2 SOBRE DMC (DYNAMIC MATRIX CONTROL): REVISIÓN DE UN

SOBRE DMC (DYNAMIC MATRIX CONTROL): REVISIÓN DE UN CASO DE ESTUDIO
PARA EVALUACIÓN DE PARÁMETROS
(ON DMC: REVIEW OF A CASE STUDY FOR EVALUATION OF PARAMETERS)
Revista Ingeniería al Día. ISSN: 2389 - 7309. Volumen 1 Edición No 2. Julio – Diciembre del 2015
Recibido: 24/11/2014
Aprobado: 12/05/2015
Luis Parraguez
Universidad de Oriente, Barcelona, Venezuela
[email protected]
José Eduardo Rengel
Universidad de Oriente, Barcelona, Venezuela
[email protected]
RESUMEN
En este trabajo se estudian los efectos producidos por la variación de los diferentes
parámetros que forman el Control Dinámico Matricial (DMC = Dynamic Matrix Control), en
un sistema TITO (Two Input Two Output) con restricciones (caso de estudio). Aunque
existe abundante literatura sobre el tema, algunos aspectos, especialmente relacionados
con la entonación de los parámetros, todavía representan retos susceptibles de mejoras.
Este estudio, llevado a cabo en forma de revisión, presenta los resultados de 819 pruebas
diferentes realizadas mediante simulación indicando algunas de las fortalezas y
debilidades del DMC para su aplicación en entornos industriales.
Palabras claves: Control dinámico matricial, Sistema TITO, Restricciones.
ABSTRACT
In this work the effects of the variation of the different parameters forming the
Dynamic Matrix Control (DMC) in a TITO (Two Input Two Output) system with restrictions
(case study) are studied. Although there is abundant literature on the subject, some
aspects, especially related to the parameters tuning, still pose challenges susceptible of
improvement. This study, conducted in the form of review, presents the results of 819
different tests carried out by simulation indicating some of the strengths and weaknesses
of DMC for use in industrial environments.
Key-words: Dynamic Matrix Control, TITO system, Restrictions.
INTRODUCCIÓN
El DMC fue desarrollado hacia finales de la década del 70 del siglo pasado, por Prett,
Ramaker y Cutler [1] y hasta el presente es el algoritmo del Control Predictivo Basado en
Modelos de mayor aceptación en el control de procesos industriales [2], especialmente en
2
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la industria petroquímica [3]. Se caracteriza, aunque no de forma exclusiva, por la
incorporación, dentro del algoritmo, de un modelo del proceso a controlar.
El objetivo de este estudio es verificar los efectos de los diferentes parámetros del
algoritmo de control en el comportamiento del sistema controlado y para tal efecto, los
mismos fueron variados de forma sistemática y planificada, sin considerar la incorporación
de los modelos de perturbación.
CONTROL DINÁMICO MATRICIAL
Modelo del Proceso
El modelo del proceso empleado por DMC es la respuesta al escalón. Dado un sistema
lineal invariante en el tiempo de una entrada y una salida (SISO = Single Input Single
Output), los cambios en la salida, para un cambio Δu en la entrada, estarán dados por
0, g1, g 2, , g N , g N+1 , , y la misma, estable después de N tiempos de muestreo, estará


dada por:
N
yk  =  g i Δu k  i 
(1)
i =1
Modelo de Predicción
El modelo de predicción, sin considerar el efecto de las perturbaciones (o asumiendo
éstas constantes), en un instante k para la salida hasta el instante k+p, bajo el efecto de m
acciones de control, está caracterizado por:
yˆ = G u + f
donde
ˆy = ˆyk + 1 | k , ˆyk + 2 | k ,, ˆyk + p | k T
(2)
es el vector p-dimensional de salidas
estimadas, Δu = Δu k , Δu k + 1,, Δu k + m  1T el vector m-dimensional de incrementos de
control, f = f k + 1 | k , f k + 2 | k ,, f k + p | k T el vector p-dimesional de la respuesta libre y
G la matriz dinámica del sistema (p,m) representada por:
 g1
g
 2
 
