potencias de base 10

CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO
industrial y de servicios No. 212
Curso introductorio de Matemáticas
Dirigido a alumnos de Nuevo Ingreso.
Agosto 2015.
Tetla, Tlax.
Nombre del alumno:_____________________________ Grupo:________
Curso Introductorio Verano 20151
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Operaciones combinadas con números naturales.
OPERACIONES COMBINADAS SIN PARÉNTESIS.
SUMAS Y RESTAS SIN PARÉNTESIS
En una expresión numérica formada por sumas y restas sin paréntesis, se realizan
las operaciones de izquierda a derecha en el orden en que aparecen.
1. Ejemplo: 320 + 460 - 235 - 418 + 526=
=780 - 235 - 418 + 526=
=545 - 418 + 526=
=127 + 526 = 653
Calcula.
• 425 + 256 - 315 - 242 + 643 – 148=
• 2.158 - 456 - 328 + 1.560 - 576 – 218=
• 4.128 + 576 - 1.280 + 2.100 - 3.150 + 4.185=
Curso Introductorio Verano 20152
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES
SIN PARÉNTESIS
En una expresión numérica formada por sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones sin paréntesis, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones;
después se realizan las sumas y las restas.
Ejemplo 1:
125 + 12 x 4 – 98=
= 125 + 48 – 98=
= 173 - 98 = 75
Ejemplo 2:
215 + 24 - 96 + 13 x 4=
=239 - 96 + 52=
=143 + 52=
=195
Calcula.
420 x 2 + 526 + 120 x 3=
315 −
42
36
+ 14 −
=
3
12
125
− 17 + 12 + 13 × 6 =
5
256 − 14 × 7 + 318 −
130
5
=
Curso Introductorio Verano 20153
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS
En la expresión con paréntesis, primero se realizan las operaciones que hay
dentro del paréntesis.
Ejemplo: (370 + 253 - 436) - (25 + 146) + 100=
=187 - 171 + 100=
=16 + 100 = 116
Calcula.
• (425 + 726 - 215) - (125 + 16 - 31) + 412=
• (1.282 - 144) - (41 + 12 x 3) - (52 + 14 x 2)=
• (2.584 - 216 + 114) – (125 - 18 +
45
3
) + 16=
Curso Introductorio Verano 20154
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
OPERACIONES COMBINADAS CON CORCHETES
En las expresión con corchetes [ ] , primero se realizan las operaciones que hay
dentro del paréntesis; después se realizan las operaciones que hay dentro del
corchete.
Ejemplo:
[ (370 + 253 - 436) x 45 ] : 45=
=[ 187 x 45 ] : 45=
=8.415 : 45 = 187
Calcula.
• [(425 + 680 - 142 ) x 12 ] : 107=
• [(286 + 729 - 215 ) x 45 ] : 120=
• [(549 + 286) x 15] - [ (925 + 275) : 150]=
Curso Introductorio Verano 20155
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Potencias. Operaciones
POTENCIAS
• Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El
factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama
exponente.
Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 = 64
• Casos particulares de potencias:
Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 21 = 2;
31 = 3.
Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1; 50 = 1.
1. Completa el cuadro.
Potencia
32
43
54
Base
Exponente
65
87
910
1011
1520
2. Escribe en forma de potencia los siguientes productos.
8x8x8=
8x8x7x7x7=
7x7x7x7=
5x5x5x6x6=
9x9x9x9x9=
7x7x9x9x9=
15 x 15 x 15 x 15 x 15 =
10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =
3. Halla el valor de las siguientes potencias.
71 =
22 x 33 =
80 =
23 x 32 =
92 =
42 x 52 =
83 =
42 x 52 x 30 =
110 =
53 x 22 x 33 =
251 =
62 x 33 x 70 =
Curso Introductorio Verano 20156
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
POTENCIAS DE BASE 10
• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades indica el exponente.
Ejemplos:
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1.000
105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000
• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más
cómoda utilizando potencias de base 10.
Ejemplos:
120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107
200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108
1. Calcula.
104 =
109 =
106 =
1010 =
107 =
1011 =
108 =
1012 =
2. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.
3.000 =
130.000.000 =
40.000 =
200.000.000 =
600.000 =
320.000.000 =
7.000.000 =
1.000.000.000 =
80.000.000 =
2.000.000.000 =
3. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de
algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando
potencias de base 10.
