Integral de Riemann. Técnicas de integración

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Bloque: Análisis Matemático
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Tema: Integral de Riemann. Técnicas de
integración
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Índice
Introducción
Introducción
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
Primitiva de
una función
Integrales inmediatas
Integrales
inmediatas
Métodos de integración
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Método de integración por partes
Integración de funciones racionales
Integración de funciones trigonométricas
Integración de funciones irracionales
Bibliografı́a
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Introducción
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
El cálculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el de
área de una región, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otras
aplicaciones.
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Los orı́genes del cálculo de
áreas se pueden encontrar
en el método de exhaución
desarrollado por los griegos
hace más de 2000 años.
Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque riguroso
actual.
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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Primitiva de una función.
Definiciones y propiedades
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Definición
Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la función f
en un conjunto de valores D si:
F 0 (x) = f (x),
∀x ∈ D.
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Si f (x) = 2x, entonces
F (x) = x2 es una primitiva de f (x) en R, porque
F 0 (x) = (x2 )0 = 2x = f (x).
Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f (x) en R, porque
F 0 (x) = (x2 + 7)0 = 2x = f (x).
Se deduce fácilmente que
Observación
Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f (x) en
D, siendo C cualquier número real.
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
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Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Definición
Al conjunto deZtodas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y
se denota por
f (x)dx. De la observación anterior se deduce que si F (x) es
una primitiva de f (x), entonces
Z
f (x)dx = F (x) + C,
∀C ∈ R.
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Propiedades (de la integral indefinida)
Sea f : I ⊂ R → R. Se tiene que
Z
Z
1 Si k ∈ R, entonces
k f (x)dx = k f (x)dx.
Z
2
Z
(f (x) ± g(x)) dx =
Z
f (x)dx ±
g(x)dx.
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Matemático
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Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integrales inmediatas
Integrales inmediatas
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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Definición
Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente de
las reglas de derivación.
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
En la tabla de la página siguiente se muestran algunas integrales
inmediatas.
Algunas integrales inmediatas
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Matemático
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Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
R
k dx = kx ∀k ∈ R
R
n+1
(n 6= −1) xn dx = xn+1
R 1
dx = ln |x|
R xx
e dx = ex
R x
ax
R a dx = ln a
R sen(x) dx = − cos(x)
cos(x) dx = sen(x)
R
1
dx = − cotg(x)
2
R sen1 (x)
dx = tg(x)
2
R cos1 (x)
dx
= arctg(x)
2
R 1+x1
√
dx = arcsen(x)
1−x2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
f (x)n f 0 (x) dx =
0
f (x)n+1
n+1
f (x)
dx
f (x)
f (x) 0
= ln |f (x)|
e
f (x) dx = ef (x)
f (x)
af (x) f 0 (x) dx = aln a
0
sen(f (x))f (x) dx = − cos(f (x))
cos(f (x))f 0 (x) dx = sen(f (x))
f 0 (x)
dx = − cotg(f (x))
sen2 (f (x))
f 0 (x)
cos2 (f (x))
f 0 (x)
1+(f (x))2
f 0 (x)
√
dx = tg(f (x))
dx = arctg f (x)
1−(f (x))2
dx = arcsen f (x)
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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Métodos de integración
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración por sustitución o
cambio de variable
Métodos de integración: sustitución o cambio de variable
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que
sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.
Teorema
Sea x = φ(t) una función
derivable respecto de t (entonces dx = φ0 (t)dt).
Z
Podremos calcular
f (x)dx ası́:
Introducción
Z
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Z
f (x)dx =
f (φ(t))φ0 (t)dt
Encontraremos solución siempre que sepamos calcular la última primitiva de la
igualdad anterior.
Ejemplo
Z
dt
1
1
t = 2x; x = t/2
=
cos(t)
= sen(t)+C = sen(2x)+C
dt = 2dx
2
2
2
Z
Z
t = cosx
ecosx sen(x) dx =
= − et dt = −et +C = −ecos(x) +C
dt = −sen(x) dx
Z
cos(2x)dx =
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración por partes
Métodos de integración: integración por partes
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Integración por partes
Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que
(u(x) · v(x))0 = u(x) · v 0 (x) + u0 (x) · v(x)
se deduce que
HEDIMA
u(x) · v 0 (x) = (u(x) · v(x))0 − u0 (x) · v(x)
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
y por tanto, si se puede integrar respecto de x:
Z
Z
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Z
(
xn ln x dx =
⇒ du(x) =
u(x) = ln x
dv(x) = xn dx
=
xn+1
ln x −
n+1
⇒ v(x) =
Z
1
dx
x
)
n+1
x
n+1
xn
xn+1
dx =
n+1
n+1
=
ln x −
1
n+1
+ C.
Métodos de integración: integración por partes
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Z
dx
u = arctg(x) ⇒ du = 1+x
2
=
dv = dx ⇒ v = x
Z
x
1
dx = x arctg(x) − ln |x2 + 1| + C.
= x arctg(x) −
1 + x2
2
arctg(x)dx =
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración de funciones
racionales
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración de funciones racionales
Son integrales de la forma
Z
Z
f (x)dx =
p(x)
dx,
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios.
Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el método de descomposición
descrito a continuación.
En otro caso, debemos efectuar la división de polinomios:
f (x) =
r(x)
p(x)
= c(x) +
,
q(x)
q(x)
donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y el
polinomio resto de la división.
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Ejemplo
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Calculemos
por tanto:
Z
R
x2
x−1
x2
dx =
x−1
Z
dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x + 1)(x − 1) + 1,
Z 1
(x + 1) +
dx =
x−1
Z
1
(x + 1) dx +
dx = x2 /2 + x + ln(|x − 1| + C)
x−1
Integración de funciones racionales
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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 1. grado(q) = n con todas las raı́ces reales y simples:
q(x) = a0 (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Se realizará una descomposición en fracciones simples como sigue:
p(x)
A1
A2
An
=
+
+ ... +
,
q(x)
a0 (x − x1 )
x − x2
x − xn
Ai ∈ R, i = 1 . . . n.
A continuación se integrarán los sumandos de la descomposición obtenida:
Z
Z
Z
Z
p(x)
A1
A2
An
dx =
dx +
dx + . . . +
dx =
q(x)
a0 (x − x1 )
x − x2
x − xn
=
A1
ln |x − x1 | + A2 ln |x − x2 | + . . . + An ln |x − xn | + C.
a0
Integración de funciones racionales
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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Calcula
R
2x−3
x2 −3x+2
dx
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Ejemplo
Calcula
R
2x−3
x2 −3x+2
dx
Puesto que x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), se tiene que
A1 (x − 2) + A2 (x − 1)
2x − 3
A1
A2
2x − 3
=
+
⇒ 2
=
x2 − 3x + 2
x−1
x−2
x − 3x + 2
(x − 2)(x − 1))
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
2x − 3 = A1 (x − 2) + A2 (x − 1) ⇒
2 = A1 + A2
−3 = −2A1 − A2
⇒
A1 = 1
A2 = 1
Por tanto
Z
2x − 3
dx =
x2 − 3x + 2
Z
1
dx +
x−1
Z
1
dx = ln |x − 1| + ln |x − 2| + C
x−2
Integración de funciones racionales
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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Z
2x − 3
dx =
2x3 − x2 − x
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Ejemplo
Z
2x − 3
Teniendo en cuenta:
dx =
=
3
2
2
2x − x − x = x(x − 1)(2x + 1)
−x −x
Z B
C
A
=
+
+
=
x
x−1
2x + 1
2x3
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
= 3 ln |x| −
1
3
ln |x − 1| −
8
3
ln |2x + 1| + C,
donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:
2x−3
2x3 −x2 −x
=
A
x
+
B
x−1
=
+
C
2x+1
=
A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)
x(x−1)(2x+1)
x2 (2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A
,
2x3 −x2 −x
para lo que se debe cumplir que:

