A t - Campus Virtual - Universidad del Valle

Para qué se modula?
Fundamentos de Modulación Digital
Comunicación Digital
Fabio G. Guerrero
Universidad del Valle
Para obtener tamaños de antena razonables en una radio
transmisión. (Ej: las antenas para teléfonos celulares
tienen típicamente longitud λ/4).
Para compartir un mismo medio de transmisión, por
ejemplo, el espectro electromagnético (FDM).
Para minimizar los efectos de la interferencia.
Para poner una señal en una banda de frecuencia donde
los requerimientos de diseño (e.g. filtrado y
amplificación) puedan cumplirse con mayor facilidad.
Para aumentar la eficiencia espectral y aprovechar al
máximo la capacidad de un canal.
1
Técnicas de Modulación Digital
Pasabanda
Propiedades deseables
Densidad Espectral de Potencia compacta (eficiencia de
ancho de banda). Lóbulo principal angosto y curva de
caida de lóbulos laterales rápida.
Buen desempeño BER (Bit Error Rate) en presencia de
AWGN, interferencia cocanal, canales adyacentes,
fading, ISI, etc.
Propiedades de la envolvente. La envolvente de la señal
modulada debe ser relativamente constante.
2
La modulación pasabanda se puede definir como el proceso
mediante el cual la amplitud, frecuencia, o fase de una
portadora de RF, o una combinación de estas, es variada de
acuerdo a la información a transmitir.
s t = At cos t t = 0 t t s t =Re [ At e
3
j 0 t
]=At cos [ 0 t t ]
4
Coeficiente de Amplitud
Detección Coherente vs No coherente
El coeficiente de amplitud que aparece en las expresiones
analíticas siguiente se deriva así:
Detección coherente: cuando el receptor explota el
conocimiento exacto de la fase de la portadora para
detectar las señales. Entre los esquemas de este tipo están:
PSK, FSK, ASK, CPM, y combinaciones híbridas.
Detección no coherente: cuando la demodulación se
realiza sin usar el valor de la fase de la señal de entrada.
Entre los esquemas de este tipo están: DPSK, FSK, ASK,
CPM, e híbridos.
s t = A cos t
A es valor pico de la onda, por tanto
s t = 2 Arms cos t= 2 A
2
rms
cos t
A2rms representa la potencia normalizada. Así:
s t= 2 P cos t=
2E
cos t
T
5
Amplitude Shift Keying
6
OOK
La expresión analítica general para ASK es:
s i t =
2 E i t T
cos 0 t 0t T
i=1, , M
ASK binario (a.k.a OOK) fue una de las primeras formas de
modulación digital empleadas.
7
Fuente: Digital Communications. Glover&Grant. Prentice Hall, 1998
8
Frequency Shift Keying
La expresión analítica general para la modulación FSK es:
s i t =
2E
T
cos i t 0t T
i=1, , M
9
Fuente: Digital Communications. Glover&Grant. Prentice Hall, 1998
10
Fuente: Digital Communications. Glover&Grant. Prentice Hall, 1998
12
Phase Shift Keying
PSK se desarrolló a los inicios del programa deep-space. Hoy
en día es ampliamente utilizado en sistemas de
comunicaciones comerciales y militares.
s i t =
2E
T
[
]
cos 0 t i t i t =
2i
0t T
i=1, , M
i=1,
, M
M
11
Amplitude Phase Keying
Constelación de fase 8-PSK
Q
0.0000 + 1.0000i
-0.7071 + 0.7071i
-1.0000 + 0.0000i
-0.7071 - 0.7071i
Es una combinación de ASK y PSK. La expresión
analítica general es:
s i t =
0.7071 + 0.7071i
2 E i t T
[
cos 0 t i t ]
0t T
i=1, , M
1.0000 + 0.0000i
I
0.7071 - 0.7071i
-0.0000 - 1.0000i
13
14
Mínima separación y BW en MFSK
Detección de señales en AWGN
El modelo pasabanda del proceso de detección es
virtualmente idéntico al modelo banda base.
