Hipérbola con centro en el origen

ENCUENTRO # 63
TEMA: Hipérbola.
CONTENIDOS:
1. Hipérbola con centro en el origen.
2. Hipérbola concentro (h, k)
Hipérbola con centro en el origen
Definición 1.
Es el lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal manera que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre constante.
|P F1 − P F2 | = 2a
Gráfica
Elementos
C : Centro
V1 y V2 : Vértices
F1 y F2 : Focos
B 1 y B 2 : Extremos
V1V2 = 2a (eje transverso o real)
F1 F2 = 2c (eje focal)
B 1 B 2 = 2b (eje conjugado o imaginario)
Condición: c 2 = a 2 + b 2 ; c > b, c > a
Excentricidad: e =
LR =
2b
a
2
c
a
(lado recto)
(e > 1)
l 1 y l 2 : Asíntotas
Ejemplo 1.1.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano, cuya diferencia de sus distancias a
los puntos fijos (6, 0) y (−6, 0), es igual a 10 unidades.
Solución
Se obtienen las distancias del punto P (x, y) a los puntos fijos (focos),
P F1 =
p
p
(x − 6)2 + y 2 y P F2 = (x + 6)2 + y 2
Y se aplica la definición de hipérbola,
q
(x − 6)2 + y 2 −
q
(x + 6)2 + y 2 = 10
Se despeja un radical y se elevan ambos miembros de la igualdad al cuadrado,
q
(x − 6)2 + y 2
¶2 µq
¶2
µq
q
2
2
2
2
2
2
=
(x + 6) + y + 10
(x − 6) + y
= (x + 6) + y + 10 →
Al desarrollar se determina que:
p
(x − 6)2 + y 2 = (x + 6)2 + y 2 + 20 (x + 6)2 + y 2 + 100
p
2
2
2
✚
✚
✘+y✚
✘+y✚
✘
✘
✘
(x + 6)2 + y 2 + 100
+36
+
20
+36
=
x
+
12x
x 2 − 12x✘
✚
p✚
−12x = 12x + 20 (x + 6)2 + y 2 + 100
p
= 20 (x + 6)´2 + y 2
³ −12x − 12x − 100
p
−24x − 100 = 20 (x + 6)2 + y 2 ÷ (−4)
³ p
´2
(6x + 25)2 = −5 (x + 6)2 + y 2
¡
¢
36x 2 + 300x + 625 = 25 x 2 + 12x + 36 + y 2
36x 2 + 300x + 625 = 25x 2 + 300x + 900 + 25y 2
✘
✘
✘✘
✘✘
36x 2✘
+300x
+ 625 − 25x 2✘
−300x
− 900 − 25y 2 = 0
9x 2 − 25y 2 − 275 = 0
Ejercicios propuestos
1. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera
que la diferencia de sus distancias a los puntos (–3, 0) y (3, 0), es siempre igual a 4.
2. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera
que la diferencia de sus distancias a los puntos (–5, 0) y (5, 0), es siempre igual a 6.
3. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera
que la diferencia de sus distancias a los puntos (0, –7) y (0, 7), es siempre igual a 12.
4. Obtén la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que
la diferencia de sus distancias a los puntos (0, 4) y (0, –4), es siempre igual a 5.
5. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera
que la diferencia de sus distancias a los puntos (7, 0) y (−7, 0), es siempre igual a 4.
Elementos de la hipérbola
Hipérbola horizontal centro en el origen
Ecuación canónica
x2 y 2
=1
−
a2 b2
Elementos
• Vértice: V (±a, 0)
• Focos: F (±c, 0)
• Extremos conjugados: B(0, ±b)
• Ecuaciones de las asíntotas:
l1 : y =
b
x
a
b
l2 : y = − x
a
Hipérbola vertical centro en el origen
Ecuación canónica
y 2 x2
=1
−
a2 b2
Elementos
• Vértice: V (0, ±a)
• Focos: F (0, ±c)
• Extremos conjugados: B(±b, 0)
• Ecuaciones de las asíntotas:
l1 : y =
a
x
b
a
l2 : y = − x
b
Para las hipérbolas horizontales y verticales se tiene que:
c
2b 2
.
Condición: c 2 = a 2 + b 2 ; c > b, c > a, excentricidad: e = (e > 1), lado recto: LR =
a
a
Eje transverso: 2a, eje conjugado: 2b, eje focal: 2c
Dado la ecuación, obtener sus elementos obtener
Ejemplo 2.1.
