Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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Pág. 1
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 10x 2 – 3x – 1 = 0
b) x 2 – 20x + 100 = 0
c) 3x 2 + 5x + 11 = 0
d) 2x 2 – 8x + 8 = 0
a) x = 3 ± √9 + 40 = 3 ± √49 = 3 ± 7 =
20
20
20
Las soluciones son: x1 = 1 , x2 = – 1
2
5
10 = 1
20 2
– 4 = –1
20
5
b) x = 20 ± √400 – 400 = 20 = 10. Solución única: x = 10
2
2
c) x = –5 ± √25 – 132 = –5 ± √–107 . No tiene solución.
6
6
d) x = 3 ± √64 – 64 = 8 = 2. Solución única: x = 2
4
4
2 Resuelve estas ecuaciones:
a) 2x 2 – 50 = 0
b) 3x 2 + 5 = 0
a) 2x 2 = 50 8 x 2 = 25 8 x = ±√25 = ±5
Soluciones: x1 = 5, x2 = –5
b) 3x 2 = –5 8 x 2 = – 5 . No tiene solución.
3
c) x(7x + 5) = 0
d) 2x(x + 5) = 0
x1 = 0
7x + 5 = 0 8 x 2 = – 5
7
x1 = 0
x + 5 = 0 8 x2 = –5
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
c) 7x 2 + 5x = 0
d) 2x 2 + 10x = 0
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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Pág. 1
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (x – 4)(x – 6) = 0
b) (x + 2)(x – 3) = 0
c) x (x + 1)(x – 5) = 0
d) (3x + 1)(2x – 3) = 0
e) x (x 2 – 64) = 0
f ) (2x + 1)(x 2 + 5x – 24) = 0
a) (x – 4)(x – 6) = 0
x – 4 = 0 8 x1 = 4
x – 6 = 0 8 x2 = 6
b) (x + 2)(x – 3) = 0
x + 2 = 0 8 x1 = –2
x – 3 = 0 8 x2 = 3
c) x (x + 1)(x – 5) = 0
d) (3x + 1)(2x – 3) = 0
e) x (x 2 – 64) = 0
f ) (2x +
1)(x 2
x1 = 0
x + 1 = 0 8 x2 = –1
x – 5 = 0 8 x3 = 5
3x + 1 = 0 8 x1 = – 1
3
2x – 3 = 0 8 x2 = 3
2
x1 = 0
x2 = 8
x2 – 64 = 0
x3 = –8
+ 5x – 24) = 0
2x + 1 = 0 8 x1 = – 1
2
x2 + 5x – 24 = 0 8
8 x 2 + 5x – 24 = 0 8 x = –5 ± √25 + 96 = –5 ± 11 =
2
2
x2 = 3
x3 = –8
2 Resuelve.
a) √x – 3 = 0
b) √x + 2 = x
c) √4x + 5 = x + 2
d) √x + 1 – 3 = x – 8
e) √2x 2 – 2 = 1 – x
f ) √3x 2 + 4 = √5x + 6
a) √x – 3 = 0 8 √x = 3 8 x = 9
b) √x + 2 = x 8 √x = x – 2 8 x = (x – 2) 2 8 x = x 2 – 4x + 4 8
8 x 2 – 5x + 4 = 0 8 x = 5 ± √25 – 16 = 5 ± √9 = 5 ± 3 =
2
2
2
Comprobación
Si x = 4 8 √4 + 2 = 2 + 2 = 4
Si x = 1 8 √1 + 2 = 1 + 2 = 3 ? 1
4
1
x1 = 4 es válida.
x = 1 no es válida.
c) √4x + 5 = x + 2
(√4x + 5)2 = (x + 2) 2 8 4x + 5 = x 2 + 4x + 4 8 x 2 + 4x + 4 – 4x – 5 = 0 8
8 x 2 – 1 = 0 8 x 2 = 1 8 x = ±1
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Comprobación
Pág. 1
Si x = 1 8 √4x + 5 = √9 = 3 °
¢ Coinciden 8 x = 1 es solución.
1+2=3
£
Si x = –1 8 √4x + 5 = √1 = 1 °
¢ Coinciden 8 x = –1 es solución.
–1 + 2 = 1
£
Soluciones: x1 = 1, x2 = –1
d) √x + 1 = x – 8 + 3 8 √x + 1 = x – 5 8 (√x + 1 )2 = (x – 5) 2 8
8 x + 1 = x 2 – 10x + 25 8 x 2 – 11x + 24 = 0
x = 11 ± √121 – 96 = 11 ± √25 = 11 ± 5 =
2
2
2
8
3
Comprobación
Si x = 8 8 √8 + 1 – 3 = √9 – 3 = 3 – 3 = 0 °
¢ Coinciden, x = 8 es válida.
8–8=0
£
Si x = 3 8 √3 + 1 – 3 = √4 – 3 = 2 – 3 = –1 °
¢ –1 ? –5, luego x = 3 no es válida.
3 – 8 = –5
£
Solución: x = 8
e) (√2x 2 – 2)2 = (1 – x) 2 8 2x 2 – 2 = 1 – 2x + x 2 8 x 2 + 2x – 3 = 0
x = –2 ± √4 + 12 = –2 ± √16 = –2 ± 4 =
2
2
2
–3
1
Comprobación
Si x = –3 8 √2 · 9 – 2 = √18 – 2 = √16 = 4 °
¢ Coinciden 8 x = –3 es solución.
1 – (–3) = 1 + 3 = 4
£
Si x = 1 8 √2 · 1 – 2 = √2 – 2 = 0 °
¢ Coinciden 8 x = 1 es solución.
1–1=0
£
Soluciones: x1 = –3, x2 = 1
f ) (√3x 2 + 4 )2 = (√5x + 6 )2 8 3x 2 + 4 = 5x + 6 8 3x 2 – 5x – 2 = 0
x = 5 ± √25 + 24 = 5 ± √49 = 5 ± 7 =
6
6
6
2
–1/3
Comprobación
Si x = 2 8 √3 · 4 + 4 = √12 + 4 = √16 = 4 °
¢ Coinciden 8 x = 2 es solución.
√5 · 2 + 6 = √10 + 6 = √16 = 4 £
√3 · 19 + 4 =√ 13 + 4 =√ 133 °§§ Coinciden 8 x = – 1 es solución.
¢
3
§
§
√5 · (– 13 ) + 6 =√– 53 + 6 =√ 133 £
Si x = – 1 8
3
Soluciones: x1 = 2, x2 = – 1
3
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 36
Pág. 1
Entrénate
1 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 10 + 5 = 4x – 1
x+3
b) 2 000 + 25 = 2 000
x
x–4
c) 1 + 12 = 3
x x
4
a) 10 + 5x + 15 = 4x 2 + 12x – x – 3 8 4x 2 + 6x – 28 = 0 8 2x 2 + 3x – 14 = 0
x1 = 2
°
¢ Ambas soluciones son válidas.
x2 = –7/2 £
x = –3 ± √9 + 112 = –3 ± 11
4
4
b) 2 000x – 8 000 + 25x(x – 4) = 2 000x 8 –320 + x(x – 4) = 0 8 x 2 – 4x – 320 = 0
x1 = 20 °
¢ Las dos soluciones son válidas.
x2 = –16 £
16 + 1 280
x=4±√
= 4 ± 36
2
2
c) 4x + 4 = 3x 2 8 3x 2 – 4x – 4 = 0
16 + 48
x= 4±√
= 4±8
6
6
x1 = 2
°
¢ Ambas soluciones son válidas.
x2 = –2/3 £
2 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0
b) x 4 + 3x 2 – 4 = 0
c) x 4 + 5x 2 + 4 = 0
d) x 4 – 25x 2 = 0
e) x 4 – 3x 2 + 4 = 0
a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0
Hacemos el cambio x 2 = y:
x 4 – 5x 2 + 4 = 0 8 y 2 – 5y + 4 = 0
y = 5 ± √25 – 4 · 1 · 4 = 5 ± 3 =
2
2
2
Si y = 4 8 x = 4 8 x = ± 4
4
1
Si y = 1 8 x 2 = 1 8 x = ± 1
Soluciones: x 1 = 4, x 2 = –4, x 3 = 1, x 4 = –1
b) x 4 + 3x2 – 4 = 0
Hacemos el cambio x 2 = y:
x 4 + 3x 2 – 4 = 0 8 y 2 + 3y – 4 = 0
y = –3 ± √9 – 4 · 1 · (–4) = –3 ± 5 =
2
2
Soluciones: x 1 = 1, x 2 = –1
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
18 x=±1
–4 8 x 2 = – 4 8 Imposible.
