Colímites homotópicos de posets

Colímites homotópicos de posets
Ximena Fernández
Trabajo en conjunto con Elías Gabriel Minian
Departamento de Matemática
Universidad de Buenos Aires.
elENA VII
La Falda - 5 de agosto de 2014
Diagramas
Sean J una categoría pequeña, C una categoría.
Diagramas
Sean J una categoría pequeña, C una categoría.
Un diagrama en C indexado en J es un funtor X : J → C .
Diagramas
Sean J una categoría pequeña, C una categoría.
Un diagrama en C indexado en J es un funtor X : J → C .
Categoría J
Diagrama en C indexado en J
l]
$ o
j o]
k
α
Ei
y
(

Xj oo
Xl `
Xk
_
X (α)
G Xi
~
u
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
si existe, es un objeto de C
colim(X ),
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
si existe, es un objeto de C , junto con morsmos
φj : Xj → colimX para todo j ∈ J
colim(X ),
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
si existe, es un objeto de C , junto con morsmos
φj : Xj → colimX para todo j ∈ J , de modo que
colim(X ),
X (α)
Xi
/ Xj
φi
x
&
colim(X )
φj
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
colim(X ), si existe, es un objeto de C , junto con morsmos
φj : Xj → colimX para todo j ∈ J , de modo que
Xi
X (α)
/ Xj
ψj
ψi
"
Z
|
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
colim(X ), si existe, es un objeto de C , junto con morsmos
φj : Xj → colimX para todo j ∈ J , de modo que
X (α)
Xi
/ Xj
φi
x
&
colim(X )
φj
ψj
ψi
#
Z
{
Colímites
Sea X un J -diagrama en C .
colim(X ), si existe, es un objeto de C , junto con morsmos
φj : Xj → colimX para todo j ∈ J , de modo que
X (α)
Xi
/ Xj
x
&
colim(X )
φi
φj
ψj
ψi
∃!F
# {
Z
Colímites de diagramas de espacios topológicos
Sea X : J → S un J -diagrama de espacios topológicos.
Colímites de diagramas de espacios topológicos
Sea X : J → S un J -diagrama de espacios topológicos.
Entonces colimX ∈ S existe y es homeomorfo a
G
j∈J
Xj.
∼
donde para cada α : i → j en J
Xi
x
X (α)
/ Xj
/ X (α)(x)
x ∼ X (α)(x)
Morsmo de diagramas
Sean X , Y : J → C dos J -diagramas en C .
Morsmo de diagramas
Sean X , Y : J → C dos J -diagramas en C .
Un morsmo de diagramas ϕ : X → Y es
Morsmo de diagramas
Sean X , Y : J → C dos J -diagramas en C .
Un morsmo de diagramas ϕ : X → Y es una transformación
natural entre los funtores X e Y .
Morsmo de diagramas
Sean X , Y : J → C dos J -diagramas en C .
Un morsmo de diagramas ϕ : X → Y es una transformación
natural entre los funtores X e Y .
Es decir, una colección de morsmos ϕj : Xj → Yj en C indexada
en J , tal que
jO
Xj
O
α
i
ϕj
X (α)
Xi
ϕi
/ Yj
O
Y (α)
/ Yi
Morsmo de diagramas
Sean X , Y : J → C dos J -diagramas en C .
Un morsmo de diagramas ϕ : X → Y es una transformación
natural entre los funtores X e Y .
Es decir, una colección de morsmos ϕj : Xj → Yj en C indexada
en J , tal que
jO
Xj
O
α
i
ϕj
X (α)
Xi
ϕi
/ Yj
O
Y (α)
/ Yi
Un morsmo de diagramas ϕ : X → Y induce un morsmo
ϕ̂ : colimX → colimY .
Problema
Sean X , Y : J → S dos J -diagramas de espacios topológicos
Problema
Sean X , Y : J → S dos J -diagramas de espacios topológicos y
ϕ : X → Y un morsmo de diagramas.
Problema
Sean X , Y : J → S dos J -diagramas de espacios topológicos y
ϕ : X → Y un morsmo de diagramas.
ϕj : Xj → Yj equivalencia homotópica para todo j ∈ J
Problema
Sean X , Y : J → S dos J -diagramas de espacios topológicos y
ϕ : X → Y un morsmo de diagramas.