 0 = 2A + 2B + C
2 = −A + B − C
 −3 = −A

 A=3
B = −1
⇒
3

C = −16
3
=
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 2. grado(q) = k con alguna raı́z real de multiplicidad k:
q(x) = a0 (x − x0 )k
HEDIMA
Introducción
Descomposición en fracciones simples:
Primitiva de
una función
p(x)
A1
A2
A3
Ak
=
+
+
+ ... +
.
q(x)
a0 (x − x0 )
(x − x0 )2
(x − x0 )3
(x − x0 )k
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración de los sumandos obtenidos:
Z
p(x)
dx =
q(x)
Z
Z
Z
Z
A1
A2
A3
Ak
dx +
dx
+
dx
+
.
.
.
+
dx
a0 (x − x0 )
(x − x0 )2
(x − x0 )3
(x − x0 )k
=
(x − x0 )−1
(x − x0 )−2
(x − x0 )−k+1
A1
ln |x−x0 |+A2
+A3
+. . .+Ak
+C.
a0
−1
−2
−k + 1
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Calcula
R
3x+5
x3 −x2 −x+1
dx
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Ejemplo
3x+5
dx
x3 −x2 −x+1
3
que x − x2 − x + 1
Calcula
Puesto
R
= (x + 1)(x − 1)2 , se tiene que:
3x+5
x3 −x2 −x+1
HEDIMA
3x+5
x3 −x2 −x+1
Introducción
Primitiva de
una función
A1
x+1
+
A2
(x−1)
+
A3
(x−1)2
⇒
A1 (x−1)2 +A2 (x−1)(x+1)+A3 (x+1)
(x+1)(x−1)2
y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores también son
iguales, los numeradores también lo serán:
Integrales
inmediatas
3x + 5 = A1 (x − 1)2 + A2 (x − 1)(x + 1) + A3 (x + 1)
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
=
=
0 = A1 + A2
A1 = 1/2
3 = −2A1 + A3
⇒ A2 = −1/2
5 = A1 − A2 + A3
A3 = 4
de donde
Por tanto
Z
x3
3x + 5
dx =
− x2 − x + 1
Z
1/2
dx +
x+1
Z
−1/2
dx +
(x − 1)
Z
3
dx =
(x − 1)2
4
1/2 ln |x + 1| − 1/2 ln |x − 1| −
(x − 1)
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
2x − 3
Teniendo en cuenta:
=
dx
=
x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3
x3 − 3x2 + 3x − 1
Z A
B
C
=
+
+
dx =
x−1
(x − 1)2
(x − 1)3
Z 2
−1
1
1/2
0
=
+
+
dx = −2
+
+C
x−1
(x − 1)2
(x − 1)3
(x − 1)
(x − 1)2
Z
donde :
2x−3
x3 −3x2 +3x−1
=
A
x−1
+
B
(x−1)2
+
C
(x−1)3
=
Ax2 +x(−2A+B)+(A−B+C)
(x−1)3
lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.
Observación
Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raı́ces reales y complejas
(simples y/o múltiples). Aquı́ sólo se tratará el caso anterior, y el caso en que
la raı́z compleja es de multiplicidad 1.
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 3. q(x) tiene alguna raı́z compleja simple.
q(x) = k(x − x1 )α1 . . . (x − xp )αp [(x − b1 )2 + c21 ] . . . [(x − bk )2 + c2k ]
HEDIMA
Introducción
con k, xi , aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fracción de
esta forma:
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Z
p(x)
dx =
q(x)
Z 1
Aα
A11
1
+ ··· +
+ ...
x − x1
(x − x1 )α1
α
··· +
siendo Mj , Nj ∈ R
A1p
Ap p
+ ··· +
+
x − xp
(x − xp )αp
M1 x + N1
Mk x + Nk
+
+ ··· +
dx
[(x − b1 )2 + c21 ]
[(x − bk )2 + c2k ]
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
R 1
dx
x3 +1
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Ejemplo
R 1
dx
x3 +1
Puesto que x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), se tiene que:
HEDIMA
1
x3 +1
Introducción
A1
x+1
A2 x+A3
x2 −x+1
=
A1 (x2 −x+1)+(A2 x+A3 )(x+1)
(x+1)(x2 −x+1)
⇒
Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores
0 = A1 + A2
A1 = 1/3
0 = −A1 + A2 + A3 ⇒ A2 = −1/3
1 = A1 + A3
A3 = 2/3
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
+
⇒ 1 = A1 (x2 − x + 1) + (A2 x + A3 )(x + 1)
