medir la aceleración de la gravedad con un péndulo

EL MEDIO
NATURAL I.
FÍSICA, QUÍMICA Y
SU DIDÁCTICA
- MEDIR LA ACELERACIÓN DE LA
GRAVEDAD CON UN PÉNDULO-
REALIZADO POR:
NURIA FERNÁNDEZ RIVERA
BEATRIZ FERNÁNDEZ BURGUILLO
GRUPO B – 14
3º B DE EDUCACIÓN PRIMARIA
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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………..2
GALILEO GALILEI……………………………………………………………………………………….3
EL PÉNDULO SIMPLE…………………………………………………………………………………5
FUNDAMENTO TEÓRICO…………………………………………………………………………..7
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA………………………………………………………………….8
TABLA DE VALORES…………………………………………………………………………………..9
CONCLUSIÓN………………………………………………………………………………………….10
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MEDIR LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON UN PÉNDULO
1. INTRODUCCIÓN
El trabajo que se expone a continuación consiste en la determinación de la aceleración
de la gravedad a través de un péndulo simple. Por lo tanto, el objetivo de la práctica es
medir el valor de la intensidad gravitatoria local g midiendo el tiempo que tarda el
péndulo simple en realizar un número de oscilaciones.
Para realizar la práctica hemos necesitado emplear el siguiente material que se
muestra:
-
1 bola de pequeñas dimensiones.
-
Una pinza con gancho.
-
Hilo de nylon.
-
Una varilla soporte.
-
Una base soporte.
-
Cronómetro.
-
Cinta métrica.
El montaje realizado ha consistido en colocar en el borde de una mesa una varilla
soporte como indica la figura. Se suspende del soporte la bola mediante el hilo de
nylon, que debe tener la mayor longitud posible, en este caso la que nosotras hemos
proporcionado ha sido de 54 cm, es decir 0,54m.
A lo largo del trabajo exponemos el desarrollo realizado para llegar a la determinación
de la aceleración de la gravedad, la tabla de valores que hemos dado, las cuestiones
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que nos han surgido, los contenidos a conocer, el fundamento teórico de esta práctica,
etc.
2. GALILEO GALILEI
El péndulo simple es un ente matemático sin representación física posible. No
obstante, una aproximación aceptable consiste en una masa suspendida de un punto
fijo de un hilo inextensible y sin peso, el cual oscila de un lado a otro bajo la influencia
de la gravedad.
El principio del péndulo fue descubierto por el astrónomo y físico italiano Galileo,
quien estableció que el periodo de oscilación de un péndulo de una longitud dada es
independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo
de la posición de equilibrio.
Galileo Galilei (1564 – 1642) era un hombre sabio, curioso y obstinado. Nació en una
familia de siete hijos, con un padre que era un talentoso músico y un hombre de
considerable cultura. A temprana edad, Galileo prometía mucho tanto mental como
manualmente. Tenía diecisiete años cuando ingresó a la Universidad de Pisa, donde se
especializó en medicina y estudió también matemáticas y ciencias físicas.
Una vez cuando todavía estudiaba en Pisa, observó la regularidad con que oscilaba una
lámpara en la catedral. Apenas pudo esperar hasta que volvió a su casa para
experimentar con bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes. Descubrió
que, cualquiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita
necesitaba el mismo tiempo para completar un viaje de ida y vuelta. Sólo el cambio de
la longitud afectaba el tiempo de la oscilación (periodo de vibración). Esta observación
condujo al invento del péndulo, usado en los relojes y otros instrumentos para medir
con precisión el tiempo. Galileo no tenía cronómetro para medir los intervalos del
tiempo y verificar su observación, por lo tanto utilizó como patrón de medida su
propio pulso. Dichas mediciones tuvieron una profunda influencia en los estudios
científicos de la época.
Leyó las obras de Arquímedes y usó las matemáticas para probar algunos de los
experimentos de este último con líquidos y aleaciones. Como estudiante, tuvo una
mente inquisitiva y fama de disputador.
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A los veinticinco años fue nombrado profesor de matemáticas de la Universidad de
Pisa. Como profesor Galileo prosiguió su búsqueda de la verdad, analizando las teorías
científicas de Aristóteles mediante la aplicación de las matemáticas y las observaciones
experimentales.
Creó el concepto de la aceleración que se usa en la física moderna (la aceleración es el
incremento de la velocidad por unidad de tiempo) y el concepto moderno de la fricción
y la inercia con respecto a los objetos en movimiento. Analizó los componentes de la
fuerza que fueron iniciados antes del 1590, además de ser perfeccionados y publicados
en 1638 en su obra Diálogos sobre dos nuevas ciencias.
La obra de Galileo, que inició la comprensión de estas esferas, llevó a la formulación de
las leyes de movimiento de Newton, más precisas, y al perfeccionamiento que de esas
leyes hicieron más tarde otros científicos.
Estableció un taller para fabricar instrumentos como brújulas magnéticas,
termómetros y telescopios. También llegó a ser un experto en la construcción de
fortificaciones militares. A principios del siglo XVII escuchó que un óptico holandés
logró unir una lente cóncava y una lente convexa, de tal manera que hacía que los
objetos distantes parecieran más cercanos. Usando esa idea construyó un telescopio
que ampliaba los objetos treinta veces, y en 1609 dio una demostración pública de su
uso.
Cuando Galileo volvió su telescopio hacia el cielo por la noche, abrió nuevos campos
