Tema 1 Sucesiones de números reales Teor´ıa

Tema 1
Sucesiones de números reales
Teorı́a
1.0
Preliminares
Definición 1.0.1 (Sucesión)
Una sucesión de números reales es una aplicación a : N → R o bien a : N∗ → R.
Además de la notación a(n), habitual para funciones, se utilizan también (an )n∈N , [an ]n∈N
o simplemente an .
Los números reales a0 , a1 , a2 , . . . se llaman términos de la sucesión.
Para definir una sucesión es necesario dar una regla que permita calcular an para cada
número natural n. Esto se puede hacer de modo explı́cito y por recurrencia.
Ejemplo 1.0.2
La sucesión [0, 2, 4, 6, . . . ] de los números pares se puede definir dando la expresión explı́cita de
su término general an = 2n si n ≥ 0.
La misma sucesión se puede definir recursivamente, expresando cada término en función de
los anteriores y proporcionando los valores iniciales necesarios: a0 = 0, an+1 = an + 2 si n ≥ 0.
En general, una progresión aritmética, [a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, . . . ], se puede definir
explı́citamente por an = a + nd si n ≥ 0 y recursivamente por a0 = a, an = an−1 + d si n ≥ 1.
De modo análogo, una progresión geométrica, [a, ar, ar2 , ar3 , ar4 , . . . ], se puede definir explı́citamente por an = arn si n ≥ 0 (r 6= 0) y recursivamente por a0 = a, an = ran−1 si n ≥ 1.
Ejemplo 1.0.3
A veces, para definir una sucesión se listan sus primeros términos, deteniéndose cuando la regla
de formación parece evidente. Tal es el caso de la sucesión [1, −1/2, 1/3, −1/4, 1/5, −1/6, . . . ],
n−1
n
cuya expresión explı́cita puede ser an = (−1)n
si n > 0 o también an = (−1)
si n ≥ 0.
n+1
Ejemplo 1.0.4
La sucesión an = n! si n ≥ 0 se puede definir recursivamente por a0 = 1, an = nan−1 si n ≥ 1.
Ejemplo 1.0.5
La sucesión de Fibonacci
1
1
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ] se puede definir recursivamente por a0 = 0,
Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci (1180-1250).
2
Tema 1. Sucesiones de números reales
a1 = 1, an+2 = an+1 + an , si n ≥ 0. Más adelante se verá cómo obtener una expresión explı́cita
equivalente.
Definición 1.0.6 (Sucesión acotada)
(a) Se dice que una sucesión an está acotada superiormente si y sólo si el conjunto de sus
términos está acotado superiormente, es decir, existe K ∈ R tal que an ≤ K para todo
n ∈ N.
(b) Se dice que una sucesión an está acotada inferiormente si y sólo si el conjunto de sus
términos está acotado inferiormente, es decir, existe k ∈ R tal que k ≤ an para todo
n ∈ N.
(c) Se dice que una sucesión an está acotada si y sólo si lo está superior e inferiormente, es
decir, existe M ∈ R tal que |an | ≤ M para todo n ∈ N.
Ejemplo 1.0.7
(−1)n−1
(a) La sucesión
está acotada, pues |an | ≤ 1 para todo n ∈ N − {0}.
n
(b) La sucesión de Fibonacci no está acotada, pues an ≥ n para todo n ∈ N − {2, 3, 4}, cosa
que puede probarse por inducción, luego para todo M ∈ R existe n ∈ N tal que an > M .
Definición 1.0.8 (Sucesión monótona)
Se dice que una sucesión an es

creciente 


decreciente
si y sólo si para todo n ∈ N
estrictamente creciente 


estrictamente decreciente
En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona.

an



an
a


 n
an
≤ an+1
≥ an+1
< an+1
> an+1
Ejemplo 1.0.9
(a) La sucesión de los números pares es estrictamente creciente.
