Mediciones y gráficos Datei - Campus Virtual

Universidad
del Valle
Universidad del Valle
Departamento de Física
NOTAS SOBRE MANEJO DE ERRORES Y GRAFICAS1
1. INTRODUCCION
En todas las ramas de las ciencias físicas y de la ingeniería se trabaja constantemente con valores
numéricos que son el resultado directo e indirecto de mediciones experimentales. En realidad en
las ciencias físicas el experimento es el “juez de última instancia”, en el sentido de que son las
mediciones experimentales de variables o cantidades físicas las que nos permiten someter a
prueba concluyente las predicciones de las diferentes teorías que puedan desarrollarse en un
campo dado.
Las mediciones siempre tienen inexactitudes y en el trabajo experimental es necesario conocer su
magnitud. Si, para calcular un resultado se hacen varias medidas, las inexactitudes de las
mediciones individuales implican una inexactitud en el resultado; sin embargo, si se tiene en
cuenta el comportamiento estadístico de los errores en la medición es posible reducir su efecto en
la incertidumbre del resultado final.
Cuando se desea comparar un número resultado de la medición con uno basado en predicciones
teóricas, es necesario conocer la inexactitud en ambos para poder concluir de manera aceptable si
hay alguna coincidencia entre ellos.
En estas notas no se pretende hacer un tratamiento profundo de la teoría de errores el cual
implicaría una serie de discusiones sobre probabilidad y estadística. Nos limitaremos a los
aspectos más sencillos de los errores, su clasificación y su propagación cuando se usan datos
experimentales para calcular valores de otras magnitudes físicas.
2. CLASE DE ERRORES
Cuando se habla de errores se acostumbra distinguir entre dos tipos:
 Errores sistemáticos
 Errores aleatorios o al azar
2.1 Errores sistemáticos: Son aquellos que están asociados con los instrumentos de medición o
que tienen relación con la técnica de medición. Por ejemplo si un termómetro sumergido en una
mezcla de agua destilada e hielo (a la presión de una atmósfera) marca 2 ºC, obviamente no está
1
Notas del profesor Ramiro Tobón†. Revisadas y aumentadas por el profesor Alberto .J. Sánchez. Se
incluyeron apartes de las notas del profesor Michel Valero y del libro Statistical Treatment of
Experimental Data.
Física Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráficas.
correctamente calibrado y todas las mediciones de temperatura que hagamos con este termómetro
presentarán una desviación sistemática respecto a las mediciones hechas con otro termómetro
debidamente calibrado. Un caso similar se presenta cuando se miden diferencias de potencial o
corrientes eléctricas con instrumentos (voltímetros o amperímetros) que no estén debidamente
calibrados.
Es difícil detectar los errores sistemáticos. Por ejemplo si usamos el termómetro del ejemplo dado
y su descalibración es sólo de unos pocos décimos de grado. Será poco probable que nos demos
cuenta del error sistemático, a menos que hagamos una calibración cuidadosa del termómetro. El
experimentador con “experiencia” generalmente encuentra estos errores sistemáticos al detectar
pequeñas desviaciones con respecto a relaciones que él espera que sean válidas.
2.2 Errores aleatorios: Se presentan por un gran número de variaciones impredecibles y
desconocidas en la situación experimental dada. Pueden provenir de errores de criterio al estimar
fracciones de las divisiones más pequeñas de una escala; por ejemplo, cuando medimos una
longitud y estimamos fracciones de milímetro. Si repetimos la medición varias veces (o si la
hacen varias personas), seguramente siempre obtendremos el mismo número de centímetros y de
milímetros (por ejemplo, 5.3 cm.) pero diferiremos en la apreciación de las décimas de milímetro;
así, por ejemplo, podríamos obtener una serie de valores tales como: 5.32, 5.34, 5.33, etc. ¿Cuál
de estos valores diríamos que es la longitud que estamos midiendo?
Puede parecer un tanto paradójico, pero el hecho es que se pueden tratar los errores aleatorios en
una forma sistemática y que se puede desarrollar una teoría matemática que nos permita hacer un
tratamiento estadístico de los datos experimentales. Aquí no vamos a entrar en los detalles de
dicha teoría, simplemente mencionamos algo que intuitivamente se ve que tiene cierta
justificación o que ya estando establecido lo podemos utilizar sin mucha dificultad.