G  
gm
 

 g p
3
0
g1








g p 1 



 

g1 
 

g p  m+1 
0
0
(3)
La ecuación (2) relaciona las salidas futuras del sistema con los incrementos del
control, de tal suerte que será empleada para calcular las acciones necesarias en busca
de alcanzar un comportamiento específico del sistema.
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Algoritmo de Control
El éxito del DMC en el campo industrial radica fundamentalmente en la aplicación
relativamente simple a los casos MIMO (Multiple Input Multiple Output) con restricciones.
En virtud de desarrollar esta línea se comienza por abordar, en esta subsección, un
sistema SISO sin restricciones, el que posteriormente se extiende al caso MIMO con
restricciones.
El objetivo del DMC es llevar la salida del sistema lo más cercano posible de la
referencia, en la perspectiva de errores cuadráticos mínimos, con la posibilidad de incluir
una penalización sobre el esfuerzo de control. Por tanto, las variables manipuladas son
seleccionadas para minimizar un objetivo cuadrático que puede considerar solamente los
errores futuros:
 θ j ˆy k + j| k   w k + j  2
p
J=
(4)
j =1
o incorporar el esfuerzo de control
J=
 θ j ˆy k + j|k  w k + j  2 +   j  jΔu k + j1  2
p
m
j=1
j=1
(5)
donde p es el horizonte de predicción, m el horizonte de control, w la referencia y θi, λi
escalares no negativos que penalizan el error y el esfuerzo de control, respectivamente.
Así, estos últimos constituyen parámetros de sintonización del controlador. La función de
costo dada en la ecuación (5) es más común en el Control Predictivo Generalizado (GPC
= Generalized Predictive Control) [4], y en el DMC se emplea generalmente con
penalizaciones unitaria del error y constante a lo largo del horizonte de control, tal como:
J=
2
2
 ˆy k + j|k   w k + j  +   jΔu k + j1 
p
m
j=1
j=1
(6)
Dado que la diferencia entre la salida estimada a futuro y la referencia es una medida
del error futuro,
ek + j = ˆyk + j | k   w k + j
se puede plantear:
4
(7)
J=
p
m
j=1
j=1
2
2
 ek + j +  λu k + j
(8)
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y haciendo:
p
2
 ek + j = e T e
j=1
m
(9)
 λu k + j  u Λu
2
T
j=1
Entonces, la función de costo se expresa como:
J = e T e + u T Λu
(10)
Si no existen restricciones y GT ΘG + Λ es no singular, entonces la minimización de la
función de costo da (ver [2], [5-9])

Λu = G T ΘG + 

1
G T Θw  f 
(11)
donde  y Λ son las matrices diagonales de penalización del error y el control,
respectivamente.
A cada instante de tiempo k se implementa el siguiente movimiento de control,


Δu = d T w k   fˆ k | k 
(12)
donde:

d T = 1 0 0  0 G T ΘG + Λ

1
GTΘ
(13)
Debido a que en todas las estrategias de control predictivo sólo el primer elemento del
vector es enviado a la planta.
Incorporación de Restricciones
Las restricciones impuestas a un sistema limitan su zona de operación permisible. El
objetivo del control predictivo con restricciones es alcanzar un punto de operación, que
satisfaciendo las limitaciones, pueda permanecer "suficientemente cerca" de los límites,
de manera estable y segura.
5
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Aunque algunos de los parámetros del DMC, tales como el período de muestreo, los
horizontes de predicción y control, los coeficientes de ponderación, modelado y
corrección, pudieran ser considerados restricciones, en esta parte del desarrollo el
objetivo es centrarse en las llamadas "restricciones duras", es decir aquellas que bajo
ninguna circunstancia pueden ser violadas. En este grupo se catalogan las restricciones a
las magnitudes de las señales de entrada y salida, cota superior del incremento de control
y velocidad de cambio de la acción de control. En el caso del DMC moderno [2]
generalmente, pero no de forma exclusiva, se consideran:
1) Restricción en la magnitud de la señal de entrada
u min
u min
 u k   u max
 Δu k  + u k  1  u max
(14)
que se puede expresar como:
u max  u k  1( M ,1 ) 
 I( M ,M ) 


u k    u k  1  u
min ( M ,1 ) 
 I( M ,M ) 

(15)
donde I es la matriz identidad.
2) Restricción al incremento de la señal de entrada
Δu min  Δu k   Δu max
(16)
3) Restricción a la velocidad de cambio en la señal de entrada
v min  Δu k   Δu k  1  v max
(17)
4) Restricción de sobrepico de la señal de salida
ˆyk  
w k 
(18)
5) Restricción en la magnitud de la señal de salida
y min
6

ˆyk  
y max
(19)
Como se aprecia, todas las restricciones son una función de Λu , por tanto, pueden
expresarse en la forma de una inecuación matricial Au  b , donde A y b son conocidos
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en el tiempo k y contienen las expresiones de las restricciones activas,
 I M, M  