Tierra
Distancia
media
al Sol (km)
Potencias de
base 10
149.500.000
Urano
Neptuno
Plutón
2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000
Curso Introductorio Verano 20157
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma
base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplos:
23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29
43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411
Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos.
Después, calcula su valor.
22 x 22 = 24 = 16
22 x 2 x 23 =
22 x 23 =
3 x 32 x 3 =
23 x 2 =
42 x 42 x 4 =
24 x 2 =
5 x 5 x 52 =
32 x 32 =
62 x 62 x 6 =
33 x 3 =
72 x 7 x 7 =
32 x 33 =
82 x 8 x 83 =
33 x 33 =
92 x93 x 9 =
34 x 3 =
9 x 92 x 90 =
43 x 40 =
10 x 100 x 102 =
Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
26 x 2 = 28
145 x 146 x 14
23 x 2 = 27
157 x 152 x 15 = 1513
64 x 6 = 610
238 x 239 x 23 = 2320
73 x 7 = 711
357 x 356 x 35 = 3524
84 x 8 = 812
429 x 425 x 42 = 4219
95 x 9 = 913
537 x 534 x 53 = 5322
108 x 10 = 1014
615 x 612 x 61 = 6119
119 x 11 = 1115
756 x 752 x 75 = 7520
123 x 124 x 12 = 1210
817 x 812 x 81 = 8115
Curso Introductorio Verano 20158
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
= 1418
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y
cuyo exponente es la resta de los exponentes.
Ejemplos: 26: 23 = 26-3 = 23
48: 42 = 48-2 = 46
Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes.
Después, calcula su valor.
38 : 35 = 33 = 27
205 : 202 =
5 4 : 53 =
306 : 303 =
6 9 : 67 =
407 : 404 =
710 : 78 =
503 : 502 =
812 : 810 =
603 : 600 =
913 : 911 =
704 : 700 =
103 : 10 =
805 : 80 =
112 : 112 =
906 : 902 =
123 : 12 =
1007 : 100 =
134 : 132 =
2005 : 1000 =
Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
48 : 4 = 46
3515 : 35 = 3512
59 : 5 = 54
4120 : 41 = 41
78 : 7 = 76
5018 : 50 = 509
89 : 8 = 83
6217 : 62 = 624
910 : 9 = 97
7519 : 75 = 752
1016 : 10 = 1010
8021 : 80 = 8010
1115 : 11 = 114
8230 : 82 = 8221
1216 : 12 = 1212
9045 : 90 = 9020
1312 : 13 = 139
9532 : 95 = 9517
Curso Introductorio Verano 20159
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
POTENCIA DE UNA POTENCIA
La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes.
Ejemplos: (23 )2 = 23 x 2 = 26
(44 )3 = 44
x3
= 412
Escribe en forma de una sola potencia.
(32 )3 =
(234 )5 =
(43 )2 =
(305 )6 =
(52 )2 =
(414 )7 =
(64 )3=
(506 )4 =
(75 )2 =
(653 )5 =
(84 )5 =
(727 )3 =
(97 )3 =
(802 )4 =
(104 )2 =
(853 )2 =
(115 )6 =
(973 )4 =
(127 )9 =
(992 )6 =
Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
(24 ) = 28
(235 ) = 2320
(32 ) = 36
(307 ) = 3021
(43) = 412
(426 ) = 4218
(54 ) = 516
(507 ) = 5042
(68 ) = 624
(653 ) = 6524
(74 ) = 736
(724 ) = 7216
(89 ) = 818
(753 ) = 7515
(95 ) = 930
(842 ) = 8420
(103 ) = 1018
(893 ) = 8921
Curso Introductorio Verano 201510
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
POTENCIA DE UN PRODUCTO
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores
elevado a dicha potencia.
Ejemplos: (5 x 3)2 = 52 x 32
(4 x 2 x 5)3 = 43 x 23 x 53
Escribe el resultado como producto de potencias.
(2 x 3)3 =
(2 x 3 x 4)2 =
(4 x 2)2 =
(4 x 5 x 6)3 =
(3 x 5)4 =
(6 x 7 x 8)4 =
(5 x 7)3 =
(8 x 9 x 10)5 =
(8 x 9)5 =
(10 x 11 x 12)6=
(7 x 10)2 =
(13 x 14 x 15)7=
Escribe en forma de una sola potencia.
