c´alculo integral en una variable

JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA
Matemático, con Maestría en Matemáticas y
doctorado en Matemáticas. Investigador en
matemáticas puras y aplicadas con resultados originales en la teoría de bifurcación,
deformación y deducción de la teoría de
micro-deformación. Investigador en ecuaciones diferenciales parciales. Profesor asociado
de la Universidad Tecnológica de Pereira.
mail: [email protected].
JUAN EDUARDO BRAVO BOLÍVAR
Licenciado en Matemáticas y Física de la
Universidad Tecnológica de Pereira. Especialista en Instrumentación Física de la Universidad Tecnológica de Pereira. Posee estudios
de posgrado en Ingeniería Eléctrica y en
Enseñanza de las Matemáticas. Profesor
asistente de la Universidad Tecnológica de
Pereira. Desde 1995 ha orientado los cursos
de métodos y análisis numérico. E-mail:
[email protected]
FERNANDO MESA
Licenciado en matemáticas, graduado de
la Universidad Tecnológica de Pereira con
honores. Tiene estudios de posgrado en
Matemáticas, Instrumentación Física y
Docencia Universitaria. Con experiencia de
más de 20 años, profesor titular del
Departamento de Matemáticas de la
Universidad Tecnológica de Pereira en
donde se ha destacado como directivo e
investigador. E-mail: [email protected]
CÁLCULO INTEGRAL EN UNA
VARIABLE
José Rodrigo González G.
Profesor asociado
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Básicas
Universidad Tecnológica de Pereira
Juan Eduardo Bravo B.
Profesor asistente
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Básicas
Universidad Tecnológica de Pereira
Fernando Mesa
Profesor titular
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Básicas
Universidad Tecnológica de Pereira
2012
CONTENIDO
Prefacio
1
1 Integral Indefinida
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . .
1.5 Sobre las integrales que no se pueden expresar en funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Técnicas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Integración de varias clases de funciones con ayuda de transformaciones elementales . . . . . . .
1.6.2 Dos fórmulas de reducción de orden . . . . . . .
i
3
3
5
9
9
12
19
28
33
33
41
1.6.3 Funciones racionales . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Integrales que se llevan a racionales
. . . .
√
2
1.6.5 Funciones racionales de x y ax + bx + c
1.6.6 Integral de funciones irracionales . . . . .
1.6.7 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Ejercicios del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Integral Definida
2.1 Notación sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Integral definida como lı́mite de
sumas integrales, propiedades y
relación con la integral indefinida . . . . . . . .
2.3 Interpretación geométrica de la integral definida
2.4 Fórmula de Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . .
2.5 Propiedades elementales de la integral definida .
2.6 Sustitución en integrales definidas . . . . . . . .
2.7 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Integral definida con lı́mite superior variable . .
2.9 Ejercicios del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . .
3 Aproximación de la Integral
3.1 Regla del punto medio . .
3.2 Regla del trapecio . . . . .
3.3 Regla de Simpson . . . . .
3.4 Ejercicios del capı́tulo . . .
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4 Aplicaciones de la Integral Definida
4.1 Evaluación de áreas de figuras planas
4.2 Área en coordenadas polares . . . . .
4.3 Volúmenes de sólidos con sección
conocida . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Volúmenes de sólidos de revolución .
4.5 Longitud de arco . . . . . . . . . . .
4.6 Área de una superficie de revolución .
4.7 Integrales impropias . . . . . . . . .
4.8 Ejercicios del capı́tulo . . . . . . . . .
II
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44
52
60
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69
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81
81
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93
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101
102
103
108
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. . . . . . . . . . 114
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130
135
140
147
5 Sucesiones y Series
5.1 Sucesiones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Lı́mite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Condición necesaria para la convergencia de una
serie. Serie armónica. . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Criterios suficientes de convergencia . . . . . . .
5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Convergencia de una serie de potencias . . . . .
5.3.2 Intervalo de convergencia y radio de
convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Expansión de funciones en series
de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Expansión de algunas funciones elementales en
series de Taylor (Mclaurin) . . . . . . . . . . . .