Cuando hacemos varias mediciones de una misma variable (10 por ejemplo) un promedio de ellas
(la suma de todas, dividida por 10) es un mejor estimativo del valor de esta medición que cada
uno de los resultados individuales. A continuación daremos una idea general sobre los errores
aleatorios. Si hacemos una serie de mediciones de alguna cantidad, que llamaremos x,
obtendremos una serie de valores: x1, x2, x3, .......xN. Podemos ahora agrupar todos los valores que
caen en un intervalo dado del eje x (ver figura 1) y construir así un histograma.
La altura de las barras indica el número de mediciones que caen en cada uno de los intervalos, de
ancho x, en que hemos dividido el eje x. Claramente los valores obtenidos en las mediciones no
están uniformemente distribuidos, sino que es mucho más frecuente obtener valores cercanos a 41
que cercanos a 40 o a 42. Cuando decimos que el valor de la cantidad x es 41 y no incluimos el
histograma, incurrimos en una aseveración un tanto engañosa, y lo será aún más si afirmamos que
el valor de la cantidad x es de 41.000. ¿Cómo podemos reportar está información en una forma
que indique cuál es su precisión? Una alta proporción de nuestras mediciones está comprendida
entre 40.5 y 41.5 (el intervalo indicado como 2 en el gráfico) y esto lo podemos decir en una
forma compacta si reportamos que el valor de x = 41.0  0.5. Así evitamos dar una falsa
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impresión sobre nuestro valor de x y no es necesario presentar el histograma con todas las
mediciones.
Figura 1. Histograma para un conjunto de mediciones.
Matemáticamente se puede demostrar que para errores aleatorios, o sea, si es igualmente probable
que ocurra un error negativo de una magnitud dada, y si se hace un número muy grande de
mediciones, el histograma se aproximará a una función continua, como se ha indicado en la figura
2. A esta función se le conoce como función de Gauss o Función de error.
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
Figura 2. Para errores aleatorios el histograma se aproxima a una función de Gauss.
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Es bueno insistir en que el hecho de hacer muchas mediciones nos permite un tratamiento
adecuado de los errores aleatorios, pero no puede eliminar errores sistemáticos. En el ejemplo de
la figura 1, podríamos estar midiendo el diámetro de una varilla usando una regla corriente y al
usar un calibrador o un micrómetro muy bien calibrados podríamos encontrar que el diámetro de
la varilla es de 42,52  0,01 mm. Por ejemplo, indicando que nuestra regla no es un instrumento
debidamente calibrado.
Ahora bien, ¿que sucederá si medimos la misma magnitud física con dos instrumentos, uno de
alta precisión, pero ambos calibrados en forma debida? La Figura 3 ilustra el caso, usando sólo
las funciones de Gauss. La más estrecha representa las mediciones realizadas con el instrumento
más preciso y la más ancha las realizadas con el instrumento de menor precisión.
Figura 3. Funciones de Gauss para dos mediciones de diferente precisión.
Si estas mediciones se hubiesen realizado por dos experimentadores diferentes, ellos podrían
informar los resultados de sus experimentos así: el experimentador con mejor equipo diría que la
cantidad física tiene un valor de 40,0  0,1 y el experimentador con equipo menos preciso
reportaría 40,0  0,5. Pero, aún disponiendo de instrumentos de gran exactitud, sensibilidad y
precisión, cuando se repite varias veces una medición, los datos obtenidos se distribuyen al azar
sobre intervalos mayores que el error absoluto, o incertidumbre, que afecta cada una de las
mediciones efectuadas.
La presencia de los errores aleatorios en el proceso de medición implica que la magnitud medida
se constituya en una variable aleatoria. La medición de una variable aleatoria X tiene una
distribución normal o gaussiana cuando el contorno o envolvente del histograma, para un número
de observaciones muy grande, se puede expresar en términos de la función:
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f x  
1
 2
e  x    / 2
2
(2.1)
siendo  y los parámetros que permiten ajustar la función al contorno del histograma. Estos
parámetros se denominan media y desviación estándar respectivamente. La expresión 2.1 es la
función de error que habíamos mencionado. La figura 4 es una representación gráfica dicha
función y ayuda a ilustrar el significado de los parámetros  y Los valores de la variable se
agrupan alrededor de la media donde el valor de la variable es máximo y constituye el valor
más probable de obtener en caso de realizar una nueva medición. La probabilidad de que una
nueva medida de la variable resulte dentro del rango [- , + alrededor de la media, tienen
una probabilidad de 68.3%; o el 95,5% dentro del rango [ - 2,  +2]; o el 99,7% dentro del
rango [ - 3, 3].
Figura 4: Ilustración de la desviación estándar y la media de una curva gaussiana.
