Guía de Estudio Matematicas

Guía de Estudio.
Matemáticas IV
Grupo 52A
Introducción al Cálculo.
I.
ACTIVIDAD
IDENTIFICA
A LOS PERSONAJES QUE INTERVINIERON EN EL DESARROLLO DEL
IMPORTANCIA DE ESTA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS EN LA ACTUALIDAD.
CALCULO DIFERENCIAL Y
SUS CONTRIBUCIONES.
RECONOCIENDO LA
1.
Evolución del Cálculo. Consulta al menos tres artículos sobre La Historia del Cálculo que incluya a
los personajes que contribuyeron al desarrollo de ésta Rama de las Matemáticas y su aportación de
cada uno de ellos. Realiza un resumen mencionando las fuentes consultadas.
2.
Aplicaciones del Cálculo. Pregunta a profesionistas de distintas ramas (pueden ser tus maestros de
otras materias) sí utilizan o han utilizado el Cálculo en sus actividades, de ser afirmativa la respuesta
registra su respuesta a la pregunta ¿En qué situaciones lo ha utilizado?
II.
ACTIVIDAD
RECONOCE FIGURAS GEOMÉTRICAS DE SU HÁBITAT COTIDIANO Y SU RELACIÓN CON LAS MATEMÁTICAS
DEFINICIÓN INTUITIVA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Y SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS COTIDIANOS.
1.
MODELOS. RECONOCE
UN
Identifica en tu entorno habitacional cotidiano (salón de clase, casa o en lugares de la ciudad) figuras
geométricas.
a.
Toma una fotografía de al menos cinco objetos de tu entorno y asócialos con una figura geométrica
conocida (cinco diferentes figuras planas o cuerpos solidos).
b.
Escribe, con base en una breve investigación sobre Modelos Matemáticos, las características
cuantitativas (Perímetro y Área de ser planas y de Superficie y Volumen de ser Cuerpos Solidos) de
dicha figura y completa una tabla, como la que se muestra a continuación.
FOTOGRAFÍA DEL OBJETO
c.
2.
A TRAVÉS DE
FIGURA GEOMÉTRICA ASOCIADA Y SU NOMBRE
CARACTERÍSTICAS CUANTITATIVAS DE LA F IGURA O
CUERPO SOLIDO Y SUS MODELOS MATEMÁTICOS
Contesta, a manera de conclusión, la pregunta, ¿Cuál es la utilidad de un Modelo Matemático?
De forma intuitiva y probando distintas respuestas validas, busca la mejor solución a los problemas
siguientes.
a.
Se desea cercar con una barda una sección de un terreno de tal manera que su área sea de 220
m2, Si dicha sección debe de ser un rectángulo, ¿Cuáles serán la dimensiones de la base y la altura
del rectángulo para que el material empleado en la construcción de la barda sea el mínimo posible?
Figura y variables del problema. Traza una figura que modele gráficamente el problema y asigna variables a
las distintas cantidades que intervienen en él.
1
Modelos Matemáticos. Escribe los Modelos algebraicos que relacione las distintas cantidades.
CANTIDAD
MODELO ALGEBRAICO
Cálculos Numéricos. Completa la siguiente tabla, con base en los Modelos algebraicos anteriores, colocando
en las celdas indicadas valores de la base y la altura que cumplan con la condición de los 220 m2 de área, y en
las celdas adecuadas el valor del Perímetro para cada caso.
BASE
ALTURA
PERÍMETRO
Conclusión. Elige las dimensiones de la base y la altura de la tabla anterior, que mejor respondan al problema,
y contesta la pregunta ¿Hay una combinación de valores para la base y la altura que sea la respuesta
optima? Justifica tu Respuesta.
BASE
ALTURA
PERÍMETRO
b.
Se desea construir un depósito cilíndrico con un volumen (V) de 900
m de volumen, como el mostrado en la figura. ¿Cuáles serán las dimensiones para
el radio r y la altura h del depósito para que se emplee el menor material posible en
su construcción? El depósito debe de tener las dos tapas.
3
Figura y variables del problema
2
Modelos Matemáticos. Escribe los Modelos algebraicos que relacione las distintas cantidades.
CANTIDAD
MODELO ALGEBRAICO
Cálculos Numéricos. Completa la siguiente tabla, con base en los Modelos algebraicos anteriores, colocando
en las celdas indicadas valores del radio y la altura que cumplan con la condición de los 900 m3 de volumen, y
en las celdas adecuadas el valor de la Superficie para cada caso.
RADIO
ALTURA
SUPERFICIE
Conclusión. Elige las dimensiones del radio y la altura de la tabla anterior, que mejor respondan al problema, y
contesta la pregunta ¿Hay una combinación de valores para el radio y la altura que sea la respuesta optima?
Justifica tu Respuesta.
RADIO
ALTURA
SUPERFICIE
3
Límites.
III. ACTIVIDAD
INTERPRETA EL CONCEPTO DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN SUS DISTINTAS FORMAS Y TRANSITA A TRAVÉS DE ELLAS.
1.
Describe de forma intuitiva el concepto Límite de una función, y su notación:
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
2.
Completa la tabla en cada uno de los reactivos siguientes, según se muestra en los renglones de
ejemplo: Determina el límite de la función en Forma Intuitiva. El valor de la función en a, en caso de
que f(a) este definida. Si no existe el valor f(a) escribe No Está Definida.
a.
lim(2x  3)
x2
x
y  f (x)
SUSTITUCIÓN DEL VALOR
x EN y  f (x)
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
Respuestas y Conclusión
lim(2x  3)
f(a)
x2
b.
lim (t 2  2t  10)
t  3
t
s  f (t )
SUSTITUCIÓN DEL VALOR
t EN s  f (t )
–3.1
–3.01
–3.001
–3.0001
–2.9999
–2.999
–2.99
–2.9
Respuestas y Conclusión
lim (t 2  2t  10)
t  3
f(a)
4
c.
lim
x3
x 1
x 3
x
y  f (x)
SUSTITUCIÓN DEL VALOR
x EN y  f (x)
2.9
2.99
2.999
2.9999
3.0001
3.001
3.01
3.1
Respuestas y Conclusión
lim
x3
3.
x 1
x 3
f(a)
Traza la gráfica de las siguientes funciones en el intervalo indicado y contesta: ¿Existe lim f ( x) ? dados
xa
en cada caso y de ser así, indica el valor del límite. En caso contrario, justifica tu respuesta.
Instrucciones. Los valores de la variable independiente x para la tabulación, inician con el límite inferior del intervalo y se
incrementan en un valor Δx = 0.1 para los siguientes valores, hasta alcanzar el límite superior del intervalo. Sobre una hoja
milimétrica traza un Sistema de Coordenadas y localiza los puntos obtenidos en la tabulación. Utiliza la gráfica para contestar a
las preguntas. En hojas tamaño carta blancas entrega los proceso de tabulación y los calculo numéricos o indica el
procedimiento (si utilizaste calculadora científica) y anexa junto con las gráficas al Cuadernillo.
a.
f ( x)  2 x  4 en [0, 5], lim(2x  4)
b.
f (s)  s 2  1 en [-1, 1], lim ( s 2  1)
c.
f (t ) 
d.
f (r )  r 2  4 en [-2, 2], lim r 2  4
e.
 3  x2  5 
3  x2  5