Determina los elementos y traza la gráfica de la hipérbola, cuya ecuación es:
16x 2 − 9y 2 − 144 = 0
Solución Se transforma la ecuación a la forma canónica: 16x 2 − 9y 2 − 144 = 0 → 16x 2 − 9y 2 = 144
Se divide entre el término independiente y se simplifica:
x2 y 2
16x 2 9y 2 144
=1
−
→
=
−
9 16
144 144 144
x2 y 2
La ecuación representa un hipérbola horizontal de la forma: 2 − 2 = 1
b
a
De la cual se obtiene el semieje transverso a y el semieje conjugado b:
a 2 = 9 → a = 3 y b 2 = 16 → b = 4
Se aplica la condición para encontrar el valor de c (distancia del centro al foco)
p
p
p
c = a 2 + b 2 = 9 + 16 = 25 = 5
Al sustituir a = 3, b = 4, c = 5, se obtiene:
Ecuación canónica
x2 y 2
=1
−
a2 b2
Elementos
• Vértice: V (±3, 0)
• Focos: F (±5, 0)
• Extremos conjugados: B(0, ±4)
• Ecuaciones de las asíntotas:
4
l 1 : y = x → 4x − 3y = 0
3
4
l 2 : y = − x → 4x + 3y = 0
3
2
2
32
• Lado recto: LR = 2ba = 2(4)
3 = 3
• Eje transverso: V1V2 = 2a = 2(3) = 6
• Eje focal: F1 F2 = 2c = 2(5) = 10
• Eje conjugado: B 1 B 2 = 2b = 2(4) = 8
• Excentricidad: e =
c 5
=
a 3
Ejemplo 2.2.
Determina los elementos de hipérbola cuya ecuación es: 16x 2 − 25y 2 + 400 = 0
Solución Se transforma la ecuación 16x 2 − 25y 2 + 400 = 0 a su forma canónica:
16x 2 − 25y 2 = −400
16x 2 25y 2 −400
→ Se divide entre el término independiente
=
−
−400 −400 −400
x2 y 2
− +
= 1 → Se simplifican las fracciones
25 16
2
2
x
y
= 1 → Ecuación en forma canónica
−
16 25
y 2 x2
Es una hipérbola vertical de la forma: 2 − 2 = 1
b
a
De la cual a 2 = 25 y b 2 = 16, por tanto, a = 5 y b = 4.
p
p
p
El valor de c es: c = a 2 + b 2 = 25 + 16 = 41.
p
Con los valores a = 5, b = 4 y c = 41, se determinan los elementos y la gráfica.
Ecuación canónica
x2 y 2
=1
−
a2 b2
Elementos
• Vértice: V (0, ±5)
p
• Focos: F (0, ± 41)
• Extremos conjugados: B(±4, 0)
• Ecuaciones de las asíntotas:
5
l 1 : y = x → 5x − 4y = 0
4
5
l 2 : y = − x → 5x + 4y = 0
4
2
2
= 32
• Lado recto: LR = 2ba = 2(4)
5
5
• Eje transverso: V1V2 = 2a = 2(5) = 10
p
¡p ¢
• Eje focal: F1 F2 = 2c = 2 41 = 2 41
• Eje conjugado: B 1 B 2 = 2b = 2(4) = 8
p
41
c
• Excentricidad: e = =
5
a
Ejercicios propuestos
Determina los elementos de las siguientes hipérbolas:
x2 y 2
1.
−
81 9
5. 16x 2 − 9y 2 − 144 = 0
6. 4y 2 − x 2 − 4 = 0
y2
=1
2. x 2 −
4
3.
7. 5y 2 − 16x 2 + 400 = 0
y 2 x2
=1
−
5
8
8. 5x 2 − 6y 2 + 30 = 0
4. 4x 2 − 5y 2 − 20 = 0
9. 12x 2 − 5y 2 − 60 = 0
Dados sus elementos, obtener la ecuación
Ejemplo 3.1.
¿Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (±8, 0) y (±10; 0), respectivamente?
Solución
Estamos en presencia de una hipérbola horizontal con centro en el origen porque los vértices y los focos
se ubican sobre el eje x.
En este caso el semieje transverso a = 8 y semieje focal c = 10.
p
p
p
El valor de b es: b = c 2 − a 2 = 102 − 82 = 36 = 6
x2 y 2
Los valores de a = 8 y b = 6 se sustituyen en la ecuación: 2 + 2 = 1
b
a
Y se obtiene la ecuación de la hipérbola
x2 y 2
= 1 → 36x 2 + 64y 2 = 2304
+
64 36
Ejemplo 3.2. Determina la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, uno de sus focos, el punto
p
p
(2 3, 0) y el lado recto 2 2.
