GUÍA : Momento de Inercia y Energía rotacional..

Tema : La inercia rotacional
La inercia de los cuerpos
El concepto de inercia no es nuevo para ti .En segundo año medio, estudiaste las leyes de Newton, y
en estas tiene un papel importante la inercia. ¿Recuerdas a que se refiere? Pensemos en una
situación cotidiana como la siguiente. Dos vehículos van rápido por una carretera recta: Un camión
de gran tonelaje y un automóvil pequeño. ¿A cuál de los dos le es más difícil reducir su rapidez o
detenerse? O, si están detenidos, ¿Cuál tiene una partida más lenta?
La inercia rotacional de los cuerpos
En este capítulo estamos estudiando la rotación de los
cuerpos. Veremos que, al igual que en los cuerpos que se
mueven rectilíneamente, sin rodar, en los cuerpos que
rotan o que pueden rotar también, hay un concepto similar
al de la masa inercial y que explica la diferente resistencia
de los cuerpos a iniciar una rotación o, a la inversa, si se
encuentran rotando, la diferente resistencia a dejar de
rotar. Este nuevo concepto se denomina inercia rotacional.
Un primer acercamiento al nuevo concepto lo tuviste en la
actividad exploratoria de la página 11 de este capítulo:
¿Qué cuerpos llegan primero a la base de un plano
inclinado? Ahí se advirtió que volveríamos en la Sección 2
a las conclusiones de esa actividad. Revisa tus apuntes, si
no recuerdas las conclusiones. ¿Cuál fue la respuesta al
título de la actividad? Tenla presente en lo que sigue.
Precisando el significado del concepto de inercia rotacional, podemos asegurar que:
• un cuerpo que rota alrededor de un eje tiende a seguir rotando, suponiendo que no haya una
acción externa que intervenga en el movimiento.
• El cuerpo que no rota tiende a seguir sin rotar.
La inercia rotacional, símbolo I, representa la propiedad de los cuerpos para resistir los cambios de
su estado de movimiento rotatorio. Más adelante veremos cómo se puede determinar la inercia
rotacional de los cuerpos. En la siguiente actividad experimental podrás comparar la inercia
rotacional de dos cuerpos.
¿De qué factores depende la inercia rotacional de los cuerpos?
La inercia rotacional de un cuerpo dado depende:
• De sus dimensiones geométricas.
• De su masa.
• De la forma como está distribuida la masa; la inercia aumenta en la medida que la distribución de
masa se aleja del eje de rotación, como lo pudiste comprobar en el mini laboratorio anterior con los
péndulos.
• De la posición del eje alrededor del cual rota el cuerpo.
Este nuevo concepto nos ayudará a comprender situaciones de diversa naturaleza, como las que
muestran las fotografías siguientes.
Como la inercia rotacional aumenta en la medida que la masa se distribuye y aleja del centro de
rotación, entonces se entiende que los seres de patas más cortas se caracterizan por ofrecer menor
resistencia a la acción que consiste en doblar sus piernas y tener por lo tanto una mayor agilidad en
su movimiento. Los corredores doblan sus piernas para movilizarlas más rápidamente. ¿Te has
fijado que las personas de piernas largas tienden a caminar con pasos más lentos que las personas
de piernas cortas?
La definición matemática de la inercia rotacional
Para una partícula de masa m que rota a la distancia r alrededor de un eje, la inercia rotacional de la
partícula se define como I = m · r2.
En el siguiente ejemplo, el cuerpo que rota no es una partícula, sino que una distribución uniforme de
materia a lo largo de un anillo que rota alrededor del eje de la circunferencia, como muestra la fi gura
1.27. La masa del anillo es M.
El anillo lo podemos imaginar como un conjunto de muchas partículas, en realidad infinitas, que rotan
todas a una misma distancia r del eje de rotación. Entonces la expresión matemática que se definió
para una partícula la podemos extender a todas las partículas que integran el anillo, de la siguiente
manera:
¿Cómo se llegó a este resultado?