La estadística nos permite determinar el valor de los parámetros  y a partir de un conjunto de
mediciones realizadas. Sea (xl, x2,..., xN) dicho conjunto de datos experimentales. Se puede
demostrar que la mejor estimación de los parámetros de la función de Gauss que hipotéticamente
describe la distribución de nuestra variable aleatoria está dada por las siguientes fórmulas:
 x  x i 
 xi
x
1
N
2
N
N
(2.2)
 S
1
N 1
(2.3)
Mientras más grande sea el número de mediciones N mejor será la aproximación de la función a
la distribución de las mediciones. Se puede estimar el “grado de confianza” del valor obtenido
para la media en términos del denominado “error estándar de la media”, definido de la siguiente
manera:
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Sm 
S
N
(2.4)
de tal manera que, a mayor número de medidas, menor error estándar en el valor de la media
obtenida. Cuando N es mayor a 30 se puede aseverar que el valor de la media está contenido en el
intervalo de confianza
(2.5)
x  2S m
en el que se encontrará el valor de la media.
Para N menor a 10 no tiene sentido la utilización de los cálculos estadísticos. Por lo anterior, en
cualquier caso, es necesario reportar el número de datos N que constituyen la muestra
experimental.
En el diseño experimental es fundamental fijar el tamaño de la muestra N de acuerdo con la
precisión requerida, para lo cual se define el intervalo de confianza requerido, se toman unas
observaciones preliminares para obtener una primera estimación de la desviación estándar S y con
ello estimar N, mediante la relación:
N
4S 2
2
siendo  el máximo valor de la incertidumbre de la media permisible o deseado.
(2.6)
3. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
La discusión de la sección anterior nos conduce de inmediato a la cuestión de las cifras
significativas. Cuando decíamos que el valor de x = 41,0  0,5 también estábamos diciendo (o
implicando) que no tendría ningún sentido decir que el valor de x es 41,000. Aun cuando
matemáticamente sea cierto que 41.0 = 41.000, físicamente el segundo valor no tiene ningún
sentido, puesto que todo lo que podemos afirmar es que el valor de x muy probablemente se
encuentra entre 40.5 y 41.5 carece de sentido el agregar ceros a la derecha.
Muchas veces no tenemos el tiempo o no necesitamos hacer un gran número de mediciones, pero
aún así queremos dar una indicación de la precisión de nuestra medición, en tal caso las cifras
significativas también nos permiten hacerlo. Si medimos una longitud con una regla corriente
podemos dar el resultado como 50.1 cm, sin otros decimales, indicando que sólo tenemos
confianza en los milímetros y que no queremos estimar fracciones de milímetro.
Llamaremos cifras significativas de una medida al número de dígitos seguros más el dígito
dudoso. En el ejemplo anterior, tenemos tres (3) cifras significativas. Si medimos la barra en
1,260 m es que se tiene duda en el 0; esta medida es de cuatro (4) cifras significativas, y por lo
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tanto es más precisa. Escribir más cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, no tiene
sentido.
¿Qué pasará en los cambios de las unidades?. Si se encuentra que la distancia entre dos ciudades
es 245,7 km, tendremos cuatro (4) cifras significativas. ¿Y si escribimos la distancia en metros?.
¿Será 245.700 metros? ¿Tendríamos ahora seis (6) cifras significativas, y por lo tanto mayor
precisión, por un simple cambio de unidad?
La notación en potencia de 10 nos indica la manera correcta de escribir un dato experimental:
245,7 x 103 m o 2,457 x 105 m. El número de cifras significativas lo dan los dígitos que
multiplican la potencia de 10. La posición de la coma no influye en el resultado.
¿ Y que hacemos si por algún medio midiéramos la distancia entre la tierra y la luna con un
método que sabemos no puede dar una aproximación mayor de 1000 Km? ¿Cómo reportar el
resultado? Si decimos que la distancia es de 380000 Km, alguien podría interpretar que nuestra
medición es supremamente buena y que su incertidumbre es del orden de 1 km. Para evitar el dar
estas falsas impresiones, recurrimos a expresar los resultados con potencias de 10 y diríamos que
la distancia a la luna es de 3.80 x 105 km. Si nuestro resultado fuese preciso con una
aproximación de  100 Km, escribiríamos 3.800 x 105 Km.
Además de permitir una información más correcta, el usar potencias de 10 también nos permite
hacer el reporte, en forma compacta, de números muy grandes y muy pequeños.
Cuando se suman cantidades que tienen diferente número de cifras significativas, el resultado de
menor precisión es el que limita la precisión del resultado. Ilustremos esto con un ejemplo; si
medimos dos longitudes L1 = 58,1 cm y L2 = 40,322 cm y las sumamos:
58,1??