(b) La sucesión
(−1)n−1
no es creciente ni decreciente.
n
(c) La sucesión de Fibonacci, a partir de n = 2 es estrictamente creciente.
·
¸
n + 20
(d) La sucesión an =
, donde [x] denota la parte entera de x, es creciente a partir
10
de n = 3, pero no estrictamente.
Definición 1.0.10 (Lı́mite de una sucesión)
(a) Sucesión convergente: Se dice que un número real l es lı́mite de una sucesión an si
y sólo si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 |an − l| < ε
Es decir, para una tolerancia arbitraria (el número real positivo ε) existe un término de
la sucesión (el que ocupa el lugar n0 ) a partir del cual todos distan del lı́mite menos que
esa tolerancia.
Si l ∈ R es lı́mite de an , se dice que la sucesión es convergente o que converge a l y se
nota lim an = l, lim an = l o an → l.
n→∞
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Teorı́a 3
(b) Sucesión divergente: Se dice que una sucesión an tiene lı́mite ∞ (respectivamente,
−∞) si y sólo si
∀M ∈ R ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0
an > M
(respectivamente, an < M)
Es decir, fijada una cota (el número real M) existe un término de la sucesión (el que
ocupa el lugar n0 ) a partir del cual todos están por encima (respectivamente, por debajo)
de dicha cota.
Si lı́mite de an es ∞ (respectivamente, −∞), se dice que la sucesión es divergente a ∞ o
que diverge a ∞ (respectivamente, −∞) y se nota lim an = ∞, lim an = ∞ o an → ∞
n→∞
(resp. lim an = −∞, lim an = −∞ o an → −∞).
n→∞
Ejemplo 1.0.11
(a) Una sucesión constante, an = c para todo n ∈ N, es convergente y tiene por lı́mite la
propia constante c.
(b) La sucesión an =
(−1)n−1
es convergente y tiene lı́mite 0.
n
(c) La sucesión de los números pares, an = 2n, diverge a ∞.
(d) La sucesión an = −n diverge a −∞.
(e) La sucesión an = (−1)n , formada por [1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . ], no tiene lı́mite, ni finito ni
infinito.
Nota 1.0.12
(a) De la definición se deduce que lim an = l ∈ R ⇔ lim(an − l) = 0 ⇔ lim |an − l| = 0.
(b) El carácter de una sucesión (convergente o no convergente) y el lı́mite, cuando existe, no
dependen de sus primeros términos.
Ejemplo 1.0.13
Las sucesiones
an =
y bn =
1
n


 −n

 1
n
si n ∈ {1, . . . , 1000}
si n ≥ 1001
∀n ∈ N − {0} tienen el mismo carácter.
Proposición 1.0.14
Si una sucesión tiene lı́mite, finito o infinito, éste es único.
Proposición 1.0.15 (Álgebra de lı́mites finitos)
Si an y bn convergen a a y b respectivamente, entonces:
(a) an + bn converge a a + b.
(b) Para todo c ∈ R, c · an converge a c · a.
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(c) an − bn converge a a − b.
(d) an bn converge a a · b.
(e) Si a > 0, abnn converge a ab .
(f) Si b 6= 0, la sucesión
an
a
está definida a partir de cierto término y converge a .
bn
b
Proposición 1.0.16
Si an converge a l ∈ R y f es una función continua en l, entonces f(an ) converge a f (l).
Ejemplo 1.0.17
1
n−1
Puesto que la sucesión
converge a
y la función logaritmo neperiano es continua en
2n
2
1
n−1
(0, ∞), entonces la sucesión ln(
) converge a ln = − ln 2.
2n
2
Nota 1.0.18 (Álgebra de lı́mites infinitos)
El álgebra de lı́mites de sucesiones, cuando alguno de los lı́mites que aparecen es infinito, es
análoga al álgebra de lı́mites finitos, con las excepciones siguientes, llamadas indeterminaciones:
∞ − ∞,
0 · ∞,
∞
,
∞
0
,
0
1∞ ,
00 ,
∞0
Para resolver muchas de estas indeterminaciones es útil el siguiente resultado.