Veamos:
Se supuso primero que podríamos enumerar a todas las partículas del anillo, esto explica los
subíndices de la masa m. Todas estas partículas se encuentran a una misma distancia del eje de
rotación, por esto el símbolo r no tiene subíndice; una suma larga donde se repite la estructura de
cada término se puede apuntar en forma abreviada mediante el símbolo de sumatoria ∑, que
corresponde a la letra griega sigma mayúscula.
Como la distancia r al eje de rotación es la misma en todos los términos, se factoriza y queda fuera
de la sumatoria. La sumatoria de la masa de todas las partículas se extiende a infinitas partículas y
se convierte en la masa total M del anillo.
Una de las propiedades de la inercia rotacional es su dependencia de la ubicación del eje de
rotación. Un ejemplo es el presentado en el ejercicio resuelto de la página 42.
Relaciones Matemáticas para determinar la inercia rotacional de algunos cuerpos
La siguiente tabla entrega las expresiones de la inercia rotacional de diversos cuerpos homogéneos, que giran
en torno a un eje específico.
Capa Cilíndrica respecto a su eje
Cilindro solido respecto a su eje
Cilindro hueco respecto a su eje
Capa cilíndrica respecto a un diámetro que pasa por
su centro
Cilindro macizo respecto a un diámetro que pasa por
su centro
Varilla delgada respecto a una recta perpendicular
que pasa por su centro
Varilla delgada respecto a una recta perpendicular
que pasa por su centro
Capa o corteza esférica delgada respecto a un
diámetro
Esfera maciza respecto a un diámetro
Paralelepípedo rectangular macizo respecto a un eje
que pasa por su centro y es perpendicular a una cara
Figura 1.28. Diferentes relaciones matemáticas para determinar la inercia de algunos cuerpos.
Habilidades
Actividad practica individual
APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INERCIA ROTACIONAL
Procesamiento e interpretación de datos, y
formulación de explicaciones, apoyándose
en los conceptos y modelos teóricos del
nivel
Antecedentes
Recordando que la inercia rotacional es una medida de la resistencia de un
cuerpo a la rotación, esta actividad te permitirá experimentar directamente el
concepto.
Procedimiento
Con tres trozos de alambre de unos 15 centímetros y tres
barras de plasticina, compara la inercia de rotación en los
siguientes casos. El alambre corresponderá al eje de rotación
de la barra de plasticina.
Haz rotar la barra de plasticina alrededor del respectivo alambre en cada uno de los tres casos. Presta
atención a la facilidad o a la dificultad para lograrlo cada vez.
Discusión de resultados
¿En cuál caso fue más fácil hacer rotar la barra de plasticina, y en cual fue más difícil, comparativamente?
Justifica tu observación con el concepto de la inercia rotacional
Ten presente
Los métodos de cálculo
del momento de inercia
son muy limitados, para
los cuerpos de la figura
1.29 y 1.30 se utilizan
métodos matemáticos
más sofisticados
¿Cómo se equilibra un acróbata en la cuerda floja a gran altura?
Nadie puede negar la increíble audacia de un equilibrista que camina por una cuerda,
acompañado solo por una larga vara que sostiene en sus manos. ¿Qué importancia
reviste la vara para el equilibrista?
Si el acróbata pierde el equilibrio, instintivamente intenta
hacer rotar la vara y en ese momento logra recuperar el
equilibrio. La distribución de masa a lo largo de la vara,
alejándose del centro de rotación, determina que su inercia
rotacional sea lo suficientemente grande como para que no
sea fácil hacerla rotar. Figura 1.29
 Evaluación individual
a) ¿Cómo explicas la acrobacia de la Figura 1.30?
Trata de explicarla físicamente, ¡Pero no intentes hacerla!
b) Si te atrae hacer pruebas asombrosas ante tus amigos, ensaya la siguiente. Toma un martillo o cualquier
otro objeto similar que tenga un peso notorio en un extremo, y prueba equilibrarlo verticalmente hacia arriba
con un dedo. Antes de hacerlo, ¿crees que sería recomendable apoyar en tu dedo la cabeza del martillo o el
extremo del mango? Verifica tu predicción. También resulta con una escoba. Después de realizada la
demostración, explíquesela a tus amigos en términos de la inercia rotacional.