Esto se debe a que una onda pasabanda recibida se
transforma primero en una onda bandabase antes de que
tenga lugar el paso final de detección.
Para sistemas lineales, las matemáticas de la detección no
cambian por un desplazamiento en frecuencia.
Muchos sistemas de comunicación digital se describen y
analizan como si fueran bandabase.
15
El BW de la señal en FSK significa la cantidad de
espectro que debe estar disponible para el conjunto Mario completo de tonos (fi).
Para tonos adyacentes el espectro de un tono tiene ½ 1/T
de espectro en los tonos a cada lado.
Por lo tanto el BW de señalización es igual al espectro
que separa el centro de los tonos más ½ 1/T a cada lado.
Para el caso M-ario entonces el BW para MFSK
ortogonal con detección no coherente es M/T.
16
Separación entre tonos FSK coherente
Se puede probar que el mínimo espaciamiento entre
tonos para FSK coherente es
f 1 f 2=
Desempeño de Error Sistemas
Binarios
1
La probabilidad de que el detector de un receptor tome
una decisión incorrecta se denomina: probabilidad de
error de símbolo (PE).
Es conveniente especificar el desempeño de un sistema
por su probabilidad de error de bit (PB) aun cuando las
decisiones se tomen sobre símbolos para los cuales M >
2.
2T
Por lo tanto para la misma rata de símbolos FSK con
detección coherente puede ocupar menos BW
y
mantener todavía una señalización ortogonal.
El conocimiento de la fase de la señal hace menos
exigente el requerimiento de separación de tonos.
El BW para el conjunto de señalización M-ario en este
caso será M/2T.
Para el caso binario, por supuesto, PB = PE .
17
Eficiencia Espectral
C
R
= [bps/Hz ]
W
W
E b SNR S W
=
=
N0
N R
Recordemos:
RC
18
PB para BPSK Coherente
Se asumen señales equiprobables y solamente degradación
AWGN:
P B=Q
2 Eb
N0
Eb es la energía promedio de la señal por bit.
Este resultado de BPSK pasabanda es igual a la ecuación de
detección óptima para señalización antipodal en general.
20
PB FSK Binario Coherente
PB FSK Binario No coherente
Para el caso de señales ortogonales tales como FSK binario
(BFSK):
Se asume un conjunto {si(t)} de señales binarias FSK
ortogonales igualmente probables:
P B=Q
Eb
El detector tiene M = 2 canales de filtros pasabanda y
detectores de envolvente. En este caso el mínimo BW de los
filtros para que no exista ISI es Wf = R bps = 1/T.
N0
Este resultado es igual al que se obtuvo en el caso de
detección óptima binaria de señales ortogonales en bandabase
(pulsos unipolares).
Este resultado también aplica a la detección óptima de señales
ASK puesto que los si(t) son ortogonales.
21
1
Eb
P B= exp 2
2 N0
donde Eb = ½ A2T es la energía promedio por bit.
22
Bit Error Probability BEP
BEP
BFSK coherente
BFSK no coherente
BPSK coherente
Eb/N0
23
Fuente: Digital Communications. B.Sklar. 2002
24
PB DPSK binario
Se puede ver que para la misma PB (10-4 ), FSK no
coherente requiere aproximadamente 1 dB más Eb/N0 que
FSK coherente.
–
–
Sea el conjunto de señales BPSK:
Casi todos los receptores FSK usan detección no
coherente porque es más fácil de implementar.
x 1 t =
La ecuación de PB descrita en la ecuación anterior es igual
a PB para detección no coherente de señales OOK (ASK).
x 2 t =
25
Con DPSK la información se codifica en la similitud o
diferencia entre símbolos adyacentes.