40,322
98,4 ??
no tendría sentido decir que la longitud total es de 98.422 cm; puesto que ya en la primera
longitud sólo podemos decir que es 58.1  0.1 cm. y por tanto el resultado final será incierto al
menos en 0.1 cm.
L1  L2 
Para las multiplicaciones y divisiones es conveniente escribir los factores en potencia de 10. Por
ejemplo:
354,6 m x 24,5 m = 3,546x102 x 2,45x10 m2 = 3,546 x 2,45 x 103 m2
En el número de menor precisión, un error de una unidad en el último dígito, daría un error en el
resultado de:
3,546 x 0,01 = 0,03...
lo que nos indica que el resultado tendrá un error en sus centésimas. En resumen, el resultado
tendrá el mismo número de decimales que el número de menor precisión:
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Física Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráficas.
3,546 x 2,45 x 103 m2 = 8,69 x 103 m2
4. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO.
Si alguien nos dice que ha medido una distancia con una precisión de  1 m; esta información nos
dice muy poco sobre la calidad de los instrumentos usados y sobre la bondad del método
experimental usado en la medición. Si la información se refiere a la medición de un lote de 25m
de fondo, por ejemplo, obviamente es una medición bastante mala. Pero si la información se
refiere a medir la distancia entre un punto determinado de superficie de la tierra y otro punto dado
en la superficie de la Luna, la medición sería tan extraordinaria que empezaríamos a preguntar
cómo se hizo la medición.
En ambos casos diríamos que el “error absoluto” de la medición es de 1m, pero el “error relativo”
sería bien distinto en ambos casos. El “error relativo” se expresa generalmente en la forma de
porcentaje de error y para nuestros dos ejemplos los errores porcentuales serían:
a)
1
x100  4%
25
b)
1
x100  3x10 6 %
6
38 x10
Cuál debería ser el error absoluto al medir los 25 m para que el error porcentual fuera como en el
caso b?
5. PROPAGACION DE ERRORES
En muchas ocasiones el problema experimental que se nos presenta es el siguiente: Queremos
determinar el valor de una magnitud física A, pero no podemos hacerlo en forma directa, sino que
lo hacemos midiendo los valores de otras cantidades y calculando el valor de A mediante alguna
relación matemática. Por ejemplo si queremos saber el área de un rectángulo, medimos las
longitudes de los lados (x e y) y determinamos el área mediante la relación A = xy. Ahora bien, si
sabemos que el valor de x es incierto en una cantidad x y el valor de y en una cantidad y, cual
será la incertidumbre en el valor obtenido para el área?. Note que en la formulación de la
pregunta va implícito que las cantidades x y y pueden ser positivas o negativas. La figura 5
ilustra la situación.
Ahora consideremos el valor de la cantidad A:
A = xy
(5.1)
A + A = ( x + x )(y + y)
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= xy + xy + yx + xy
(5.2)
Figura 5. Propagación de errores en el cálculo de un área
Puesto que y y x son cantidades pequeñas comparadas con y y x, respectivamente, el último
término es pequeño y lo podemos despreciar. En el ejemplo del área este término corresponde al
área del pequeño rectángulo del extremo superior derecho.
Restando las dos expresiones que tenemos, obtenemos de inmediato:
A  xy + yx
(5.3)
Si ahora dividimos por la relación A = xy, obtenemos finalmente:
A x y


A
x
y
(5.4)
Esta relación es bastante simple y nos permite calcular el error relativo en A a partir de los errores
relativos en x e y. Así, por ejemplo si tenemos el caso del área del rectángulo con x = (58.1 
0.1)cm e y = (22.3  0.2)cm, el error relativo en el área resultante sería:
A 01
.
0.2


 0.011
A 581
. 22.3
y como A = 58.1 x 22.3 = 1295.63 cm2 , se sigue que:
A = 1295.63 x 0.011 = 13.85
Por tanto diríamos que el área del rectángulo es de 1296  14cm.
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Es conveniente notar que el procedimiento que hemos seguido nos permite estimar el mayor error
en A, puesto que tanto x como y pueden ser positivos o negativos, el cálculo anterior nos da el
peor de los casos. El mejor de los casos se presentaría cuando uno de los errores (x por ejemplo)
fuera positivo y el otro (y) fuese negativo, pues en tal caso la ecuación 5.4 nos daría una
diferencia en lugar de una suma. Sin embargo, como no podemos saber si los errores son del
mismo signo o de signo contrario, nuestro estimativo del error en A debe ser el que hemos
calculado arriba.