Solución
De los elementos que se tiene resulta que:
p
c =2 3y
2b 2
a
p
=2 2
se despeja b 2 de la fórmula del lado recto en términos de a: b 2 =
p
2a
Se sustituyen en la condición los valores de c y b 2 , se simplifica y resuelve la ecuación.
p
¡ p ¢2
c 2 = a 2 + b 2 → 2 3 = a 2 + 2a
p
12 = a 2 + 2a
p
a 2 + 2a − 12 = 0
p
p
(a + 3 2)(a − 2 2) = 0
p
p
a = −3 2 a = 2 2
p
Por tanto a = 2 2
p ³ p ´
b2 = 2 2 2 = 4 → b = 2
Se sustituye en la fórmula
x2 y 2
=1
−
a2 b2
y2
x2 y 2
x2
= 1 → x 2 − 2y 2 − 8 = 0
−
¡ p ¢ − 2 =1→
4
8
(2)
2 2
Ejercicios propuestos
Determina la ecuación de la hipérbola que cumpla con las siguientes características:
1. V (0, ±3) y F (0, ±4)
2. V (±4, 0) y F (±5, 0)
3. V (0, ±6) y F (0, ±10)
p
p
4. V (±2 2, 0) y F (±2 3, 0)
5. V1 (3, 0), V2 (–3, 0) y lado recto = 38
p
p
6. F1 (0, 41), F2 (0, − 41) y lado recto = 25
2
p
7. Centro en el origen, vértice y foco en los puntos (2 3, 0) y (4, 0) respectivamente y eje conjugado
sobre el eje de las ordenadas.
p
3 y excentricidad
8. Centro
en
el
origen,
eje
conjugado
sobre
el
eje
de
las
ordenadas,
lado
recto
2
p
6
2
9. Extremos del eje conjugado B 1 (0, 1), B 2 (0, –1) y excentricidad e =
p
10
3
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h, k)
Elementos y ecuación
Hipérbola horizontal
Ecuación Ordinaria
(x − h)2 (y − k)2
=1
−
b2
a2
Elementos
Vértices:V (h ± a, k)
Focos: F (h ± c, k)
Extremos del eje conjugado
B(h, k ± b)
Ecuaciones de las asíntotas:
l 1 : y − k = ab (x − h)
l 2 : y − k = − ba (x − h)
Hipérbola vertical
Ecuación Ordinaria
(y − k)2 (x − h)2
=1
−
a2
b2
Elementos
Vértices:V (h, k ± a)
Focos: F (h, k ± c)
Extremos del eje conjugado
B(h ± b, k)
Ecuaciones de las asíntotas:
l 1 : y − k = ba (x − h)
l 2 : y − k = − ab (x − h)
Para hipérbolas horizontales o verticales se tiene que: Condición: c 2 = a 2 + b 2 ; c > b, c > a, excentrici-
dad: e = ac , (e > 1), lado recto: LR = 2ba
2
Ecuación general dela hipérbola:
Ax 2 + B y 2 + Dx + E y + F = 0
Con A y C de signo contrario.
Dada la ecuación obtener sus elementos
Ejemplo 3.3.
Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es: 4y 2 –9x 2 + 8y–54x–113 = 0.
Solución
4y 2 –9x 2 + 8y–54x–113 = 0
4y 2 + 8y–9x 2 –54x = 113
4(y 2 + 2y)–9(x 2 + 6x) = 113 → Se factoriza los coeficientes
de los términos cuadráticos
4(y 2 + 2y + (1)2)–9(x 2 + 6x + (3)2 ) = 113 + 4(1)2 − 9(32 ) → Se completa el trinomio cuadrado perfecto
4(y 2 + 2y + 1)–9(x 2 + 6x + 9) = 113 + 4 − 81
4(y + 1)2–9(x + 3)2 = 36
Se dividen ambos miembros entre 36 para obtener la ecuación en su forma ordinaria.