Mini Laboratorio
La inercia rotacional de los cuerpos
Objetivo
- Comparar la inercia rotacional de dos péndulos simples.
Materiales
2. Haz oscilar el péndulo. Fijándote principalmente en
- 1 metro de hielo
la rapidez del movimiento.
- Bolita de acero o una piedra
- Regla
3. Arma otro péndulo con el resto del hilo, de a lo
menos unos 60 centímetros de longitud, con la misma
Procedimiento
bolita o piedra.
1. Arma un péndulo de unos 30 centímetros de
4. Haz oscilar el nuevo péndulo, y también fíjate en la
longitud y busca un lugar despejado donde
rapidez con la que oscila.
puedas colgarlo y hacerlo oscilar.
Análisis
1. ¿Cuál de los dos péndulos tuvo una mayor rapidez
al oscilar?
2. Si bien el péndulo de esta actividad no es un
cuerpo que rote totalmente, igual tiene una inercia
rotacional que al determinarla resulta ser m·r2 siendo
m la masa del cuerpo que oscila y r la longitud del
péndulo.
3. Entonces, ¿Cuál de los péndulos tenia mayor
inercia rotacional? Si dispones de una balanza para
medir la masa m, puedes calcularla para los dos
péndulos. La unidad de la inercia rotacional es kg·m2
4. El hecho de oscilar un péndulo con mayor rapidez
que el otro, ¿significa que opone una menor o mayor
resistencia para iniciar una rotación? Discute con tus
compañeros.
5. Prepara un informe de tu trabajo y exponlo ante el
curso
En la actividad práctica anterior pudiste constatar que, en el caso del péndulo, una menos
resistencia a rotar se refleja en una mayor rapidez de oscilación.
Más adelantes veremos otros ejemplos prácticos. Por ahora, revisemos las relaciones
matemáticas que permiten conocer la inercia rotacional de algunos cuerpos.
Ejercicio resuelto n°3
Dos cuerpos de masa 4,0 kg y 9,0 kg se encuentran cada uno en los extremos de una varilla delgada del 6,0 m de
longitud. Determina la inercia rotacional del sistema en los dos siguientes casos:
a) La varilla rota alrededor de un eje que pasa por su punto medio
b) La varilla rota alrededor de un eje a 0,50 m del cuerpo de menor masa, entre los dos cuerpos.
Identificando la información
𝑚1 = 4,0 kg
𝑚2 = 9,0 kg
I= 6,0 m
Caso a) r1 =3,0 m
r2 = 3,0 m
Caso b) r1 =0,50 m
r2 = 5,50 m
Estrategia:
En los dos casos planteados, la inercia rotacional se calcula mediante la relación: I =m1 r12 + m2 r22 . Haz un esquema de
cada situación.
Resolución
De acuerdo con los datos del problema, se tiene:
I: (4,0 kg)(9,0 𝑚2 ) + (9,0 kg)(9,0𝑚2 ) = 117 kg𝑚2
I: (4,0 kg)(0,25𝑚2 ) +(9,0 kg)(30,25𝑚2 ) = 272,25 kg𝑚2
Análisis de resultado
Estos resultadosdemuestran que efectivamente la inercia rotacional depende de la ubicación del eje de rotación. En el
segundo caso, en el que uno de los cuerpo se aleja del eje de rotación, de 3,0 m a 5,50 m, repercutió significativamente
en el resultado.
Ahora resuelves tú
Dos cuerpo de masa 6 kg y 10 kg se encuentran cada uno en los extremos de una varilla delgada de 12 m
de longitud. Determine la inercia de rotación cuando la varilla rota alrededor de un eje de 1 m del cuerpo
de mayor masa, entre los cuerpos.