  I M, M  
 I M, M  


  I M, M  
 I

 M, M  
u k M ,1
  I M, M  
 G

 P, M  
 G P, M  


 G P, M  



Z , M 

 u max  u k  1M ,1 


 u min + u k  1M ,1 


Δu max M,1

 Δu max M,1 



v max M,1


 v min M,1


 w k   f k 

P,1 

 y max  f k P,1 


  y min  f k P,1 



Z ,1
(20)
donde Z es la cantidad de inecuaciones activas.
A partir de la expresión para la función de costo, pero incorporando la penalización
del error futuro, se puede expresar como sigue:
JΔu  = G Δu + f  w T ΘG Δu + f  w  + Δu T ΛΔu
(21)
haciendo e f = f  w , la diferencia entre la respuesta libre y la referencia suavizada, se
obtiene:
JΔu  = G Δu + e f T ΘG Δu + e f  + Δu T ΛΔu
(22)
que también se puede expresar como:


JΔu   Δu T G T ΘG + Λ Δu + Δu T G T Θe f +
Δu
T
T
G Θe f

T
+ e Tf Θe f
(23)
que se corresponde con la forma estándar de expresar un problema de Programación
Cuadrática, sometido a restricciones con estructura de inecuaciones:
7
min
Jx  = x T Hx + 2x T q + Jo
Ax  b
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s.a.
(24)
x min  x  x max
con x u , H = G T ΘG + Λ , q = G T Θe f , Jo = e Tf Θe f y las restricciones expresadas en
la inecuación (20).
Los problemas de optimización sometidos a restricciones agregan un nivel de
dificultad adicional frente a los cuales se han presentado un abanico de propuestas [10].
Otro trabajo muy completo y extenso sobre optimización con restricciones, se encuentra
en [11].
De cualquier manera, la optimización bajo restricciones no es un problema trivial, lo
que ciertamente impone tareas más dificultosas comparadas con otros tipos de
controladores clásicos. La situación, bajo algunas condiciones, se complica cuando el
algoritmo de optimización no encuentra una solución en el espacio de variables acotado
por las restricciones, caso conocido como "inalcanzable" (ver casos de estudio).
La solución óptima es inalcanzable en el estado permanente cuando se ha definido
un objetivo inalcanzable y esto es fácilmente resuelto en la fase de diseño. En régimen
transitorio, aun cuando las restricciones sean razonables, pueden presentarse
condiciones de inalcanzabilidad frente a perturbaciones, grandes cambios en la referencia
o modificaciones "en-línea" de los límites de las variables operacionales, donde la energía
de control acotada por las restricciones no es suficiente para llevar al sistema nuevamente
a la zona permitida de operación.
Algunas soluciones han sido propuestas y clasificadas para tratar con este tipo de
dificultades [5]:
1)
2)
3)
4)
Desconectar el controlador.
Eliminación de restricciones.
Relajación de restricciones.
Cambiar los horizontes de las restricciones.
Extensión al Caso Multivariable
Para el caso de sistemas MIMO, se realiza una extensión del esquema SISO, donde
se conserva el concepto, y las matrices y vectores deben ser adecuadamente
dimensionados.
Basado en la linealidad del modelo de predicción, puede aplicarse el principio de
superposición para predecir las salidas futuras producidas por las diferentes entradas al
sistema. El vector de salidas estará dado ahora por:
8
ˆ
Y
ˆy1 k + 1 | k ,  , yˆ 1 k + p 2 | k ,  ,
ˆy ny k + 1 | k ,  , ˆy ny k + p ny | k T



(25)
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el arreglo de señales de control futuras por:
Δu1k ,, Δu1k + m1  1,,
Δu nu k ,, Δu nu k + mnu  1T
(26)
f1k + 1 | k ,, f1k + p1 | k ,,
f ny k + 1 | k ,, f ny k + p ny | k T
(27)
Δu 
y la respuesta libre por:
F 
La matriz dinámica del sistema será ahora,
 G11

G 21
G  
 

G ny1
G1nu 

G 2nu 
 

G ny2  G nynu 
G12

G 22



(28)
donde cada matriz Gij contiene los coeficientes de la i-ésima respuesta correspondientes
al j-ésimo escalón de entrada.
El objetivo del DMC multivariable es calcular las acciones de control futuras a lo largo
del horizonte de control (M), es decir, determinar las secuencias u j k + i  para j = 1 n
e i = 1 M , donde n es el número de señales manipuladas, en el sentido que minimice la
función de costo dada por,
J

q
p
ˆ k + j | k   w k + j 2 +
  θ j y
l =1j =1
n m
2
  λ j Δu k + j  1
i =1j =1
(29)
donde q es el número de salidas del sistema. La expresión anterior puede escribirse de
forma compacta, de manera análoga a la obtención de la función de costo para el caso
SISO, como:
J = e  GΔΔT ΘΘ T e  GΔΔ + Δu T Λ T ΛΔu 
Para el caso sin restricciones la solución exacta está dada por [12]:
9
(30)