en [0, 4], lim
f ( x) 
2

x  2
x

4
x2  4


x1
s 0
1
 1 
en [–3, 0], lim

t 2 t  2
t2


x0
5
IV. ACTIVIDAD
RECONOCE LOS MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN DISTINTOS CASOS.
1.
Calcula los siguientes límites por el Método de Sustitución Directa, para las funciones algebraicas
dadas.
LÍMITE DE LA FUNCIÓN
a.
lim(5 x 2  6 x  3)
b.
 3t  1 
lim

t 3
 2 
c.
d.
e.
DESARROLLO
x1
lim
x1
x  17
x3
lim p 2  20
p 4
lim ( 2 s 2  55)
s  5
f.
 r 2  25 

lim 
r  5
 r 1 
g.
y2  7
lim
y3
36
h.
lim 3
i.
 8s 2  1 

lim1 

s 2 
s

1


w6
w  21
w7
6
2.
Calcula los siguientes Limites de Funciones Racionales con Indeterminación del tipo
lim R( x)  lim
xa
xa
P( x ) 0

Q( x) 0
Factoriza, de ser necesario, el numerador y/o denominador por cualquiera de los métodos de cursos
anteriores de matemáticas, y elimina la indeterminación.
LÍMITE DE LA FUNCIÓN
a.
s2  4
lim
s 2 s  2
b.
x 2  5 x  14
lim
x2 x 2  x  2
c.
t 2  7t  30
lim
t 3
t2  9
d.
x3  1
lim
x1 2 x 2  3 x  1
e.
x2  4
lim 3
y2 x  6 x 2  2 x  12
f.
x 2  10x
lim
x0 x x  2
g.
x 4  16
lim 2
x2 x  4
h.
lim
i.
3x 2  2 x  5
lim 2
x1 8 x  15x  7
 5
DESARROLLO
 5
  5
7
3.
Calcula los límites al infinito, aplica el método mostrado en clase.
LÍMITE DE LA FUNCIÓN
4.
DESARROLLO
12x 4  x 3  2 x 2  x  3
x 
4x 4  2x 3  1
a.
lim
b.
lim
c.
9 x 3  6 x 2  13x  1
lim 3
x  8 x  2 x 2  10x  10
d.
lim
15x 4  x 3  1
x  9 x 4  5 x 3  17 x 2  x  4
5 x 3  3x 2  10
x 
8x  1
Calcula los límites de Funciones Trascendentes, Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas, por
el Método de Sustitución Directa
LÍMITE DE LA FUNCIÓN
a.
lim Sen(2x  6 )
b.
lim e 2 x 1
c.
 3x3  1 

