PROGRAMACION LINEALasicos ejemplos

PROGRAMACION LINEAL
Raciones de Mínimo Costo
La programación lineal es el estudio de modelos matemáticos concernientes a la
asignación eficiente de los recursos limitados en las actividades conocidas, con el
objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o
minimizar costos). El propósito de la programación lineal es el de MAXIMIZAR o
MINIMIZAR funciones lineales de la forma :
f(X) = C1X1 + C2X2 + C3X3 +. .... ....+ CnXn
Sujeta a un sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales.
a11X1 + a12X2 + a13X3 a1nXn <= b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 a2nXn <= b2
...
...
...
...
am1X1 + am2X2 + am3X3 + amnXn <= bn
En donde las variables Xi (i = 1,2,3 n) son no negativas.
EJEMPLO 1
Para aplicar la programación lineal en la elaboración de las raciones para vacas
lecheras, partimos de una ración hipotética en la cual intervienen los siguientes
datos:
- Dos alimentos : un Concentrado (X1) y un Forraje (X2)
- Tres nutrientes :
Proteína Cruda PC
Energía Neta de lactancia ENI
Fibra Cruda FC
- El precio por Kilogramo de cada uno de los alimentos
- Necesidades nutritivas de las vacas lecheras.
ALIMENTOS
VARIABLES
PC
ENl
FC
PRECIO
( gr )
( Mcal )
( gr )
($)
concentrado
X1
120
2.0
100
100
forraje
X2
200
1.3
280
50
NECESIDADES
PC ( gr )
Enl ( Mcal )
MAXIMO
MINIMO
FC ( gr )
2000
1500
16.5
1300
Nuestro propósito es el de optimizar una ración de Mínimo Costo, aplicando la
programación lineal por el método gráfico. El modelo de programación lineal es el
siguiente:
(1) MIN 110 X1 + 50 X2
SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES
(2) 120 X1 + 200 X2 >= 1500
(3) 2.0 X1 + 1.3 X2 >= 16.5
(4) 100 X1 + 280 X2 <= 2000
(5) 100 X1 + 280 X2 >= 1300
La ecuación (1) corresponde a la FUNCION OBJETIVO, que se trata de Minimizar,
la restricción (2) es de la Proteina Cruda PC, que como mínimo debe tener 1500
gramos, la restricción (3) es de la Energía Neta de lactancia ENI, que como
mínimo debe tener 16.5 Mcal., la restricción (4) es de la Fibra Cruda, FCmax que
como máximo debe tener 2000 gramos, la restricción (5) es también de la Fibra
Cruda FCmin, pero en este caso debe tener un mínimo de 1300 gramos.
Se va a determinar por graficación, cuantos Kilogramos de Concentrado (X1) y
cuantos Kilogramos de Forraje (X2) se calcularan para que la ración sea al mínimo
costo posible y cubra los requerimientos nutritivos.
Para pensar en una interpretación geométrica de nuestro problema, se
transforman las inecuaciones 2, 3, 4 y 5 como ecuaciones :
120 X1 + 200 X2 = 1500
2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5
100 X1 + 280 X2 = 2000
100 X1 + 280 X2 = 1300
Se trazan las gráficas de dichas ecuaciones, que no son otra cosa que líneas
rectas, en los ejes cartesianos, tomando coma eje de las Xs el Concentrado (X1) y
en el eje de las Ys el Forraje (X2).
En el área factible de solución (rayada) tenemos dos vértices, el Punto A, donde
se intersectan las líneas de FCmax con ENI y el Punto B donde se intersectan las
líneas de ENl con PC; encontrando las coordenadas de estos puntos :
PUNTO A
FCmax
100 X1 + 280 X2 = 2000
Enl
2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5
Donde :
X1 = 4.7
X2 = 5.47
PUNTO B
ENl
2.0 X1 + 1.3 X2 = 16. 5
PC
120 X1 + 200 X2 = 1500
Donde :
X1 = 5.53
X2 = 4.18
Sustituyendo los valores de estos puntos en la ecuación del COSTO.
110 X1 + 50 X2
Para el Punto A (4.7 , 5.47)
110(4.7) + 50(5.47) = 790.5
Que son los valores para el MINIMO COSTO.
Para el Punto B (5.53 , 4.18)
110(5.53) + 50(4.18) = 817.62
La ecuación FCmin 100X1 + 280 X2 = 1300
está fuera del área factible de solución, por lo tanto, no participa en la solución del
problema de optimización.
LA SOLUCION ES :
CONCENTRADO
(X1) = 4.70 Kg.
FORRAJE
(X2) = 5.47 Kg.
MINIMO COSTO = $ 790.50
APORTE DE NUTRIENTES POR LA RACION :
Proteina Cruda PC 120(4.7) + 200(5.47) = 1658 gr., que es poco más del mínimo
impuesta por la restricción de 1500 gr.
Energía Neta de lactancia ENI 2.0(4.7) + 1.3(5.47) = 16.5 Mcal., que es el mínimo
requerido e impuesto por la restricción.
Fibra Cruda FC 100(4.7) + 280(5.47) = 2000 gr., que es limite máximo requerido e
impuesto por la restricción 1300 - 2000 gr.
Maximización de Raciones
EJEMPLO 2
Calculemos ahora una ración MAXIMIZADA con los siguientes datos, Agregando
una nueva restricción ; COSTO :
ALIMENTOS
VARIABLES
PC
ENl
FC
PRECIO
( gr )
( Mcal )
( gr )
($)
concentrado
X1
120
2.0
100
100
forraje
X2
200
1.3
280
50
NECESIDADES
Enl ( Mcal )
MAXIMO
MINIMO
14.5
FC ( gr )
COSTO ( $ )
2000
850
1300
Optimizar una ración de MAXIMA PROTEINA CRUDA, agregando como
restricción, que la ración no cueste más de $ 850.00.