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
=
Por tanto
R
1
x3 +1
dx
=
=
=
R
1
3
1
3
R
dx + −1/3x+2/3
dx =
R x2 −x+1
dx
ln |x + 1| + −1/3x+2/3
2
xR −x+1
ln |x + 1| − 1/6 x22x−4
dx =
−x+1
1/3
x+1
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Ejemplo (continuación)
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
1
x3 +1
dx =
ln |x + 1| − 1/6
R
2x−1+1−4
x2 −x+1
R
2x−1
x2 −x+1
=
1
3
=
1
3
ln |x + 1| − 1/6
=
1
3
=
dx =
+ 1/6
R
3
x2 −x+1
dx =
ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6
R
3
x2 −x+1
1
3
ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6
R
3
(x−1/2)2 +3/4
=
1
3
ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6
R
3·4/3
4/3[(x−1/2)2 +3/4]
=
1
3
ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6
R
=
1
3
ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) +
1
6
=
1
3
ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) +
√1
3
1
3
ln |x + 1| −
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
R
=
ln |x2 −x+1|
6
+
1
√
3
arctg
4
2x−1
√
3
√
3
2
·
R
R
2
dx =
dx
√
4·2/ 3
2
+1
√
2/ 3
2
dx =
+1
2x−1
√
3
2x−1
√
3
2x−1
√
3
dx =
dx =
dx =
+1
Integración de funciones racionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 3.q(x) tiene alguna raı́z compleja múltiple
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Por ejemplo,
R
2x3 −2x2 +16
x(x2 +4)2
dx
Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el método de
Hermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas de
cocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados en
sucesivos pasos.
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración de funciones
trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Z
Integrales racionales-trigonométricas:
Se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica
x
t = tan( ) , como sigue:
2
)
(
Z
2dt
t = tan( x2 )
dx = 1+t
2
=
f (sen(x), cos(x))dx =
2
2t
sen(x) = 1+t
cos(x) = 1−t
2
1+t2
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Z
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
f (sen(x), cos(x))dx
=
f
2t
1 − t2
,
1 + t2 1 + t2
2
dt,
1 + t2
que es la integral de una función racional.
Ejemplo
Z
(
)
2dt
t = tan( x2 )
dx = 1+t
dx
2
dx =
=
2
2t
sen(x)
sen(x) = 1+t
cos(x) = 1−t
2
2
Z
1+t
1
x =
dt = ln |t| + C = ln tan( ) + C.
t
2
Integración de funciones trigonométricas
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Observaciones
Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar
con cambios más sencillos. Son los siguientes:
Z
1
f (sen(x), cos(x))dx, donde
HEDIMA
f (−sen(x), cos(x)) = −f (sen(x), cos(x)).
Introducción
Cambio t = cos(x) .
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Z
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
f (sen(x), cos(x))dx, donde
2
f (sen(x), −cos(x)) = −f (sen(x), cos(x)).
Cambio t = sen(x) .
Z
3
f (sen(x), cos(x))dx, donde
f (−sen(x), −cos(x)) = f (sen(x), cos(x)).
Cambio t = tan(x) .
Integración de funciones trigonométricas
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Ejemplo
Z
dx
dx =
sen(x)
(
HEDIMA
Introducción
Z
=−
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
dx = √−dt 2
)
1−t
=
cos(x) = t
1 t − 1 1 cos(x) − 1 1
dt
=
+
C
=
+ C.
ln
ln
1 − t2
2 t + 1
2 cos(x) + 1 Ejemplo
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
t = cos(x)
√
sen(x) = 1 − t2
Z
cos3 (x) dx =