lim ln 
2 
x2
 4x 
d.
 x  4 
lim Cos

x 3
 2 
e.
lim
DESARROLLO
x
x0
ex 1
x0 e x  1
8
V.
ACTIVIDAD
RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL CONCEPTO DE LÍMITE.
1.
La cantidad de una droga en la corriente sanguínea t horas después de inyectada intramuscularmente
está dada por la función
f (t ) 
10t
t 2 1
Al pasar el tiempo, ¿cuál es la cantidad límite de droga en la sangre? Justifica tu respuesta.
2.
En un experimento biológico, la población de una colonia de bacterias (en millones) después de x días
está dada por
P( x ) 
72
2  10e 2 x
a. ¿Cuál es la población inicial de la colonia?
b. Al paso de los días ¿la población crece indefinidamente o tiende a estabilizarse en algún valor
fijo?. Justifica tu respuesta.
3.
Una institución está planeando una campaña para recaudar fondos. Por experiencia se sabe que los
aportes totales son función de la duración de la campaña. En una ciudad se ha determinado esta
función Respuesta que expresa el porcentaje de la población R (expresado en fracción decimal) que
hará un donativo en función del número de días t de la campaña. La expresión de la misma es
R(t )  0.7(1  e0.05t )
a. ¿Qué porcentaje de la población hará un donativo a los 10 días de haberse iniciado la campaña?
b. Calcule el porcentaje de la población que habrá contribuido con la institución si la campaña
publicitaria continúa por tiempo indefinido.
4.
Un banco ofrece una tarjeta de crédito. Por datos obtenidos a lo largo del tiempo, han determinado que
el porcentaje de cobranza de las que se otorgan en un mes cualquiera es función del tiempo
transcurrido después de concederlas. Esta función es
P(t )  0.9(1  30.08t )
donde P es el porcentaje de cuentas por cobrar t meses después de otorgar la tarjeta.
a. ¿Qué porcentaje se espera cobrar luego de 2 y 5 meses?
b. Si el número de meses transcurridos desde el otorgamiento de la tarjeta crece indefinidamente,
determine el porcentaje de las mismas que se espera cobrar.
9
Calculo Diferencial
VI.
ACTIVIDAD
IDENTIFICA A LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO Y RECONOCE LA INTERPRETACIÓN GRAFICA DE LA DERIVADA CON BASE EN LA GRÁFICA DE
LA FUNCIÓN Y EL CONCEPTO DE LÍMITE.
1.
Escribe la definición de Derivada de una Función como una de Razón de Cambio:
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMO RAZÓN DE CAMBIO
2.
Escribe la definición de Derivada de una Función con base en el concepto de límite de una función:
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMO UN LÍMITE
3.
Dibuja la gráfica de una función y su describe la Interpretación Geométrica de su derivada con base
en el concepto de límite.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
10
4.
Calcula la derivada de las funciones siguientes con base en la Definición de la derivada de una función
(Regla de los Cuatro Pasos).
a.
f ( x)  x 2  2
DESARROLLO
b.
f ( x)  4x2  2x  1
DESARROLLO
c.
s(t ) 
1
t 3
DESARROLLO
d.
r ()    2
DESARROLLO
11
VII.
ACTIVIDAD
RECONOCE
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE, LA FUNCIÓN IDENTIDAD Y LA FUNCIÓN POTENCIA Y CALCULA LA DERIVADA DE DISTINTAS
FUNCIONES CON BASE EN ESTAS FÓRMULAS.
1.
Utilizando las Formulas siguientes para la derivada de la función constante, la función identidad y la
función potencia:
d
(c)  0 donde c es una constante cualesquiera.
dx
d
( x)  1
dx
d n
( x )  nxn 1 con n cualquier número real
dx
2.
Calcula las siguientes derivadas.
DERIVADA
DERIVADA
a.
d
(3) 
dx
b.
d
( ) 
dx
c.
d
( 2) 
dx
d.
d 5
(x ) 
dx
e.
d 3
(s ) 
ds
f.
d 2
(t ) 
dt
g.
d 1
 
dx  x 4 
h.
d 1
 
dr  r 8 
i.
d 13
(x ) 
dx
j.
3
d
( 4 ) 
d
k.
d
( x) 
dx
l.
d 7 3
( x )
dx
m.
d  1 
 4 
ds  s 5 
n.
d  1 