Δu = G T Θ T ΘG + Λ T Λ

1
G TΘTΘ e
(31)
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CASO DE ESTUDIO
El modelo del sistema MIMO, tomado de [13]:

e s

h  
1 s
v  
es
 

 1  s 1  2 s 

1

1  0.5 s
 q 
 Pa 
0 .2  s
1  0.5 s 1  2 s 
(32)
representa un modelo simplificado de una máquina productora de papel, donde h es la
altura de la pasta en el depósito (en m), v es la velocidad de salida del papel (en m/s), q
es el flujo de pasta entrando a la caja contenedora de la máquina (en kg/s) y Pa es la
presión de aire (en altura equivalente, m).
Para diseñar el controlador DMC se obtiene el modelo de respuesta al escalón
unitario, empleando un tiempo de muestreo Ts  0.5 s , como se muestra en la Figura 1.
Para la reproducción de los resultados se desarrollaron una serie de programas en
GNU Octave. La versión desarrollada incorpora la penalización del error y el esfuerzo de
control.
Pruebas y Resultados
1. Efecto combinado de los horizontes de predicción (P) y control (M)
El Horizonte de Predicción debe ser suficientemente grande como para describir la
dinámica del proceso, pero sin exceder el rango de la estabilización ya que sólo
incrementará la carga computacional sin proporcionar información adicional relevante.
Además, el Horizonte de Control debe ser menor que el de predicción ya que si bien
obtiene una serie de acciones de control futuras, en principio sólo se aplicará a la planta el
primer valor del vector solución.
Para estudiar el efecto de estos parámetros, en la respuesta del sistema controlado,
se realizaron 819 pruebas con valores en los rangos: P=[2,N-1] y M=[1,P], empleando
como índice de evaluación el criterio de la integral del error cuadrado. El esfuerzo de
control, la penalización del error y el factor de alisamiento se mantuvieron constantes con
valores λ=1,0, θ=1,0 y α=0,0, respectivamente. Algunos resultados se muestran en la
Tabla 1.
10
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Figura 1. Respuesta al escalón unitario
Tabla 1. Efectos combinados de los horizontes de predicción y control.
P
M
ISE1
ISE2
8
8
…
40
39
…
9
8
…
4
3
…
3
3
…
1
1
…
1,455696
1,479778
…
1,415282
1,415712
…
2,204307
2,164539
…
2,999703
2,978734
…
3,148128
3,147351
…
2,640025
2,645897
…
ISE1 = Integral Square Error (para la altura); ISE2 = Integral Square Error (para la velocidad)
Se observa que los errores mínimos se logran cuando [P=40,M=3], para ISE1 y
[P=9,M=1], para ISE2. Si se asume como criterio único el efecto combinado de ambas
integrales, entonces el mejor punto es [P=8, M=4]. Resulta evidente que un horizonte de
predicción grande no mejora la calidad de la respuesta del controlador, produciendo un
aumento notable de la carga computacional. Además, como no se están considerando
restricciones, la mejores combinaciones ocurren con horizontes de control pequeños,
resolviendo el problema de control, en algunos casos, con una visión de un solo paso
hacia adelante.
11
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2. Efectos del factor de alisamiento de la referencia
La Figura 2 muestra el resultado de la prueba al variar el factor de alisamiento desde
α1,2=0,0 (referencia sin suavización) hasta α 1,2=0,9. Para el caso del controlador
propuesto, los horizontes de predicción y control, el esfuerzo de control y la penalización
del error se mantuvieron constantes con P=8, M=4, λ1,2=1,0 y 1,2=1,0, respectivamente.
Se observa que en la medida que se agranda el factor de alisamiento la respuesta es más
suave y menor el esfuerzo de control.
Figura 2. Efectos del factor de alisamiento de la referencia
12
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3. Efectos de la penalización del esfuerzo de control
La Figura 3 muestra el resultado de la prueba al variar la penalización del esfuerzo de
control desde λ1,2=10 a λ1,2=0. El factor de suavización de la referencia y la penalización
del error se mantuvieron constantes con α 1,2=0,0 y 1,2=1,0, respectivamente. Se observa
que valores pequeños de λ hacen que aumente la acción de control, con lo cual la
respuesta del sistema es más rápida. En el límite, cuando λ=0, se alcanza un controlador
de "tiempo mínimo" (deadbeat).
Figura 3. Efectos del factor de penalización del control
13
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4. Efectos de la penalización del error
La Figura 4 muestra el resultado de la prueba al variar la penalización del error desde