de conocimiento que describió en su libro Mensajero de las estrellas. Descubrió que la
Vía Láctea consistía en una multitud de estrellas; que el Universo no era fijo ni
inmutable, como creían sus contemporáneos, pues aparecían ante su vista nuevas
estrellas que luego desaparecían; que los planetas Venus y Mercurio se movían
también alrededor del Sol y que éste giraba sobre su eje.
En 1632 publicó otro libro, Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo,
donde demostraba por medio del diálogo las fallas del sistema geocéntrico en
comparación con el sistema heliocéntrico copernicano.
Su último libro, Diálogo de dos nuevas ciencias, en la que resumía todas sus
investigaciones sobre el movimiento y la mecánica, lo envió a Holanda, donde fue
publicado en 1638.
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Lamentablemente, Galileo no lo vio impreso jamás porque, en 1638, a la edad de
setenta y cuatro años, quedó ciego. Cuando murió en 1642, venerado por los
ciudadanos y muchos hombres principales de la Iglesia y de los seglares, la Inquisición
se negó a permitir la realización de un funeral público.
3. EL PÉNDULO SIMPLE
En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda la
masa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto
sólo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se aproxima
bastante al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no está limitado a
oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho más complejo.
Galileo, estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada
puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima
que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. Galileo indicó las posibles
aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin
embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía
con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la
latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una
montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la
aceleración local de la gravedad.
Debido a su acercamiento matemático al movimiento, Galileo estaba intrigado por el
movimiento hacia atrás y delante de un cuerpo pesado suspendido.
El descubrimiento de Galileo tenía importantes aplicaciones para la medida de
intervalos de tiempo. En 1602 explicó el isocronismo de péndulos largos en una carta a
un amigo, y un año después a otro amigo, Santorio, un físico de Venecia, que comenzó
a usar un péndulo corto, al que llamó “pulsilogium”, para medir el pulso de sus
pacientes. El estudio del péndulo, el primer oscilador armónico, data de este periodo.
Un péndulo podría usarse para medir pulsos o actuar como un metrónomo para
estudiantes de música: sus balanceos medían intervalos de tiempo iguales.
El reloj mecánico, que usaba un cuerpo pesado para proporcionar el movimiento,
comenzó a desplazar al reloj de agua en la Edad Media. Por sucesivas mejoras, el
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sistema se había hecho más pequeño y más fiable. Pero la precisión de los mejores
relojes era todavía demasiado mala para, por ejemplo, tener utilidad en astronomía.
No solo se adelantaban o retrasaban, sino que además lo hacían de una forma
irregular e impredecible.
Para sintetizar lo anterior, recibe el nombre de péndulo simple el sistema formado por
una pequeña bola colgada de un hilo inextensible y que se mueve sin rozamiento. Si el
hilo es relativamente largo, de un metro por ejemplo, para que el ángulo θ
correspondiente a pequeñas amplitudes sea muy pequeño, el movimiento pendular es
armónico simple.
El péndulo inicialmente está en reposo en O, porque en dicha posición el peso de la
bola y la tensión del hilo se equilibran. En cambio, en la posición donde hay una
amplitud se rompe el equilibrio. Descomponiendo el peso, obtenemos dos
componentes: Fn en la dirección del hilo que es anulada por la tensión T de éste, y otra
Ft perpendicular al hilo, que, al no estar equilibrada, es la causante del movimiento.
Por ello, se deduce el valor de Ft:
Ft = - m g sen θ
El signo (-) indica que esta fuerza tiende a llevar el péndulo a la posición de equilibrio.
Es pues, la fuerza recuperadora.
Para ángulos muy pequeños (menores de 14˚ ≈ 0,245 radianes) se puede aplicar la
siguiente aproximación:
θ≈ sen θ
con lo que se puede sustituir el seno por el ángulo en radianes (arco partido por el
radio θ = x/ℓ). El error relativo cometido con la aproximación anterior es menor del
1%.
Teniendo en cuenta esta equivalencia, la expresión de la fuerza recuperadora será:
Ft = - m g θ = - m g x / ℓ = - k x
Que de acuerdo con la ley de Newton producirá una aceleración, lo que demuestra
que el movimiento pendular es armónico.
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4. FUNDAMENTO TEÓRICO
Un péndulo simple consiste en una pequeña masa suspendida de un hilo inextensible
de longitud ℓ y de masa despreciable. Una de las características del movimiento del
péndulo es su periodo T de oscilación, que depende de la gravedad según la fórmula:
Por tanto conociendo T se puede calcular g. Es importante reseñar que solo es válida
en el caso de que las oscilaciones sean de pequeña amplitud, en cuyo caso el péndulo
describe un movimiento armónico simple.
En el movimiento pendular, x es el arco correspondiente al ángulo θ y representa la
elongación o desplazamiento que en un momento dado ha experimentado el péndulo.
La constante recuperadora tiene la misma expresión matemática que la constante
elástica de un resorte k = mg/ℓ, pero las letras tienen significados distintos:

En un resorte, m es la masa que produce un alargamiento ℓ del resorte.

