Marzo 2008

Examen de Doctorado
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
18 de marzo de 2008
(1) Sea G el grupo presentado por generadores < a, b > y relaciones < aba−1 b =
1 >.
(a) (5 pts) Probar que G tiene un subgrupo normal H ' Z tal que G/H '
Z.
(b) (5 pts) Mostrar que G satisface una sucesión exacta de la forma
0 −→ Z ⊕ Z −→ G −→ Z2 −→ 0.
(c) (10 pts) Probar que G es isomorfo a uno y sólo uno de los siguientes
grupos:
Z × Z;
Z × Z2 ;
Z n Z;
Z n Z2 .
(2) Sea G un grupo y f : G −→ G un homomorfismo tal que f n (G) = 1 para
algún n ≥ 1.
(a) (10 pts) Probar que si ker f es finito, entonces G es finito.
(b) (10 pts) Probar que si [G : f (G)] es finito, entonces G es finito.
(3) Sea R un anillo conmutativo con unidad 1 y R[x] el anillo de polinomios
con coeficinetes en R. Sean a ∈ R y f = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn ∈ R[x].
Probar las siguientes afirmaciones.
(a) (5 pts) Si a es nilpotente, entonces 1 + a es una unidad. Deducir que
la suma de un elemento nilpotente y una unidad, es una unidad.
(b) (5 pts) f es una unidad en R[x] si y sólo si a0 es unidad en R y
a1 , . . . , an son nilpotentes. [Ayuda: Si b0 + b1 x + · · · + bm xm es el
inverso de f , probar por inducción en r que ar+l
n bm−r = 0. Deducir
que an es nilpotentes y luego usar (a).]
(c) (5 pts) f es nilpotente si y sólo si a0 , a1 , . . . , an son nilpotentes.
(d) (5 pts) f es divisor de cero si y sólo si existe a 6= 0 en R tal que af = 0.
[Ayuda: Si g = b0 +b1 x+· · ·+b+mxm es grado mı́nimo tal que f g = 0,
entonces an bm = 0 y an g = 0 (pues anula a f y tiene grado menor).
Luego probar por inducción que an−r g = 0 para 0 ≤ r ≤ n.]
(e) (10 pts) f y g son primitivos si y solo si f g es primitivo. [f es primitvo
si (a0 , a1 , . . . , an ) = 1.]
(4) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando.
(a) (10 pts) Si M es un R-módulo tal que todo elemento no nulo es linealmente independiente, entonces M es libre.
(b) (10 pts) Si A es un subespacio de Mn×n (C) tal que toda matriz de A
no nula es invertible, entonces dimA = 1.
(c) (10 pts) Sean R un anillo conmutativo, M un R-módulo y f : M −→ M
un epimorfismo R-módulos. Si M es Noetheriano, entonces f es un
isomorfismo.
(5) (20 pts) Sea R un anillo con identidad y M (M 6= 0) un R-módulo a
izquierda unitario.
(a) Definir base de M .
(b) Probar que son equivalentes:
(i) M tiene una base.
1
2
(ii) M es isomorfo a un suma directa de copias del R-módulo a
izquierda R.
(iii) Existe un conjunto X no vacı́o y una función i : X −→ M con la
siguiente propiedad: dado cualquier R-módulo unitario N y una
función f : X −→ N , existe un único morfismo de R-módulos
g tal que g ◦ i = f . Es decir, M es libre en la categoria de
R-módulos unitarios.
(c) Mostrar que R tiene una base como R-módulo a izquierda, pero no es
libre en la categorı́a de todos los R-módulos.