Proposición 1.0.19 (Regla de L’Hôpital)
Sean f, g : (a, ∞) → R dos funciones derivables tales que lim f (x) = lim g(x) = 0. Si existe
f 0 (x)
,
0
x→∞ g (x)
lim
x→∞
f (x)
x→∞ g(x)
entonces también existe lim
x→∞
y ambos coinciden.
Un resultado análogo es válido cuando lim f (x) = ±∞ y lim g(x) = ±∞.
x→∞
x→∞
Ejemplo 1.0.20
√
Al intentar calcular el lı́mite de la sucesión n n aplicando las propiedades del álgebra de lı́mites
√
se obtiene lim n n = lim n1/n = (lim n)lim(1/n) = ∞0 , que es una indeterminación.
√
Para resolverla, y teniendo
en cuenta que n n > 0 para todo n > 0, se toman logaritmos en
√
la expresión inicial, ln n n = ln n1/n = n1 ln n = (ln n)/n, y a continuación lı́mites,
lim
ln n
lim ln n
∞
=
= ,
n
lim n
∞
con lo que se obtiene otra indeterminación que puede resolverse por la regla de L’Hôpital. Se
consideran las funciones derivables f (x) = ln x y g(x) = x, entonces:
ln x
(ln x)0
1/x
= lim
= lim
= 0,
0
x→∞ x
x→∞ (x)
x→∞ 1
lim
ln n
= 0.
n √
√
√
Es decir, ln lim n n = lim ln n n = 0, de donde se deduce que lim n n = e0 = 1.
por tanto lim
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1.1
Resultados generales
Proposición 1.1.1
Toda sucesión convergente está acotada.
Demostración.
El resultado es consecuencia de la definición de lı́mite.
Sea an una sucesión convergente y llamemos l a su lı́mite. Por definición,
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0
|an − l| < ε
En particular, tomamos ε = 1, por ejemplo. Para dicho ε existe n0 ∈ N tal que para todo
n ≥ n0 se verifica |an − l| < 1. De aquı́ se deduce que −1 < an − l < 1 para todo n ≥ n0 y en
consecuencia l − 1 < an < l + 1. Ası́ an ∈ (l − 1, l + 1) para todo n ≥ n0 .
Por otro lado, como el conjunto {a0 , . . . , an0 } es finito estará acotado, y pongamos que m y
M son sus cotas inferior y superior respectivamente.
Por tanto, todo término de la sucesión an verificará que min{l−1, m} ≤ an ≤ max{l+1, M },
que es lo que querı́amos demostrar.
¤
El siguiente resultado se enuncia sin demostración.
Proposición 1.1.2
(a) Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
(b) Toda sucesión monótona creciente y no acotada tiene lı́mite ∞.
(c) Toda sucesión monótona decreciente y no acotada tiene lı́mite −∞.
Ejemplo 1.1.3
(a) La proposición anterior es muy útil para probar la existencia de lı́mites en el caso de
sucesiones definidas de modo recursivo. Por ejemplo
(i) la sucesión
an =
(
3
si n = 1
an−1
+ 1 si n ≥ 2
2
es convergente pues es monótona decreciente y acotada inferiormente (ambas cuestiones se probarı́an por inducción sobre n). Por tanto an tiene lı́mite finito, pongamos
an−1
l. Tomando lı́mites en la relación de recurrencia an =
+ 1, se tiene, aplicando
2
l
propiedades del álgebra de lı́mites, que l = + 1. Por tanto l = 2.
2
(ii) La sucesión recurrente a1 = 1, an+1 = an /2 + 3/4 es creciente y acotada, como se
puede probar por inducción, luego converge. Llamando l al lı́mite y tomando lı́mites
en la relación de recurrencia, se obtiene la ecuación l = l/2 + 3/4, cuya solución
l = 3/2 debe ser el lı́mite.
