tarea 1 estado solido

Mariana Eugenia Farías Anguiano 1 de septiembre de 2008 Sistema Gaussiano de Unidades En el sistema mks de unidades, la aparición de los números ∈0 y μ0 en la formulación de las leyes de Coulomb y Biot‐Savart, respectivamente, causa una dificultad aparente. Esta dificultad es que la ley de Coulomb F=
1 q1q2r12
4π ∈0 r123
(1.1) no puede utilizarse para definir el coulomb a menos que se conozca el valor de ∈0 . De la misma forma, no puede usarse para definir ∈0 a menos que se haya definido previamente el coulomb. Un aspecto técnico es que dado que ∈0 se toma como una cantidad experimentalmente determinada, utilizando (1.1) para definir el coulomb resultaría en una unidad que variaría cada vez que se volviera a determinar ∈0 . Entonces, claramente debería usarse (1.1) para definir ∈0 , con el coulomb definido de otra manera. En el caso magnético, no aparece la dificultad correspondiente puesto que se toma μ0 = 4π ×10−7 T⋅ m A por definición. Como resultado, la expresión F μ0 II ′
=
l 2π r
(1.2) para la fuerza por unidad de longitud entre dos alambres paralelos que cargan corriente puede ser usada para definir el ampere: Un ampere es la corriente en reposo que, una vez presente en cada uno de dos conductores largos paralelos separados por una distancia de un metro, resulta en una fuerza por unidad de longitud entre ellos numéricamente igual a 2×10-7 N m . Desde luego, cualquier otra geometría podría usarse y resultaría en una definición de ampere no ambigua e idéntica numéricamente. Habiendo definido el ampere, el coulomb se define como la carga transportada por una corriente en reposo de un ampere fluyendo en un segundo. Esto permite que se use (1.1) para definir ∈0 . Entonces, no existe un problema real, sino sólo uno aparente que sale del hecho de 2
2
como 1 dina cm esu , que agrega la dificultad de concordancia con el experimento en las Página
A veces se piensa que este problema no aparece si se utiliza el sistema gaussiano de unidades cgs. Esto es cierto sólo en el sentido de que el coeficiente en la ley de Coulomb se escoge 1 querer tratar el caso más simple matemáticamente de electrostática antes de discutir la interacción magnética de las corrientes. Mariana Eugenia Farías Anguiano 1 de septiembre de 2008 interacciones magnéticas. Entonces, la velocidad de la luz aparece en la expresión para la fuerza entre dos conductores de corriente. Dado que en el tratamiento usual la cantidad convenientemente definida aparece antes, este problema es menos confuso en el sistema gaussiano que en el sistema mks. El sistema gaussiano es una combinación de dos sistemas anteriores: el sistema electrostático esu, y el sistema electromagnético, emu. El sistema electrostático resulta de escribir la ley de Coulomb de la forma F2 =
q1q2r12
r123
(1.3) Y definiendo la carga de esu como la carga tal que cuando se coloca ésta a un centímetro de una carga idéntica experimenta una fuerza de una dina. Es obvio que la carga de esu es mucho menor que el coulomb, de hecho 1 coulomb = 3 × 109 esu . El sistema electromagnético resulta de escribir la ley de Biot‐Savart, F2 =
dI 2 × ⎡⎣ dI1 × ( r2 - r1 ) ⎤⎦
μ0
I1 I 2 v∫ v∫
3
1 2
4π
r2 - r1