5.4 Ejercicios del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
153
154
156
156
160
6 Apéndices
6.1 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Coordenadas y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Rotación de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Relación entre las coordenadas rectangulares y
polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Gráfica de ecuaciones en
coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Ejercicios de los apéndices . . . . . . . . . . . . . . . .
205
206
212
212
215
218
223
7 Respuestas
249
162
165
180
182
183
187
192
200
224
225
242
244
III
PREFACIO
Este texto es el fruto de muchos años de esfuerzo y dedicación de
quienes hoy en dı́a entregamos a la comunidad académica este material. Su propósito inicial es el de servir como soporte a los cursos de
matemáticas II que se ofrecen en los distintos programas de ingenierı́as
y tecnologı́as, ası́ como apoyar aquellos programas en donde se estudie
el cálculo integral en una variable.
También esperamos que sea de gran utilidad para aquellos estudiantes de licenciaturas en matemáticas y fı́sica que pudieran necesitar
en un principio el conocimiento de las temáticas que aquı́ se tratan,
sin caer en el formalismo matemático y llegar a la conceptualización
de una manera más práctica.
El material que estamos presentando se compone de seis capı́tulos,
cada uno con su respectiva base teórica, un buen número de ejemplos
y un capı́tulo final, el séptimo, con respuestas y sugerencias. El texto
posee un desarrollo lógico y secuencial, ameno y muy fácil de leer. El
primer capı́tulo empieza con una breve introducción a la historia del
1
Calculo diferencial e integral, la noción de la diferencial de una función
en una variable, y algunas aplicaciones, además se introduce el concepto de integral indefinida y las principales técnicas de integración. En
el segundo capı́tulo se estudia la integral definida como un lı́mite de
la suma de Riemann, el teorema fundamental del cálculo, entre otros.
En el tercer capı́tulo se utiliza la geometrı́a para aproximar integrales
definidas. En el cuarto capı́tulo se analizan algunas aplicaciones tales
como, áreas, volúmenes de sólidos, longitud de arco, áreas de superficies de revolución e integrales impropias. En el quinto capı́tulo se
estudian las sucesiones, las series numéricas y funcionales con sus aplicaciones. En el sexto capı́tulo (apéndices) se estudian algunas formas
indeterminadas, coordenadas y lugares geométricos y se presenta una
introducción sencilla a las coordenadas polares. En cada capı́tulo se
dan los conceptos fundamentales, definiciones y teoremas con sus respectivos ejemplos, se proponen algunos ejercicios que servirán para
fortalecer y asimilar el material propuesto. Muchos de estos ejercicios
poseen su respectiva respuesta que aparece al final en el capı́tulo siete.
Por último, se da la bibliografı́a complementaria al texto.
José Rodrigo González Granada.
2
1 Integral Indefinida
1.1
Introducción
Las matemáticas se han desarrollado y aún continúan haciéndolo influenciadas por el entorno fı́sico, haciendo necesario implementar
nuevos aparatos matemáticos para diseñar “modelos matemáticos”que
simulen este entorno. Como todas las demás ciencias, las matemáticas
surgieron de las necesidades prácticas de las personas. Las matemáticas
que se denominan elementales y se estudian en las escuelas y colegios
se formaron hace mucho tiempo y correspondı́an a las primeras necesidades prácticas; la caracterı́stica de ellas es que se basan en valores
constantes. El gran desarrollado que obtuvieron las ciencias naturales
en los siglos XVI-XVII conllevó al estudio de fenómenos y procesos con
valores variables. La práctica obligó a las matemáticas a replantearse
en forma fundamental, es decir, encontrar la forma de estudiar estos valores variables tales como, la velocidad y la aceleración. Las
Capı́tulo 1 Integral Indefinida
matemáticas elementales -las matemáticas de valores constantes- no
pudieron resolver este tipo de problemas, y se hizo necesario fundar
una nueva rama de las matemáticas con nuevos conceptos y nuevas
formas de investigación. Esto se logró como resultado de la ardua investigación durante los siglos XVI-XVIII. Ası́, para cubrir los fenómenos
de movimiento, en las matemáticas se introdujo el concepto de “valor
variable”. El estudio del movimiento de un cuerpo conllevó al estudio
de la razón de cambio de valores variables. Esto a su vez condujo a introducir y posteriormente a estudiar nuevos conceptos como la derivada
y la diferencial. De esta manera se formó el calculo diferencial como
las matemáticas de valores variables.