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(b) La sucesión an = rn es convergente si y sólo si r ∈ (−1, 1]. Además
Demostración.
Lo demostraremos por casos:

1 si r = 1



0 si |r| < 1
lim an =
∞
si r > 1



6 ∃ si r ≤ −1
• Si r = 1, la sucesión es la constante [1, 1, 1, . . . ], que tiene lı́mite 1.
• Si 0 ≤ |r| < 1, la sucesión |r|n es monótona decreciente (se prueba por inducción) y
acotada pues |r|n < 1, para todo n > 1. Luego es convergente.
Una forma de calcular el lı́mite consiste en definir recursivamente la sucesión. Ası́,
tenemos que |an | = |r| |an−1 |. Tomando lı́mites en la relación anterior tenemos que
l = |r| l, de donde l (|r| − 1) = 0. Como |r| 6= 1, entonces 0 = l = lim |r|n , de donde
lim rn = 0.
• Si r > 1, la sucesión an es monótona creciente (se probarı́a por inducción) y no
acotada (pues por reducción al absurdo, si estuviera acotada serı́a convergente y el
único lı́mite posible es l = 0, imposible en este caso). Por tanto, si r > 1 entonces
lim rn = ∞, esto es, la sucesión diverge a ∞.
• Si r ≤ −1 la sucesión ni converge ni diverge a ∞: los términos pares forman una
sucesión monótona creciente de términos positivos mientras que los términos impares
forman una sucesión monótona decreciente de términos negativos. Luego en este caso
an no tiene lı́mite.
¡
¢n
(c) Se puede probar, aunque no es trivial, que la sucesión 1 + n1 es creciente y acotada,
por tanto converge. Su lı́mite es, por definición, el número e.
¤
Proposición 1.1.4
Si an está acotada y bn converge a 0, entonces an bn converge a 0.
Demostración.
Tenemos que ver que
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que |an bn | < ε,
∀n ≥ n0
Fijemos un ε > 0, y veamos que para dicho ε existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se
verifica |an bn| < ε.
De la hipótesis tenemos que:
• an está acotada, esto es, ∃M ∈ R+ tal que ∀n ∈ N : |an | < M .
• bn converge a 0, esto es, si tomamos ε0 =
verifica |bn | < ε0 .
ε
, existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se
M
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Teorı́a 7
Combinando los dos resultados anteriores se tiene que, para todo n ≥ n0 ,
|an bn | = |an | |bn | < M ε0 = M
ε
=ε
M
como se querı́a demostrar.
¤
Ejemplo 1.1.5
sen (n π2 )
La sucesión cn =
tiene lı́mite 0 pues se puede expresar como el producto de dos
n
π
1
sucesiones: una de ellas acotada, an = sen (n ), y la otra, bn = , con lı́mite cero.
2
n
Proposición 1.1.6
(a) Si lim an = l < m (respectivamente, l > m), entonces existe n0 ∈ N tal que, para todo
n ≥ n0 , an < m (respectivamente, an > m).
(b) Si an ≥ 0 para todo n ∈ N y an es convergente, entonces lim an ≥ 0.
(c) Si an ≥ bn para todo n y ambas sucesiones son convergentes, entonces lim an ≥ lim bn .
Demostración.
Probaremos el apartado (a) para mostrar cómo pueden extraerse consecuencias de la definición
de lı́mite.
Puesto que an → l, si tomamos ε = m − l > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se
verifica |an − l| < ε. De aquı́ se deduce que −ε < an −l < ε para todo n ≥ n0 y en consecuencia
an < l + ε = l + (m − l) = m.
¤
Proposición 1.1.7 (Regla del sandwich)
(a) Si an ≤ bn ≤ cn para todo n ∈ N y lim an = lim cn , entonces bn converge al mismo lı́mite
que an y cn .