(y + 1)2 (x + 3)2
4(y + 1)2 9(x + 3)2 36
=1
−
→
=
−
4
9
36
36
36
Es una hipérbola vertical de elementos:
El valor de c es: c =
p
Centro: (−3, −1); a =
a2 + b2 =
p
p
9 + 4 = 13
Los elementos se obtienen al sustituir:
p
p
9=3yb= 4=2
Vértices: V (h, k ± a)
V1 (−3, −1 + 3) = (−3, 2)
V2 (−3, −1 − 3) = (−3, −4)
Focos:F (h, k ± c)
p
F1 (−3, −1 + 13) = (−3, 2.6)
p
F2 (−3, −1 − 13) = (−3, −4.6)
Extremos del eje conjugado: B(h ± b, k)
B 1 (−3 + 2, −1) = (−1, −1)
B 2 (−3 − 2, −1) = (−5, −1)
2
Lado recto: LR = 2ba = 2(4)
= 83
3
Eje transverso: V1V2 = 2a = 2(3) = 6
p
Eje focal: F1 F2 = 2c = 2 13
= 2(2) = 4
Eje conjugado: B 1 B 2 = 2b
p
Excentricidad: e =
c
a
=
13
3
Asíntotas:
l 1 : y − k = ab (x − h) → l 1 : y + 1 = 23 (x + 3) → 3x − 2y + 7 = 0
l 2 : y − k = − ab (x − h) → l 1 : y + 1 = − 23 (x + 3) → 3x + 2y + 11 = 0
Ejemplo 3.4. Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 25x 2−4y 2 −150x−16y+109 = 0
Solución
Primero hay que determinar la ecuación ordinaria de esta hipérbola.
25x 2 − 4y 2 − 150x − 16y + 109 = 0
25x 2 − 150x − 4y 2 − 16y = −109 → ordenar y agrupar las variables
y transponer el termino independiente
2
2
2
2
2
25(x − 6x) − 4(y + 4y) = −109 → Extraer factor común para cada variable
25(x − 6x + (3) ) − 4(y + 4y + (2)2 ) = −109 + 25(3)2 − 4(2)2 → Completar cuadrados
25(x 2 − 6x + 9) − 4(y 2 + 4y + 4) = −109 + 225 − 16
25(x − 3)2 − 4(y + 2)2 = 100 → Factorizar los trinomios
4(y+2)2
25(x−3)2
100
− 100 = 100
100
(y+2)2
(x−3)2
− 25 = 1
4
→ se dividen ambos miembros por 100
En este caso la hipérbola es horizontal y sus elementos son:
El valor de c es: c =
p
Centro: (3, −2); a =
a2 + b2 =
p
4 = 2, b =
p
25 = 5
p
p
25 + 4 = 29 Los elementos se obtienen al sustituir:
Vértices: V (h ± a, k)
V1 (3 + 2, −2) = (5, −2)
V2 (3 − 2, −2) = (1, −2)
Focos:F (h ± c, k)
p
F1 (3 + 29, −2) = (8.38, −2)
p
F2 (3 − 29, −2) = (−2.38, −2)
Extremos del eje conjugado: B(h, k ± b)
B 1 (3, −2 + 5) = (3, 3)
B 2 (3, −2 − 5) = (3, −7)
2
10
Lado recto: LR = 2ba = 2(25)
2 = 2 = 25
Eje transverso: V1V2 = 2a = 2(2) = 4
p
Eje focal: F1 F2 = 2c = 2 29
= 2(5) = 10
Eje conjugado: B 1 B 2 = 2b
p
Excentricidad: e =
c
a
Asíntotas:
l 1 : y − k = ba (x − h) → l 1 : y + 2 = 25 (x − 3) → 5x − 2y − 19 = 0
l 2 : y − k = − ba (x − h) → l 1 : y + 2 = − 25 (x − 3) → 5x + 2y − 11 = 0
Ejercicios propuestos
Determina los elementos de las siguientes hipérbolas:
1.
(x+3)2
25
2.
x2
9
3.
y2
4
−
−
(y−4)2
9
(y+2)2
4
=1
=1
− (x + 1)2 = 1
4. x 2 − 4y 2 − 2x + 16y − 7 = 0
5. y 2 − 4x 2 + 2y + 8x − 39 = 0
6. 5y 2 − 4x 2 − 20y − 8x + 36 = 0
=
29
2
7. 16x 2 − 9y 2 + 64x + 18y − 89 = 0
8. 4x 2 − 3y 2 + 8x + 30y − 83 = 0
Dados sus elementos obtener la ecuación
Ejemplo 3.5.
Determina la ecuación general de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (–2, 3) y (6, 3), un foco se
localiza en el punto (7, 3).
Solución
Si analizamos elementos que nos brinda el ejercicio V2 (−2, 3), V1 (6, 3) y F (7, 3) podemos concluir que es
una hipérbola horizontal porque los vértices se desplazan en el eje x.
También se puede deducir que el centro es C (2, 3) porque es el punto medio entre los vértices.