En el péndulo, m es la masa que oscila colgada de un hilo de longitud ℓ.
En el péndulo, el periodo de oscilación no depende de la masa que oscila ni de la
amplitud. Es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo y es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad del lugar donde está
oscilando el péndulo.
siendo k = mg/ ℓ ;
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5. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Para el desarrollo de la práctica y obtener un valor más aproximado de la aceleración
de la gravedad hemos seguido los siguientes pasos:

Una vez colgada la bola se separa de su posición de equilibrio para que empiece
a oscilar y, cuando las oscilaciones se vayan haciendo pequeñas, se mide con el
cronómetro el tiempo en realizar tantas oscilaciones como se crean oportunas,
nosotras hemos escogido 15.

Dividiendo el tiempo que marque el cronómetro por el número de oscilaciones
se obtiene el periodo de oscilación.

Se repite la experiencia 5 veces y los valores obtenidos se escriben en una tabla
de valores que hemos realizado.

Se toma como periodo más exacto la medida aritmética de los cinco valores
obtenidos.

De la fórmula del péndulo, que hemos mencionado anteriormente, se obtiene
el valor de g.
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6. TABLA DE VALORES
EXPERIENCIA
Nº OSCILACIONES
TIEMPO
PERIODO
1ª
15
t1 = 21,9
T1 = t1 / 15 = 1,46
2ª
15
t2 = 21,9
T2 = t2 / 15 = 1,46
3ª
15
t3 = 21,7
T3 = t3 / 15 = 1,44
4ª
15
t4 = 22,2
T4 = t4 / 15 = 1,48
5ª
15
t5 = 22
T5 = t5 / 15 = 1,46
Valor de T: T = (T1 + T2 + T3 + T4 + T5)/5 = 1,46
Sustituyendo estos valores en la fórmula del péndulo, obtenemos lo siguiente:
Para T = 1,46 y ℓ = 0,54
1,46 = 2π√0,54/𝑔 ; elevando al cuadrado ambas igualdades para eliminar la raíz
obtenemos:
2,1316 = 4 π2 · 0,54/g ; despejando g obtenemos:
g = 4π2 · 0,54 / 2,1316 = 9,9909626… aproximadamente g tiene un valor de 10 m/s2
La fuerza de gravedad o peso es la fuerza con la cual el planeta Tierra atrae a los
cuerpos cercanos hacia ella. No habiendo resistencia del aire, se encuentra que todos
los cuerpos caen con la misma aceleración y, si la distancia recorrida no es demasiado
grande, la aceleración es constante en toda la caída. La aceleración de un cuerpo que
cae libremente se llama aceleración debido a la gravedad g.
Hemos observado que si repetimos la experiencia con otra bola de masa distinta,
obtendríamos los mismos resultados. Sin embargo, si utilizamos un hilo más corto o
bien, más largo, varía el periodo debido a que lo único que depende el periodo de
oscilación es de la longitud del hilo, pero el resultado de la gravedad obtenido con
anterioridad es el mismo o aproximado.
Además añadir que las mediciones tomadas poseen un error de 1 ó 2 décimos de
segundo, que es el tiempo de reacción normal de una persona.
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La determinación de periodos lo hemos hecho para 6 longitudes, variando cada vez 5
cm de la longitud del péndulo inicial. Para hallar el valor de g hemos empleado el
primer valor dado de 0,54m como hemos anotado con anterioridad. Hemos empleado
amplitudes menos de 10˚, aunque como sabemos por Galileo Galilei, el período es
independiente de la amplitud, al menos para ángulos pequeños, ya que para
amplitudes de movimiento menores a 10˚ el movimiento es armónico simple.
7. CONCLUSIÓN
El objetivo principal de este trabajo fue medir el valor de la aceleración de la gravedad
local mediante la medición del periodo con el que oscila un péndulo. Para ello se mide
el tiempo que tarda el péndulo simple en realizar un número de oscilaciones. El valor
del periodo se calcula a partir del valor medio de las medidas de los tiempos para
longitudes distintas de un hilo del que cuelga una masa. Con estas medidas se estudia
la relación entre el periodo del péndulo y la longitud del hilo.
Con la realización de dicho trabajo hemos adquirido práctica en la determinación de
longitudes y de intervalos de tiempo. Nos ha parecido un experimento sencillo, muy
entretenido y muy interesante. Nos gustaría incluso realizar más experimentos
prácticos en el aula de laboratorio.
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