1,2=10 a 1,2=0,1. El factor de suavización de la referencia y la penalización del esfuerzo
de control se mantuvieron constantes con α 1,2=0,0 y λ1,2=1,0, respectivamente. Se observa
que valores pequeños de  hacen que disminuya la importancia del error en la función
objetivo, produciendo una acción de control menor, con lo cual la respuesta del sistema es
más lenta.
Figura 4. Efectos del factor de penalización del error
14
5. Con restricciones
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En los ejemplos anteriores las señales, tanto de entrada como de salida, se
manejaron sin restricciones. En la práctica, esto no es muy real dado que todos los
sistemas están sujetos a limitaciones.
a. Restricción en la magnitud de la señal de entrada
Una primera aproximación a la solución del problema puede consistir en calcular la
acción de control óptima u(k), como si el sistema no tuviese restricciones. Luego, si u(k)
viola alguna restricción, esta es saturada al límite, ya sea por el programa de control o por
el actuador mismo. Esta forma de operar garantiza el cumplimiento instantáneo de la
restricción, pero obvia por completo el problema futuro para las siguientes acciones de
control y de la evolución del sistema. De otra manera, el caso puede abordarse como un
problema de Programación Cuadrática sometido a restricciones.
Pequeñas modificaciones en los programas de simulación permiten incorporar tanto
restricciones por software, como programación cuadrática mediante la función qp() de
Octave. Se fijaron como restricciones qlim=[0,0, 1,25] y Palim=[0,0 ,0,25]. Los resultados
pueden observarse en la Figura 5.
En la Figura 5 se aprecia claramente el cumplimiento de las restricciones y, además,
no muestra diferencias apreciables, tanto en la salida como en la acción de control,
cuando se emplea Programación Cuadrática en lugar de saturación por software. Sin
embargo, todavía persiste un movimiento brusco del actuador justo en los momentos de
cambio de la referencia.
b. Restricción al incremento de la señal de entrada
El movimiento brusco del actuador puede evitarse limitando el paso máximo de su
desplazamiento en cualquier dirección al imponer restricciones al cambio o incremento de
la señal de control. Para este caso, y de forma mucho más sencilla, las inecuaciones de la
restricción se expresan como las cotas directas del problema de minimización. La Figura 6
muestra los resultados cuando se ha limitado el paso a un 10%.
c. Restricción en la magnitud de la señal de salida
La garantía de una adecuada operación del sistema, en los límites de un punto de
trabajo, debe considerar también restricciones a la magnitud de la señal de salida. Para
esta prueba se fijaron como referencias href =1,0, vref =1,0 y restricciones hlim =[0.0, 0,9] y
vlim =[0,0, 0,6]. Los resultados pueden observarse en la Figura 7, Aquí se observa
claramente el cumplimiento de las restricciones cuando se emplea Programación
Cuadrática. Por otra parte, el algoritmo de software no cumple temporalmente con los
requerimientos para la velocidad del papel. Esta situación no es siempre cierta, pequeñas
15
variaciones en los rangos pueden conducir a resultados completamente distintos. Un
cambio en las restricciones de la velocidad vlim =[0,0, 0,7] hace que el algoritmo QP “se
apague” debido a un problema de inalcanzabiblidad,
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Figura 5. Restricción en la amplitud de la señal de control
.
16
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Figura 6. Restricción al cambio de la señal de control
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Figura 7. Restricción a la magnitud de la señal de salida
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CONCLUSIONES
Los resultados mostrados confirman, en general, el buen desempeño de DMC para el
control de sistemas MIMO sometido a restricciones. No obstante, aún quedan
posibilidades de trabajos futuros, tanto en el campo de la optimización con la evaluación
de otras técnicas (heurísticas por ejemplo), como en la evaluación de otras
particularidades de los sistemas de control industriales (robustez, manejo de
perturbaciones medibles, etc.).
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
Prett D., Ramaker B. and Cutler C. (1979). Dynamic Matrix Control Method. United
State Patent.
[2]
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