(b) Si an ≤ bn para todo n ∈ N y lim an = ∞, entonces lim bn = ∞.
(c) Si an ≤ bn para todo n ∈ N y lim bn = −∞, entonces lim an = −∞.
Demostración.
Probaremos el apartado (a). Los restantes se dejan como ejercicio para el curioso lector.
La tesis es que lim bn = lim cn o, equivalentemente, lim(bn − cn ) = 0. Por tanto habrá que
probar que
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que |bn − cn | < ε, ∀n ≥ n0
Fijemos un ε > 0.
• Como an ≤ bn ≤ cn entonces 0 ≤ cn − bn ≤ cn − an .
• Como lim an = lim cn entonces lim (cn − an ) = 0. Luego, dado ε > 0, existe un n0 ∈ N
tal que |cn − an | < ε, ∀n ≥ n0 .
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Por tanto, para todo n ≥ n0
|cn − bn | ≤ |cn − an | < ε
¤
como se querı́a probar.
Ejemplo 1.1.8
n!
(a) La sucesión n converge a 0, ya que
n
0≤
n n−1 n−2
1
1
n!
n(n − 1) · · · 1
1
=
= ·
·
· · · ≤ 1| ·{z
· · 1}
=
n
n
nn···n
n
n
n
n
n
n
y las sucesiones 0 y
(b) La sucesión
1.2
n−1
1
convergen a 0.
n
√
√
n
nn + 1 tiene lı́mite infinito, ya que n ≤ n nn + 1 y lim n = ∞.
Órdenes de magnitud
Los programas son implementaciones de algoritmos. Distintos programas pueden resolver un
mismo problema, ası́ pues surge la necesidad de poder compararlos por algún método, que puede
ser teórico o empı́rico. Dentro del modo empı́rico, una forma estándar de comparar programas
es elegir un conjunto de datos de entrada “tı́pico” y ver cómo de rápida es la ejecución de cada
programa propuesto. Lo malo de estos tests empı́ricos es que dependen fuertemente
• de la implementación realizada del algoritmo (un cambio de una lı́nea de código de un
programa puede afectar a la rapidez de la ejecución), y
• de la máquina en la que se ejecutan (dos programas distintos que resuelvan un mismo
problema ejecutados en una máquina y luego en otra pueden dar conclusiones diferentes).
Una alternativa muy útil a los tests empı́ricos consiste en comparar algoritmos en lugar de
programas, esto es, analizar la complejidad de los algoritmos. Por ejemplo, si diseñamos algún
algoritmo para ordenar los elementos de una lista de tamaño n, podemos considerar una función
de n, a(n), que mida el número de operaciones elementales realizadas por el algoritmo sobre
listas de tamaño n. La función anterior nos permite medir la rapidez con la que dicho algoritmo
lleva a cabo esa tarea pues nos da una estimación del coste computacional del algoritmo.
Otra pregunta que cabe plantearse es: y si hubiera varios algoritmos para resolver un mismo
problema, ¿cómo podemos decidir cuál es mejor?
En esta sección desarrollaremos las bases matemáticas para comparar complejidades de
algoritmos, esto es, los fundamentos matemáticos para contestar a esta última cuestión.
Definición 1.2.1 (Sucesión mucho menor que otra)
Se dice que la sucesión an es mucho menor que la sucesión bn , y se nota an ¿ bn , si y sólo si
an
lim
= 0.
bn
Esta definición implica que los términos de la sucesión bn deben ser no nulos a partir de uno
de ellos.
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Ejemplo 1.2.2
(a) 100n2 ¿ n3 .
1
¿ 1 − n1 .
n
√
n
(c) 2 n ¿ − sen n.
3
(b)
(d) sen n ¿ ln n.