dx  5 x 2 
o.
d
(x  4 x ) 
dx
p.
d  x3 


dx  x 
12
VIII.
ACTIVIDAD
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LA DERIVADA CON BASE EN LAS OPERACIONES DE FUNCIONES: PRODUCTO POR UNA CONSTANTE, SUMA Y RESTA,
MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y COMPOSICIÓN (REGLA DE LA CADENA) Y CALCULA LA DERIVADA DE DISTINTAS FUNCIONES UTILIZANDO ESTAS
PROPIEDADES.
1.
Utilizando las Formulas siguientes de las Propiedades de la derivada de una función:
d
d
[c  f ( x)]  c 
f ( x) donde c es una constante cualesquiera.
dx
dx
d
d
d
[ f ( x)  g ( x)] 
f ( x)  g ( x)
dx
dx
dx
d
d
d
[ f ( x)  g ( x)]  f ( x)  g ( x)  g ( x) 
f ( x)
dx
dx
dx
d  f ( x) 

dx  g ( x) 
f ( x) 
d
d
g ( x)  g ( x) 
f ( x)
dx
dx
[ g ( x)]2
Calcula las siguientes derivadas.
DERIVADA
2.
DERIVADA
a.
d
(3 x 4 ) 
dx
b.
d 7 3
( t )
dt 5
c.
d
( 2x ) 
dx
d.
d 2
( x  3x  2) 
dx
e.
d   3 3 1
4


 3 2
d  2
5 

f.
d 2
[(t  4t  11)  (t 3  2)] 
dt
g.
d
[( x 5  1)  ( x 2  4)] 
dx
h.
d  2 s 2  s  1

ds  s 2  4 
i.
d  4z  z 


dz  z  1 
j.
d  x  4 x 3  2 

dx  x 2  1 

 

Escribe la Propiedad de la derivada de la Composición de funciones (Regla de la Cadena)
DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES (REGLA DE LA CADENA): ( f  g )(x)  f ( g ( x))
13
3.
Utilizando tu Formulario determina la derivada de las siguientes funciones.
a.
y  5( x3  2x 1)4
b.
s(t )  4 t 3  1
c.
r (t )  2Sen(t 2  1)
d.
f ( x)  Tan(4 x   )
e.
y  2e5 x
f.
s  ln(t 4  2 )
g.
h( x)  log4 ( x4  x3  3x2  2x  4)
h.
r  2Sec1 (t 3  8)
i.
f ( x)  x2  25
j.
2
 x 1
 t 2 2 


 t 1 


v  3
14
Aplicaciones de la Derivada
IX.
ACTIVIDAD
RECONOCE EL CONCEPTO DE DERIVADAS SUCESIVAS Y LA RELACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVA CON PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LA
UNA FUNCIÓN.
1.
GRÁFICA DE
Describe que entiendes por el concepto de Segunda derivada y derivadas sucesivas. Muestra ejemplos.
DESCRIPCIÓN DE LA 2ª. DERIVADA Y DERIVADAS SUCESIVAS
2.
La siguiente tabla muestra la relación que existe entre las Propiedades geométricas de la gráfica de una
función y el valor de la 1ª. y 2ª. Derivada de la misma función. Relaciona las columnas correctamente:
Sea f (x) una función derivable en el intervalo [a , b] y sea x0  [a , b]
PROPIEDADES DE LA 1ª. Y LA 2ª. DERIVADA
4.
PROPIEDAD GEOMÉTRICA DE LA GRAFICA
A.
f ' ' ( x0 )  0
B.
f ' ( x0 )  0
(
)
Estrictamente Decreciente
C.
f ' ( x0 )  0
(
)
Existe Punto de Inflexión
)
Creciente
D.
f ' ' ( x0 )  0
(
(
)
Existe un Máximo o un Mínimo Local
E.
f ' ( x0 )  0
(
)
Es Cóncava hacia Arriba
F.
f ' ' ( x0 )  0
(
)
Estrictamente Creciente
(
)
Es Cóncava hacia Abajo
G.
f ' ( x0 )  0
(
)
Decreciente
H.
f ' ( x0 )  0
Calcula la Derivada que se pida en cada caso.
15
a.
d3
(2 x 3  5x 2  2 x  1)
dx3
DESARROLLO
b.
Si f ( x)  Sen(2 x  1) calcula f V (x)
DESARROLLO
c.
d  d  x2  2  
 