N0
cos 0 t ± 0tT
0 t 2 T
s 2 t = x 1 , x 2 ó x 2 , x 1 0 t 2 T
{
{
I:
Q:
s 2 t
Algunas veces se usa codificación diferencial y detección
coherente para evitar esto. En este caso:
[ ]
T
0tT
s1 t = x 1 , x 1 ó x 2 , x 2
s 1 t
Algunas veces las ondas del canal sufren inversión, por
ejemplo cuando se usa una referencia coherente generada
por un PLL.
1Q
2E
cos 0 t 26
Se necesita un detector de energía sobre 2T donde las
señales de referencia I y Q ocurren en pares:
PB para DPSK Detección Coherente
2 Eb
T
En DPSK los datos van en la diferencia de fase entre señales
recibidas sucesivamente, es decir realmente cada bit se
transmite con el par de señales:
En la próxima sección se verá que entre FSK ortogonal
no coherente y DPSK no coherente existe la misma
diferencia de 3 dB que existe entre FSK y PSK
coherentes.
P B=2 Q
2E
I:
Q:
}
2 /T cos t , 2 /T cos t
2 /T sin t , 2/T sin t
2/ T cos t , 2 /T cos t
2 /T sin t , 2 /T sin t
0
0
0
0
0
0
0
0
}
Este DPSK es un esquema de detección no coherente
ortogonal, donde los si(t) tienen sobre 2T el doble de energía
que una señal definida sobre T. Por tanto,
2 Eb
N0
27
Eb
1
P B= exp 2
N0
28
BEP DPSK
BEP
Para PB 10-4 , DPSK requiere aprox, 1 dB más Eb/N0
que PSK.
Es más fácil implementar un sistema DPSK que un
sistema PSK ya que el receptor DPSK no necesita
sincronización de fase.
Por este motivo, aunque DPSK es menos eficiente,
algunas veces se prefiere sobre PSK.
La especificación Bluetooth define GFSK para R = 1
Mbps, (π/4-DQPSK) para R = 2, 8DPSK para R = 3
Mbps.
DPSK coherente
DPSK no coherente
Eb/N0
29
30
31
32
Resumen PB esquemas binarios
Curva ideal de PB
Para PB = 10-4 existe una diferencia de 4 dB entre el
mejor esquema (PSK coherente) y el peor (FSK no
coherente ortogonal).
En algunos casos 4 dB es un precio bajo que se paga por
la simplicidad de la implementación. En otros casos, aún
un ahorro de 1 dB vale la pena.
Se ha visto que las curvas típicas de PB vs Eb/N0 para
distintos esquemas de modulación digital binarios en
AWGN tienen forma de cascada.
Cuál debería ser la curva ideal de PB vs Eb/N0?
Además de PB y la complejidad del sistema existen otras
consideraciones. Por ejemplo, en canales con fading es
más deseable un receptor no coherente porque puede ser
difícil establecer y mantener una referencia coherente.
La característica ideal se conoce como el límite de
Shannon.
El límite representa el umbral de Eb/N0 debajo del cual
no se puede mantener una comunicación confiable.
33
34
Señalización M-aria
Eb
El procesador toma k bits a la vez e instruye al
modulador para producir una de M = 2k ondas.
La señalización M-aria mejora o degrada el desempeño
de error? (la respuesta a esta pregunta no es simple).
Para esquemas de detección coherente M-arios
ortogonales (e.g. MFSK) a medida que k (o M) aumenta
las curvas se mueven en dirección de la curva ideal.
Para esquemas de señalización de fase múltiple con
detección coherente (e.g. MPSK) las curvas se mueven
en dirección opuesta a la curva ideal.
2 1
N0
2 1
=ln 2
lim
0
35
36
PB señalización
ortogonal M-aria
detección coherente
PB señalización fase
múltiple detección
coherente
E b SNR S W
=
=
N0
N R
37
38
Vista vectorial de MPSK
Es/N0 fijo
n es el mínimo vector de ruido que haría que el
detector tome una decisión errónea.
39
Al aumentar M el sistema se vuelve más vulnerable al ruido,
se necesita menos energía para causar un error.
40
trade-off básico en MPSK: juntar más vectores en el
espacio de señal es similar a aumentar la rata de datos sin
aumentar el BW del sistema.
Es decir, aumenta la eficiencia en BW a expensas del
desempeño de error.
Vista vectorial de MFSK
Como se puede recuperar el desempeño de error?
–
Rta./ Aumentando el tamaño de los vectores.
En resumen: al aumentar M aumenta la eficiencia en BW
a expensas del desempeño de error, o, si no se desea
degradar PB , a expensas de Eb/N0.
41
En MFSK, al aumentar M las señales NO se vuelven más
vulnerables a vectores de ruido cada vez más pequeños
como en MPSK.
A medida que M aumenta la distancia entre un vector de
señal prototipo y cualquier frontera de decisión permanece
constante.
42
Probabilidad de error de símbolo
vs SNR para señalización FSK
coherente
Entender cómo aumenta PB al aumentar M se facilita
observando la curva de probabilidad de error de símbolo
(PE) vs SNR sin normalizar.
Se ve que al aumentar M las curvas se desplazan en
dirección opuesta a la curva ideal. (Hay algo anormal
aquí?)
Las señales no se vuelven más vulnerables a vectores de
ruido más pequeños pero al aumentar M se introducen
más regiones de decisión.
43
44
Al aumentar M, el número de formas en que se puede
cometer un error aumenta. Existen (M-1) formas de
cometer un error de símbolo.
Una SNR fija significa una cantidad fija de energía por
símbolo. Al aumentar M esta energía debe dividirse entre
un mayor número de bits.
El mejor desempeño de error al aumentar M se
manifiesta cuando se considera Eb/N0.
PE vs SNR
señalización
ortogonal
En este caso, estando SNR fija, al aumentar M la Eb/N0
requerida (para una PB dada) se reduce.
45
Eb
N0
=
S W
R=
N R
log 2 M
=
T
46
k
T
W es el BW de detección y T es la duración de un símbolo.
Entonces:
Eb
N0
=
S W
N R
=
S
WT
N log 2 M
=
S WT
N
k
Para FSK, W (en Hz) es típicamente igual en valor a la rata
de símbolos 1/T, es decir WT 1. Por tanto:
Eb
N0
S 1
Eb
N k
N0
47
S
N
1
k
= 20
1
10
= 2ó 3 dB 48
En sistemas de comunicación digital el desempeño de
error se considera casi siempre en términos de Eb/N0, ya
que esto permite una comparación útil entre sistemas.
La curvas de PE vs SNR se ven muy raras veces.
Una analogía para señalización ortogonal puede ser: al
comprar al por mayor, el precio del contenedor (SNR)
aumenta, pero el precio por bit (Eb/N0) disminuye .
PE para MPSK
Para razones energía-ruido grandes, PE(M) para PSK M-ario
detección coherente se puede aproximar por:
P E M 2 Q
2 Es
M
sin
N0
Es = Eb (log2M) es la energía por símbolo.
En la señalización ortogonal al usar símbolos que
contienen más bits se necesita más potencia (más SNR)
pero el requerimiento por bit (Eb/N0) disminuye.
Para DPSK M-ario con Es/N0 grande:
P E M M 1Q
49
Es
N0
50
PE para MFSK
PE para señalización equiprobable ortogonal M-aria con
detección coherente está limitada por:
PE(M)
MPSK
detección
coherente
P E M M 1Q
Es
N0
Es = Eb (log2M) es la energía por símbolo.
PE para señalización equiprobable ortogonal M-aria con
detección no coherente está dada por:
P E M =
51
1
M
exp
E s
N0
M
1 j
j=2
m exp
j
Es
j N0
52
M!
m =
j! M j !
j
es el coeficiente binomial estándar el cual da el número de
formas en las cuales j de M símbolos pueden estar erróneos.