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
c) x 4 + 5x 2 + 4 = 0
Pág. 2
Hacemos el cambio x 2 = y:
x 4 + 5x 2 + 4 = 0 8 y 2 + 5y + 4 = 0
–1 8 x2 = ±1 8 Imposible.
–4 8 x 2 = – 4 8 Imposible.
y = –5 ± √25 – 4 · 1 · 4 = –5 ± 3 =
2
2
La ecuación no tiene soluciones.
d) x 4 – 25x 2 = 0 8 x 2 (x 2– 25) = 0
x2 = 0 8 x = 0
x 2 – 25 = 0 8 x 2 = 25 8 x = ±5
Soluciones: x 1 = 0, x 2 = –5, x 3 = 5
e) x 4 – 3x 2 + 4 = 0
Hacemos el cambio x 2 = y:
x 4 – 3x 2 + 4 = 0 8 y 2 – 3y + 4 = 0
y = 3 ± √9 – 4 · 1 · 4 = 3 ± √– 7 8 Imposible.
2
2
La ecuación no tiene soluciones.
3 Un vendedor callejero lleva un cierto número de relojes, por los que piensa sacar 200 €.
Pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5 €, consigue recaudar la misma cantidad. ¿Cuántos relojes llevaba?
Llevaba x relojes que iba a vender a 200 euros cada uno.
x
Hay dos deteriorados 8 x – 2
Aumenta el precio en 5 euros 8 200 + 5 euros
x
Al final, recauda 200 € 8 (x – 2) 200 + 5 = 200
x
200
+
5x
(x – 2)
= 200 8 (x – 2) (200 + 5x ) = 200x 8
x
8 200x + 5x 2 – 400 – 10x = 200x 8 5x 2 – 10x – 400 = 0
10
x = 10 ± √100 – 4 · 5 · (–400) = 10 ± 90 =
10
10
–8 (No vale.)
Solución: El vendedor llevaba 10 relojes.
(
)
(
)
4 El lado menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Calcular el otro cateto sabiendo
que la hipotenusa mide 1 cm más que él.
Llamamos x a la longitud del cateto desconocido. Por tanto, la hipotenusa mide x + 1.
Por el teorema de Pitágoras: x + 1 = √x 2 + 25 8 (x + 1)2 = x 2 + 25 8
8 x 2 + 2x + 1 = x 2 + 25 8 2x = 24 8 x = 12
El otro cateto mide 12 cm.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
5 Un grupo de amigos alquilan un autocar por 2 000 € para una excursión. Fallan 4
de ellos, por lo que los restantes deben pagar 25 € más cada uno. ¿Cuántos había al
principio?
Si en un principio eran x amigos, cada uno debía pagar 2 000 . Siendo 4 amigos menos,
x
deben pagar 25 euros más.
2 000 = 2 000 + 25
x–4
x
Esta ecuación es la misma que la del apartado b) del ejercicio 3 anterior.
Su única solución válida es x = 20 amigos.
6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 8 cm. Calcula la longitud del otro cateto
sabiendo que la hipotenusa mide 2 cm más que él.
Un cateto 8 8 cm °
§
2
2
2
2
Otro cateto 8 x
¢ (x + 2) = x + 64 8 x + 4x + 4 = x + 64 8 4x – 60 = 0 8 x = 15
§
Hipotenusa 8 x + 2 £
El otro cateto mide 15 cm
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 3
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 37
Pág. 1
Entrénate
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando los tres métodos que conoces:
sustitución, igualación y reducción:
£
£
£
£
¢x + y = 5
¢ x + 2y = 1
¢ –x – 3y = –15
¢ 2x + 3y = 2
b) °
c) °
d) °
a) °
x – y = –1
3x + 2y = –5
x – y = –5
x – y = 1/6
£
¢ x + 4y = 0
e) °
£
¢x + y = 1
f) °
£
¢x + y = 5
i) °
£
¢ 2x – y = 5
j) °
2x – 4y = –3
2x + 2y = 10
x–y=0
£
¢x + y = 5
g) °
2x + 2y = –1
£
¢ 2x – y = 3
h) ° 1
x–
2
y = –1
6x + 3y = –15
£
¢x + y = 5
a) °
x – y = –1
Sustitución:
£
¢x + y = 5
8 –1 + y + y = 5 8 2y = 6 8 y = 3 8 x = 2
°
x = –1 + y
Igualación:
£
¢x = 5 – y
8 5 – y = –1 + y 8 6 = 2y 8 y = 3 8 x = 2
°
x = –1 + y
Reducción:
x +y= 5
x – y = –1
2x = 4 8 x = 2 8 y = 3
£
¢ x + 2y = 1
b) °
3x + 2y = –5
Sustitución:
£
¢ x = 1 – 2y
8 3(1 – 2 y ) + 2y = –5 8 8 = 4y 8 y = 2 8 x = –3
°
3x + 2y = –5
Igualación:
£
§x = 1 – 2y
–5 – 2y
¢
8 1–2y=
8 3 – 6y = –5 – 2y 8 8 = 4y 8 y = 2 8 x = –3
§ –5 – 2y
3
°x =
3
Reducción:
x + 2y = 1
– 3x – 2y = 5
–2x
= 6 8 x = –3 8 y = 2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
£
¢ –x – 3y = –15
c) °
x – y = –5
Pág. 2
Sustitución:
£
¢ –x – 3y = –15
8 – (–5 + y ) – 3y = –15 8 20 = 4y 8 y = 5 8 x = 0
° x = –5 + y
Igualación:
£
¢ x = 15 – 3y
° x = –5 + y 8 15 – 3y = –5 + y 8 20 = 4y 8 y = 5 8 x = 20
Reducción:
–x – 3y = –15
x– y=– 5
– 4y = –20 8 y = 5 8 x = 0
£
¢ 2x + 3y = 2
d) °
1
x–y=
6
Sustitución:
£
¢ 2x + 3y = 2
°
1
x=y+
(
8 2 y+
1
5
1
1
+ 3y = 2 8 5y = 8 y = 8 x =
6
3
3
2
)
6
Igualación:
£
2 – 3y
§
¢x =
1
5
1
1
2 – 3y
2
§
= y + 8 5y = 8 y = 8 x =
8
1
°
6
3
3
2
2
x =y +
6
Reducción:
2x + 3y = 2
1
3x – 3y =
2
5x
=
5
1
1
8x= 8 y=
2
2
3
£
¢ x + 4y = 0
e) °
2x – 4y = –3
Sustitución:
£
¢ x = – 4y
°
2x – 4y = –3
8 2(–4y) – 4y = –3 8 – 12y = – 3 8 y =
1
8 x = –1
4
Igualación:
£
§x = –4y
¢
§
–3 + 4y 8 – 4y = –3 + 4y 8 –12y = – 3 8 y = 1 8 x = –1
°x =
4
2
2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Reducción:
–2x – 8y = 0
Pág. 3
2x – 4y = –3
– 12y = –3 8 y =
£
¢x + y = 1
f) °
1
8 x = –1
4
x–y=0
Sustitución:
£
1
1
¢x + y = 1
8 y + y = 1 8 2y = 1 8 y = 8 x =
°
2
2
x=y
Igualación:
£
1
1
¢x = 1 – y
8 1 – y = y 8 2y = 1 8 y = 8 x =
°
2
2
x=y
Reducción:
x+y=1
x–y=0
2x
= 18x=
£
¢x + y = 5
g) °
1
1
8y=
2
2
2x + 2y = –1
Sustitución:
£
¢x = 5 – y
8 2(5 – y) + 2y = –1 8 10 = – 1 8 No tiene solución.