Si la cantidad A es el resultado de dividir dos cantidades que medimos, es decir, si A = x/y,
podemos repetir el proceso que seguimos para obtener la ecuación 5.4:
A 
x  x x yx  xy
 
y  y y y( y  y)
A 
yx  xy x y


xy
x
y
(5.5)
En esta deducción se hizo la aproximación y + y  y en el denominador. Aparentemente el
resultado es diferente del obtenido antes (ecuación 5.4) pero como x, y pueden ser positivos o
negativos, el estimativo del error en A debe ser nuevamente:
A x y


A
x
y
(5.6)
y este resultado resume las ecuaciones 5.4 y 5.5. Es posible generalizar esto aún más, así por
ejemplo si A = xn ym, siendo n y m positivos o negativos, enteros o fraccionarios el error en A
está dado por:
x
y
A
n
m
A
x
y
(5.7)
Estos resultados pueden generalizarse por medio del cálculo diferencial. Si una cantidad U es
función de varias variables, U = U(x, y, z) su diferencia total es:
dU 
U
dx 
x
U
dy 
y
U
dz
z
(5.8)
En donde U/x (derivada parcial de U con respecto a x) quiere decir simplemente que estamos
efectuando la derivada de U con respecto a x, mientras todas las otras demás variables se
mantienen constantes. Similarmente, calculamos las derivadas parciales U/y y U/z.
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Física Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráficas.
Si ahora, hacemos la aproximación de las diferenciales a incrementos pequeños o sea a los errores
asociados a las variables,
dU = U ,
dx = x ,
dy = y ,
dz = z.
Tendremos como valor máximo del error absoluto:
U 
U
x 
x
U
y 
y
U
z
z
(5.9)
1 U
z
U z
(5.10)
y el error relativo será:
U

U
1 U
x 
U x
1 U
y 
U y
5.1 Consejos Prácticos.
a. Si tenemos una serie de medidas de una magnitud, el cálculo de error se hará solamente para
una medida.
b. Las constantes como  por ejemplo, no introducen errores porque se pueden tomar con el
número de decimales que se quiera.
c. Las masas pueden ser estimadas con un error relativo de 1% o sea que m (1/100)m.
d. Las resistencias de uso común y corriente pueden ser estimadas con un error de 5 a 10%.
e. Para la medición de una longitud por medio de una regla, se puede estimar que se hace un
error de 0.5 mm en cada extremo de la medición, lo que nos da un error l = 1 mm.
f. Para la medición del tiempo, con un cronómetro manual, se puede estimar un error de 1/5 de
segundo al iniciar el movimiento y de 1/5 de segundo al finalizar el movimiento o sea que T
= 2/5 de segundo.
g. Para la medición de una variación de temperatura, generalmente pequeña, las lecturas deben
hacerse con mucho cuidado y se debe apreciar ¼ de división, lo que produce un error total de
½ división.
h. Para la medición de los ángulos, los errores absolutos deben expresarse en radianes. Si por
ejemplo, hacemos un error de 1o, el error en radianes será:  = /180.1o.= 0,017. 1o .
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6. GRAFICAS
En muchos experimentos lo que obtenemos es una serie de valores simultáneos de dos variables,
que podemos organizar en forma de tabla de datos, sin embargo, es muy difícil encontrar una
relación cuantitativa entre las variables o aún formarse una idea de la variación de una de ellas al
variar la otra. Una gráfica nos permite visualizar la relación entre las variables en forma más
rápida y también permite, en muchos casos, deducir una ecuación que relacione las dos variables
en cuestión.
Antes de discutir cómo se pueden obtener estas relaciones entre variables, es conveniente hacer
algunas observaciones generales sobre la forma de graficar manualmente una serie de datos. Nos
limitaremos a gráficas que pueden hacerse en papel milimetrado y dejaremos para un apéndice de
estas notas una breve discusión sobre gráficas en otros tipos de papel, tales como el logarítmico y
el semilogarítmico.
Si el estudiante sigue las siguientes recomendaciones, desde el primer experimento, encontrará
que sus gráficas serán mejores y de mayor utilidad:
1) No es necesario que las escalas empiecen desde cero y vayan hasta el mayor valor de cada una
de las variables. Si por ejemplo tenemos datos simultáneos de dos variables x y t cuyos
valores fluctúan así: x desde 150 hasta 250 y t desde 0 hasta 40, la escala para x puede
empezar en 150. De lo contrario sólo se usaría una porción pequeña de la gráfica y no sería
tan útil. La figura 6 ilustra la mejor forma de hacer esta gráfica.
x vs t
240
x (cm)
220
200
180
160
0
10
20
30
40
t (seg)
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Figura 6. Ejemplo de una gráfica. Note la manera de destacar los puntos graficados
y también que las escalas son diferentes para x y t.
2) La escala deberá ser sencilla, o sea que cada centímetro debe representar 1, 2, 5, 10, 50, 100,
etc. unidades de la variable que queremos representar. Las escalas para los dos ejes no tienen
que ser las mismas. Si se usan escalas en las cuales 1cm representa 3 unidades, por ejemplo,
será muy difícil graficar los puntos y también hacer lecturas de las coordenadas de puntos en
el gráfico.
3) Las gráficas deben tener una identificación, un título, que indique lo que la gráfica representa.
Sobre los ejes deben marcarse las variables representadas, indicando las unidades en que se
mide cada una de ellas. La gráfica debe permitir a una persona, que no ha realizado el
experimento, formarse una idea clara de lo que se ha hecho.
4) Un punto experimental debe estar claramente identificado, por ejemplo, colocando un pequeño
círculo alrededor del punto
, como se ha hecho en la figura 6. Si en una misma gráfica se
representan varias curvas o relaciones, para varias condiciones experimentales, cada una de
ellas deberá distinguirse con un símbolo distinto: círculo
, cuadrado
, triángulo
,
cruz, X, etc.
5) Es conveniente usar lápiz, al menos inicialmente, para marcar las escalas, los puntos, etc., y
usar tinta o repintar cuando ya estemos seguros de que la escogencia de escalas y de
convenciones han sido adecuadas.
6.1. Gráfica Lineal
La ecuación de una línea recta es:
y = mx + b
(6.1)
En la figura 7 se ilustra este caso especial y se indica el significado de la constante b, el
intercepto, de la recta. La constante m, la pendiente, es la tangente del ángulo que la recta hace
con el eje x. Generalmente no podemos determinar, para una recta dada, esta constante mediante
la simple operación de medir el ángulo con un transportador. Esto sólo puede hacerse cuando las
escalas de los dos ejes son iguales y se miden las dos variables en las mismas unidades. Pero la
pendiente si puede determinarse a partir de la relación:
y ( y2  y1 )

,
x ( x2  x1 )
(6.2)
como se ha indicado en la figura 7.
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Física Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráficas.
Figura 7. Se ilustra el significado del intercepto (b) de una recta y la manera de calcular su
pendiente (m)
Si x e y son dos variables que medimos experimentalmente y al hacer un gráfico se obtienen los
puntos indicados en la figura 7, podremos decir que la relación entre estas variables es lineal y
podremos obtener la pendiente y el intercepto para dar la relación entre estas variables como una
ecuación de la forma de la ecuación 6.1.
6.2. Gráficas No Lineales
Sólo en casos muy especiales tenemos la suerte de que las variables que nos interesan estén en
una relación lineal, como en el caso que discutimos en la sección anterior. En general, cuando se
grafiquen los valores simultáneos de dos variables (x y t, por ejemplo) e intentemos unir los
puntos mediante una línea, tal línea resultará curvada, como se ha indicado en la figura 8. La
Tabla No. 1 da los valores simultáneos de x y t usados para la figura 8.
TABLA No 1.
t (seg)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (cm)
5,00
5,75
7,00
8,75
11,00
13,75
17,00
20,75
25,00
29,75
35,00
z(cm/seg)
0,00
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
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x vs t
40
35
30
x (cm)
25
20
15
10
5
0
2
4
6
8
10
t (seg)
Figura 8. Ejemplo de gráfica no lineal, los datos graficados se dan en la tabla No.1.
Aun cuando la relación entre x y t no es lineal, es obvio que si es lo suficientemente regular como
para poderse representar mediante una ecuación. Pero, ¿cómo saber que tipo de ecuación
debemos usar? No existe una respuesta única a esta pregunta, es decir, no se puede dar una serie
de instrucciones que se puedan seguir en todos los casos, con garantía de éxito. Muchas veces, sin
embargo, se puede prever que las variables o cantidades físicas x y t deben tener una relación
cuya forma general conocemos a priori. Por ejemplo si x representa la posición de una partícula y
t el tiempo y tenemos razones para creer que el movimiento de la partícula es uniformemente
acelerado, la ecuación que relaciona x con t es de la forma:
x  x0  bt  ct 2
(6.3)
Obviamente x0 es el valor de x cuando t = 0 y lo conocemos a partir de los datos que tenemos. Lo
más conveniente sería transformar o modificar la ecuación 6.3 en forma tal que la relación entre
las nuevas variables sea lineal. Esto puede lograrse si definimos:
z
x  x0
 b  ct
t
(6.4)
Y si hacemos ahora un gráfico de z vs t, debemos obtener una línea recta. Si el movimiento no es
uniformemente acelerado, z vs t no nos dará una línea recta, pero este resultado negativo es útil,
pues ya sabemos algo acerca del movimiento del cuerpo y podremos buscar otras combinaciones.
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Física Fundamental I: Notas sobre manejo de Errores y Gráficas.
La figura 9 muestra el resultado de graficar z vs t para los datos de la figura 8. En la Tabla No 1
se han listado los valores de z usados para la figura 9.
Si no tenemos ninguna idea previa de cual puede ser la relación entre dos variables que medimos,
posiblemente tendremos que hacer muchos ensayos de diversas combinaciones de las variables
medidas para obtener finalmente una línea recta. Es posible que tengamos que recurrir a gráficas
en papeles logarítmico o semilogarítmico, Sobre las cuales diremos algo en el Apéndice.
z vs t
3,0
z (cm/seg)
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
2
4
6
8
10
t (seg)
Figura 9. Linealización de la gráfica de la figura 8.
7. EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS PARA LA DETERMINACION DE DOS
CANTIDADES DESCONOCIDAS
Para el manejo de datos experimentales se han desarrollado varias técnicas de mucha importancia
práctica entre las que se encuentra el método de mínimos cuadrados, el cual permite obtener una
información digna de confianza a partir de un conjunto de mediciones experimentales. Este
método puede ser utilizado en la determinación de cantidades desconocidas a partir de un
conjunto de pares de mediciones de dos cantidades relacionadas linealmente.
Sean dos variables x, y. Su relación lineal se puede escribir en la forma y = mx + b, donde m es la
pendiente y b es el intercepto y. A partir de una serie de N mediciones (yi , xi), en las que sólo se
tienen errores apreciables de medición en los valores yi, el método de mínimos cuadrados
establece que los valores mas probables de m y b están dados por:
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m
N  xi y i   xi  y i 
N
xi2 
 xi 
2
(7.1)
 yi  xi2    xi yi  xi 
b
2
N  xi2   xi 
(7.2)
La figura 10 ilustra los cálculos de m y b; cada punto representa un par de mediciones. La línea se
dibuja con los valores obtenidos mediante las ecuaciones 7.1 y 7.2. En general, esta línea no
necesita pasar exactamente por ninguno de los puntos experimentales. En la figura también se
ilustra la distancia vertical entre los puntos experimentales y la línea recta obtenida; el método de
mínimos cuadrados expuesto minimiza la suma de los cuadrados de estas distancias verticales.
Por esto, la línea determinada por este procedimiento es llamada algunas veces la línea de
regresión de y en x.
Figura 10. Gráfica para ilustrar los cálculos de m y b. Cada punto representa un par de medidas;
un par típico es la indicado por (yi,xi). La distancia vertical entre dicho punto y la recta de
mínimos cuadrados calculada se designa por di.
La desviación de cada medición, di, indicada en la figura 10, está dada por
d i  mxi  b  yi
(7.3)
La varianza de la muestra , (el cuadrado de la desviación estándar es por lo tanto:
2 
1
1
2
d i2   mxi  b  yi 

N
N
(7.4)
Los errores en los valores yi producen errores en los valores de m y de b encontrados.
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Las desviaciones estándar m y b correspondientes se puede calcular a partir de la desviación
estándar de la muestra, mediante las siguientes relaciones:
2
m

 b2 
N 2
N
xi2
(7.4)
  xi 
2
 2  xi2
N
xi2
(7.5)
  xi 
2
Ahora bien, es posible que la relación entre las dos variables y,x no se conozca de antemano o al
graficar los puntos estos aparezcan tan dispersos debido a los errores experimentales que no sea
claro si existe o no alguna relación entre y y x, como lo puede sugerir una representación gráfica
como la de la figura 11, en cuyo caso cabe preguntarse si existe alguna correlación entre las
dichas variables.
Figura 11. Puntos experimentales de una medición cualquiera. ¿ Existe alguna relación entre las
variables y y x medidas?