dx  dx  x  1  
DESARROLLO
d.
Si f (t )  e
 sen(t 1)
calcula f ' ' (t )
DESARROLLO
e.
Si s(t )  16t  12t  15 calcula
2
ds(t ) d 2 s (t )
y
dt
dt 2
DESARROLLO
X.
ACTIVIDAD
RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL CONCEPTO DE DERIVADA.
Movimiento Rectilíneo.
1. Un partícula se mueve de tal manera que la su posición está determinada por la función
16
s(t )  4t 3  5t 2  12t  4
Determina:
a. La expresión v (t ) para la velocidad.
b. La expresión a (t ) para la aceleración.
2.
Un partícula se mueve de tal manera que la su posición está determinada por la función
s(t )  5t 2  8t  15
Determina
a. La expresión v (t ) para la velocidad.
b. La expresión a (t ) para la aceleración.
c. La velocidad y la aceleración para t  8s
d. La posición, velocidad y aceleración iniciales.
Química (Ley de los Gases).
3. La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante
P V  k
P es la presión, V el volumen y k una constante del gas. Si la presión está dada por la expresión:
P(t )  e4t
2
con P dado en mmHg, t en s y el volumen inicial es de 120 cm3. Determina la razón de cambio del
volumen a los 20 s.
Administración.
4. Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de $ p por unidad.
Se ha determinado que la relación entre p y q está dada por:
q2  2q p  p  340  0
a. Calcula el número de artículos vendidos cuando el precio de este es de $ 10.00.
b. ¿Cómo es la razón de cambio en la cantidad de unidades q vendidas cuando el precio aumenta?
Justifica tu respuesta.
Economía.
5.
Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre las aves en una región de nuestro país
mostró que el número de animales afectados, t días después de iniciado el brote, respondió a una
expresión del tipo:
n(t ) 
N
1  A  e  kt
N y A son constantes, A > 1, donde N era el número total de animales del rodeo nacional.
a. Demuestra que la máxima velocidad de propagación de la enfermedad ocurrió cuando se infectó
la mitad de las aves.
b. Esboza la gráfica de la función n(t) para t ≥ 0.
Entrega en hojas adicionales y anexas al cuadernillo los procedimientos empleados en la resolución de los
problemas y su respuesta correcta, con la justificación de cada una de ellas.
17
Máximos y Mínimos de una Función
XI.
ACTIVIDAD
RECONOCE EL CONCEPTO DE VALOR MÁXIMO ABSOLUTO, MÍNIMO ABSOLUTO, MÁXIMO LOCAL Y MÍNIMO LOCAL PARA DISTINTAS SITUACIONES REALES
QUE PUEDEN SER REPRESENTADAS POR MEDIO DE GRÁFICAS.
1.
Describe los conceptos de Máximo Absoluto, Mínimo Absoluto, Máximo Local y Mínimo Local.
DESCRIPCIÓN DEL CONCEPTO DE PARA LOS DISTINTOS VALORES EXTREMOS
2.
La grafica siguiente muestra la variación de la concentración máxima anual de Ozono en la ciudad de
México para el periodo 1988-Mayo2012.
Identifica señalando como pareja ordenada los distintos tipos de valores extremos.
3.
Investiga en Internet tres distintos tipos de datos históricos, como los mostrados en el ejercicio anterior,
identificando en cada uno de ellos los valores extremos.
18
XII.
ACTIVIDAD
RECONOCE
LOS CRITERIOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN CON BASE EN LAS CARACTERÍSTICAS DE SU GRAFICA, FUNDAMENTADOS EN LOS
CONCEPTOS 1ª. DERIVADA.
1.
Escribe los criterios para el análisis de las características de la gráfica de la función, que se piden a
continuación utilizando el concepto de la 1ª. derivada.
CRITERIO DE LA 1ª. DERIVADA PARA DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES CRECIENTE
CRITERIO DE LA 1ª. DERIVADA PARA DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE
VALOR CRITICO O EXTREMO
CRITERIO DE LA 1ª. DERIVADA PARA DETERMINAR MÁXIMOS LOCALES
CRITERIO DE LA 1ª. DERIVADA PARA DETERMINAR MÍNIMOS LOCALES
2.
Analiza con base en los criterios de la 1ª. Derivada el comportamiento de la grafica de las funciones
dadas a continuación. Indicando los intervalos de crecimiento y decrecimiento, valores críticos y la
naturaleza de estos (máximo o mínimo)
a.
y  x 2  8x  4
b.
y  2x3  x 2  13x  6
c.
y  x 4  x3  7 x 2  x  6
d.
ye
e.
y  2Sen(3x  3 )
2
 x4
19
XIII.
ACTIVIDAD
RECONOCE
LOS CRITERIOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN CON BASE EN LAS CARACTERÍSTICAS DE SU GRAFICA, FUNDAMENTADOS EN LOS
CONCEPTOS 2ª. DERIVADA.
3.
Escribe los criterios para el análisis de las características de la gráfica de la función, que se piden a
continuación utilizando el concepto de la 2ª. derivada.
CRITERIO DE LA 2ª. DERIVADA PARA DETERMINAR DIRECCIÓN DE CONCAVIDAD