°
2x + 2y = –1
Igualación:
£
§x = 5 – y
¢
§x = –1 – 2y 8 5 – y = –1 – 2y 8 –10 = – 1 8 No tiene solución.
°
2
2
Reducción:
–2x – 2y = –10
2x + 2y = –1
0 = –11 8 No tiene solución.
£
¢ 2x – y = 3
h) °
1
x–
y = –1
2
Sustitución:
£
¢ y = 2x – 3
1
°
x – y = –1
2
8x–
1
3
(2x – 3) = –1 8 = –1 8 No tiene solución.
2
2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Igualación:
£
¢ y = 2x – 3
8 2x – 3 = 2x + 2 8 – 3 = + 2 8 No tiene solución.
°
2x + 2 = y
Reducción:
2x – y = 3
–2x + y = 2
0 = 5 8 No tiene solución.
£
¢x + y = 5
i) °
2x + 2y = 10
Sustitución:
£
¢x = 5 – y
8 2 (5 – y ) + 2y = 15 8 0 = 0 8 Infinitas soluciones de la forma (5 – y, y).
°
2x + 2y = 10
Igualación:
£
¢x = 5 – y
8 5 – y = 5 – y 8 0 = 0 8 Infinitas soluciones de la forma (5 – y, y).
°
x=5–y
Reducción:
–2x – 2y = –10
2x + 2y = 10
0 = 0 8 Infinitas soluciones de la forma (5 – y, y).
£
¢ 2x – y = 5
j) °
6x + 3y = –15
Sustitución:
£
¢ y = 2x – 5
8 6x + 3 (2x – 5) = –15 8 12x = 0 8 x = 0 8 y = –5
°
6x + 3y = –15
Igualación:
£
§y = 2x – 5
¢
§y = –15 – 6x 8 2x – 5 = –15 – 6x 8 12x = 0 8 x = 0 8 y = –5
°
3
3
Reducción:
6x – 3y = 15
6x + 3y = –15
12x
(
1
6
)
8 2 1 + y + 3y = 2 8 5y =
= 0 8 x = 0 8 y = –5
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
5
1
1
8 y= 8 x=
3
3
2
Pág. 4
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 38
Pág. 1
1 Resuelve estos sistemas:
°x – y = 15
°x 2 + xy + y 2 = 21
°2x – y = 2
b) ¢
c) ¢ 2
a) ¢
£xy = 100
£x + y = 1
£x – xy = 0
a) x – y = 15 ° x = 15 + y
¢
xy = 100 £ (15 + y)y = 100 8 y 2 + 15y – 100 = 0
y = –15 ± √225 + 400 = –15 ± 25 =
2
2
° y = √x + 1
d) ¢
£y = 5 – x
5
–20
Si y = 5 8 x – 5 = 15 8 x = 20
Si y = –20 8 x + 20 = 15 8 x = –5
Soluciones: x1 = 20, y1 = 5; x2 = –5, y2 = –20
b) x 2 + xy + y 2 = 21°
¢
x+y=1
£ x=1–y
(1 – y)2 + (1 – y)y + y 2 = 21 8 y 2 – 2y + 1 – y 2 + y + y 2 – 21 = 0
y 2 – y – 20 = 0 8 y = 1 ± √1 + 80 = 1 ± 9 =
2
2
Si y = 5 8 x = –4
5
–4
Si y = –4 8 x = 5
Soluciones: x1 = –4, y1 = 5; x2 = 5, y2 = –4
c) 2x – y = 2 ° y = 2x – 2
8 x 2 + x (2x – 2) = 0 8 x 2 + 2x 2 – 2x = 0 8
¢ 2
2
x + xy = 0 £ x + xy = 0
x=0
8 3x 2 – 2x = 0 8 x(3x – 2) = 0
x= 2
3
Si x = 0 8 y = –2
Si x = 2 8 y = – 2
3
3
° y = √x + 1
d) ¢
8 √x + 1 = 5 – x 8 x + 1 = (5 – x)2 8
£y = 5 – x
8 x + 1 = x2 – 10x + 25 8 x2 – 11x + 24 = 0
x = 11 ± √121 – 4 · 1 · 24 = 11 ± 5 =
2
2
Si x = 8 8 y = 3
8
3
Si x = 3 8 y = 2
Comprobando las dos posibles parejas de soluciones, se ve que solo es válida la segunda;
esto es: x = 3, y = 2.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 39
Pág. 1
1 Traduce a lenguaje algebraico.
a) El triple de un número más 8 unidades es menor que 20.
b) El doble del número de personas de mi clase no supera a 70.
a) 3x + 8 < 20
b) 2x Ì 70
2 Resuelve y representa gráficamente las soluciones.
a) 5x < –5
b) 2x + 3 Ó 7
c) 104 – 9x Ì 4(5x – 3)
d) 3(4 – x) > 18x + 5
e) x – x Ó 5x – 1
4
3 6
f ) 4 – 2x > 2(x – 3)
3
a) 5x < –5 8 x < –1
b) 2x + 3 Ó 7 8 2x Ó 7 – 3 8 2x Ó 4 8 x Ó 2
–1
2
c) 104 – 9x Ì 4(5x – 3) 8 104 – 9x Ì 20x – 12 8
8 104 + 12 Ì 20x + 9x 8 116 Ì 29x 8 4 Ì x
4
d) 3 (4 – x) > 18x + 5 8 12 – 3x > 18x + 5 8
8 12 – 5 > 18x + 3x 8 7 > 21x 8
8 7 >x 8 1 >x
21
3
1
—
3
e) Multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por el mín.c.m. (4, 3, 6) = 12:
12x – 12x Ó 12 · 5x – 12 8
4
3
6
8 3x – 12x Ó 20x – 2 8 –29x Ó –2 8 x Ì 2
29
f ) 4 – 2x > 2x – 6 8 4 – 2x > 6x – 18 8
3
8 22 > 8x 8 22 > x 8 x < 11
8
4
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
2
—
29
11
—
4
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 40
Pág. 1
3 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
°3x Ì 15
a) ¢
£2x Ó 8
°3x – 5 Ì x + 12
b)¢
£x + 4 < 5x – 8
°5x – 7 > 23
c) ¢
£3 – 2x > x – 30
°–2x – 1 Ó 14 – 8x
d)¢
£5x + 8 > 6x + 5/2
°x Ì 5 °
a) ¢
¢ 8 4ÌxÌ5
£x Ó 4 £
°2x + Ì 17 8 x Ì – 17
2
b) §¢
§4x > 12 8 x > 3
£
4
5
°
§ 8 3 < x Ì 17
¢
2
§
£
3
4
5
6
7
8 17
— 9
2
°
°x > 30 = 6
§ 8 No tiene solución.
§
5
c) ¢
¢
§3x < 6 8 x < 2 §
£
£
°6x Ó 15 8 x Ó 15/6 = 2,5°
d) ¢
¢ 8 2,5 Ì x < 5,5
£x < –5/2 + 8 = 11/2 = 5,5 £
2 2,5 3
4
5 5,5 6
4 Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta algo menos de 2 200 € en total.
Cinco amigos contratan el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bonificación de
500 €, y pagan algo más de 3 000 €.
¿Cuánto vale ese viaje a Praga, si sabemos que es múltiplo de 10 €?