Ejemplo 1.2.3
Si 0 < c < d entonces nc ¿ nd . En efecto,
lim
nc
1
= lim d−c = 0.
d
n
n
Ejemplo 1.2.4
Si 0 < c < d entonces cn ¿ dn , ya que
³ c ´n
cn
lim n = lim
= 0.
d
d
Ejemplo 1.2.5
Veamos que ln n ¿ np para todo p > 0.
Aplicando la regla de L’Hôpital se obtiene que para todo p > 0:
ln x
1/x
1
=
lim
=
lim
= 0.
x→∞ xp
x→∞ pxp−1
x→∞ pxp
lim
Por lo tanto lim
ln n
= 0.
np
Ejemplo 1.2.6
n
También con la regla de L’Hôpital es inmediato comprobar que lim n = 0, y por tanto n ¿ en .
e
Ejemplo 1.2.7
Si p > 0 y r > 1 entonces np ¿ rn . En efecto, razonando de manera análoga al ejemplo
anterior, se tiene que
µ
¶p
xp ³
x ´p
1
lim
= lim x/p = lim x/p
= 0.
x→∞ r x
x→∞ r
x→∞ r
(1/p) ln r
Luego lim
np
= 0.
rn
Ejemplo 1.2.8
Para todo r > 1, rn ¿ n!.
En efecto, consideremos la sucesión an = rn /n!, que se puede definir recursivamente por
(
a0 = 1
an = nr an−1 , n ≥ 1.
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Tema 1. Sucesiones de números reales
Ahora es fácil comprobar que an < an−1 para n > r y por lo tanto (an ) es monótona decreciente
para n suficientemente grande. Como además an ≥ 0 para todo n, se concluye que (an ) es
convergente. Entonces
r
lim an = lim lim an−1 = 0.
n
n
r
= 0.
Por tanto, lim
n!
Ejemplo 1.2.9
n!
Como ya se vio en el ejemplo 1.1.8, aplicando la regla del sandwich se deduce que lim n = 0
n
y por lo tanto n! ¿ nn .
Los ejemplos anteriores se pueden agrupar para obtener el siguiente resultado:
Proposición 1.2.10 (Jerarquı́a de infinitos)
Para todo 0 < c < d y todo 1 < r < s se verifica
ln n ¿ nc ¿ nd ¿ rn ¿ sn ¿ n! ¿ nn .
La jerarquı́a de sucesiones anterior no es exhaustiva.
Definición 1.2.11 (Sucesiones del mismo orden)
Se dice
¯ ¯que la sucesión an es del mismo orden que la sucesión bn , y se nota an ∼ bn , si y sólo si
¯ an ¯
lim ¯¯ ¯¯ = l ∈ R − {0}.
bn
Nota 1.2.12
• Esta definición implica que los términos de ambas sucesiones deben ser no nulos a partir
de uno de ellos.
• Si an ¿ bn entonces an 6∼ bn .
• Si an ∼ bn entonces ni an es mucho menor que bn ni bn es mucho menor que an .
Ejemplo 1.2.13
(a) 2n2 ∼ 3n2 + 1.
√
2n2
(b) √ ∼ n.
3
n
(c) ln n2 6∼ n.
(d) Si r > 1,
n3 + r2n
∼ rn .
rn
Definición 1.2.14
Determinar el orden de magnitud de una sucesión es calcular otra del mismo orden lo más
sencilla posible.
Ejemplo 1.2.15
Vamos a determinar el orden de magnitud de la sucesión an = 3 ln nn + 2n2 . Se tiene que:
(a) 3 ln nn ∼ ln nn = n ln n.
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(b) 2n2 ∼ n2 .
Como n ln n ¿ n2 , por la proposición anterior, an ∼ n2 .
Para la obtención del orden de magnitud también pueden ser interesantes las siguientes
propiedades:
Proposición 1.2.16 (Propiedades)
• Si an 6= 0 para todo n ∈ N ⇒ αan ∼ an para todo α ∈ R∗ .