PUNTO DE INFLEXIÓN
CRITERIO DE LA 2ª. DERIVADA PARA DETERMINAR MÁXIMOS LOCALES
CRITERIO DE LA 2ª. DERIVADA PARA DETERMINAR MÍNIMOS LOCALES
4.
Analiza con base en los criterios de la 2ª. Derivada el comportamiento de la grafica de las funciones
dadas a continuación. Indicando los intervalos de concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo,
Puntos de inflexión y valores extremos y la naturaleza de estos (máximo o mínimo)
a. v  t 3  6t 2  9t  6
b. P  2T 2  6T  1
c.
r (t )  2t 3 15t 2  84t
d.
ye
e.
y
f.
y  x2  4x  1
2
 x4
x 1
x2  4
20
XIV.
ACTIVIDAD
RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN UTILIZANDO MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN UTILIZANDO RESULTADOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.
1.
El desplazamiento de una partícula en línea recta sobre un plano está dado por la función:
s(t )  5t 3  12t 2  9t  11
2.
Determina: El valor de la velocidad máxima y mínima de la partícula durante su recorrido.
Una compañía puede vender a un precio de $110.00 cada unidad que produce. Si toda su producción de
un mes se vende y el costo de producción está dado por
C(n)  3n2  25n  650
Donde n es la cantidad de unidades producidas ¿Cuál será el número de unidades que se deben de
producir para que la utilidad sea máxima? Recuerda que la Utilidad U (n) está dada por
U (n)  V (n)  C(n)
Donde V (n) es la venta total.
3.
Un fabricante de cajas de desea emplear piezas de 8 x 15 pulgadas. Cortando cuadrados iguales en las
cuatro esquinas. Calcule las longitudes del lado del cuadrado por cortar de manera que cada caja sin
tapa tenga volumen máximo.
4.
Si un lado de un campo rectangular va tener como limite un río, halle las dimensiones del terreno
rectangular más grande que se puede cercar con 350 m de valla por los otros tres lados.
5.
Se desea construir un depósito cilíndrico con un volumen de 900 m3 de volumen. ¿Cuáles serán las
dimensiones del depósito para que se emplee el menor material posible en su construcción? El depósito
debe de tener las dos tapas.
21
Diferencial de una Función
XV. ACTIVIDAD
RECONOCE
A LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN COMO UNA APROXIMACIÓN DE LA VARIACIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE, CON BASE EN LA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE ESTA.
3.
Con base en la figura que se muestra
Nombra los elementos que se piden a continuación. Escribe una descripción de cada uno de ellos.
ELEMENTO
NOMBRE
DESCRIPCIÓN
x0
Δx
x0 + Δx
f(x0)
f(x0 + Δx)
T
Δy
dy
Δy - dy
22
4.
Con base en la figura anterior, describe la definición operacional de la diferencial dy de una función
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
5.
Escribe la condición de Δx para que dy sea una “buena” aproximación del valor Δy
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
XVI. ACTIVIDAD
RECONOCE LOS MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN CON BASE EN LA DEFINICIÓN OPERACIONAL DE
ESTA Y SU APLICACIÓN PARA EL CÁLCULO DE ERRORES EN PROBLEMAS RELACIONADOS A DISTINTOS ÁMBITOS DE ACTIVIDAD.
3.
Calcula la diferencial dy de las siguientes funciones. Simplifica algebraicamente el resultado.
FUNCIÓN
j.
y  2x 2  x  2
k.
y
l.
y  Sen(2 x 2  1)
m.
y  ln(Cos( x 2  3))
n.
y
DESARROLLO
x2  1
x2
e2 x  1
ex
23
Calcula la diferencial dy de las siguientes funciones. Simplifica algebraicamente el resultado.
a.
f ( x)  x3  2 x 2  x  2
b.
y  (3s 2  1)(s  3)
c.
g ( x) 
1
x4
d. h(t )  t 3  1
e. r ( )  Sen(2  38 )
f.
s (r )  e r
2
1
g. u  ln(x  5)
h. F ( z)  (ln z 2  1)(e z3 )
i.
4.
V (r ) 
4r 3  1
r2  2
Utiliza el concepto de diferencial dy para aproximar el valor de cada uno de los casos siguientes.
Comprueba la aproximación (calcula el error) con ayuda de tu calculadora científica.
VALOR A CALCULAR
a.
DESARROLLO
24
b.
3
c.
Sen(460 )
d.
Cos (1230 )
33
24
5.
Determina el valor de Δy, dy y el error para las condiciones dadas en cada caso.
CONDICIONES
DESARROLLO
f ( x)  x 2  x  2;
a.
x0  2;
x  0.001
s (t )  t 2  1;
b.
t 0  5;
t  0.0002
V ( r )  43 r 3 ;
c.
r0  2.25;
r  0.01
P(t )  10e0.003t
d.
t0  0;
t  6
6.
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina el valor estimado y , dy y el error en el cálculo
de y  dy .
a.
f ( x)  x4  5x3  5x2  2x  26 cuando x  1 y x  0.003
b.
y
c.
f ( x)  3 x  11 cuando x  21 y x  1
d.
f ( x)  Sen( x2 ) cuando x 
e.
f ( x)  e x 2 cuando x  5 y x  0.001
x 1
cuando x  2 y x  0.5
x3  1