°x < 2 200 ≈ 733,33
§
3
°3x < 2 200
8 700 < x < 733,33
8 ¢
¢
£5x – 500 > 3 000
3
500
§5x > 3 500 8 x >
= 700
5
£
Podría costar 710 o 720 o 730 € a cada uno. Como nos dicen que 3 amigos pagan “algo
menos” de 2 200 €, podemos suponer que el viaje cuesta 730 € por persona.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 41
Pág. 1
■ Practica
Ecuaciones: soluciones por tanteo
1
Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 3 = 32
b) √2x + 1 = 9
c) x x + 1 = 8
d) (x – 1)3 = 27
a) 2x + 3 = 32 8 2x + 3 = 25 8 x + 3 = 5 8 x = 2
b) √2x + 1 = 9 8 2x + 1 = 81 8 2x = 80 8 x = 40
c) x x + 1 = 8 8 x = 2 porque 22 + 1 = 23 = 8
d) (x – 1)3 = 27 8 (x – 1)3 = 33 8 x – 1 = 3 8 x = 4
2
Busca por tanteo, con la calculadora, una solución aproximada hasta las décimas.
b) x x = 35
c) 3x = 1 000
d) x 3 = 30
a) x 3 + x 2 = 20
a) 23 + 22 = 8 + 4 = 12 ° Por tanto, la solución está entre 2 y 3.
¢
33 + 32 = 27 + 9 = 36 £ Probemos con 2,4; 2,5; 2,6; …
2,43 + 2,42 = 19,584 °
¢ Por tanto, la solución es 2,4.
2,53 + 2,52 = 21,875 £
b) 33 = 27 °
¢ La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …
44 = 256 £
3,13,1 = 33,36 °
¢ La solución más próxima es x = 3,1.
3,23,2 = 41,35 £
c) 36 = 729 °
¢ La solución está entre 6 y 7. Probemos con 6,2; 6,3; …
37 = 2 187 £
36,2 = 908,14 °
La solución más próxima es x = 6,3.
36,3 = 1 013,59 ¢£
d) 33 = 27 °
¢ La solución está entre 3 y 4. Probemos con 3,1; 3,2; …
43 = 64 £
3,13 = 29,791 °
¢ La solución es x = 3,1.
3,23 = 32,768 £
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
Ecuaciones de segundo grado
3
Pág. 2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2
– 2x – 3 = 0
b) 2x 2 – 7x – 4 = 0
a) x = 2 ± √4 + 12 = 2 ± √16 = 2 ± 4
2
2
2
b) x = 7 ± √49 + 32 = 7 ± √81 = 7 ± 9
4
4
4
c) x = 5 ± √25 + 24 = 5 ± 7
4
4
c) 2x 2 – 5x – 3 = 0
d) x 2 + x + 2 = 0
x1 = 3
x 2 = –1
x1 = 4
x 2 = –2 = – 1
4
2
x1 = 3
x 2 = –2 = – 1
4
2
d) x = –1 ± √1 – 8 = –1 ± √–7 No tiene solución.
2
2
4
Resuelve:
a) 4x 2
– 64 = 0
b) 3x 2 – 9x = 0
c) 2x 2 + 5x = 0
d) 2x 2 – 8 = 0
a) 4x 2 = 64 8 x 2 = 64 8 x 2 = 16 8 x1 = 4, x2 = –4
4
b) 3x (x – 3) = 0
c) x(2x + 5) = 0
x1 = 0
x – 3 = 0 8 x2 = 3
x1 = 0
2x + 5 = 0 8 x 2 = –5
2
2
4
d) 2x = 8 8 x = 4 8 x1 = –2, x2 = 2
5
Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin
aplicar la fórmula general:
2
2
2
a) (3x + 1)(3x – 1) + (x – 2) = 1 – 2x
b) x + 2 – x + 1 = x + 5
2
3
4
12
2
c) (2x – 1)(2x + 1) = 3x – 2 + x
3
3
6
2
a) 9x 2 – 1 + x – 4x + 4 = 1 – 2x 8 18x 2 – 2 + x 2 – 4x + 4 = 2 – 4x 8 19x 2 = 0 8 x = 0
2
b) Multiplicamos toda la ecuación por 12:
4(x 2 + 2) – 3(x 2 + 1) = x + 5 8 4x 2 + 8 – 3x 2 – 3 = x + 5 8
x1 = 0
8 x 2 – x = 0 8 x(x – 1) = 0
x2 = 1
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
c) Multiplicamos la ecuación por 6:
Pág. 3
2(2x – 1)(2x + 1) = 3x – 2 + 2x 2 8 2(4x 2 – 1) = 3x – 2 + 2x 2 8 6x 2 – 3x = 0 8
8 3x(2x – 1) = 0
6
x1 = 0
2x – 1 = 0 8 x 2 = 1
2
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) (2x + 1)2 = 1 + (x – 1)(x + 1)
b) (x + 1)(x – 3) + x = x
2
4
3x
+
1
x
–
2
–
= x2 – 2
c) x +
2
3
a) 4x 2 + 1 + 4x = 1 + x 2 – 1 8 3x 2 + 4x + 1 = 0
x1 = –1/3
x = – 4 ± √16 – 12 = – 4 ± 2
6
6
x 2 = –1
2
b) x – 2x – 3 + x = x 8 2x 2 – 4x – 6 + 4x = x 8 2x 2 – x – 6 = 0
2
4
x1 = 2
x = 1 ± √1 + 48 = 1 ± 7
4
4
x 2 = –3/2
c) 6x + 9x + 3 – 2x + 4 = 6x 2 – 12 8 6x 2 – 13x – 19 = 0
x = 13 ± √169 + 456 = 13 ± 25
12
12
x1 = 19/6
x 2 = –1
Otros tipos de ecuaciones
7
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) (2x – 5)(x + 7) = 0
b) (x – 2)(4x + 6) = 0
c) (x + 2)(x 2 + 4) = 0
d) (3x + 1)(x 2 + x – 2) = 0
a) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
2x – 5 = 0 8 x = 5 °§
2 ¢ Soluciones: x1 = –7, x2 = 5
2
x + 7 = 0 8 x = –7 §£
b) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
°
§ Soluciones: x = – 3 , x = 2
¢
1
6
3
2 2
4x + 6 = 0 8 x = – = – §
4
2 £
x–2=0 8 x=2
c) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
x + 2 = 0 8 x = –2
°
¢ Solución: x = –2
2
2
x + 4 = 0 8 x = – 4 No tiene solución. £
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
d) Igualamos a 0 cada uno de los dos factores:
3x + 1 = 0 8 x = – 1
3
x 2 + x – 2 = 0 8 x = –1 ± √1 + 8 = –1 ± 3
2
2
8
Pág. 4
°
§ Soluciones:
¢
–1
1 § x1 = –2, x2 = 3 , x3 = 1
–2 £
Resuelve.
a) x – √x = 2
b) x – √25 – x 2 = 1
c) x – √169 – x 2 = 17
d) x + √5x + 10 = 8
e) √2x 2 + 7 = √5 – 4x
f ) √x + 2 + 3 = x – 1
a) (x – 2) = √x 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 – 4x + 4 = x 8 x 2 – 5x + 4 = 0 8 x = 5 ± √25 – 16 = 5 ± 3
2
2
Comprobación:
°
x1 = 4 8 4 – √4 = 2
¢ Solución: x = 4
x2 = 1 8 1 – √1 = 0 ? 2 £
b) (x – 1)2 = (√25 – x 2 )2 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 – 2x + 1 = 25 – x 2 8 2x 2 – 2x – 24 = 0 8 x 2 – x – 12 = 0
x1 = 4
x = 1 ± √1 + 48 = 1 ± 7
2
2
x2 = –3
Comprobación:
°
x1 = 4 8 4 – √25 – 16 = 4 – 3 = 1
¢ Solución: x = 4
x2 = –3 8 –3 – √25 – 9 = –3 – 4 = –7 ? 1 £
c) (x – 17) 2 = (√169 – x 2 )2 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x 2 + 289 – 34x = 169 – x 2 8 2x 2 – 34x + 120 = 0 8 x 2 – 17x + 60 = 0
x = 17 ± √289 – 240 = 17 ± 7
2
2
Comprobación:
x1 = 12
x2 = 5
x1 = 12 8 12 – √169 – 144 = 12 – 5 = 7 ? 17 °
¢ No tiene solución.