22 x 32 x 42 = (2 x 3 x 4)2
117 x 127 X 137 =
33 x 43 x 53 =
148 x 158 X 168 =
56 x 76 x 86 =
217 x 207 X 197 =
47 x 97 x 57 =
329 x 409 x 539 =
910 x 810 x 710 =
438 x 528 X 628 =
Completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
23 x 43 x 5 = (2 x 4 x 5)3
6 x 8 x 93 = (6 x 8 x 9)3
34 x 5 x 64 = (3 x 5 x 6)4
94 x 10 x 11 = (9 x 10 x 11)4
5 x 66 x 86 = (5 x 6 x 8)6
12 x 13 x 14 = (12 x 13 x 14)6
64 x 3 x 54 = (6 x 3 x 5)4
15 x 12 x 13 = (15 x 12 x 13)7
7 x 85 x 95 = (7 x 8 x 9)5
21 x 16 x 30 = (21 x 16 x 30)8
53 x 93 x 8 = (5 x 9 x 8)3
35 x 26 x 41 = (35 x 26 x 41)9
Curso Introductorio Verano 201511
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Suma de Fracciones A
Objetivo:


Suma y resta de fracciones
Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar
podemos seguir la siguiente regla:
a c ad  bc
 
b d
bd
se multiplican cruzado y los productos se suman
se multiplican los denominadores
Veamos un ejemplo:
El jefe de Vero repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos
de los contables. A Vero le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más
la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que
parte del trabajo tiene que realizar Vero?
1 1 1(3)  4(1) 3  4 7
 


4 3
(4)(3)
12
12
Solución:
Vero tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
Curso Introductorio Verano 201512
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Vero le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones:
a.
𝒂
Si
𝒃
𝒂
b. Si
𝒃
𝒂
c. Si
𝒃
=
<
>
𝒄
𝒅
𝒄
𝒅
𝒄
𝒅
Volviendo a Vero,
𝟕
𝟏𝟐
¿
𝟏
𝟐
𝒂𝒅 = 𝒃𝒄
entonces
entonces
𝒂𝒅 < 𝑏𝑐
entonces
𝒂𝒅 > 𝑏𝑐
¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
entonces
7(2) >
12(1), por lo tanto
𝟕
𝟏𝟐
>
𝟏
𝟐
De modo que Vero realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella
dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia
la tocó a María?
Solución:
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏(𝟓)+𝟑(𝟐)
𝟓
𝟏𝟓
+ =
=
𝟓+𝟔
𝟏𝟓
=
𝟏𝟏
𝟏𝟓
A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Curso Introductorio Verano 201513
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Suma de Fracciones B
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de
fracciones:
1. Fracciones homogéneas
2. Fracciones heterogéneas
( ,
𝟏
𝟑
𝟒
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑
𝟓
( ,
𝟓
, )
𝟒
𝟑
, )
𝟕
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y
las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
𝟏
𝟓
𝟐
𝟕
𝟑
𝟒
𝟓
𝟓
+ =
𝟑
𝟓
𝟕
𝟕
+ =
Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador.
Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el
denominador se queda igual.
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟐
<Aquí es diferente, las fracciones son
heterogéneas; los denominadores son
diferentes.>
Curso Introductorio Verano 201514
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
𝟏
𝟒
𝟏
+
𝟐
𝟏
Paso 1 :
𝟒
𝟏
Paso 2 :
𝟒
𝟏
+ =
𝟖
𝟔
𝟐
𝟖
𝟐
Paso 4:
𝟖
𝟏
(𝟐∙𝟏)+(𝟒∙𝟏)
𝟐
𝟖
+ =
𝟐+𝟒
Paso 3:
=
<Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8>
𝟐
=
𝟔
𝟖
< Se multiplicó cruzado>
< Se suman los productos para obtener el numerador.>
𝟑
< Se simplifica la fracción si es posible.>
𝟒
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones;
pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
𝟓
𝟗
𝟏
𝟒
𝟗
𝟗
− =
Ejemplo 2:
𝟐
𝟑
𝟏
(𝟐∙𝟐)−(𝟑∙𝟏)
𝟐
𝟔
− =
=
𝟒−𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟔
Curso Introductorio Verano 201515
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Ejercicios de Fracciones
Primera Parte
Ejercicios:
A. Simplifique las siguientes Fracciones.
1.
