Filtros FIR: método óptimo

Técnica de diseño de filtros FIR óptimos (equiripple)
Rizado en la banda
de paso
1
Banda de
transición
Rizado en la banda
de rechazo
decibeles
(a)
(b)
Figura 1. Especificaciones de filtros FIR (a) Absoluto (lineal) (b) Relativo (1ogarítmico)
Especificaciones absolutas de filtros (Lineales)
Las especificaciones típicas de valores absolutos de un filtro pasa-bajos, se muestra en la figura 1a,
en la cual:



La banda [0,ωp] se llama banda de paso, y δ1 es la tolerancia (o rizo) que se está dispuesto
a aceptar en la respuesta ideal en la banda de paso.
La banda [ωs,π] se llama banda de rechazo, y δ2 es la correspondiente tolerancia (o rizo), y.
La banda [ωp, ωs] se llama banda de transición, no hay restricciones en la respuesta en
magnitud en esta banda.
Especificaciones relativas de filtros (Logarítmicas)
Las especificaciones típicas de valores relativos de un filtro pasa-bajos, se muestra en la figura 1b,
en la cual:


Rp, es el rizado en la banda de paso en dB, y
Ap, es la atenuación en la banda de rechazo en dB.
Los parámetros dados anteriormente en las especificaciones están obviamente relacionados. A
partir de que |𝐻(𝑒 𝑗𝜔 )|𝑚𝑎𝑥 en las especificaciones absolutas es igual a (1 + 𝛿1 ), tenemos:
𝑅𝑝 = −20𝑙𝑜𝑔10
1−𝛿1
1+𝛿1
> 0 (≈ 0)
(1)
𝑅𝑝 = −20𝑙𝑜𝑔10
1−𝛿1
1+𝛿1
> 0 (≈ 0)
(2)
Y
Las técnicas para el diseño de filtros FIR más comunes, incluyen las técnicas de enventanado, y las
de frecuencia de muestreo, de las cuales se puede decir son técnicas fáciles de entender e
implementar. Sin embargo, estas tienen algunas desventajas. Primero, no podemos especificar
precisamente las bandas de frecuencia ωp y ωs en el diseño. Segundo, no podemos
simultáneamente especificar los valores de factor de rizo δ1 y δ2. Por ejemplo en el método de
enventanado simplemente podemos decir que el factor δ1 = δ2 , o solamente se puede optimizar el
factor δ2 en el método de frecuencia de muestreo. La técnica de diseño a través de equiripple
puede resolver estos problemas, sin embargo es una técnica algo compleja de entender y se
necesita la ayuda de un computador para implementarla.}
Implementación en Matlab.
Método óptimo – Parks McClellan
Ejemplos.
1. Diseñar un filtro pasa-bajos por el método óptimo que cumpla con las siguientes
características.





Fpb = 1.5 kHz;
Fsb = 1.6 kHz;
Rp = 1 dB;
As = 60 dB;
Fs = 8 kHz;
Solución
%Diseño de un filtro óptimo
Fpb = 1500;
Fsb = 1600;
Rp = 1;
As = 60;
Fs = 8000;
dp = (10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1);%parámetro de desviasión (banda pasante).
ds = (10^(-As/20));%parámetro de desviasión (banda de rechazo).
F = [Fpb Fsb]; %vector de frecuiencia (banda pasante y de rechazo).
A = [1 0]; %parámetro de amplitudes deseadas en (pb % sb).
DEV = [dp ds]; %vector de parámetros de desviación.
[N,Fo,Ao,W] = firpmord(F,A,DEV,Fs);
b = firpm(N,Fo,Ao,W);
freqz(b,1,512,Fs)
2. Diseñar un filtro pasa altos, por medio del método óptimo que cumpla con las siguientes
características.





Fsb = 1.5 kHz;
Fpb = 1.6 kHz;
Rp = 1 dB;
As = 60 dB;
Fs = 8000 Hz;
Solución
%Diseño de un filtro óptimo
Fsb = 1500;
Fpb = 1600;
Rp = 1;
As = 60;
Fs = 8000;
dp = (10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1);%parámetro de desviasión (banda pasante).
ds = (10^(-As/20));%parámetro de desviasión (banda de rechazo).
F = [Fsb Fpb]; %vector de frecuiencia (banda pasante y de rechazo).
A = [0 1]; %parámetro de amplitudes deseadas en (pb % sb).
DEV = [ds dp]; %vector de parámetros de desviación.
[N,Fo,Ao,W] = firpmord(F,A,DEV,Fs);
b = firpm(N,Fo,Ao,W);
freqz(b,1,512,Fs)
Ejercicios para realizar
a) Diseñar un filtro pasa banda, con las siguientes especificaciones, por el método
óptimos
 Fs1 = 125 Hz
 Fp1 = 150 Hz
 Fp2 = 200 Hz
 Fs2 = 225 Hz
 A ≥ 70 dB
 Rp = 0.5 dB
 Fs = 1.5 kHz
b) Diseñar el siguiente filtro pasa bajos por medio del método óptimo.





Fsb = 150 Hz
Fpb = 180 Hz
A = 60 dB
Rp = 0.5 dB
Fs = 8000 Hz
c) Diseñar el filtro pasa-altos que cumpla con las características siguientes, por medio del
método óptimo
 Fsb = 125 Hz
 Δf = 50 Hz
 A = 80 dB
 Rp = 1 dB
 Fs = 1.5 kHz