x2 = 5 8 5 – √169 – 25 = 5 – 12 = –7 ? 17 £
d) (√5x + 10)2 = (8 – x) 2 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros:
5x + 10 = 64 + x 2 – 16x 8 x 2 – 21x + 54 = 0
x = 21 ± √441 – 216 = 21 ± 15
2
2
Comprobación:
x1 = 18
x2 = 3
x1 = 18 8 18 + √5 · 18 + 10 = 28 ? 8°
¢ Solución: x = 3
x2 = 3 8 3 + √5 · 3 + 10 = 3 + 5 = 8 £
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
x1 = 4
x2 = 1
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
e) Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos: 2x 2 + 7 = 5 – 4x
2x 2 + 4x + 2 = 0 8 x 2 + 2x + 1 = 0 8 x = –2 ± √4 – 4 = –2 ± 0 = –1
2
2
Comprobación: Si x = –1 8 √2 · (–1)2 + 7 = √5 – 4 · (–1) 8 √9 = √9 Cierto.
Solución: x = –1
f ) Elevamos al cuadrado ambos miembros:
x + 2 = (x – 4)2 8 x + 2 = x 2 + 8x + 16 8 x 2 – 9x + 14 = 0
x = 9 ± √81 – 56 = 9 ± √25 = 9 ± 5
2
2
2
x1 = 7
x2 = 2
Comprobación:
Si x = 7 8 √7 + 2 + 3 = 6 = 7 – 1 Válida. °
¢ Solución: x = 7
Si x = 2 8 √2 + 2 + 3 = 5 ? 2 – 1 No vale. £
9
Resuelve estas ecuaciones:
a) 2 – 1 = 3x
x 2x 2
b) 800 – 50 = 600
x
x+4
c) 12 – 2 = 3 – 2x
x
3x
d) x = 1 + 2x – 4
2
x+4
a) 2 – 1 = 3x . Multiplicamos la ecuación por 2x :
x 2x 2
4 – 1 = 3x 2 8 3x 2 = 3 8 x 2 = 1 8 x = ±1
Comprobación: Si x = –1 8 2 = 1 = 3(–1) 8 –2 + 1 = – 3 Válida.
–1 2(–1)
2
2
2
Si x = 1 8 2 – 1 = 3 Válida.
2 2
Soluciones: x1 = –1, x2 = 1
b) 800 – 50 = 600 . Multiplicamos la ecuación por x(x + 4):
x
x+4
800(x + 4) – 50x (x + 4) = 600x 8 800x + 3 200 – 50x 2 – 200x = 600x 8
8 –50x 2 + 3 200 = 0 8 x 2 – 64 = 0 8 x 2 = 64 8 x = ±8
Comprobación: Si x = –8 8 800 – 50 = 600 8 –150 = 600 Válida.
–8
–8 + 4
–4
Si x = 8 8 100 – 50 = 600 8 50 = 50 Válida.
12
Soluciones: x1 = –8, x2 = 8
c) 12 – 2 = 3 –2x. Multiplicamos la ecuación por 3x 2:
x
3x
x=0
2
2
3 – 6x = 3 – x 8 6x – x = 0 8 x(6x – 1) = 0
6x – 1 = 0 8 x = 1
6
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 5
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
Comprobación: Si x = 0, 1 no existe, luego no es válida.
0
3– 1
6
1
–2=
8 36 – 2 =
Si x = 1 ,
2
2
6
1
3· 1
6
6
( )
()
Pág. 6
17
6 8
3
36
8 34 = 17 · 2 Válida.
Solución: x = 1
6
d) x = 1 + 2x – 4 . Multiplicamos la ecuación por 2(x + 4):
2
x+4
x(x + 4) = 2(x + 4) · 2(2x + 4) 8 x 2 + 4x = 2x + 8 + 4x – 8 8 x 2 – 2x = 0 8
x=0
8 x(x – 2) = 0
x–2=08x=2
Comprobación: Si x = 0 8 0 = 1 + 0 – 4 8 0 = 1 – 1 Válida.
2
0+4
Si x = 2 8 2 = 1 + 4 – 4 8 1 = 1 + 0 Válida.
2
2+4
Soluciones: x1 = 0, x2 = 2
Inecuaciones
10
Halla el conjunto de soluciones de cada inecuación y represéntalo.
a) 3x – 7 < 5
b) 2 – x > 3
c) 7 Ó 8x – 5
d) 1 – 5x Ì –8
e) 6 < 3x – 2
f ) –4 Ó 1 – 10x
a) 3x < 5 + 7 8 x < 12 8 x < 4 8 (– @, 4)
3
4
b) –x > 1 8 x < –1 8 (– @, –1)
–1
[
c) 8x Ó 7 + 5 8 x Ó 12 8 x Ó 3 8 3 , +@
8
2
2
[
d) –5x Ì –9 8 x Ì 9 8 9 , +@
5
5
)
)
3/2
9/5
(
e) 6 < 3x – 2 8 6 + 2 < 3x 8 8 < 3x 8 x > 8 8 8 , +@
3
3
(
f ) 10x Ó 1 + 4 8 x Ó 5 8 x Ó 1 8 1 , +@
10
2
2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
)
1/2
)
8/3
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
11
Halla el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:
°x – 1 > 0
°2 – x > 0
°x + 1 Ó 0
°x > 0
a) ¢
b) ¢
c) ¢
d) ¢
£x + 3 > 0
£2 + x Ó 0
£x – 4 Ì 0
£3 – x Ì 0
°x – 1 > 0
°x > 1
a) ¢
8 ¢
£x + 3 > 0
£x > –3
Soluciones: (1, +@)
°2 – x > 0
°x < 2
b)¢
8 ¢
£2 + x Ó 0
£x Ó –2
Soluciones: [–2, 2)
°x + 1 Ó 0
°x Ó –1
c) ¢
8 ¢
£x – 4 Ì 0
£x Ì 4
Soluciones: [–1, 4]
°x > 0
°x > 0
d) ¢
8 ¢
£3 – x Ì 0
£3 Ì x 8 x Ó 3
Soluciones: [3, +@)
–3
1
–2
2
–1
4
0
3
Sistemas lineales
12
Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución
x = –1, y = 2:
° x – 3y = …
° y–x=…
°3x + y = …
°… – 2x = 4
a) ¢
b) ¢
c) ¢
d) ¢
£ 2x + y = …
£ 2y + x = …
£… + y/2 = 0
£3y + … = 1
a)
x – 3y = …°
°–1 – 3 · 2 = –1 – 6 = –7
¢ Si x = –1, y = 2 8 ¢
2x + y = …£
£2 · (–1) + 2 = –2 + 2 = 0
° x – 3y = –7
Así, ¢
es el sistema buscado.