3
6
2. 15
45
4.
2
8
5.
3. 4
9
6
12
6. 12
48
B. En los ejercicios 7 a 10, relaciona las siguientes parejas de fracciones, empleando
el signo > o < entre ellas.
7.
9.
𝟔
𝟐
𝟏𝟏
𝟗
𝟒
𝟏𝟐
𝟗
𝟏𝟕
8.
10.
𝟒
𝟔
𝟏𝟏
𝟕
𝟒
𝟗
𝟑
𝟐
C. Suma las siguientes fracciones.
11.
13.
15.
17.
𝟗
𝟓
𝟏
𝟐
𝟑
𝟕
𝟗
𝟏𝟏
𝟏
+ =
𝟓
12.
𝟐
14.
+ =
𝟑
𝟏
+ =
16.
𝟐
𝟓
+ =
18.
𝟕
Curso Introductorio Verano 201516
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
𝟐
𝟑
𝟓
𝟔
𝟓
+ =
𝟑
𝟏
+ =
𝟓
𝟏
𝟏
𝟖
𝟒
𝟏 +𝟐 =
𝟑
𝟐
𝟒
+ =
𝟑
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
D. Resta las siguientes fracciones.
19.
21.
𝟔
𝟕
𝟒
𝟑
𝟏
− =
𝟕
𝟓
− =
𝟑
𝟒
22.
𝟐
𝟗
𝟏
23. −
𝟏𝟏
𝟓
25.
20.
=
24.
− =
26.
𝟏
𝟐
𝟔
𝟏
𝟏𝟏
𝟓
𝟖
− =
𝟐
𝟏
− =
𝟖
𝟏
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐 −𝟏 =
𝟕
𝟗
𝟏
− =
𝟑
Soluciones:
1. 1/2; 2. 1/3; 3. 4/9; 4. 1/4; 5. 1/2;
1/6 13. 1 1/6 ; 14. 1 1/30
15. 3 ; 16. 3 3/8 17. 118/77
19/20 ; 25. 1/4 ; 26. 4/9
6. 1/4 ; 7. > ; 8. >; 9. < ; 10. < ; 11. 2 ; 12. 1
18. 1/6 19. 5/7 20. 1/22
Curso Introductorio Verano 201517
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
21. -7/6 22. 1/2 23. 34/55 24.
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Multiplicación y División de Fracciones
Multiplicación de Fracciones
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se
multiplican de la misma forma:
𝟐 𝟑
𝟔
𝟑 𝟒
𝟏𝟐
∙ =
Ejemplo:
=
𝟐∙𝟑
𝟐∙𝟐∙𝟑
=
𝟏
𝟐
Factorización y
simplificación
División de Fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción
cambia a su recíproco.
Ejemplo:
𝟑
𝟒
÷
𝟓
𝟑
𝟑 𝟑
𝟗
𝟓 𝟒
𝟐𝟎
𝟏
𝟑 𝟐
𝟔
𝟐
𝟕 𝟏
𝟕
= ∙ =
Ejemplo:
𝟑
𝟕
÷ = ∙ =
Curso Introductorio Verano 201518
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
CBTis No. 212
Apuntes de Aritmética
Academia de Matemáticas
Fórmulas para recordar
𝒂 𝒃 𝒂+𝒃
+ =
𝒄 𝒄
𝒄
Suma de Fracciones homogéneas
𝒂 𝒃 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
+ =
𝒄 𝒅
𝒄𝒅
Suma de Fracciones heterogéneas
𝒂 𝒃 𝒂−𝒃
− =
𝒄 𝒄
𝒄
Resta de Fracciones homogéneas
𝒂 𝒃 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄
− =
𝒄 𝒅
𝒄𝒅
Resta de Fracciones heterogéneas
𝒂 𝒃 𝒂𝒃
∙ =
𝒄 𝒅 𝒄𝒅
Multiplicación de Fracciones
𝒂 𝒃 𝒂 𝒅 𝒂𝒅
÷ = ∙ =
𝒄 𝒅 𝒄 𝒃 𝒃𝒄
División de Fracciones
Curso Introductorio Verano 201519
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez