Funciones y cálculo infinitesimal: Integración

Funciones y cálculo infinitesimal: Integración
Matematicas
Funciones y cálculo infinitesimal: Integración
Imagen en Wikimedia Commons de Dcoetzee bajo dominio público
1. Primitivas. Cálculo de primitivas inmediatas
Históricamente, la noción de integral es anterior a la de derivada. Esta surge al intentar calcular el área de ciertas
figuras.
Arquímedes fue el primero que da una cierta aproximación de como calcular el área que se encuentra bajo una
cierta curva mediante su método de exhaución, método que consistía, básicamente, en inscribir y circunscribir
poligonales en la curva o recinto en cuestión. Estas eran cada vez más cercanas y calculaba las áreas de estas
poligonales como aproximación de la superficie inicial. Para acercarnos a la idea que expone este método te
proponemos el siguiente applets de Geogebra.
El cálculo integral toma un gran impulso con Newton y Leibniz en el siglo XVIII. Estos matemáticos geniales son
considerados los padres del cálculo integral.
A pesar de este gran impulso que recibe el cálculo integral no se resuelve totalmente el problema hasta un siglo
más tarde con Cauchy y Riemann.
A través de la siguiente imagen puedes acceder a una simulación (de matematicafpu bajo CC) en la que ver cómo
se utiliza el método de exhaución y cómo se puede aproximar por defecto y por exceso el área delimitada por una
función, el eje de abscisas y dos ordenadas a y b.
Actividad
La función F(x) es primitiva de una función f(x) si se cumple que F'(x)=f(x). Teniendo en cuenta
esta definición de integral, cualquier función de la forma F(x)+C es también primitiva de f(x).
Al conjunto de todas las primitivas de f(x) se le llama integral indefinida de f(x) y se representa:
Ejemplo
Una rápida lectura de la definición anterior nos lleva a pensar que integrar una función es el proceso inverso de
derivar. Al integrar una función obtenemos una nueva F(x)a la que llamaremos primitiva de la anterios y a la que,al
derivarla, obtenemos la función de partida. Veamos esto con un ejemplo:
3
2
Sabemos que (x )'=3x , así pues:
donde C es una constante cualquiera.
Establezcamos varias reglas básicas para integrar funciones:
donde k simboliza a cualquier número real.
Es decir, que para calcular la integral de la suma o la resta de varias funciones basta con calcular las integrales
independientes y sumar sus resultados. Para integrar un número por una función simplemente integraramos la
función dada y el resultadolo multiplicamos por el número en cuestión.
Vamos a observar unas integrales inmediatas de funciones simples:
Funciones potenciales:
Funciones trigonométricas:
Funciones inversas de las trigonométricas:
Funciones exponenciales:
Imagen en deviantart de cintianightmare bajo CC
Funciones logarítmicas:
Pregunta de Elección Múltiple
Calcula las siguientes integrales:
Incorrecto
Incorrecto
Opción correcta
Solución
1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Opción correcta (Retroalimentación)
Opción correcta
Incorrecto
Incorrecto
Solución
1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)
En la primera hoja de este documento (de José Luis Alejandre Marco y Ana Isabel Allueva Pinilla bajo CC) puedes
encontrar actividades resueltas para practicar estos conceptos.
2. Calculo de primitivas inmediatas de funciones
compuestas
En ocasiones, es necesario integrar funciones compuestas de dos funciones
elementales. Para determinar estas integrales, disponemos de una serie de reglas
para facilitar nuestra labor.
Las integrales inmediatas para funciones compuestas son análogas a las
anteriores como vemos a continuación:
Imagen en Flicker de Shermeee bajo CC
Actividad
Funciones potenciales
Importante
Funciones trigonométricas:
Funciones inversas de las trigonométricas
Importante
Funciones exponenciales
Importante
Funciones logarítmicas
Veamos algún ejemplo:
Hay que darse cuenta de que la función que está en el numerador es la derivada de la que está en el denominador
entonces atendiendo a la fórmula:
Por lo que quedaría:
Por tanto básicamente lo que hay que buscar con este tipo de integrales es la función y su derivada, o "algo
parecido", y aplicar alguna de las fórmulas anteriores.
Veamos que queremos decir con lo de "algo parecido" a la derivada.
En esta función aparece una función como 3x+1 y algo parecido a su derivada x, para integrar actuamos de la
siguiente forma:
Lo que hacemos es transformar la x en la derivada de la función y como para transformarla tenemos que
multiplicar, dividimos por el mismo número. La fracción numérica resultante la extraemos de la raíz por una de las
propiedades anteriores con lo que queda la integral anterior.
Reflexión
Calcula la siguiente integral:
En primer lugar tenemos que identificarla con alguna de las integrales inmediatas expuestas
anteriormente, claramente la relacionamos con la de la exponencial del número "e". La
expresión que multiplica a la exponencial no es exactamente la derivada del exponente, pero
si es una expresión muy parecida. Veamos como se calcula:
Determina la opción correcta
Determina la opción correcta:
Incorrecto
Opción correcta
Incorrecto
Incorrecto
Solución
1.
2.
3.
4.
Incorrecto (Retroalimentación)
Opción correcta (Retroalimentación)
Incorrecto (Retroalimentación)
Incorrecto (Retroalimentación)
Sugerencia
Incorrecto
Incorrecto
Opción correcta
Incorrecto
Solución
1.
2.
3.
4.
Incorrecto (Retroalimentación)
Incorrecto (Retroalimentación)
Opción correcta (Retroalimentación)
Incorrecto (Retroalimentación)
Caso de estudio
Aquí tienes un listado de actividades (de oregueras bajo CC).
Y aquí las soluciones.
3. Integral definida. Calculo de integrales sencillas
Actividad
Regla de Barrow
Si f es una función continua en un intervalo
F'(x)=f(x). Entonces se cumple que:
[a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), es decir,
Es decir para calcular una integral definida entre dos
extremos, lo primero que tenemos que hacer es calcular
la integral indefinida, después calcular los valores que
toma la primitiva en cada extremo y, por último, calcular
la resta de ambos.
Veamos a continuación un ejemplo:
Calculamos la integral indefinida o primitiva
Imagen en Flickr de LaMenta3 bajo licenciaCC
Calculamos el valor de la primitiva en los dos extremos
Aplicando la regla de Barrow
Importante
Veamos ahora algunas propiedades importantes de las integrales definidas teniendo en cuenta
que f(x) es una función continua en [a, b]:
Reflexión
Determina las siguientes integrales:
a. Calculamos:
Una primitiva
Su valor en los extremos
Aplicamos la regla de Barrow
b. Calculamos:
Una primitiva
El valor en los extremos
Aplicamos la regla de Barrow
Pregunta de Elección Múltiple
Determina el valor de las siguientes integrales:
6
0
12
Incorrecto
Incorrecto
Opción correcta
Solución
1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Opción correcta (Retroalimentación)
2
e +e
Opción correcta
Incorrecto
Incorrecto
Solución
1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)
Volvemos ahora a nuestro problema inicial y cómo calcular el área contenida entre una función y el eje de abscisas.
El paso previo para constestar a esa pregunta, es la definición de integral definida.
4. Cálculo de áreas de recintos sencillos mediante la
integral definida
Por último veamos como calcular áreas encerradas en recintos sencillos:
Si nos encontramos con un recinto como el de la figura en el que la hay
una única función f(x) positiva en todo el intervalo de integración [a, b]
para calcular el área del recinto coloreado basta con calcular la integral
definida de la función f(x) entre los extremos a y b, es decir basta con
calcular:
Si queremos calcular el recinto que encierra esta segunda gráfica,
tenemos que tener en cuenta que la medida de una superficie siempre es
positiva, y que en las propiedades de las integrales definidas teníamos
que cuando una función es negativa en un intervalo la integral definida en
ese intervalo de dicha función es negativa, por lo que si queremos
calcular el área del recinto coloreado tendremos que cambiar el signo de
la función en el recinto que se encuentra por debajo del eje de abcisas, es
decir:
Por último, si queremos calcular el área encerrada entre dos funciones
como aparecen el dibujo adjunto habría que calcular el área que encierra
la función superior y restarle el área que encierra la función inferior en el
intervalo de integración que deseemos, o lo que es lo mismo:
Reflexión
Apartado a.
a. El
área
que
Apartado b.
queremos
calcular
Apartado c.
está
2
encerrada por la función f(x)=x +2x, el eje de
abcisas y la recta x=4. Dicha área se calcula con
la integral:
b. Este área la calcularemos de dos formas
diferentes:
El recinto del que queremos calcular el
área consta de dos partes, la primera de
ellas se encuentra debajo del eje de abcisas
por lo que para calcular el área tenemos
que cambiar el signo de la función. Como
exponíamos anteriormente, quedando:
Este área tambien se podría calcular teniendo en cuenta que la función es
simétrica y que el área de la parte de la izquierda es igual que el de la derecha por lo
que quedaría:
c. Para calcular el área que encierra este último
recinto, en pirmer lugar hay que determinar los
límites de integración. Este proceso resulta
sencillo sin más que igualar ambas funciones y
calcular los valores de x:
Como podemos apreciar en la figura, la función f(x) está por encima de la función g(x), por
lo que el área del recinto quedaría:
Pregunta de Elección Múltiple
Determina el área de las siguientes regiones:
2
La región limitada por la función y=x -4, el eje de abcisas y las rectas x=3 y x=4
6
25/3
7
Incorrecto
Opción correcta
Incorrecto
Solución
3. Incorrecto (Retroalimentación)
La región limitada por las rectas y=x; y=-x; x=3
9
9/2
-9
Opción correcta
Incorrecto
Incorrecto
Solución
1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)
2
La región encerrada por la función y=x -4 y el eje de abcisas
-32/3
10
32/3
Incorrecto
Incorrecto
Opción correcta
Solución
1. Incorrecto (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Opción correcta (Retroalimentación)
Aquí tienes un listado de actividades (de M.ª Ángeles Pajuelo bajo CC) con las que puedes practicar el cáclulo de
áreas. Son aquellos ejercicios ubicados bajo el apartado denominado "Regla de Barrow" (pág. 2). También puedes
encontrar las soluciones al final del documento.
En este documento (de elenasanz bajo CC ) también puedes practicar las integrales definidas y los cálculos de
áreas.
5. Ejercicios resueltos de pruebas de acceso anteriores
Para finalizar este tema, vamos a resolver los ejercicios que se han preguntado sobre el mismo en exámenes de la
PAU en cursos anteriores.
Es recomendable que antes de mirar la solución, los intentes previamente, por si no hubieran salido del todo
correctos, aprender del error y coger práctica.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Prueba de Acceso a Grados para Mayores de 25 años - Año 2008
2
Represente en un mismo gráfico la parábola de ecuación y = x y la recta de ecuación y = 2x y
halle el área del recinto limitado por las gráficas.
Nota: En este ejercicio se utilizarán conocimientos básicos del cálculo integral.
6. Apéndice
Imagen en Flickr de osde8info bajo CC.
6.1. Para saber más
Para saber más
En la siguiente web dispones de un integrador, donde tan solo tienes que indicar la función a
integrar y pulsando sobre el boton azul Compute Online with Mathematica te mostrará la integral
de la función. La aplicación es muy útil para practicar las actividades realcionadas con las
integrales.
Accede haciendo clic en la imagen
6.2. Curiosidades
Curiosidad
Aquí puedes ver una pequeña introducción a los orígenes del cálculo infinitesimal y la dura batalla
que libraron Newton y Leibnitz por la "paternidad" del descubrimiento
Pre-conocimiento
En este video puedes aprender algo mas sobre la historia del cálculo diferencial. A pesar de estar
en inglés, puedes colocar subtítulos y traducirlos con la herramienta de Youtube