Minirresumen
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La inercia rotacional es un concepto comparable, no igual, al de la masa inercial en la dinámica
unidimensional.
En ausencia de acciones externas, todo cuerpo que rota tiene tendencia a seguir con su movimiento
de rotación.
Los cuerpos con menor inercia rotacional son más fáciles de hacerlos rotar, comparativamente, que
los que tienen una mayor inercia rotacional.
Los cuerpos con menor inercia rotacional son más fáciles de hacer que dejen de rotar,
comparativamente, que los que tienen una mayor inercia rotacional.
La inercia rotacional depende, entre otros factores, de la distribución de masa alrededor del eje de
rotación: aumenta al haber mayor concentración lejos del eje de rotación.
La inercia rotacional de un objeto también depende de la ubicación que tiene el eje de roación del
cuerpo
Una persona tiene mayor inercia rotacional cuando camina con una vara en susu manos o cuando
extiende sus brazos.
LA ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN
Cuando un cuerpo de masa m se traslada con rapidez v, recordarás de tu curso anterior de
física, que su energía cinética es igual a:
La llamaremos energía cinética de tralación.¿Cómo cambia esta descripción cuando el
cuerpo rota alrededor de un eje? Figura 1.31
Un cuerpo rígido que rota está constituido por muchas partículas. Suponemosque el cuerporota
con rapidez angular 𝜔 constante. Para cada partícula se cumple que su energía cinética es igual
a
1
2
𝑚𝑣 2 , siendo m la masa de la partícula y v la rapidezlineal de esa misma partícula. Entonces,
la energía cinética total del cuerpo que rota es igual a la suma de la energía cinética de todas las
partículas del cuerpo, es
decir:
Pero sabemos además que el movimiento circunferencia uniforme se cumple v= 𝜔 r , por lo que reemplazandola en la
expresion anterior, se obtiene:
Siendo 𝜔 la rapidez angular de todas las particulas del cuerpo que rota.
Por otra parte la expresión ∑ 𝑚 𝑟 2 corresponde a la inercia rotacionar del cuerpo, por lo que hemos obtenido,
finalmente, que la energía cinética de rotación del cuerpo es:
La energía cinética de rotación no es un nuevo tipo de energía. Se ha derivado a partir de la energía cinética de
traslación de todas las partículas que componen el cuerpo que rota.
EVALUACIÓN DE SECCIÓN
1. ¿Cómo se calcula la fuerza resultante utilizando el método vectorial?
2. ¿Cómo se llama la fuerza que actúa sobre un cuerpo que se mueve en una trayectoria circunferencial?
3. ¿Cuál es la conexión que existe entre roce estático y la fuerza centrípeta?
4. ¿Qué es la diferencia entre la fuerza centrípeta y centrifuga?
5. ¿De qué factores depende la inercia rotacional de los cuerpos?
6. Comprueba los pasos utilizados para el cálculo de la energía de rotación.
Un niño tiene dos cilindros de igual
radio y de igual masa y los deja
rodar por una tabla lisa desde una
misma altura tal como lo ilustra la
7. siguiente figura.
¿Cuál de los cilindros llegara
primero?
¿Es importante el hueco en el
cilindro?
¿Por qué?
Si
8. Si dos automóviles tienen llantas de
igual masas, pero de 40(cm) y 70(cm)
de diámetro, respectivamente y se
mueven a igual rapidez, ¿Cuál tendrá
mayor energía cinética de rotación?
9.
Un par de reglas de un metro están recargadas
casi verticalmente contra un muro. Si las
sueltas giraran hasta el piso en el mismo
tiempo. Pero si una tiene una esfera solida de
plasticina pegada a su extremo superior como
lo ilustra la figura.
¿Cuál de ellas al rotar llegara primero al piso?
Problemas de aplicación.
1.- Una bola esférica solida de 2200 gr tiene un radio de 60cm. Y está girando en torno a un eje que pasa por su centro
geométrico a 1300 rpm. Determine:
1.1.- su momento de inercia rotacional.