3
y x 

3
25
XVII. ACTIVIDAD
RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.
1.
Resuelve los siguientes problemas utilizando los conceptos de diferencial, error medio y error
porcentual, según se requieran en cada caso. Anota el proceso y resultados en tu cuaderno de apuntes.
a.
Debido al uso, un balín de hierro que tiene 15 cm de radio, sufre un desgaste hasta que su radio
disminuye a 14.7 cm. Determina la disminución en el volumen y el área del balín.
b.
Un disco metálico se dilata de manera que su radio aumenta de 25 cm a 25.03 cm. Calcula el valor
aproximado del incremento del área.
c.
Un tubo de cobre tiene una longitud de 25 cm de largo. Si el diámetro interior del tubo es de 2 .5 cm
y el espesor de éste es de 0.57 cm, calcula el valor aproximado del cobre empleado en el tubo.
d.
Un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 m. La altura mide 8 m con un error posible de 2.0 cm.
Evalúa una aproximación al error máximo del volumen. El volumen de un cilindro está dado por
V  2r 2 h
e.
Un móvil se mueve según la relación s(t )  5t 2  3t , donde s (t ) representa el espacio recorrido
medido en metros y t el tiempo medido en segundos. A) ¿Cuál es la distancia recorrida entre el
lapso de 9 a 9.001 s? B) Estima el error s  ds en el cálculo de la distancia recorrida en los
mismos tiempos.
f.
Determina un valor aproximado de: A)
g.
La obstrucción de las arteriolas es una de las causas de la hipertensión sanguínea. Se ha
comprobado experimentalmente que cuando la sangre fluye por una arteriola de longitud dada, la
diferencia de presión de en los dos extremos de la arteriola es inversamente proporcional a la
cuarta potencia del radio. Suponga que el radio de una arteriola disminuye en un 10%. Use
diferenciales para calcular el cambio porcentual en la diferencia de presión.
3
9 , B) 4 17 sin uso de la calculadora.
26
Calculo Integral
XVIII.
ACTIVIDAD
RECONOCE A LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN COMO LA ANTI DERIVADA O PRIMITIVA DE LA FUNCIÓN Y CON BASE EN ESTO DETERMINA LA
INTEGRAL INDEFINIDA DE FUNCIONES ELEMENTALES.
4.
Describe el concepto de Anti derivada o Primitiva de una Función:
ANTI DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
5.
En la notación de la Integral Indefinida (Anti Derivada) de una función
 f ( x)dx  F ( x)  C
Nombra los elementos que se piden a continuación. Escribe una descripción de cada uno de ellos.
ELEMENTO
NOMBRE
DESCRIPCIÓN
f(x)
 ......dx
F(x)
C
6.
Describe la interpretación geométrica de la Constante de Integración
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN
27
XIX.
ACTIVIDAD
RECONOCE LOS MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN UTILIZANDO LAS FORMULAS DE
INTEGRACIÓN PARA FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.
1.
Con base en el concepto de Anti derivada, escribe la Formula de la Integral Indefinida

x
dx con α un
número real cualesquiera distinto de -1.
FORMULA DE LA INTEGRACIÓN PARA

x
2.

x
dx
dx
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina la Integral Indefinida dada
INTEGRAL
DESARROLLO
a.
 x dx 
b.
 x dx 
c.
x
d.
 x 4 dx 
e.
x
f.
5
xdx 
g.

x 6 dx 
h.

1
dx 
x
1
i.
4
4
7
3
dx 
1
7
2
5
dx 
x3
dx 
28
3.
Utilizando la fórmula para la integral

x
dx , determina las siguientes Integrales Indefinidas. Resuelve en
tu cuaderno de apuntes
a.
 x dx
b.
 s ds
c.
d.
4.
2
e.

f.
 x 3 dx

g.

w
h.
x
6
dw
T
 161
2
7
xdx
j.
u
 5 d
k.
s
6
1
i.
1
5
7
 75
ds
9
1
 3 V 7 dV
Escribe las Propiedades de la Integral Definida que se piden en cada caso:
a.
 kdx
b.
 xdx
c.
x
FORMULA
1
dx
dx  dx 
x
x
1
Completa las siguientes Fórmulas para las distintas integrales indefinidas, donde k es una constante
cualesquiera:
INTEGRAL INDEFINIDA
6.
du
dx
INTEGRAL INDEFINIDA
5.
dT
a.
 k  f ( x)dx
b.
 [ f ( x)  g( x)]dx
FORMULA
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina la Integral Indefinida, utilizando las formulas
elementales del cálculo y las propiedades de la Integral Indefinida.
a.
 9x
b.
 (x
c.

d.
 3

7 2 
2
  2    5  3     2 d


2
4
dx
e.
 3w 4 5 w 3

2
  4  2  2w  3w  1dw


f.
  4t
g.
 