Para fijar algún criterio que permita hacer un juicio razonable sobre la relación entre las variables
se define una nueva cantidad denominada coeficiente de correlación r de tal manera que, cuando
los puntos caigan exactamente en una línea recta, r = 1, tengamos una correlación lineal perfecta
entre dichas variables y cuando r = 0 tengamos que no es posible establecer una correlación lineal
entre ellas. Es decir, de haber alguna correlación lineal, el valor de r debe ser mayor que 0 y
menor que 1. La definición de r es la siguiente:
r
N  xi y i   xi  y i
 N x 2   x 2 
 i 
  i
1/ 2
 N y 2   y 2 
 i 
  i
1/ 2
(7.7)
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APENDICE
GRAFICAS LOGARITMICAS Y SEMILOGARITMICAS
Si por alguna razón sospechamos que la relación entre dos variables o cantidades físicas que
medimos es de la forma:
y = ax2
(A.1)
Pero no tenemos una manera clara de predecir el exponente n, podemos recurrir al siguiente
artificio: Tomemos logarítmos a ambos lados de la ecuación A.1, para obtener:
log y = log a + n log x
(A.2)
Y si llamamos z = logy, w = logx, la ecuación A.2 es de la forma:
z = b + nw
(A.3)
Siendo b = loga. Por tanto una gráfica de z vs w debe ser una línea recta. El gráfico de z vs w
puede hacerse en un papel milimetrado, si calculamos primero los logaritmos de x e y. También
puede hacerse directamente sobre un papel logarítmico, el cual se construye de tal manera que las
escalas sean proporcionales a los logaritmos de los números. La figura 12 ilustra un gráfico hecho
en este tipo de papel y en la tabla No 2 se dan los valores de x e y usados en este caso.
La Figura 13 ilustra cómo se construye una escala logarítmica. Sobre un eje de coordenadas
escogemos una longitud básica o módulo que nos representará una unidad, por ejemplo 5 cm;
luego mediante una tabla de logaritmos o mediante una calculadora obtenemos los logaritmos de
los números (En la figura se ha ilustrado únicamente para los números enteros) y los colocamos
en la escala escogida.
Si ahora numeramos la escala con los números naturales, la distancia desde el origen (log1 = 0)
será proporcional al logaritmo del número; así cuando ubicamos el punto x = 4, y= 4, como se
ilustra en la figura 12:
Estaremos realmente graficando (log 4, log 4). En otras palabras la escala logarítmica es una
manera de tomar los logaritmos de las abscisas y de las ordenadas, en forma automática.
Como en el gráfico de la figura 12, las escalas son iguales, la pendiente se puede determinar
midiendo con una regla común las distancias y y x que se han indicado y haciendo su cociente.
El intercepto ocurre para log x = 0, o sea, para x = 10o = 1, y la ordenada correspondiente a x = 1
será el valor de a en las ecuaciones A.1 y A.2. Para convencerse de esto basta mirar la ecuación
A.2 y ver que para log x = 0, log yo = log a, luego yo = a.
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Y
20
10
9
8
7
6
5
1.0
10
8
0.8
4
6
5
Y
3
0.6
2
4
3
1.0
.
8
.
6
0.4
X
2
0.2
.
4
0
.
2
1
X
Figura 12. Gráfico en papel logarítmico,
Usando los datos de la tabla No 2.
Figura 13. Forma de construir
una escala logarítmica
Dejemos ya el caso de las gráficas logarítmicas y discutamos brevemente el caso de las gráficas
semilogarítmicas. Estas encuentran aplicación cuando la relación funcional entre las variables sea
de la forma:
(A.4)
y  ae kx
Si tomamos logaritmos, tendremos:
log y  log a  kx log e
(A.5)
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Y si definimos: z = log y, b = log a y k log e = m, tendremos:
z  b  mx
(A.6)
o sea una relación lineal. Podemos entonces graficar z = log y, vs x y la gráfica debe ser una línea
recta. Nuevamente esto se puede hacer en un papel especial con el cual la escala vertical (las
ordenadas) es logarítmica, pero la escala horizontal (las abscisas) es una escala común o si se
quiere milimétrica.
La ecuación A.6 permite ver que el intercepto nos da directamente el valor de la constante b. Para
determinar la pendiente, sin embargo, es necesario tomar los logarítmos de las ordenadas de dos
puntos, hacer su diferencia y dividir por la diferencia de las respectivas abscisas, o sea:
log y 2  log y1
(A.7)
m  k log e 
x 2  x1
Una vez calculado el valor de m, se puede obtener de inmediato el valor de la constante k, puesto
que log e = 0,434294.
Para terminar, insistamos en que en esta era de las calculadoras electrónicas, con las cuales se
pueden obtener en forma rápida y fácil los logarítmos de los números que nos interesan, es muy
fácil hacer las gráficas que hemos discutido en esta sección en papel milimetrado y obtener toda
la información que ellas puedan proporcionarnos, sin recurrir al uso de papeles especiales.
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