1.2.- Su energía cinética rotacional2.- Una rueda de bicicleta de 1500 gramos y cuyo radio mide 74cm, está rodando por un camino rectilíneo y completa
80 vueltas en 8 segundos. Determine:
2.1.-Su momento de inercia
2.2.-Su rapidez angular
2.3.-Su energía cinética rotacional.
2.4.-El radio de giro a que se debería poner una masa puntual equivalente a la masa de la rueda de modo que tenga la
misma inercia que esta.
3.- Una esfera uniforme y sólida tiene una masa de 800 gr y 12cm de radio tiene .La esfera gira alrededor de un eje que
pasa por su centro. Determine:
3.1.-Su energía cinética rotacional.
3.2.-Su cantidad de movimiento angular.
3.3.-Su radio de giro-
4.-Una hélice de avión tiene una masa de 80kg y un radio de 80cm. la hélice gira a razón de 1200 rev /min. Determine
para la hélice.
4.1.-Su momento de inercia.
4.2.-Su energía cinética rotacional.
4.3.-Su cantidad de movimiento.
5.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje
perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a
120rpm (E: centro geométrico del triángulo equilátero). El
sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable.
Determine:
5.1.- El momento de inercia del sistema
5.2.- La energía cinética rotacional.
5.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al
eje de giro.
6.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano
de la “hoja” que pasa por el punto E a 150rpm (E: centro geométrico del
cuadrado). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable.
Determine:
6.1.- El momento de inercia del sistema
6.2.- La energía cinética rotacional.
6.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.
7.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje
perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a 120rpm
(E: centro geométrico del triángulo equilátero). El sistema está unido
por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
7.1.- El momento de inercia del sistema
7.2.- La energía cinética rotacional.
7.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje
de giro.
8.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de
la “hoja” que pasa por el punto E a 200rpm (E: centro geométrico del cuadrado). El
sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
8.1.- El momento de inercia del sistema
8.2.- La energía cinética rotacional.
8.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.
9.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E a
120rpm (E: vértice del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
9.1.- El momento de inercia del sistema
9.2.- La energía cinética rotacional.
9.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al
eje de giro.
10.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E
a 80rpm (E: Vértice del triángulo equilátero). El sistema está unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
10.1.- El momento de inercia del sistema
10.2.- La energía cinética rotacional.
10.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje
de giro.
11.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de
la “hoja” que pasa por el punto E a 280rpm (E: vértice del cuadrado). El sistema está
unido por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
11.1.- El momento de inercia del sistema
11.2.- La energía cinética rotacional.
11.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.
12.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la
“hoja” que pasa por el punto E a 200rpm (E: vértice del cuadrado). El sistema está unido
por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
12.1.- El momento de inercia del sistema
12.2.- La energía cinética rotacional.
12.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje de giro.
13.- En la figura, el sistema de masa gira alrededor de un eje perpendicular al plano de la “hoja” que pasa por el punto E
a 200rpm (E: vértice del triángulo equilátero). El sistema está unido
por barras rígidas de masa despreciable. Determine:
13.1.- El momento de inercia del sistema
13.2.- La energía cinética rotacional.
13.3.- El radio de giro óptimo del conjunto de masa en relación al eje
de giro.
14.-En la figura, una fuerza constant4 de 40N se aplica tangencialmente al
perímetro de una rueda de 20cm de radio. La rueda tiene un momento de
inercia de 30 kg 𝑚2 . Determine:
La aceleración angular
La rapidez angular después de 4s, si parte del reposo.
El número de vueltas que gira la rueda en estos 4 seg.
Demuestre que el trabajo efectuado sobre la rueda en los cuatro seg. Es igual
a la energía cinética rotacional de la rueda en los 4seg.
15.-La rueda de un molino es un disco uniforme de 900gr y de 8cm de radio. Se lleva uniformemente al reposo desde
una rapidez de 1400rpm en un tiempo de 35seg. Determine:
15.1.-La magnitud de la torca que debida al rozamiento que se opone al movimiento.