La búsqueda de un método general para evaluar áreas de figuras
planas, ası́ como volúmenes, superficies, longitudes de arco y la solución
de otros tipos de problemas llevó a la formación del calculo integral.
El éxito más importante de los matemáticos de los siglos XVI-XVII,
consistió en que se concibió al cálculo integral como el proceso inverso en relación con el problema del cálculo diferencial. Este hecho
fundamental fue posible cuando el área de una figura, las superficie y
el volúmen de sólidos se consideraron como valores variables. De esta
forma el concepto de los valores variables jugó también aquı́ un papel
muy importante. Como principales fundadores del calculo diferencial e
integral se encuentran Newton y Lebnitz, pero no se puede pensar que
sólo ellos crearon esta rama tan importante de las matemáticas. En los
siglos XVIII-XIX se desarrolló el análisis matemático, el cual conlleva
a su vez a formación de nuevas ramas de las matemáticas. Se puede
considerar que el primer libro de cálculo diferencial e integral se debe
al gran académico de la academia de Sankt-Petersburg Leonard Euler. En 1748 con su libro “Introductio en Analysin Infinitorum”dió el
impulso necesario para el desarrollo de las ciencias matemáticas modernas. d’Alembert en una de sus cartas a Lagrange denominó a Euler
como ”ese diablo”, expresando con esto que lo realizado por Euler
es superior a la razón humana. Laplace dijo ”Lean a Euler, léanloel es nuestro guı́a”. Una función muy importante en el desarrollo del
análisis matemático se debió al académico de Sank-Petersburg Ostrogradskii, que obtuvo resultados muy importantes en diferentes ramas
de las matemáticas y en especial, en las ecuaciones integrales. Uno de
los conceptos más importantes en el análisis matemático -el concepto
4
Otros títulos de interés:
∙ Estadística básica aplicada,
Ciro Martínez Bencardino
∙ Estadística y muestreo,
Ciro Martínez Bencardino
∙ Fundamentos de estadística.
Para la investigación en educación,
Mireya Ardila Rodríguez
∙ Álgebra lineal y programación lineal
Francisco Soler, Fabio Molina y
Lucio Rojas.
∙ Didáctica de las matemáticas
Robinson Castro Puche y
Rubby Castro Puche.
∙ Fundamentos de matemática
Francisco Soler Fajardo y
Reinaldo Nuñez.
∙ Matemáticas financieras aplicadas
Jhonny de Jesús Meza Orozco
∙ Matemáticas financieras
empresariales
Jhonny de Jesús Meza Orozco
∙ Matemáticas para informática
Ismael Gutiérrez García.
Cálculo integral
en una variable
Esta obra es resultado del compromiso de los autores con el
formalismo que requieren las matemáticas y la simplicidad en la
exposición que resulta de muchos años de experiencia en la práctica
pedagógica. Se compone de siete capítulos, los seis primeros con su
respectiva base teórica y un buen número de ejemplos, y un último
capítulo con un extenso número de respuestas y sugerencias. El
lector encontrará en cada uno de los temas que se exponen un
desarrollo lógico y secuencial. Partiendo de una breve historia del
cálculo diferencial, el concepto de integral indefinida y las
principales técnicas de integración. Presentamos los teoremas más
importantes del cálculo integral en una variable real hasta llegar a
diversas aplicaciones de gran uso en los cursos para ingenieros y
matemáticos.
Área: Ciencias Exactas
Colección: Matemáticas