 t = sen(x)
dx = √ dt
1−t2




√

cos(x) = 1 − t2 sen(x) = t
Z
3
3
sen (x)
t
= 1 − t2 dt = t −
+ C = sen(x) −
+ C.
3
3


=
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Integración de funciones
irracionales
Integración de funciones irracionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Z
Integrales del tipo
f (x,
p
x2 ± a2 )dx,
Z
f (x,
p
a2 − x2 )dx
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
con a ∈ R, se convierten en integrales trigonométricas mediante los cambios
√
1 f (x,
a2 − x2 )dx: cambio x = a sen(t) .
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
2
f (x,
√
x2 − a2 )dx: cambio x =
3
f (x,
√
x2 + a2 )dx: cambio x = a tan(t) .
a
.
sen(t)
Integración de funciones irracionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Ejemplo
Z p
Z
x = a sen(t)
a2 − x2 dx =
= a2 cos2 (t)dt
dx = a cos(t)dt
que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2 (t) se transforma en
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
a2
Z
cos2 (t) dt =
a2
a2
a2
a2
t+
sen(2t) + C =
t+
2sen(t) cos(t) + C =
2
4
2
4
q
2
2
a
a
t+
2 sen(t) 1 − sen2 (t) + C =
2
4
x
xp 2
a2
arc sen +
a − x2 + C.
2
a
2
Integración de funciones irracionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Ejemplo
Z p
x2 + a2 dx =
Integración de funciones irracionales
Bloque:
Análisis
Matemático
Ejemplo
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Z p
(
HEDIMA
=
Introducción
y = sen(t)
p
cos(t) = 1 − y 2
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
=
x2 + a2 dx =
a2
4
Z Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
x = a tan(t)
dx = cosadt
2 (t)
dt = √ dy
1−y 2
= a2
Z
)
= a2
Z
sen(t) = y
1
dt =
cos3 (t)
1
dt =
(1 − y 2 )2
1
1
1
1
+
+
+
(1 − y)2
(1 − y)
(1 + y)2
(1 + y)
2
y+1 2y
= a4 1−y
+C =
2 + ln y−1 (
=
Deshaciendo los cambios:
y = sen t = √ tan(t)2 = √
1−tan (t)
=
x
2
√
x2 + a2 +
a2
4
)
x
x2 −a2
√
x+ x2 +a2 +C
√
ln x− x2 +a2 =
dt =
Integración de funciones irracionales
Bloque:
Análisis
Matemático
r
Z
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
Integrales del tipo
f
x,
n
ax + b
cx + d
!
dx
Se convierten en integrales racionales mediante el cambio
HEDIMA
r
t=
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
n
ax + b
cx + d
Ejemplo
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Z


Z 2

 Cambio:
√
dx
t dt
3
t= x+1
√
=3
dx =
=
3


1
+t
1+ x+1
2
dx = 3t dt
Z
Z
dt
3
= t(t − 2) + 3 ln(t + 1) + C =
= 3 (t − 1)dt + 3
1+t
2
√
√
3√
3
=
x + 1( 3 x + 1 − 2) + 3 ln( 3 x + 1 + 1) + C
2