INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA “EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO DÉCIMO - 2014 PRIMER PERIODO TALLER PEDAGÓGICO TRES: Funciones trigonométricas. PENSAMIENTO MATEMÁTICO: Numérico y sistemas numéricos (Eje temático: Numeración y cálculo) ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. Áreas que integra: Español (análisis de lectura, inferencia, redacción, narración), informática (las TICs) y valores humanos. Docente: Esp. Manuel Quiroga Herrera. RECORDAR Ángulo agudo: Es el ángulo que mide menos de 90 grados y es mayor de cero grados. En un triángulo rectángulo hay dos ángulos agudos. EJ: ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CON ÁNGULOS DE REFERENCIA Los lados de los triángulos rectángulos que se forman con ángulos de referencia, tienen nombres especiales de acuerdo a la posición del ángulo de referencia. Cateto opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto opuesto Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto. Cateto opuesto: Es el lado opuesto al ángulo de referencia. Cateto adyacente: Es el lado contiguo al ángulo recto y la hipotenusa. NOTA: El ángulo recto nunca se toma como ángulo de referencia. Ejercicio: Colocar el nombre de los lados (c.o – c.a e hip) a cada uno de los siguientes triángulos rectángulos teniendo como referencia el ángulo agudo dado. FUNCIONES O RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Los lados de un triángulo rectángulo se relacionan en forma de razón. Las funciones o razones trigonométricas se presentan únicamente en los triángulos rectángulos y se definen a partir de un ángulo de referencia. Las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera: Sen ∞ = Tan ∞ = Sec ∞ = Cateto opuesto hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente Hipotenusa Cateto adyacente Cos ∞ = Cateto adyacente Ctan ∞ = Csec ∞ = Hipotenusa Cateto adyacente Cateto opuesto Hipotenusa Cateto opuesto 1 MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS “MAQUIHE” INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA “EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO DÉCIMO - 2014 ACTIVIDAD UNO (estudiantes) Encontrar en forma rápida y descomplicada el valor de seno, coseno y tangente del ángulo de referencia en los siguientes triángulos rectángulos. NOTA: Como norma general redondearemos en las centésimas (segunda cifra decimal) NOTA: Debemos tener muy presente que para trabajar en la calculadora con ángulos hay que tener en cuenta con qué unidad de medida de ángulos vamos a trabajar. En nuestro caso trabajaremos con la unidad de medida “” VALOR DEL ÁNGULO EN UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Si en una función trigonométrica no conocemos el valor del ángulo, pero conocemos el valor de la función o de los demás elementos, podemos hallar el valor del ángulo. Ejemplo: Hallar el valor (medida en grados) del ángulo de referencia del siguiente triángulo rectángulo. θ 5m 4m 3m Sol: El valor del ángulo de referencia, lo podemos hallar con cualquiera de las tres funciones trigonométricas (se debe obtener el mismo resultado con cualquiera de las tres). sin θ = 3m 5m cos θ = 4m 5m tan θ = 3m 4m Sen θ = 0,6 Cos θ = 0,8 Tan θ = 0,75 θ = Sen-1 0,6 θ = Cos-1 0,8 θ = Tan-1 0,75 θ= θ= θ= 2 MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS “MAQUIHE” INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA “EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO DÉCIMO - 2014 En general, para hallar la amplitud (medida) de un ángulo a partir de una función trigonométrica: Sen θ = x, entonces, θ = sen -1 x Cos θ = x, entonces, θ = cos -1 x Tan θ = x, entonces, θ = tan-1 x ACTIVIDAD DOS (estudiantes) 1. Hallar el valor del ángulo ω en las siguientes funciones trigonométricas: Sen ω = 0,785 cos ω = - 0,3424 tan ω = 2, 58 Sen ω = - 7/12 cos ω = 4/9 tan ω = 12/7 2. Hallar la medida del ángulo de referencia en los siguientes triángulos rectángulos (sin hallar el lado desconocido). 15 m θ 12 cm 12 Dm 17 m 13 cm α β 16 Dm RACIONALIZACIÓN Para racionalizar el denominador de una razón y que este sea un monomio con raíz cuadrada, se multiplica tanto el numerador como el denominador por la raíz, para eliminar la raíz del denominador. ACTIVIDAD TRES (estudiantes) Encontrar en forma rápida y descomplicada el valor de seno, coseno y tangente del ángulo de referencia. No olvide racionalizar cuando sea necesario. MIRAR Y ANALIZAR VIDEO “FUNCIONES TRIGONOMETRICAS” 2. En los siguientes triángulos, encontrar en forma rápida y descomplicada: 3 MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS “MAQUIHE” INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA “EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO DÉCIMO - 2014 a) El valor del lado que no conozca. b) El valor de seno, coseno y tangente del ángulo de referencia. c) La medida del ángulo de referencia. 3. Dados los siguientes triángulos, hallar el valor de los ángulos A y B (sin hallar el lado desconocido) 4. Un individuo cuya altura es de 1,75 m proyecta una sombra de 1,90 m. Calcular las razones trigonométricas (sen, cos, tan) del ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal. C b=1,75 A a c=1,90 B VALORES HUMANOS El entusiasmo es un sentimiento de inspiración fogosa que nos lleva a actuar de manera activa para lograr nuestros objetivos. Es esa adhesión fervorosa que nos llena de energía y de ganas de vivir. 4 MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS “MAQUIHE”