£ 2x + y = 0
b)
y – x = …°
°2 – (–1) = 2 + 1 = 3
¢ Si x = –1, y = 2 8 ¢
2y + x = …£
£2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3
° y–x=3
El sistema que tiene como solución x = –1, y = 2 es: ¢
£ 2y + x = 3
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 7
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
3x + y = … °
°3 · (–1) + 2 = –3 + 2 = –1
§ Si x = –1, y = 2 8 §
c)
¢
¢
y
§… + 2 = 0 8 … = –1 luego … es x
…+ =0§
£
£
2
2
°3x + y = –1
El sistema buscado es: §¢
§x + y = 0
£
2
d)
… – 2x = 4 °
°… –2(–1) = 4 8 … + 2 = 4 8 … = 2 = y
¢ Si x = –1, y = 2 8 ¢
3y + … = 1 £
£3 · 2 + … = 1 8 … = –5 luego … es 5x
°y – 2x = 4
El sistema buscado es: ¢
£3y + 5x = 1
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 8
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 42
13
Pág. 1
Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:
°3x – 5y = 5
a) ¢
£4x + y = –1
a)
° 8x – 7y = 15
b) ¢
£ x + 6y = –5
°2x + 5y = –1
c) ¢
£3x – y = 7
°3x – 2y = 2
d) ¢
£5x + 4y = 7
3x – 5y = 5 °
a
a
¢ Despejamos y de la 2. ecuación y sustituimos en la 1. : y = –1 – 4x
4x + y = –1 £
3x – 5(–1 – 4x) = 5 8 3x + 5 + 20x = 5 8 23x = 0 8 x = 0 ° Solución:
¢
y = –1 – 4 · 0 = –1
£ x = 0, y = –1
b)
8x – 7y = 15°
a
a
¢ Despejamos x de la 2. ecuación y sustituimos en la 1. : x = –5 – 6y
x + 6y = –5£
8(–5 – 6y) – 7y = 15 8 –55y = 55 8 y = –1 °
¢ Solución: x = 1, y = –1
x = –5 – 6 · (–1) = –5 + 6 = 1
£
c)
2x + 5y = –1 °
a
a
¢ Despejamos y de la 2. ecuación y sustituimos en la 1. : y = 3x – 7
3x – y = 7 £
2x + 5(3x – 7) = –1 8 2x + 15x – 35 = –1 8 17x = 34 8 x = 2 ° Solución:
¢
y = 3 · 2 – 7 = 6 – 7 = –1
£ x = 2, y = –1
d)
3x – 2y = 2 °
3x – 2
a
a
¢ Despejamos y de la 1. ecuación y sustituimos en la 2. : y = 2
5x + 4y = 7 £
°
5x + 4 · 3x – 2 = 7 8 5x + 6x – 4 = 7 8 x = 1 §
1
2
¢ Solución: x = 1, y = 2
§
y=3·1–2= 1
£
2
2
(
14
)
Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:
°y = 2x – 3
a) §¢
x–3
§y =
2
£
°5x + y = 8
b) ¢
£2x – y = –1
°x + 6y = –2
c) ¢
£x – 3y = 1
°4x – 5y = –2
d) ¢
£3x + 2y = 10
y = 2x – 3 ° 2x – 3 = x – 3 8 4x – 6 = x – 3 8 3x = 3 8 x = 1
§
2
a)
¢
x
–
3
y=
§ y = 2 · 1 – 3 = –1
2 £
Solución: x = 1, y = –1
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
b) Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos:
Pág. 2
y = 8 – 5x °
8 – 5x = 2x + 1 8 7 = 7x 8 x = 1
¢ 8
y = 2x + 1 £
y=2·1+1=3
Solución: x = 1, y = 3
c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:
x = –2 – 6y °
–2 – 6y = 1 + 3y 8 –3 = 9y 8 y = –1/3
¢ 8
x = 1 + 3y £
x = –2 – 6 · (–1/3) = –2 + 2 = 0
Solución: x = 0, y = – 1
3
d) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:
5y – 2 ° 5y – 2 10 – 2y
8 3(5y – 2) = 4(10 – 2y) 8 23y = 46 8 y = 2
=
§
4
4
3
¢
10 – 2y §
5·2–2
= 8 =2
x=
x=
3 £
4
4
x=
Solución: x = 2, y = 2
15
Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
°3x + 2y = 4
a) ¢
£5x – 2y = 4
a)
°2x + 5y = 11
b) ¢
£4x – 3y = –4
° x + 6y = –4
c) ¢
£3x – 5y = 11
° 5x – 2y = 3
d) ¢
£10x + 3y = –1
3x + 2y = 4 ° Sumando ambas ecuaciones obtenemos 8x = 8 8 x = 1 °
¢
¢
5x – 2y = 4 £ 3 · 1 + 2y = 4 8 2y = 1 8 y = 1/2
£
Solución: x = 1, y = 1
2
Ò(–2)
2x + 5y = 11 ° ÄÄ8
–4x – 10y = –22
b)
¢
4x – 3y = – 4
4x – 3y = –4 £
–13y = –26 8 y = 2 °
§ Solución: x = 1 , y = 2
¢
2
1
§
2x + 5 · 2 = 11 8 2x = 1 8 x =
£
2
c)
Ò(–3)
–3x – 18y = 12
x + 6y = –4 ° ÄÄ8
¢
3x – 5y = 11
3x – 5y = 11 £
x + 6 · (–1) = –4 8 x = 2
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
–23y = 23 8 y = –1°
¢ Solución: x = 2, y = –1
£
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
d)
5x – 2y = 3 °
¢ Multiplicamos la primera ecuación por –2 y sumamos:
10x + 3y = –1 £
–10x + 4y = –6
10x + 3y = –1
7y = –7 8 y = –1
°
1
¢ Solución: x = 5 , y = –1
5x – 2 · (–1) = 3 8 5x + 2 = 3 8 x = 1/5 £
16
Resuelve por el método que consideres más adecuado:
°7x + 6y = 2
a) ¢
£y + 5 = 3
°5x – 3y = 1
b) ¢
£4x + 2y = 14
°3(x + 2) = y + 7
c) ¢
£x + 2(y + 1) = 0
°x + y =3
d) §¢ 3 2
§2(x + y) = 16
£
a)
7x + 6y = 2 °
a
a
¢ Despejamos y de la 2. ecuación y la sustituimos en la 1. : y = –2
y+5=3 £
7x + 6 · (–2) = 2 8 7x – 12 = 2 8 7x = 14 8 x = 2
Solución: x = 2, y = –2
b)
Ò2
5x – 3y = 1 ° ÄÄ8
10x – 6y = 2
¢ Ò3
4x + 2y = 14£ ÄÄ8 12x + 6y = 42
22x
= 44 8 x = 2 °
¢ Solución: x = 2, y = 3
5 · 2 – 3y = 1 8 9 = 3y 8 y = 3
£
c)
3(x + 2) = y + 7 °
3x + 6 = y + 7 °
3x – y = 1 °
¢ 8
¢ 8
¢
x + 2y + 2 = 0 £
x + 2y = –2 £
x + 2(y + 1) = 0 £
Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y = 3x – 1
x + 2(3x – 1) = –2 8 x + 6x – 2 = –2 8 7x = 0 8 x = 0 °
¢ Solución: x = 0, y = –1
y = 3 · 0 – 1 = –1
£
x + y =3 °
§ 8 2x + 3y = 18 ° Despejamos x de la segunda ecuación y
d) 3 2
¢
¢
x + y = 8 £ sustituimos en la primera: x = 8 – y
2(x + y) = 16 §
£
2 · (8 – y) + 3y = 18 8 16 – 2y + 3y = 18 8 y = 2 °
¢ Solución: x = 6, y = 2
x=8–2=6
£
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 3
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
Sistemas no lineales
17
Pág. 4
Halla las soluciones de estos sistemas:
°2x + y = 3
°x + y = 1
°2x + y = 3
c) ¢
a) ¢
b) ¢ 2
2
2
£xy – y = 0
£xy + 2y = 2
£x + y = 2
°3x – y = 3
d) ¢ 2
2
£2x + y = 9
°x = 1 – y
a) ¢
2
2
£(1 – y)y + 2y = 2 8 y – y + 2y = 2 8 –y + 3y – 2 = 0
y1 = 1 8 x1 = 0
y = –3 ± √9 – 8 = –3 ± 1
–2
–2
y2 = 2 8 x2 = –1
Soluciones: x1 = 0, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2
°y = 3 – 2x
b) ¢ 2
2
2
2
2
£x + (3 – 2x) = 2 8 x + 9 + 4x – 12x = 2 8 5x – 12x + 7 = 0