ϕj : Xj → Yj equivalencia homotópica para todo j ∈ J
=⇒
6
ϕ̂ : colimX → colimY equivalencia homotópica!!!
Colímites homotópicos
Sean P un poset nito y X : P → S un P -diagrama de espacios
topológicos.
Colímites homotópicos
Sean P un poset nito y X : P → S un P -diagrama de espacios
topológicos. Entonces
hocolimX ≡
G
Xp × K(Fp ).
∼
p∈P
Colímites homotópicos
Sean P un poset nito y X : P → S un P -diagrama de espacios
topológicos. Entonces
hocolimX ≡
G
Xp × K(Fp ).
∼
p∈P
Para cada p ≤ q en P :
fpq
Xp
x
K(Fp ) o
/ fpq (x)
ı
? _ K(Fq )
ı(α) o
(x, i(α))
/ Xq
∼
α
(fpq (x), α)
Teorema de Thomason versión posets (1979)
Dado X : P → P<∞ un P -diagrama de posets nitos.
KX : P → S es un P -diagrama de espacios topológicos,
p 7→ KXj , el espacio clasicante del poset Xj .
Teorema de Thomason versión posets (1979)
Dado X : P → P<∞ un P -diagrama de posets nitos.
KX : P → S es un P -diagrama de espacios topológicos,
p 7→ KXj , el espacio clasicante del poset Xj .
Entonces
hocolimKX ' K(P
donde P
R
Z
X)
X es la construcción de Grothendieck sobre X .
Teorema de Thomason versión posets (1979)
Dado X : P → P<∞ un P -diagrama de posets nitos.
KX : P → S es un P -diagrama de espacios topológicos,
p 7→ KXj , el espacio clasicante del poset Xj .
Entonces
hocolimKX ' K(P
Z
X)
donde P
R
Vale P
X := hocolimX ∈ P<∞ (colímite homotópico
R
X es la construcción de Grothendieck sobre X .
no-Hausdor de X ).
Teorema
Sea K : P → S un P -diagrama de complejos simpliciales nitos.
Teorema
Sea K : P → S un P -diagrama de complejos simpliciales nitos.
X (K ) : P → P<∞ un P -diagrama de posets nitos.
p 7→ X (Kp ) el face poset de Kp .
Entonces,
hocolimK ' K(hocolimX (K ))
Métodos de reducción de colímites homotópicos
X : P → P∞ un P -diagrama de posets nitos.
Métodos de reducción de colímites homotópicos
X : P → P∞ un P -diagrama de posets nitos.
I
Si p ∈ P es tal que K(F̂p ) es contráctil (p es un up γ -point ),
entonces
K(hocolimX ) ' K(hocolimX|Pr{p} ).
Métodos de reducción de colímites homotópicos
X : P → P∞ un P -diagrama de posets nitos.
I
Si p ∈ P es tal que K(F̂p ) es contráctil (p es un up γ -point ),
entonces
K(hocolimX ) ' K(hocolimX|Pr{p} ).
I
Si p ∈ P es tal que K(Ûp ) es contráctil (p es un down
γ -point )
Métodos de reducción de colímites homotópicos
X : P → P∞ un P -diagrama de posets nitos.
I
Si p ∈ P es tal que K(F̂p ) es contráctil (p es un up γ -point ),
entonces
K(hocolimX ) ' K(hocolimX|Pr{p} ).
I
Si p ∈ P es tal que K(Ûp ) es contráctil (p es un down
−1 (U )) es contráctil para todo q ≤ p y para
γ -point ) y K(fqp
x
todo x ∈ Xp , entonces
K(hocolimX ) ' K(hocolimX|Pr{p} ).
Métodos de reducción de colímites homotópicos
Corolario: Sea K : P → S es un P -diagrama de complejos
simpliciales.
Si P se puede llevar a un punto removiendo up o down γ -points y
las funciones fpq : Kp → Kq son contractible mappings (las bras
son contráctiles), entonces
hocolimK ' Kp
para cualquier p ∈ P .
Métodos de reducción de colímites homotópicos
Ejemplo: K : P → S es un P -diagrama de complejos simpliciales y
contractible mappings.
P es un poset γ -reducible.
Entonces hocolimK ' Kp para cualquier p ∈ P .
K
C 9[
6K
C 10[ h
KC 11[
KO 5 d
: K6 e
9 K7 e
9 KO 8
K1
K2
K3
K4