PE señalización M-aria
ortogonal con detección
coherente
Para el caso binario la expresión general se reduce a :
Eb
1
P B= exp 2
2 N0
Al comparar PE(M) MFSK no coherente con su equivalente
coherente se puede ver que para k > 7 la diferencia es
despreciable.
53
54
PB vs PE para señales ortogonales
Se puede mostrar que la relación entre PB y PE para un
conjunto de señales ortogonales M-ario es:
PE señalización M-aria
ortogonal con detección no
coherente
PB
PE
=
2
k 1
k
2 1
=
M /2
M 1
Cuando k aumenta, en el límite se tiene:
lim
k 55
PB
PE
=
1
2
Con OS (como FSK) un error de decisión transforma una
decisión correcta en una de (M-1) señales incorrectas con
igual probabilidad.
56
PB vs PE para MPSK
Que un símbolo esté erróneo no
significa que todos los bits sean
erróneos. Por ejemplo, si el símbolo
011 es confundido con 111, sólo un
bit será erróneo.
En este caso los vectores de señal no son
equidistantes entre sí como el caso anterior:
Para M > 2, PB será siempre menor
que PE. En este ejemplo:
PB
PE
=
2
k 1
k
2 1
=
4
7
57
De ocurrir un error, un vector de señal será confundido
con más probabilidad con sus vecinos más cercanos. (Ej:
011 010 ó 100).
58
Efectos de ISI
La probabilidad de que 011 sea confundido con 111 es
relativamente remota.
En esquemas no ortogonales como MPSK se usa con
frecuencia el código Gray de modo que un símbolo
erróneo afecte la menor cantidad de bits.
Hasta ahora en este análisis siempre se ha asumido que
no existe ISI, solamente AWGN.
En la práctica, ISI es con frecuencia una segunda fuente
de interferencia.
Esta puede ocurrir, por ejemplo, por el uso de filtros
limitadores de banda en la cadena T/C/R.
Usando el código Gray se puede mostrar que:
P B
BPSK: PE = PB
QPSK: PE 2 PB
PE
log 2 M
para P E 1
59
El resultado es una degradación de PB, tanto en detección
coherente como no coherente.
Calcular PB en presencia de ISI es mucho más
complicado porque involucra hc(t).
60
BPSK 180o
61
62
63
64
PSD 8-PSK
PSD para GMSK
65
66
16-QAM
QAM
Q
Los sistemas QAM muestran una ventaja definitiva en
potencia sobre los sistemas PSK cuando el número de
bits por símbolo debe ser mayor que tres (3).
-3 + 3i
Desde el punto de vista de la capacidad del canal los
sistemas QAM hacen un uso más eficiente del canal para
relaciones señal a ruido moderadas a grandes.
-3 + 1i
Es uno de los esquemas de modulación más ampliamente
usados en la actualidad. Por ejemplo, Los estándares
IEEE 802.11n, IEEE 802.16e definen: BPSK, QPSK, 16QAM y 64-QAM. 3GPP2 C.S0084-001-0 v2.0: QPSK,
8-PSK, 16-QAM, and 64-QAM modulation.
-3
3
1
I
-1
1
3
-1
-3
67
68
Pb QAM
Ejemplo 4-QAM
>> qammod(0,4)
-1.0000 + 1.0000i
>> qammod(1,4)
Pb=
-1.0000 - 1.0000i
Para una constelación QAM rectangular, asignación
Gray:
>> qammod(2,4)
2
1
1
Q
k
M
3k E b
M 1 N 0
1.0000 + 1.0000i
>> qammod(3,4)
1.0000 - 1.0000i
69
70
Porqué QAM?
71
72
El concepto de modulación adaptativa
Referencias
Codificación
Modulación
Canal
Fading
Detección
B. Sklar. Digital Communications: Fundamentals and
Applications. 2nd Edition. Prentice Hall. 2001.
Estimación
canal
Adaptación
Rate/Power
Predicción
canal
73
74