1
1
∼ .
an
bn
• an ∼ bn ⇒
• an ∼ bn y cn ∼ dn ⇒ an cn ∼ bn dn .
• an ¿ bn ⇒ an + bn ∼ bn .
En análisis de algoritmos se utiliza otra clasificación de las sucesiones, ligeramente distinta
de las relaciones anteriores, que permite comparar más sucesiones. Esta clasificación, realizada
utilizando un criterio más general, se estudia seguidamente.
Definición 1.2.17 (Notación o grande)
Dada la sucesión bn , se define el conjunto O(bn ), llamado o grande de la sucesión bn , como
O(bn ) = {an / ∃ M ∈ R, ∃n0 ∈ N : |an | ≤ M |bn |,
∀n ≥ n0 }
Si an ∈ O(bn ), se dirá que an es una o grande de bn , o que an está dominada asintóticamente
por bn .
Nota 1.2.18
Obsérvese que:
- bn ∈ O(bn ).
an
- Si bn 6= 0 a partir de cierto término, se puede definir . En este caso, an ∈ O(bn) equivale
bn
an
a decir que
está acotada.
bn
Geométricamente, la relación an ∈ O(bn ) significa que, a partir de cierto término, la gráfica
de la sucesión |an | se halla por debajo de la gráfica de |bn | multiplicada por una cierta constante,
M > 0.
Desde el punto de vista algorı́tmico, si an y bn definen las funciones de coste de dos algoritmos
A y B respectivamente, entonces para problemas de tamaño n0 o mayores, el coste de la
ejecución del algoritmo A nunca será superior a M veces lo que cueste la ejecución del algoritmo
B.
Ejemplo 1.2.19
(a) Sucesiones como (an ) = (1, 1, 1, · · · ) y (bn ) = (1, 2, 1, 2, · · · ), no son del mismo orden, ni
an
una mucho menor que la otra pues no existe el lı́mite lim . Sin embargo, se verifica que
bn
• bn ∈ O(an ): basta tomar n0 = 1 y M = 2 en la definición, y
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• an ∈ O(bn ): basta tomar n0 = 1 y M = 1 en la definición.
(b) Se tiene que 2n ∈ O(n2 ) y que n2 6∈ O(2n).
(c) an está acotada si y sólo si an ∈ O(1). Esto es, O(1) está formado por el conjunto de todas
las sucesiones acotadas. En particular, O(1) contiene al conjunto de todas las sucesiones
convergentes.
Proposición 1.2.20
Dadas dos sucesiones an y bn , se tiene que: bn ∈ O(an ) si y sólo si O(bn ) ⊂ O(an ).
Ejemplo 1.2.21
Teniendo en cuenta el ejemplo 1.2.19 y la propiedad anterior, se obtiene que las sucesiones
(an ) = (1, 1, 1, · · · ) y (bn ) = (1, 2, 1, 2, · · · ) verifican que O(an ) = O(bn ).
Nota 1.2.22
La inclusión conjuntista “⊂ ” permite ordenar parcialmente los conjuntos O(an ).
Ejemplo 1.2.23
Las sucesiones (an ) = (1, 0, 1, 0, 1, · · · ) y (bn ) = (0, 2, 0, 2, · · · ) verifican que
• an 6∈ O(bn ) y bn 6∈ O(an ), por lo que no son comparables con la inclusión.
• Por otro lado, como ambas sucesiones están acotadas, se tiene que O(an ) ⊂ O(1) y
O(bn ) ⊂ O(1).
El siguiente resultado muestra que la relación de dominancia asintótica generaliza simultáneamente las relaciones “ser mucho menor” y “ser del mismo orden”.
Proposición 1.2.24
an
Dadas dos sucesiones an y bn , si
converge, entonces an ∈ O(bn ). En particular,
bn
(a) si an ¿ bn , entonces an ∈ O(bn ) y bn ∈
/ O(an ).
