Integral indefinida

Integral indefinida
Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración.
Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones
racionales e irracionales.
es una primitiva de otra función
Definición 1 Se dice que una función
sobre un intervalo
si para todo
Teorema 1 Sean
y
de
se tiene que
dos primitivas de la función
.
en
. Entonces,
para todo de
,
. Es decir dada una función
sus
primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por a una constante
cualquiera).
Definición 2 El conjunto de todas las primitivas de una función
se denomina integral indefinida de
que, si
es una primitiva de
y se denota por
definida en
. De manera
,
(2)
Teorema 2 (Propiedades de la integral indefinida.)
1.
2.
3.
,
Tabla de Integrales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Métodos de integración.
Integración por cambio de variable.
Teorema 3 Sea
la imagen de
primitiva de la función
una función derivable en
y sean
. Supongamos que sobre el conjunto
, o sea,
el dominio y
existe la
Entonces sobre todo el conjunto
además
la función
tiene una primitiva y
Ejemplos:
a) Calcular
. Como la integral no es de la tabla es necesario
convertirla en una de la tabla. Para ello hacemos:
. Como la integral no es de la tabla es necesario
b) Calcular
convertirla en una de la tabla:
Integración por partes. Supongamos que las funciones
un intervalo
sobre
y existe la primitiva de la función
existe la primitiva de
y
son derivables en
en
. Entonces,
y se cumple que
(3)
o en forma diferencial
(4)
Ejemplos:
a) Calcular
. Como la integral no es de la tabla es necesario
convertirla en una de la tabla. Utilicemos la integración por partes:
b) Calcular
. Como la integral no es de la tabla es necesario
convertirla en una de la tabla. Utilizemos la integración por partes:
es de la misma forma que la original así que volveremos a
La integral
aplicar integración por partes:
Juntando las dos fórmulas anteriores concluimos que
de donde, resolviendo la ecuación respecto a obtenemos:
Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes
son:
1. Las integrales donde aparezcan las funciones
,
,
,
, potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que
escoger como función
a alguna de las funciones anteriores (ver ejemplo a).
2. Las integrales
,
y
. Donde para encontrar las primitivas hay que utilizar la
fórmula de integración por partes
veces tomando cada vez
,
, ...., respectivamente.
3. Las integrales de la forma
,
,
y
. Para encontrar las primitivas hay que denotar por a cualquiera
de las integrales anteriores, aplicar dos veces integración por partes y resolver la
ecuación resultante respecto a (ver ejemplo b).
Integración de funciones racionales.
Si
entonces podemos dividir los polinomios
y
de tal forma que
Teorema 4 Supongamos que
es una fracción simple, y que el polinomio
denominador se puede factorizar de la siguiente forma
(5)
donde
son las raíces reales de
, y los factores
no tienen raíces reales. Entonces, la fracción simple
se puede descomponer en las siguientes fracciones elementales simples:
(6)
donde
,
,
,
,
y
son ciertas constantes reales.
Para determinar dichas constantes sumamos los términos de la derecha. Nótese que el
denominador común coincide con (5) y el numerador es un polinomio de grado a lo
sumo . Luego comparamos el polinomio numerador que se obtiene al sumar las
fracciones más simples en (6) con
. Igualando los coeficientes de ambos
obtendremos un sistema de ecuaciones con incógnitas que podemos resolver para
encontar los coeficientes indeterminados
posible encontrar el coeficiente
ceros reales
, o sea, el
,
,
,
,
y
. No obstante es
de los sumandos correspondientes a uno de los
de
utilizando la propiedad que
(7)
Como consecuencia de lo anterior, si
factorización es de la forma
tiene
ceros reales y simples, o sea, si su
(8)
entonces,
se puede descomponer en las fracciones elementales simples:
(9)
donde
,...,
se calculan por la fórmula
(10)
Teorema 5 (Primitivas de las fracciones simples más elementales) 1
(11)
Ejemplos:
a) Calcular
. Primero encontraremos las fracciones simples
mas elementales:
Luego, utilizando (10) obtenemos
Finalmente, utilizando (11) obtenemos
a) Calcular
simples mas elementales:
. Primero encontraremos las fracciones
Para encontrar los coeficientes
numeradores:
igualamos los polinomios de los
Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias ,
,
son iguales, por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de
ecuaciones:
y
También es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado
que toman
valores iguales en
decir, si
para ciertos
para todo
puntos dados son identicamente iguales, es
(distintos entre si), entonces
. En nuestro ejemplo es conveniente tomar como los
los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos
los más sencillos posibles:
que coincide con la encontrada por el método anterior. Luego,
Integrales trigonométricas.
de la forma
En este apartado vamos a estudiar las integrales
las cuales se convierten en integrales
racionales mediante la sustitución trigonométrica
,
que es un integral de una función racional.
Ejemplo. Calcular la integral
.
Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con
cambios más sencillos. Ellas son las siguientes:
1.
, donde
, cambio
2.
, donde
, cambio
3.
, donde
, cambio
Ejemplos.
a) Calcular la integral
. Esta integral es del tipo 1. Luego,
que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución
b) Calcular la integral
. Esta integral es del tipo 2. Luego,
c) Calcular la integral
Integrales irracionales.
la forma
. Esta integral es del tipo 3. Luego,
En este apartado vamos a estudiar las integrales de
,
Las integrales
y
y
.
.
Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonométricas
mediante los cambios:
1.
, cambio
2.
, cambio
3.
, cambio
Ejemplos.
a) Calcular la integral
pero,
. Esta integral es del tipo 1. Luego,
, por tanto
b) Calcular la integral
. Esta integral es del tipo 2. Luego,
pero,
, por tanto
c) Calcular la integral
pero,
Las integrales
se racionalizan mediante el cambio
. Esta integral es del tipo 3. Luego,
, por tanto
. Las integrales del tipo
.
Ejemplo Calcular la integral
cambio
. Esta integral se racionaliza con el
. Luego,
de donde, deshaciendo el cambio
, obtenemos