El modelo de programación lineal es el siguiente:
(1) MAX 120 X1 + 200 X2
SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES
(2) 2.0 X1 + 1.3 X2 >= 14.5
(3) 100 X1 + 280 X2 <= 2000
(4) 100 X1 + 280 X2 >= 1300
(5) 110 X1 + 50 X2 <= 850
La ecuación (1) es la FUNCION OBJETIVO, que en este caso será para Máxima
Proteína Cruda PC, la inecuacíón (2) es la restricción para la Energía Neta de
lactancia ENl, siendo mínimo de 14.5 Mcal., la inecuación (3) es la restricción para
la Fibra Cruda FCmax, que es de máximo de 2000 gr., la inecuación (4) es la
restricción también para la Fibra Cruda FCmin, pero para un mínimo de 1300 gr.,
la inecuación (5) es la restricción del COSTO de la ración, que deberá costar un
máximo de $ 850.00.
Trazando las ecuaciones lineales en los ejes cartesianos, tendremos :
En el área factible de solución (rayada) también tenemos dos vértices, el Punto A,
donde se intersectan las líneas de FCmax con COSTO y el Punto B, donde se
intersectan las líneas de ENI con FCmin.
Encontrando las coordenadas de estos puntos :
PUNTO A
FCmax
100 X1 + 280 X2 = 2000
COSTO
110 X1 + 50 X2 = 850
Donde :
X1 = 5.35
X2 = 5.23
Sustituyendo en la ecuación de Máxima Proteína Cruda
120(5.35) + 200(5.23) = 1688 gr.
PUNTO B
ENI
2 .0 X1 + 1.3 X2 = 14.5
FCmin
100 X1 + 280 X2 = 1300
Donde:
X1 = 5.51
X2 = 2.67
Sustituyendo en la ecuación de Máxima Proteína Cruda :
120(5.51) + 200(2.67) = 1423 gr
Vemos que en el Punto A(5.35 , 5.23) es donde se cumple la función objetivo para
máxima proteína cruda, que es a la vez el punto más alejado del origen.
LA SOLUCION :
CONCENTRADO
FORRAJE
(X1) = 5.35 Kg.
(X2) = 5.23 Kg.
MAXIMA PROTEINA CRUDA = 1688 gr.
APORTE DE NUTRIENTES POR LA RACION :
ENI 2(5.35) + 1.3(5.23) = 17.5 Mcal., que está arriba del limite mínimo de 14.5
Mcal. que impone como restricción.
FC 100(5.35) + 280(5.23) = 1999 gr., que se encuentra entre el rango de 1300 a
2000 grs. impuestos por las restricciones.
COSTO 110(5.35) + 50(5.23) = $ 850.00, costo que se encuentra al limite máximo
impuesto por la restricción.
El método gráfico de solución de problemas de programación lineal, es práctico
sólo para dos variables X1 y X2, más de dos variables se complica demasiado,
pues se forma un poliedro dificil de interpretar; El Método Gráfico lo ilustramos
sólo por cuestiones didácticas.
La manera más eficiente de resolver el problema de programación lineal es
mediante el método Simplex, en el cual están basadas la mayoría de los códigos
para computadora.
ESTRATEGIA DE ALIMENTACION
Ración para Vaca lechera
Resolver una ración optimizada por programación lineal para una Vaca Lechera
con un pesa vivo de 650 Kg. produciendo 30 Kg. de leche por día, con un
contenido de grasa de 4 %; por lo tanto producirá 9155 Kg. leche por lactancia.
La curva de lactancia tendrá los siguientes valores de producción mensual de
leche por día, para una granja de 80 vacas, de las cuales 70 vacas están en
producción lactea y 10 vacas se encuentran secas :
PERIODO DE LACTANCIA
MES DE
LACTANCIA
LECHE POR
VACA
LECHE POR
VACA
MEDIA POR
LOTE
VACAS
PRODUCCION PRODUCCION
LACTEA
LACTEA
(Kg/día)
(Kg/lactancia)
(Kg/día)
(cabezas)
(Kg/día)
(Kg/mes)
1er
36
7
252
7656
2º
41
7
287
8753.5
3º
37
7
259
7899.5
4º
35
6
210
6405
5º
32
8
256
7808
6º
30
9
270
8235
7º
27
6
162
4941
8º
24
6
144
4392
9º
21
6
126
3843
10º
18
8
144
4392
70
2110
64355
TOTAL
4525
2721
1909
37
30
21
9155
PERIODO DE SECA
MES DE SECA
VACAS ( cabezas )
1er
5
2o
5
TOTAL
10
Se puede elegir dos estrategias de alimentación :
1a. ESTRATEGIA .- Determinar una ración por cada mes de lactancia; por lo que
calcularemos 10 raciones por programación lineal.
2a. ESTRATEGIA .- Lotes de vacas por producción lactea:
1er. Lote del 1er al 4o. mes de lactancia :
Producción lactea total de 4525 Kg. y Media/día de 37 Kg. 1 ración
para producción lactea de 37 Kg. leche y peso vivo de 650 Kg.
2o. Lote del 4o. al 7o. mes de lactancia:
Producción lactea total de 2721 Kg. y Media/día de 30 Kg. 1 ración
para producción lactea de 30 Kg. leche y peso vivo de 650 Kg.
3er. Lote del 7o. al 10o. mes de lactancia:
Producción lactea total de 1909 Kg. y Media/día de 21 Kg. 1 ración
para producción lactea de 21 Kg. leche y peso vivo de 650 Kg.