x1 = 7 8 y1 = 3 – 2 · 7 = 1
12
±
2
144
–
140
12
±
√
5
5 5
=
x=
10
2·5
x 2 = 1 8 y2 = 3 – 2 · 1 = 1
Soluciones: x1 = 7 , y1 = 1 ; x 2 = 1, y2 = 1
5
5
y
=
3
–
2x
°
c) ¢
2
£x (3 – 2x) – (3 – 2x) = 0 8 (3 – 2x)(x – (3 – 2x)) = 0
(3 – 2x) · (3x – 3) = 0
°x = 3 , y = 0
x1 = 3 8 y1 = 0 °§
§ 1 2 1
2
Soluciones:
¢
¢
§x = 1, y = 1
x 2 = 1 8 y2 = 1 §£
£ 2
2
°y = 3x – 3
d) ¢ 2
2
2
2
2
£2x + (3x – 3) = 9 8 2x + 9x + 9 – 18x = 9 8 11x – 18x = 0 8
x1 = 0 8 y1 = –3
8 x (11x – 18) = 0
x 2 = 18 8 y2 = 21
11
11
18
Soluciones: x1 = 0, y1 = –3; x 2 = , y2 = 21
11
11
18
Resuelve los sistemas siguientes por el método de reducción y comprueba que
tienen cuatro soluciones:
° x 2 + y 2 = 74
°3x 2 – 5y 2 = 7
a) ¢ 2
b)
¢ 2
2
2
£2x – 3y = 23
£2x = 11y – 3
a)
x 2 + y 2 = 74 °
¢ Multiplicamos por –2 la 1.ª ecuación y sumamos:
2x 2 – 3y 2 = 23 £
–2x 2 – 2y 2 = –148
2x 2 – 3y 2 = 23
– 5y 2 = –125 8 y 2 = 125 = 25
5
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
y1 = 5
y2 = –5
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
Si y1 = 5 8 x 2 = 74 – 25 = 49
Si y2 = –5 8 x 2 = 74 – 25 = 49
x1 = 7
x2 = –7
x3 = 7
x4 = –7
Soluciones: x1 = 7, y1 = 5; x2 = –7, y2 = 5; x3 = 7, y3 = –5; x4 = –7, y4 = –5
b)
3x 2 – 5y 2 = 7 ° Lo resolvemos por el método de reducción multiplicando
¢
2x 2 = 11y 2 – 3 £ la 1.ª ecuación por 2 y la 2.ª por –3.
6x 2 – 10y 2 = 14
–6x 2 + 33y 2 = 9
23y 2 = 23 8 y 2 = 1
3x 2 – 5 · 1 = 7 8 3x 2 = 7 + 5 8 3x 2 = 12 8 x 2 = 4 8 x = ±2
Si y = 1 8 x = ±2. Si y = –1 8 x = ±2.
Las soluciones son: x1 = –2, y1 = –1; x2 = –2, y2 = 1; x3 = 2, y3 = –1; x4 = 2, y4 = 1
■ Aplica lo aprendido
19
El área de una lámina rectangular de bronce es de 60 cm2 y su base mide 5/3
de su altura. Halla las dimensiones de la lámina.
x
60 cm2
5
––x
3
Área del rectángulo: 5 x – x = 5 x 2
3
3
La ecuación que hay que resolver es: 5 x 2 = 60 8 x 2 = 36 8 x = 6 (la solución negativa
3
x = – 6 no es válida, por ser x una longitud).
5 x = 5 · 6 = 10
3
3
Las dimensiones de la lámina son: altura 6 cm y base 10 cm.
20
Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €, y los
vende, después de algún tiempo, por 2 157,5 €. Con el equipo de música perdió el
10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?
Llamamos x = precio de compra del equipo de música.
El ordenador costó, pues, 2 500 – x.
Con el equipo de música perdió un 10% 8 el precio de venta fue 90% de x = 0,9x.
Con el ordenador perdió un 15% 8 el precio de venta fue 0,85(2 500 – x).
La ecuación que hay que resolver es:
0,9x + 0,85(2 500 – x) = 2 157,5 € 8 0,9x + 2 125 – 0,85x = 2 157,5 8
8 0,05x = 32,5 8 x = 650
El equipo de música costó 650 €, y el ordenador, 2 500 – 650 = 1 850 €.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 5
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
21
En una papelería, el precio de una copia en color es 0,75 € y el de una en
blanco y negro es 0,20 €. En una semana, el número de copias en color fue la décima parte que en blanco y negro y se recaudaron 110 €. Calcula cuántas copias se
hicieron de cada tipo.
0,75x + 0,20y = 110 °
§ 0,75 · 1 y + 0,20y = 110 8 y = 400; x = 40
¢
1
10
x=
y
§
10
£
Se hicieron 400 copias en blanco y negro y 40 en color.
22
Se mezclan 8 l de aceite de 4 €/l con otro más barato para obtener 20 l a
2,5 €/l. ¿Cuál es el precio del aceite barato?
Se pusieron 20 – 8 = 12 litros de aceite barato.
8 · 4 + 12 · x = 2,5 8 12x = 18 8 x = 1,5
20
El precio del aceite barato era de 1,5 €/l.
23
La suma de dos números consecutivos es menor que 27. ¿Cuáles pueden ser
esos números si sabemos que son de dos cifras?
x + x + 1 < 27 8 2x < 26 8 x < 13
Los números pueden ser 10 y 11, 11 y 12 o 12 y 13.
24
Un grupo de amigos han reunido 50 € para ir a una discoteca. Si la entrada
cuesta 6 €, les sobra dinero, pero si cuesta 7 € no tienen bastante. ¿Cuántos amigos
son?
Llamamos x al número de amigos.
)
6x < 50 8 x < 8,3 ° El número de amigos es 8.
¢
7x > 50 8 x > 7,14 £
25
En un rectángulo en el que la base mide 3 cm más que la altura, el perímetro es
mayor que 50 pero no llega a 54. ¿Cuál puede ser la media de la base?
x
2x + 2x + 6 > 50 ° 4x > 44 8 x > 11 8 x + 3 > 14
¢
2x + 2x + 6 < 54 £ 4x < 48 8 x < 12 8 x + 3 < 15
x+3
La base mide entre 14 cm y 15 cm, sin incluir ninguna de estas dos medidas.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 6
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
26
Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,80 €; tres barras de pan y
cuatro litros de leche cuestan 4,70 €. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?
x 8 precio de una barra de pan; y 8 precio de un litro de leche
Ò3
4x + 6y = 6,8 ° ÄÄ8
12x + 18y = 20,4
¢ Ò (– 4)
3x + 4y = 4,7 £ ÄÄ8 –12x – 16y = –18,8
2y = 1,6 8 y = 0,8
4x + 6 · 0,8 = 6,8 8 4x + 4,8 = 6,8 8 4x = 2 8 x = 2 = 0,5
4
Una barra de pan cuesta 0,50 €, y un litro de leche, 0,80 €.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 7
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 43
27
Pág. 1
Una empresa aceitera ha envasado 3 000 l de aceite en 1 200 botellas de 2 l y
de 5 l. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
x = n.º de botellas de aceite de 2 l; y = n.º de botellas de aceite de 5 l
Ò(–2)
–2x – 2y = – 2 400
x + y = 1200° ÄÄ8
¢
2x + 5y = 3 000
2x + 5y = 3 000 £
3y = 600 8 y = 200 8 x = 1200 – 200 = 1 000
Se han utilizado 1000 botellas de 2 l y 200 de 5 l.