(1.4) sin el factor μ0 4π y definiendo el abampere como la corriente que, cuando pasa a través de un alambre largo, resulta en un fuerza de 1 dina/cm cuando el alambre se coloca a 1 cm de un conductor paralelo con la misma corriente. De μ0 4π = 10−7 y 1 newton = 105 dinas , se encuentra que 1 abampere = 10 ampere . Cualquiera de los dos puntos de partida discutidos anteriormente puede usarse para el desarrollo de un sistema de unidades completo. Sin embargo, históricamente se utilizó esu para problemas de electrostática principalmente, y emu para problemas de electromagnetismo. Siendo este el caso, era natural que se desarrollara un sistema híbrido de esu para cantidades eléctricas y emu para cantidades magnéticas. Este sistema evolucionado se conoce como el sistema gaussiano. El punto principal de contacto entre esu y emu en el sistema gaussiano es la densidad de corriente, donde J emu =
J esu
c
(1.5) En el sistema gaussiano usamos J esu y mostramos explícitamente la velocidad de la luz en las dF2 =
I1 I 2 dI 2 × ( dI1 × r12 )
c2
r123
(1.6) Página
2 ecuaciones magnéticas. Entonces, la ley de Biot‐Savart tiene la forma Mariana Eugenia Farías Anguiano 1 de septiembre de 2008 con I en esu/s. En unidades gaussianas, las ecuaciones de Maxwell son: 1 ∂B
=0
c ∂t
∇ ⋅ D = 4πρ
1 ∂D 4π J
∇×H −
=
c ∂t
c
∇⋅B = 0
∇×E +
(1.7) Los campos se derivan de potenciales escalares y vectoriales por medio de: B = ∇× A
E = −∇φ −
y
1 ∂A
c ∂t
(1.8) Y la fuerza de Lorentz es v
⎛
⎞
F = q⎜E + ×B⎟ c
⎝
⎠
(1.9) D y B se relacionan a E y H por D = E + 4π P
y
B = H + 4π M (1.10) Donde P es el momento dipolar eléctrico ( p = qI ) por unidad de volumen, y M es el momento dipolar magnético ( m = IAn c ) por unidad de volumen. Estas ecuaciones son sustancialmente suficientes para definir el sistema gaussiano de unidades. En adición, la densidad de energía es u=
1
(E ⋅ D + B ⋅ H) 8π
(1.11) c
E× H 4π
(1.12) Y el vector de Poynting es S=
En la tabla 1 se dan las relaciones numéricas de unidades gaussianas y unidades mks. Página
3 Mariana Eugenia Farías Anguiano Cantidad Capacitancia Carga Conductividad Corriente Desplazamiento eléctrico Campo eléctrico Energía Fuerza Inductancia Flujo magnético Inducción magnética Intensidad magnética Potencial Resistencia Símbolo C Q G I D E U F L Φ B H ϕ R 1 de septiembre de 2008 Unidades mks 1
= 1 F = 1 C = 1 (Ω m)‐1 = 1 A = 1 C/m2 = 1 V/m = 1 J = 1 N = 1 H = 1 Wb = 1 T = 1 A/m = 1 V = 1 Ω Unidades gaussianas 9 x 1011 cm (esu/statvolt) 3 x 109 esu 9 x 109 s‐1
3 x 109 esu (= 10‐1 abamp) 12π x 105 dina/esu 1/3 x 10‐4 dina/esu 107 erg 105 dina 1/9 x 10‐11 s2/cm 108 maxwell 104 gauss 4π x 10‐3 oersted (gauss) 1/300 erg/esu (statvolt) 1/9 x 10‐11 s/cm (statvolt s/esu) Algunas ventajas del sistema gaussiano, que explican su uso frecuente en la literatura física, son que el factor 4π ∈0 no aparece en todas las ecuaciones de física atómica, donde el potencial colombiano juego un rol central, y que la velocidad v siempre se expresa en la forma adimensional v c predicha por las transformaciones de Lorentz. En relatividad, es natural que E y B tengan las mismas unidades, ya que sus componentes son simplemente distintos elementos del tensor de campo. No hay razón para que los campos auxiliares D y H tengan otras unidades. Es muy conveniente que en medios materiales la permitividad y susceptibilidad son adimensionales y relacionados por ∈= 1 + 4πχ e Así como las cantidades magnéticas correspondientes, μ = 1 + 4πχ m 4 El factor 3 ( 9 = 3 ) en las conversiones viene de la velocidad de la luz, c ≅ 3 ×10
precisión, usar 2.9979 en lugar de 3. 1
2
8
m s . Para mayor Página
