Document

Notación: llamamos u y v a dos funciones, u´ y v´ sus funciones derivadas, k una constante, n un
número entero o racional, y a un número real positivo.
Reglas de derivación
Regla
Ejemplo (en las imágenes)
Comentario
(u + v )′ = u ′ + v ′
(x
Suma de dos funciones
(k ⋅ u )′ = k ⋅ u ′
(5x )′ = 5 ⋅ 2 x
Producto de una función por una constante
(u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
(x ⋅ sen ( x) )′ = 1 ⋅ sen ( x) + x ⋅ cos( x)
Producto de dos funciones
′
⎛ u ⎞ u ′ ⋅ v − u ⋅ v′
⎜ ⎟ =
v2
⎝v⎠
′
⎛ x 2 ⎞ 2 x ⋅ (1 + x ) − x 2 ⋅ 1
⎜
⎟ =
⎜1 + x ⎟
(1 + x )2
⎝
⎠
Cociente de dos funciones
(v(u ) )′ = v ′(u ) ⋅ u ′
(sen( x ))′ = cos( x
Regla de la cadena
)
′
+ x = 2x + x
2
2
2
2
) ⋅ 2x
Tabla básica de funciones derivadas
(más precisamente: derivadas de las imágenes de las principales funciones)
Regla
Casos particulares muy usados
k′ = 0
Derivada de una constante
(x )′ = n ⋅ x
n
(e )′ = e
x
Comentario y demostración
n −1
para n = 1
x′ = 1
Derivada de una potencia. Derivada de la identidad
para n = –1
′
⎛ 1 ⎞ −1
⎜ ⎟ = 2
x
⎝ x⎠
Derivada del inverso (no confundir con f –1 )
para n = 1/2
( x )′ = 2 1 x
Derivada de la raíz cuadrada
x
Derivada de la exponencial (base e)
(L( x) )′ = 1
Derivada del logaritmo neperiano
(sen ( x) )′ = cos( x)
Derivada del seno
(cos( x) )′ = −sen ( x)
Derivada del coseno
x
(tg( x) )′ = 1 + tg 2 ( x) =
1
cos 2 ( x)
Derivada de la tangente
Deducción de otras derivadas elementales
Por aplicación de funciones recíprocas o inversas ( f –1 ):
(arcsen( x) )′ =
(arccos( x))′ =
1
1− x
2
−1
1− x
(arctg( x) )′ =
2
1
1+ x2
Ejemplo de deducción:
u = arcsen( x)
⇒
recíproco
sen (u ) = x
⇒
derivando
cos(u ) ⋅ u ′ = 1 ⇒ u ′ =
1
1 − sen 2 ( x)
=
1
1− x2
Por aplicación del logaritmo neperiano:
(a )′ = a
x
x
(u )′ = u
⋅ L (a )
v
v
⋅ L(u ) ⋅ v ′ + v ⋅ u v −1 ⋅ u ′
Ejemplo de deducción:
u = a x ⇒ L(u ) = x ⋅ L(a )
log
⇒
derivando
u′
= L (a ) ⇒ u ′ = a x ⋅ L (a )
u
Por combinación de ambas aplicaciones:
(log a x )′ =
1
L(a ) ⋅ x
Deducción:
u = log a x
⇒
recíproco
a u = x ⇒ u ⋅ L (a ) = L( x )
log
⇒
derivando
u ′ ⋅ L(a ) =
1
1
⇒ u′ =
x
L (a ) ⋅ x