28
Un test consta de 48 preguntas. Por cada acierto se suman 0,75 puntos y por
cada error se restan 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos. ¿Cuántos aciertos y
errores tuve, si contesté a todas las preguntas?
x = n.º de aciertos
y = n.º de errores
x + y = 48 ° x = 48 – y
¢
0,75x – 0,25y = 18 £
0,75(48 – y) – 0,25y = 18 ° 18 = y
¢
36 – 0,75y – 0,25y = 18 £ x = 48 – 18 = 30
Tuve 30 aciertos y 18 errores.
29
Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,80 € por cada pieza que
sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día ha fabricado 2 255 bombillas, obteniendo unos
beneficios de 1 750 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se fabricaron ese día?
Llamamos: x = n.º de bombillas válidas; y = n.º de bombillas defectuosas
En un día fabrica 2 255 bombillas 8
x + y = 2 255 °
¢
En un día obtiene 1 750 € de beneficio 8 0,80x – y = 1750 £
1,80x
= 4 005 8
8 x = 2 225 8 y = 2 255 – 2 225 = 30
Hay 2 225 bombillas válidas y 30 defectuosas.
30
Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos.
Un cliente pagó 160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km.
Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro.
x 5 días
y 5 kilómetros recorridos
°3x + 400y = 160 ° 15x + 2 000y = 800
¢
¢
£5x + 300y = 175 £–15x – 900y = –525
1 100y = 275 8 y = 0,25
3x + 0,25 · 400 = 160 8 3x = 60 8 x = 20
La empresa cobra 20 € por día y 0,25 € por cada kilómetro recorrido.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
31
La edad de un padre es hoy el triple que la del hijo y hace 6 años era cinco veces la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
☞
EDAD ACTUAL
PADRE
HIJO
EDAD HACE
6 AÑOS
y–6
x–6
x
y
y = 3x
° y = 3x
° Método de
¢
¢
y – 6 = 5(x – 6) £ y – 5x = –24 £ sustitución
3x – 5x = –24 8 –2x = –24 8 x = 12
El hijo tiene 12 años, y el padre, 3 · 12 = 36 años.
32
En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg.
El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 €/kg.
¿Cuánto tiene que poner de cada clase?
☞
CAFÉ
A
CAFÉ
B
MEZCLA
CANTIDAD
PRECIO
COSTE
x
y
20
6
8,50
7
6x
8,50y
140
x + y = 20 ° 8 x = 20 – y
¢
6x + 8,5y = 140 £
6 · (20 – y) + 8,5y = 140 8 120 – 6y + 8,5y = 140 8 2,5y = 20 8 y = 8 8 x = 20 – 8 = 12
Necesitan 12 kg de café inferior y 8 kg de café superior.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Pág. 2
3
Soluciones a la Autoevaluación
PÁGINA 43
Pág. 1
¿Dominas la resolución de ecuaciones de segundo grado y de otros tipos de ecuaciones?
1 Resuelve:
c) 3 – 3 = x + 1
2x 4x
8
2
2
2
2
2
a) 5(x – 3) + x – 46 = –(2x + 1)(1 – 3x) 8 5(x + 9 – 6x) + x – 46 = 6x + x – 1 8
5(x – 3)2 + x 2 – 46 = –(2x + 1)(1 – 3x)
a) 5(
b) (x + 3)(2x – 5) = 0
8 6x 2 – 1 – 30x = 6x 2 + x – 1 8 31x = 0 8 x = 0
b) (x + 3)(2x – 5) = 0
(x + 3) = 0 8 x1 = 3
(2x – 5) = 0 8 x2 = 5/2
2
c) 3 – 3 = x + 1 8 12 – 6 = x + x 8 x 2 + x – 6 = 0 8
2x 4x
8
8x
8x
x1 = 2
8 x = –1 ± √1 + 24 = –1 ± 5
2
2
x2 = –3
Comprobadas sobre la ecuación original, las dos soluciones son válidas.
¿Sabes resolver inecuaciones?
2 Resuelve y representa las soluciones.
°5x – 3 > x + 5
b) ¢
£x – 6 Ì 0
a) 2(x – 5) Ì 2x – 6
3
a) 2(x – 5) Ì 2x – 6 8 2(x – 5) Ì 3(2x – 6) 8 2x – 10 Ì 6x – 18 8 6x – 18 8
3
8 8 Ì 4x 8 2 Ì x 8 [2, – @)
°5x – 3 > x + 5
°4x > 8 8 x > 2
b) ¢
8 ¢
£x – 6 Ì 0
£x Ì 6
8 2 < x Ì 6 8 (2, 6]
¿Sabes resolver con soltura sistemas de ecuaciones?
3 Resuelve:
°y + 1 = 6 – x
a) §¢ x y
§ + = 12
£3 2
°x + y = 5
2
b)§¢ 3
§2x + 6y = 15
£
°x 2 – y = 8
c) ¢
£x – 2y = 1
°x 2 – y 2 = 34
d)¢ 2
2
£2x – y = –7
°y + 1 = 6 – x 8 y = 5 – x
a) §¢ x y
§ + = 12 8 2x + 3y = 72
£3 2
2x + 3(5 – x) = 72 8 2x + 15 – 3x = 72 8 x = –57 8 y = 5 – (–57) = 62
° x + y = 5 8 2x + 6y = 15
2
b) §¢ 3
§2x + 6y = 15
£
El sistema tiene infinitas soluciones, pues las dos ecuaciones coinciden.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
3
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
°x 2 – y = 8 8 y = x 2 – 8
c) ¢
£x – 2y = 1
x – 2(x 2 – 8) = 1 8 x – 2x 2 + 16 = 1 8 2x 2 – x – 15 = 0
x1 = 3 8 y1 = 1
1
±
11
1
+
120
1
±
√
=
x=
4
4
x 2 = – 10 = – 5 8 y1 = –7
4
2
4
°x 2 – y 2 = 34
d) ¢ 2 2
£2x – y = –7
Restando ambas expresiones, obtenemos: x 2 = –41 8 Sin solución.
¿Has adquirido destreza en el planteamiento y la resolución de problemas algebraicos?
4 Dos bocadillos y un refresco cuestan 5,35 €; tres bocadillos y dos refrescos cuestan
8,60 €. Calcula el precio de un bocadillo y el de un refresco.
Precio de un bocadillo 8
x ; Precio de un refresco
8
°2x + y = 5,35 8 y = 5,35 – 2x
¢
£3x + 2y = 8,60
3x + 2 (5,35 – 2x) = 8,60 8 3x – 10,70 – 4x = 8,60 8
y
x = 2,10
y = 5,35 – 2 · 2,10 = 1,15
Un bocadillo cuesta 2,10 €, y un refresco, 1,15 €.
5 Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres lados, obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad es esa?
(18 – x) 2 = (16 – x) 2 + (9 – x) 2 8 324 + x 2 – 36x = 256 + x 2 – 32x + 81 + x 2 – 18x 8
8 x 2 – 14x + 13 = 0 8 x = 14 ± √196 – 52 = 14 ± 12
2
2
x1 = 13
x2 = 1
x = 13 no puede ser, porque nos quedaría una longitud negativa (9 – 13 < 0).
Solución: x = 1 cm es la cantidad restada.
6 En una empresa alquilan bicicletas a 3 € la hora y motocicletas por 5 € fijos más 2 €
por hora. ¿A partir de cuántas horas es más económico alquilar una motocicleta que
una bicicleta?
Por una bicicleta cobran 3x por x horas.
Por una motocicleta cobran 5 + 2x por x horas.
3x = 5 + 2x 8 x = 5
Las primeras cuatro horas es más cara la motocicleta. Si se alquilan durante cinco horas, las
dos tienen el mismo precio. Para 5 horas o más, es más económico alquilar una motocicleta.
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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