Mariana Eugenia Farías Anguiano 1 de septiembre de 2008 Determinación del número de Avogadro a partir de la estructura de un sólido Muchos sólidos presentan una estructura en extremo ordenada. Esta estructura tridimensional se conoce como red cristalina. La unidad estructural básica de una red cristalina es la celda unitaria. Un sólido cristalino está formado por muchas celdas unitarias que se extienden en todas direcciones. Si se conocen las dimensiones de la celda unitaria (es decir, las medidas de las aristas) y el número de átomos (o iones, en el caso de un compuesto iónico) que hay en cada celda, se puede calcular el número de átomos (o iones) en un mol de una sustancia, es decir, el número de Avogadro. Como ejemplo, considérese la estructura cristalina del hierro. La celda unitaria del hierro tiene una estructura cúbica centrada en el cuerpo. Hay un total de dos átomos de Fe dentro de la celda (uno formado por los ocho vértices y uno central). Con la técnica conocida como difracción de rayos X se determina que la medida de la celda unitaria cúbica centrada en el cuerpo del Fe es de 286.7 pm. Debido a que la densidad del hierro es 7.874 g/cm3 y su masa molar es 55.85 g/mol, se puede calcular el número de Avogadro como sigue. Primero se encuentra el volumen de una celda unitaria. A continuación, a partir de la masa molar del Fe y de su densidad, se determina el volumen de un mol de átomos de Fe (su volumen molar). La relación entre el volumen molar y el volumen de una celda unitaria proporciona el número total de celdas unitarias en un mol de átomos de Fe. Por último, si se conoce el número de átomos de Fe contenidos en una celda unitaria, se puede determinar el número de Avogrado. Los cálculos se muestran a continuación. Paso 1: Se calcula el volumen de la celda unitaria. El volumen de un cubo cuyas aristas miden a , es a 3 . En consecuencia, el volumen de una celda unitaria cúbica centrada en el cuerpo cuyas aristas miden 286.7 pm es ⎛ 1×10−12 m ⎞
volumen de la celda unitaria = ( 286.7 pm ) × ⎜
⎟
⎝ 1 pm ⎠
= 2.357 ×10−29 m3
3
3
⎛ 1×10 cm ⎞
= 2.357 ×10−29 m3 × ⎜
⎟
⎝ 1m ⎠
= 2.357 ×10−23 cm3
2
2
Paso 2: Se calcula el volumen de un mol de átomos de Fe. Volumen molar de Fe =
55.85 g / mol
= 7.093cm3 / mol 3
7.874 g / cm
Página
5 La relación entre la masa molar de Fe y su densidad proporciona el volumen molar de Fe: Mariana Eugenia Farías Anguiano 1 de septiembre de 2008 Paso 3: Se utilizan los resultados de los pasos 1 y 2 para determinar el número de celdas unitarias en un mol de Fe. 7.093cm3 /mol
número de celdas unitarias en un mol de Fe =
2.357×10-23cm3 /celda unitaria = 3.009 ×1023 celdas unitarias/mol
Paso 4: Se calcula el número de átomos de Fe por mol – el número de Avogadro – al multiplicar el resultado del paso 3 (el número de celdas unitarias por mol) por el número de átomos de Fe por celda unitaria (2): 3.009 ×1023 celdas unitarias 2 átomos de Fe
×
1 mol
1 celda unitaria = 6.018 ×1023 átomos de Fe/mol
número de Avogadro =
La pequeña diferencia entre el número calculado y 6.022x1023 es el resultado de redondear el valor de la densidad y de otras constantes. Verificación de los valores de n para distintos elementos De la fórmula para el volumen sobre el número electrónico: V 1 4π rs3
= =
;
N n
3
n=
3
4π rs3
1. K; rs = 1.40 ; n = 0.0140 x 1027/m3 = 1.40 x 1022/cm3 2. Au; rs = 5.90 ; n= 0.0593 x 1027/m3 = 5.90 x 1022/cm3 3. Ba; rs = 1.96 ; n= 0.0317 x 1027/m3 = 3.15 x 1022/cm3 4. Cd; rs = 1.37 ; n= 0.0928 x 1027/m3 = 9.28 x 1022/cm3 5. Tl; rs = 1.31 ; n= 0.1061 x 1027/m3 = 10.61 x 1022/cm3 Bibliografía: R. Reitz, John. Foundations of Electromagnetic Theory. Addison Wesley. 1993, USA. Página
6 Chang, Raymond. Química, Sexta edición. McGraw Hill. 1999, México D.F.