 2x3  3x 2  7 x  8)dx
6x3 dx

3
3
 2t  4
x2 
5 
dt
6t 
5
3 1

 dx
3
x
x x
29
XX.
ACTIVIDAD
RECONOCE LOS MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN
PRIMITIVA DE LA FUNCIÓN A INTEGRAR.
1.
Calcula la constante de integración para la integral indefinida de la función dada, bajo las condiciones
iniciales que se indican.
INTEGRAL Y CONDICIONES
2.
DADAS CONDICIONES (INICIALES) DE LA
a.
f ( x)  12x 2  6 x  2 con F (2)  3
b.
f ( x)  6x4  5x  1 con F (3)  5
DESARROLLO
Calcula la constante de integración para la integral indefinida dadas, bajo las condiciones iniciales que
se indican.
a.
 (
b.
 x2
  2  x  1 
2
 4  3)d con R( )  1
3
 dx con H (1)  10
x 
c.

d.
 
3
8 x 5 dx con F (2)  0
 4y
1 
 2  2 dy con u(5)  2
5
y 
30
XXI.
ACTIVIDAD
RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA Y CONSTANTE DE INTEGRACIÓN.
1. Resuelva los siguientes problemas aplicando la integral indefinida.
4  5t
2
a.
Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiara a razón de
mes. Si la población actual es de 10,000 ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?
b.
Se estima que dentro de t años el valor de cierta parcela se incrementara a razón constante de V ' (t ) dólares
por año. Halle una expresión para la cantidad en la cual aumentará el valor de la tierra en los próximos 5 años.
c.
La utilidad marginal (derivada) de cierta compañía es 100 2q dólares por unidad cuando se producen q
unidades. Si la utilidad es de $700 dólares cuando se producen 10 unidades ¿Cuál será la utilidad máxima
posible de la compañía?
d.
Se sabe que un árbol crece de tal forma que después de t años su altura h(t ) cambia a razón de
3
personas por
h´(t )  0.23 t 2  t pies/año. Si el árbol tenía 2 pies de altura cuando se plantó ¿Cuál será la altura después
de 27 años?
31
Técnicas de Integración
XXII.
ACTIVIDAD
RECONOCE LOS MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES
UTILIZANDO DISTINTAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN: INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE,
FRACCIONES PARCIALES E INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
1.
INTEGRACIÓN
POR PARTES,
INTEGRACIÓN
DE
Describe los métodos y procedimientos para la Integración de funciones algebraicas y trascendentes
utilizando la técnica de Integración por Cambio de Variable.
DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR C AMBIO DE VARIABLE (EJEMPLO)
2.
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina la Integral Indefinida dada de funciones
algebraicas o trascendentes, utilizando la técnica de Integración por Cambio de Variable.
INTEGRAL
a.
 ( x  5)
b.
 8(8x  3)
c.
 (2x  3) dx
d.

e.
 Cos ( )Sen( )d
7
DESARROLLO
dx
5
dx   (8x  3)5 8dx
4
3s  1ds
4
32
a.
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina la Integral Indefinida dada de funciones
algebraicas o trascendentes, utilizando la técnica de Integración por Cambio de Variable.
2
2dy
dy  
2y  3
2y  3
b.

c.
 Sen(8t )dt
d.
 3e
d   e3 3d
e.
 (x
 5)2 (3x2 )dx
f.
6T 2
 T 3  1 dT
g.

h.
x
i.
 (x
j.
 2 x  3dx
k.
 te
l.
3
3
5v
2v 2  3
dv
3x 2  1dx
5
 5x)8 (5x 4  5)dx
dx
3t 2

dt
2d
4 2
33
XXIII.
ACTIVIDAD
RECONOCE LOS MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES
UTILIZANDO DISTINTAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN: INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE, INTEGRACIÓN POR PARTES, INTEGRACIÓN DE
FRACCIONES PARCIALES E INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
1.
Describe los métodos y procedimientos para la Integración de funciones algebraicas y trascendentes
utilizando la técnica de Integración Por Partes.
DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR PARTES (EJEMPLO)
34
2.
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina la Integral Indefinida dada de funciones
algebraicas o trascendentes, utilizando la técnica de Integración por Partes.
INTEGRAL
a.
 xe
b.
 x e dx
c.
r
d.
 y Sen(3y)dy
3.
x
DESARROLLO
dx
2 x
3
ln(r )dr
2
Para cada uno de los ejercicios siguientes, determina la Integral Indefinida dada de funciones
algebraicas o trascendentes, utilizando la técnica de Integración por Partes.
a.
t
b.
x e
c.
x
d.

e.
 Cos(4 )d
f.
e
2 3t
e dt
5 4x
5
7
dx
ln(x)dx
ln()d
3
3s
Sen(2s)ds
35