(b) si an ∼ bn , entonces an ∈ O(bn ) y bn ∈ O(an ).
Demostración.
an
Basta recordar que si la sucesión
converge, entonces está acotada.
¤
bn
Como consecuencia de la proposición anterior y de 1.2.10 se tiene la siguiente jerarquı́a para
la dominancia asintótica.
Proposición 1.2.25
Dados 0 < c < d y s > r > 1, se tiene la siguiente cadena de contenidos propios
O(1) Ã O(ln n) Ã O(nc ) Ã O(nd ) Ã O(rn ) Ã O(sn ) Ã O(n!) Ã O(nn ).
Ejemplo 1.2.26
Como consecuencia de la proposición anterior y de los ejemplos ya vistos sobre las relaciones
ser mucho menor y ser del mismo orden, es inmediato verificar que:
(a) 100n2 ∈ O (n3 ), n3 ∈
/ O (100n2 ). Esto es, O (100n2 ) Ã O (n3 ).
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Teorı́a 13
µ
¶
µ ¶
µ ¶
µ
¶
1
1
1
1
1
1
(b)
∈O 1−
, 1− ∈
/O
. Por tanto O
ÃO 1−
.
n
n
n
n
n
n
(c) Para todo p ∈ R, p > 0, ln n ∈ O (np ), pero np 6∈ (ln n).
(d) sen n ∈ O (ln n), pero ln n 6∈ O (sen n)
µ
2n2
(e) O √
n3
¶
√
= O ( n).
Proposición 1.2.27
(a) El conjunto O(an ) es cerrado para la multiplicación por constantes, esto es, si bn ∈ O(an ),
entonces c bn ∈ O(an ) para todo c ∈ R.
(b) El conjunto O(an ) es cerrado para la suma, esto es, si bn , cn ∈ O(an ) entonces se tiene
que bn + cn ∈ O(an ).
La propiedad anterior indica que el conjunto O(an ) es un subespacio vectorial del R-espacio
vectorial de las sucesiones.
Proposición 1.2.28
(a) Si an ∈ O(bn ) y cn ∈ O(dn ), entonces an cn ∈ O(bn dn ).
(b) Si las sucesiones an y bn son no nulas a partir de un cierto término y O(an ) = O(bn )
1
1
1
1
1
1
entonces O( ) = O( ). En particular,
∈ O( ) y
∈ O( ).
an
bn
an
bn
bn
an
√
Ejemplo 1.2.29
ln nn + n4 + 1
∈ O(1), pues
Aplicando las propiedades anteriores se prueba que
4n2 + n − 20
• ln nn +
√
√
√
n4 + 1 = n ln n + n4 + 1 ∼ n4 + 1 ∈ O(n2 ).
• O(4n2 + n − 20) = O(n2 ) y n2 6= 0, ∀n > 1. Luego O(
Por tanto,
1
1
)
=
(
)
O
4n2 + n − 20
n2
√
n2
ln nn + n4 + 1
∈
(
O 2 ) = O(1)
4n2 + n − 20
n
Nota 1.2.30
Conviene tener en cuenta que en análisis de algoritmos,
(a) en ocasiones se abusa de la notación, y suele escribirse an = O(bn ), en lugar de an ∈ O(bn ).
Por ejemplo: n ln n + n2 = n2 + O(n ln n) = O(n2 ). En cualquier caso, esta manera de
manipular los órdenes, en la asignatura de AMYMN, será considerada un error.
(b) la complejidad de un algoritmo suele encuadrarse en alguno de los casos siguientes que,
puesto que aparecen con frecuencia, se designan con nombres particulares:
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14
Tema 1. Sucesiones de números reales
Orden
Nombre
O(1)
Constante
O(ln n)
Logarı́tmica
O(n)
Lineal
O(n2 )
Cuadrática
O(rn ), r > 1
Exponencial
O(n!)
Factorial
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