
1p
137
8
5
, para
8
42 > 0 tenemos dos posibilidades
1) x
1p
5
1p
5
137 + > 0 y x +
137 + > 0
8
8
8
8
ó
2) x
5
1p
5
1p
137 + < 0 y x +
137 + < 0
8
8
8
8
Estas dos posibilidades se escriben como
1) x >
1p
137
8
5
= 0:838 09 y x >
8
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1
1p
137
8
5
= 0:838 09 y x <
8
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1
ó
2) x <
y que se reducen a
1) x >
1p
137
8
5
= 0:838 09
8
ó
2) x <
1p
137
8
5
=
8
Así que 24x2 + 30x
2: 088 1
1p
137
8
42 > 0 en los intervalos
5
= 0:838 09; +1
8
y
1;
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1 .
En conclusión,
En el intervalo
1;
En el intervalo
1p
137
8
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1
5
= 0:838 09; +1
8
es cóncava hacia arriba.
es cóncava hacia arriba.
Nuevamente podemos recurrir a la continuidad de la función f para a…rmar que donde la función no es cóncava hacia
arriba es cóncava hacia abajo, así que
En el intervalo
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1;
1p
137
8
5
= 0:838 09
8
es cóncava hacia abajo.
Los resultados que habíamos encontrado basandonos en las grá…cas fueron
En el intervalo ( 1; 2) es cóncava hacia arriba.
En el intervalo ( 2; 0:8) es cóncava hacia abajo.
En el intervalo (0:8; +1) es cóncava hacia arriba.
y como vemos coinciden hasta el grado de precisión que permiten las grá…cas.
(iv) los puntos de in‡exión de la grá…ca de f .
Recordemos que
3.5.4 De…nición de punto de in‡exión. (página 233).
El punto (c; f (c)) es un punto de in‡exión de la grá…ca de la función f , si la grá…ca tiene una recta tangente
en ese punto, y si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que si x está en I, entonces
(i) f 00 (x) < 0 si x < c y f 00 (x) > 0 si x > c;
o
(ii) f 00 (x) > 0 si x < c y f 00 (x) < 0 si x > c.
5
y que
3.5.5 Teorema (página 235)
Suponga que la función f es diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a c, y (c; f (c)) es un
punto de in‡exión de la grá…ca de f . Entonces, si f 00 (c) existe, f 00 (c) = 0.
así que los posibles puntos de in‡exión son aquellos lugares donde la segunda derivada, f 00 (x) = 24x2 + 30x
anula; es decir, las x que satisfacen la ecuación
24x2 + 30x
que son
42 = 0,
1p
137
8
5
= 0:838 09 y
8
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1.
Debemos veri…car que la segunda derivada cambie de signo en estos puntos. Hacemos las evaluaciones,
f 00 (0:8) =
2: 64 y f 00 (0:9) = 4: 44
y
f 00 ( 2:1) = 0:84 y f 00 ( 2) =
6
así que como en los dos casos cambia de signo, decimos que:
Los puntos de in‡exión son
1p
137
8
5
= 0:838 09 y
8
1p
137
8
5
=
8
2: 088 1.
Habíamos encontrado:
Hay dos puntos de in‡exión, -2 y 0.8.
Nuevamente los resultados coinciden dentro de la precisión permitida.
Construimos la tabla
f (x)
x<
3
x= 3
1p
5
137
= 2:09
3<x<
8
8
1p
5
x=
137
= 2:09
8
8
p
p
1
5
9
561
137
= 2:09 < x <
= 0:92
8
8
16
16
p
9
561
x=
= 0:92
16
16
p
9
561
1p
5
= 0:92 < x <
137
= 0:84
16
16
8
8
1p
5
x=
137
= 0:84
8
8
p
1p
9
5
561
137
= 0:84 < x <
+
= 2:04
8
8
16
16
p
9
561
x=
+
= 2:04
16 p16
9
561
x>
+
= 2:04
16
16
f 0 (x)
+
f 00 (x)
+
0
0
84
+
+
+
21:90
35:27
0
+
+
48:16
0
CONCLUSIÓN
f es decreciente
y cóncava hacia arriba
f tiene un mínimo relativo
f es creciente
y cóncava hacia arriba
f tiene un punto de in‡exión
f es creciente
y cóncava hacia abajo
49:32
f tiene un máximo relativo
f es decreciente
y cóncava hacia abajo
21:53
75:11
y con toda esta información trazamos la grá…ca
6
64:95
0
f tiene un punto de in‡exión
+
f es decreciente
y cóncava hacia arriba
0
119:44
f tiene un mínimo relativo
+
+
f es creciente
y cóncava hacia arriba
42 se
f(x)
1000
800
600
400
200
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
Trazamos también la grá…ca de la función (en rojo), la de su derivada (en azul) y la de su segunda derivada (en verde),
f(x) 1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-100
-200
-300
-400
Esta es quizas la grá…ca más útil, la que permite ver el comportamiento en detalle.
7
3
4
5
x