Tenemos que a = 4 y c = 5, para determinar b se sustituyen los valores en la condición; obteniéndose:
p
p
p
p
b = c 2 − a 2 = (5)2 − (4)2 = 25 − 16 = 9 = 3
Se sustituyen los valores a, b y el centro C (2, 3) en la ecuación del tipo:
(x − h)2 (x − k)2
=1
−
b2
a2
(x − 2)2 (y − 3)2
=1
−
9
16
Parah obtener la ecuación
i general se debe desarrollar la expresión anterior:
(y−3)2
(x−2)2
114 16 − 9 = 1
9(x − 2)2 − 16(y − 3)2 = 114
9(x 2 − 4x + 4) − 16(y 2 − 6y + 9) = 114
9x 2 − 36x + 36 − 16y 2 + 96y − 96 = 114
9x 2 − 36x + 36 − 16y 2 + 96y − 96 − 114 = 0
9x 2 − 16y 2 − 36x + 96y − 176 = 0
Ejercicios Propuestos
1. Determina las ecuaciones de las hipérbolas que cumplan con las siguientes condiciones:
(a) F1 (5, 1), F2 (−5, 1), V1 (3, 1), V2 (−3, 1)
(b) F1 (8, 2), F2 (−2, 2) y excentricidad e = 45
(c) F1 (1, 6), F2 (1, 0), V1 (1, 5), V2 (1, 1)
(d) F1 (−3, 3), F2 (−9, 3) y LR = 5
2. Longitud del lado recto igual a
p
(−2 − 5, −3)
5
3
p
p
6 y extremos del eje conjugado, los puntos (−2 + 5, −3) t
p
p
3. Extremos del eje conjugado, los puntos (−1 + 7) y (−1 − 7, 3), e = 34
4. Centro en (1, 3), eje transverso paralelo al eje X , excentricidad e = 45 y LR = 29
Ejercicios de entrenamiento
1. La ecuación de la Hipérbola que tiene centro en (2, –2), uno de sus vértices es el punto (0, –2) y
la longitud de su lado recto es 8, está dada por: (UNI-2005-D)
(x − 2)2 (y + 2)2
=1
−
A)
8
4
2
2
(y − 2)
(x + 2)
=1
−
B)
4
8
(x − 2)2 (y + 2)2
C)
=1
−
4
8
y2
D) − x 2 = 1
16
y2
E)x 2 −
=1
15
2. La ecuación de la Hipérbola que tiene sus focos en (0, ±4) y sus vértices son (0, ±1) está dada
2
x
por: (UNI-2009-E) A)y 2 − 16
=1
y2
B) 15 − x 2 = 1
2
C)y 2 − x15 = 1
y2
D) 16 − x 2 = 1
y2
E)x 2 − 15 = 1
3. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un vértice en el punto (0, 3), un foco en el
y 2 x2
punto (0, 5) está dada por: (UNI-2009-A) A) −
=1
9 16
2
2
x
(y − 3)
B) −
=1
25
16
2
2
x
y
=1
C) −
16 9
y 2 x2
D) −
=1
9 25
(y − 3)2 x 2
=1
−
E)
16
25
4. El lugar geométrico correspondiente a la ecuación 9x 2 − 6x − 4y 2 − 4y = 36 es: (UNI-2013-D)
A)Circunferencia
B)Elipse
C)Hipérbola
D)Parábola
E)Vacío
5. La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, el eje transverso sobre el eje Y , y que pasa
por los puntos (4, 6) y (1, −3) es: (UNI-2013-E) A)4x 2 − 92 = 36
B)9y 2 − 5x 2 = 36
C)5y 2 − 9x 2 = 36
D)36x 2 − 4y 2 = 36
E)9y 2 − 4x 2 = 36
6. La excentricidad de la hipérbola y 2 − 4x 2 = 4 (UNI-2015-B)
A)
p
B) 3
p
3
2
C)
p
5
2
p
D) 5 E)1
7. La ecuación de la hipérbola que tiene vértices en (0, ±6) que tiene como asíntotas las rectas y =
± 31 x, está dada por: (UNI-2015-C) A)9x 2 − y 2 = 36
y 2 = 324
E)9y 2 + x 2 = 324
B)y 2 −x 2 = 36
C)9y 2 −x 2 = 324
8. La excentricidad de la hipérbola 3y 2 − 4x 2 = 12 (UNI-2016-D)
p
A) 2+2
3
B) p2
7
C) p2
3
D)
p
3
2
E)
p
7
2
D)9x 2 −