Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6

Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Álgebra y Matemática Discreta
Sesión de Prácticas 6
(c) 2013 Leandro Marı́n, Francisco J. Vera, Gema M. Dı́az
21 Oct 2013 - 27 Oct 2013
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Dibujando en 2D
Una de las herramientas más potentes de las que dispone sage
es su motor gráfico.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Dibujando en 2D
Una de las herramientas más potentes de las que dispone sage
es su motor gráfico.
Se pueden hacer representaciones complejas de una forma
bastante intuitiva.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Dibujando en 2D
Una de las herramientas más potentes de las que dispone sage
es su motor gráfico.
Se pueden hacer representaciones complejas de una forma
bastante intuitiva.
Vamos a utilizarlo principalmente en dos dimensiones, aunque
también veremos que se puede usar en tres dimensiones.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo
Vamos a empezar dibujando un vector del plano, por ejemplo
el vector (1, 1).
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo
Vamos a empezar dibujando un vector del plano, por ejemplo
el vector (1, 1).
Los vectores los representamos con flechas, ası́ que
utilizaremos el comando
a = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 1 ) )
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo
Vamos a empezar dibujando un vector del plano, por ejemplo
el vector (1, 1).
Los vectores los representamos con flechas, ası́ que
utilizaremos el comando
a = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 1 ) )
A partir de este momento la variable a contendrá el dibujo de
la flecha entre el origen y el punto (1, 1).
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo
Vamos a empezar dibujando un vector del plano, por ejemplo
el vector (1, 1).
Los vectores los representamos con flechas, ası́ que
utilizaremos el comando
a = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 1 ) )
A partir de este momento la variable a contendrá el dibujo de
la flecha entre el origen y el punto (1, 1).
Podemos dibujarlo con el comando
a . show ()
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo (dibujo)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo (comentarios)
Como podemos ver, sage ha tomado muchas decisiones sin
consultarnos.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo (comentarios)
Como podemos ver, sage ha tomado muchas decisiones sin
consultarnos.
Por ejemplo, ha decidido mostrar sólo el trozo de plano en el
que está el vector que queremos representar.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo (comentarios)
Como podemos ver, sage ha tomado muchas decisiones sin
consultarnos.
Por ejemplo, ha decidido mostrar sólo el trozo de plano en el
que está el vector que queremos representar.
También ha decidido poner el vector de color azul y pintar los
ejes coordenados en color negro.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Primer Ejemplo (comentarios)
Como podemos ver, sage ha tomado muchas decisiones sin
consultarnos.
Por ejemplo, ha decidido mostrar sólo el trozo de plano en el
que está el vector que queremos representar.
También ha decidido poner el vector de color azul y pintar los
ejes coordenados en color negro.
Podemos pensar que las decisiones son correctas, o tal vez
querer cambiarlas, sage nos permite hacerlo.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores
Vamos a dibujar ahora tres vectores, pero vamos a dibujarlos
en diferentes colores.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores
Vamos a dibujar ahora tres vectores, pero vamos a dibujarlos
en diferentes colores.
Escribamos el siguiente código:
a = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 1 ) )
b = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 2 ) , color = ’ red ’)
c = arrow (( 0 , 0 ) ,(2 , 1 ) , color = ’ green ’)
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores
Vamos a dibujar ahora tres vectores, pero vamos a dibujarlos
en diferentes colores.
Escribamos el siguiente código:
a = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 1 ) )
b = arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , 2 ) , color = ’ red ’)
c = arrow (( 0 , 0 ) ,(2 , 1 ) , color = ’ green ’)
y para dibujar los tres vectores juntos, podemos poner
( a + b + c ) . show ()
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores (dibujo)
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores (comentarios)
Ahora podemos ver los tres vectores, cada uno de un color. El
primer con el color por defecto (azul) y los otros dos con el
color que les hemos indicado (en inglés).
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Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores (comentarios)
Ahora podemos ver los tres vectores, cada uno de un color. El
primer con el color por defecto (azul) y los otros dos con el
color que les hemos indicado (en inglés).
Fijémonos que a, b y c no son vectores, sino dibujos, por lo
tanto (a + b + c) es un dibujo que se forma juntando los tres
dibujos, no la suma de los vectores.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores (comentarios)
Ahora podemos ver los tres vectores, cada uno de un color. El
primer con el color por defecto (azul) y los otros dos con el
color que les hemos indicado (en inglés).
Fijémonos que a, b y c no son vectores, sino dibujos, por lo
tanto (a + b + c) es un dibujo que se forma juntando los tres
dibujos, no la suma de los vectores.
En sage los dibujos se pueden sumar, es decir, poner todos
juntos. Esto es muy cómodo porque nos permite hacer
dibujos por partes.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Lista de Dibujos
Los dibujos son objetos en sage, que no solo se pueden sumar,
sino que también se pueden poner en listas.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Lista de Dibujos
Los dibujos son objetos en sage, que no solo se pueden sumar,
sino que también se pueden poner en listas.
Pongamos por ejemplo un conjunto de vectores en una lista:
L = [ arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , j ) ) for j in range ( 4 ) ]
D = sum ( L )
D . show ()
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Lista de Dibujos
Los dibujos son objetos en sage, que no solo se pueden sumar,
sino que también se pueden poner en listas.
Pongamos por ejemplo un conjunto de vectores en una lista:
L = [ arrow (( 0 , 0 ) ,(1 , j ) ) for j in range ( 4 ) ]
D = sum ( L )
D . show ()
Esto nos generará una lista de dibujos, nos los sumará todos,
es decir, nos los juntará todos en un único dibujo, y nos lo
mostrará.
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Espacios Vectoriales
Representaciones Gráficas en sage
Tres Vectores (dibujo)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
El Espacio K n
Los espacios vectoriales más importantes son sin duda los del
tipo K n .
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
El Espacio K n
Los espacios vectoriales más importantes son sin duda los del
tipo K n .
Podemos definirlos en sage utilizando
V = VectorSpace ( QQ , 3 )
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
El Espacio K n
Los espacios vectoriales más importantes son sin duda los del
tipo K n .
Podemos definirlos en sage utilizando
V = VectorSpace ( QQ , 3 )
Esto nos generará el espacio vectorial de dimensión 3 sobre el
cuerpo Q y nos lo asignará a la variable V .
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
El Espacio K n
Los espacios vectoriales más importantes son sin duda los del
tipo K n .
Podemos definirlos en sage utilizando
V = VectorSpace ( QQ , 3 )
Esto nos generará el espacio vectorial de dimensión 3 sobre el
cuerpo Q y nos lo asignará a la variable V .
Si preguntamos a sage qué es V escribiendo V y pulsando el
retorno de carro, obtenemos:
Vector space of dimension 3 over Rational Field
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Vectores
Una vez que tenemos el espacio vectorial V definido, podemos
intentar escribir vectores.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Vectores
Una vez que tenemos el espacio vectorial V definido, podemos
intentar escribir vectores.
Escribamos
(1 ,2 , 3 ) in V
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Vectores
Una vez que tenemos el espacio vectorial V definido, podemos
intentar escribir vectores.
Escribamos
(1 ,2 , 3 ) in V
Nos dirá que es falso!?.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Vectores
Una vez que tenemos el espacio vectorial V definido, podemos
intentar escribir vectores.
Escribamos
(1 ,2 , 3 ) in V
Nos dirá que es falso!?.
La razón es porque para sage (1, 2, 3) es una tupla, unos
números puestos en un cierto orden, pero no los considera
elementos del espacio vectorial. Si ponemos ...
v = V ( (1 ,2 , 3 ) )
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Vectores
Una vez que tenemos el espacio vectorial V definido, podemos
intentar escribir vectores.
Escribamos
(1 ,2 , 3 ) in V
Nos dirá que es falso!?.
La razón es porque para sage (1, 2, 3) es una tupla, unos
números puestos en un cierto orden, pero no los considera
elementos del espacio vectorial. Si ponemos ...
v = V ( (1 ,2 , 3 ) )
... que podemos entender como v es el vector de V que tiene
la representación (1, 2, 3), entonces v si pertenecerá a V ,
aunque tenga la misma representación que (1, 2, 3) no es lo
mismo para sage.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
(1,2,3) vs. (1,2,3)
Sigamos con el ejemplo anterior.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
(1,2,3) vs. (1,2,3)
Sigamos con el ejemplo anterior.
Si escribimos en sage
v+v
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
(1,2,3) vs. (1,2,3)
Sigamos con el ejemplo anterior.
Si escribimos en sage
v+v
Nos escribirá (2, 4, 6), la suma que esperamos.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
(1,2,3) vs. (1,2,3)
Sigamos con el ejemplo anterior.
Si escribimos en sage
v+v
Nos escribirá (2, 4, 6), la suma que esperamos.
Sin embargo, pongamos
(1 ,2 , 3 ) + (1 ,2 , 3 )
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
(1,2,3) vs. (1,2,3)
Sigamos con el ejemplo anterior.
Si escribimos en sage
v+v
Nos escribirá (2, 4, 6), la suma que esperamos.
Sin embargo, pongamos
(1 ,2 , 3 ) + (1 ,2 , 3 )
Obtenemos (1, 2, 3, 1, 2, 3), es decir, la concatenación de
listas.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Operaciones con Vectores
Una vez que tenemos vectores en un espacio vectorial,
podemos hacer todas las operaciones habituales.
u = V (( 2 ,1 , - 1 ) )
w = V (( 0 ,1 , 1 ) )
3*u-5*w
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Espacios Vectoriales y Vectores
Operaciones con Vectores
Una vez que tenemos vectores en un espacio vectorial,
podemos hacer todas las operaciones habituales.
u = V (( 2 ,1 , - 1 ) )
w = V (( 0 ,1 , 1 ) )
3*u-5*w
Nos dará como resultado (6, −2, −8) tal y como era previsible.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
Operaciones con Vectores
Una vez que tenemos vectores en un espacio vectorial,
podemos hacer todas las operaciones habituales.
u = V (( 2 ,1 , - 1 ) )
w = V (( 0 ,1 , 1 ) )
3*u-5*w
Nos dará como resultado (6, −2, −8) tal y como era previsible.
Hay que tener cuidado porque no podemos eliminar el sı́mbolo
de la multiplicación, que muchas veces no ponemos en
notación matemática.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
¿Filas o Columnas?
No debemos entender (1, 2, 3) como una fila.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
¿Filas o Columnas?
No debemos entender (1, 2, 3) como una fila.
En realidad veremos más adelante que se comporta como
nosotros queramos.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
¿Filas o Columnas?
No debemos entender (1, 2, 3) como una fila.
En realidad veremos más adelante que se comporta como
nosotros queramos.
En principio eso es sólo un vector y esos números nos dan
información de sus coordenadas.
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
¿Filas o Columnas?
No debemos entender (1, 2, 3) como una fila.
En realidad veremos más adelante que se comporta como
nosotros queramos.
En principio eso es sólo un vector y esos números nos dan
información de sus coordenadas.
Si queremos el vector como columna o como fila podemos
pedirlo explı́citamente:
v = V (( 1 ,2 , 3 ) )
v . row ()
v . column ()
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Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales y Vectores
¿Filas o Columnas?
No debemos entender (1, 2, 3) como una fila.
En realidad veremos más adelante que se comporta como
nosotros queramos.
En principio eso es sólo un vector y esos números nos dan
información de sus coordenadas.
Si queremos el vector como columna o como fila podemos
pedirlo explı́citamente:
v = V (( 1 ,2 , 3 ) )
v . row ()
v . column ()
Esos comandos nos darán el vector como fila o como columna
si lo necesitamos.
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Matriz Definida por Vectores
Supongamos que tenemos una lista de vectores. Podemos
escribir la matriz que tenga a dichos vectores como filas del
siguiente modo:
V = VectorSpace ( GF ( 2 ) ,4 )
v1 = V (( 1 ,0 ,1 , 0 ) )
v2 = V (( 0 ,1 ,1 , 0 ) )
v3 = V (( 1 ,0 ,0 , 1 ) )
M = matrix ( GF ( 2 ) ,[ v1 , v2 , v3 ] )
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Matriz Definida por Vectores
Supongamos que tenemos una lista de vectores. Podemos
escribir la matriz que tenga a dichos vectores como filas del
siguiente modo:
V = VectorSpace ( GF ( 2 ) ,4 )
v1 = V (( 1 ,0 ,1 , 0 ) )
v2 = V (( 0 ,1 ,1 , 0 ) )
v3 = V (( 1 ,0 ,0 , 1 ) )
M = matrix ( GF ( 2 ) ,[ v1 , v2 , v3 ] )
Si le pedimos que nos escriba M, nos pondrá la matriz


1 0 1 0
 0 1 1 0 
1 0 0 1
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Matriz Definida por Vectores
Supongamos que tenemos una lista de vectores. Podemos
escribir la matriz que tenga a dichos vectores como filas del
siguiente modo:
V = VectorSpace ( GF ( 2 ) ,4 )
v1 = V (( 1 ,0 ,1 , 0 ) )
v2 = V (( 0 ,1 ,1 , 0 ) )
v3 = V (( 1 ,0 ,0 , 1 ) )
M = matrix ( GF ( 2 ) ,[ v1 , v2 , v3 ] )
Si le pedimos que nos escriba M, nos pondrá la matriz


1 0 1 0
 0 1 1 0 
1 0 0 1
Esta es la matriz que tiene los vectores que hemos introducido
como filas.
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Poniendo Columnas
Eso es porque, tal y como hemos visto anteriormente, en sage
se introducen las matrices por filas, por eso interpreta que
cada uno de los vectores que hemos puesto son filas.
Evidentemente si queremos columnas, no tenemos más que
transponer la matriz
M = transpose ( M )
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Poniendo Columnas
Eso es porque, tal y como hemos visto anteriormente, en sage
se introducen las matrices por filas, por eso interpreta que
cada uno de los vectores que hemos puesto son filas.
Evidentemente si queremos columnas, no tenemos más que
transponer la matriz
M = transpose ( M )
Que nos dará la matriz

1
 0

 1
0
0
1
1
0

1
0 
.
0 
1
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Poniendo Columnas (II)
También podemos construir directamente la matriz por
columnas
N = column_matrix ( GF ( 2 ) ,[ v1 , v2 , v3 ] )
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Poniendo Columnas (II)
También podemos construir directamente la matriz por
columnas
N = column_matrix ( GF ( 2 ) ,[ v1 , v2 , v3 ] )
Que nos dará la misma matriz

1 0
 0 1

 1 1
0 0

1
0 
.
0 
1
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Extraer Filas y Columnas
Además de crear una matriz a partir de unos vectores,
podemos estar interesados en la operación inversa, es decir,
sacar la lista de filas o columnas de una matriz. Eso se hace
con:
N . columns ()
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Extraer Filas y Columnas
Además de crear una matriz a partir de unos vectores,
podemos estar interesados en la operación inversa, es decir,
sacar la lista de filas o columnas de una matriz. Eso se hace
con:
N . columns ()
que nos dará
[(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1)]
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Extraer Filas y Columnas
Además de crear una matriz a partir de unos vectores,
podemos estar interesados en la operación inversa, es decir,
sacar la lista de filas o columnas de una matriz. Eso se hace
con:
N . columns ()
que nos dará
[(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1)]
O para las filas
N . rows ()
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Extraer Filas y Columnas
Además de crear una matriz a partir de unos vectores,
podemos estar interesados en la operación inversa, es decir,
sacar la lista de filas o columnas de una matriz. Eso se hace
con:
N . columns ()
que nos dará
[(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1)]
O para las filas
N . rows ()
que nos dará la lista
[(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Dibujando Vectores
Antes hemos dibujado flechas, indicando origen y destino,
pero sage también nos puede pintar vectores.
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Dibujando Vectores
Antes hemos dibujado flechas, indicando origen y destino,
pero sage también nos puede pintar vectores.
Escribamos el siguiente código:
W = VectorSpace ( QQ , 2 )
w = W (( 1 , 2 ) )
w . plot ()
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Espacios Vectoriales
Vectores en Matrices
Dibujo con Vector
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Forma Reducida por Filas
Una vez que tenemos una familia de vectores como filas de
una matriz, podemos hacer el proceso de reducción por filas
que ya vimos en clase.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Forma Reducida por Filas
Una vez que tenemos una familia de vectores como filas de
una matriz, podemos hacer el proceso de reducción por filas
que ya vimos en clase.
sage nos permite hacer el proceso de reducción completo con
una única operación
M = M . echelon_form ()
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Forma Reducida por Filas
Una vez que tenemos una familia de vectores como filas de
una matriz, podemos hacer el proceso de reducción por filas
que ya vimos en clase.
sage nos permite hacer el proceso de reducción completo con
una única operación
M = M . echelon_form ()
Nos dará la matriz reducida por

1 0
 0 1

 0 0
0 0
filas correspondiente, es decir

0
0 
.
1 
0
(si hemos mantenido el valor de M que hemos ido siguendo, si
la matriz es diferente, puede tener otro valor)
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Rango de una Matriz
El rango de una matriz es el número de filas no nulas que
aparecen al hacer el proceso de reducción.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Rango de una Matriz
El rango de una matriz es el número de filas no nulas que
aparecen al hacer el proceso de reducción.
Si lo único que nos interesa es el rango y no la matriz
reducida, podemos obtenerlo directamente
rank ( M )
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Rango de una Matriz
El rango de una matriz es el número de filas no nulas que
aparecen al hacer el proceso de reducción.
Si lo único que nos interesa es el rango y no la matriz
reducida, podemos obtenerlo directamente
rank ( M )
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Rango de una Matriz
El rango de una matriz es el número de filas no nulas que
aparecen al hacer el proceso de reducción.
Si lo único que nos interesa es el rango y no la matriz
reducida, podemos obtenerlo directamente
rank ( M )
Calcular el rango será la forma utilizada para ver si unos
vectores son linealmente independientes:
Rango e Independencia Lineal
Una lista de vectores son linealmente independientes si y sólo si, al
ponerlos como filas de una matriz, el rango coincide con el número
de vectores, es decir, no aparece ninguna fila de ceros en la matriz
reducida.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Rango y Conjuntos Generadores
El rango de una matriz también nos sirve para saber si unos
vectores son generadores de K n .
Rango y Generación
Una lista de vectores es generadora de K n si al ponerlos como filas
de una matriz, el rango coincide con el número de columnas (es
decir con n).
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Rango y Conjuntos Generadores
El rango de una matriz también nos sirve para saber si unos
vectores son generadores de K n .
Rango y Generación
Una lista de vectores es generadora de K n si al ponerlos como filas
de una matriz, el rango coincide con el número de columnas (es
decir con n).
Las bases de K n serán precisamente las que nos den matrices
cuadradas de rango máximo, es decir, que al reducirlas nos
quede la matriz identidad.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Comandos para Operaciones Elementales
Debemos ser capaces de hacer reducciones de matrices a
mano.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Comandos para Operaciones Elementales
Debemos ser capaces de hacer reducciones de matrices a
mano.
Cuando tengamos sage, puesto que hacer la reducción será
parte de un problema más complejo, utilizaremos el comando.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Comandos para Operaciones Elementales
Debemos ser capaces de hacer reducciones de matrices a
mano.
Cuando tengamos sage, puesto que hacer la reducción será
parte de un problema más complejo, utilizaremos el comando.
Pero debemos ser capaces también de hacer la reducción paso
a paso, igual que en papel.
Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 6
Espacios Vectoriales
Cálculo de Rangos
Comandos para Operaciones Elementales
Debemos ser capaces de hacer reducciones de matrices a
mano.
Cuando tengamos sage, puesto que hacer la reducción será
parte de un problema más complejo, utilizaremos el comando.
Pero debemos ser capaces también de hacer la reducción paso
a paso, igual que en papel.
Para ello podemos utilizar las tres operaciones elementales por
filas, que son
M . swap_rows (i , j )
M . rescale_row (i , x )
M . add_multiple_of_row (i ,j , x )