Residuos recursivos

ESTAQISTICA ESPAÑOLA
núm. 105, 1984, págs. 1 17 a 1^1
Residuos recursivos
por ANTON I O A^ZNAR G RASA
Facuttad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de Zaragoza
RESUMEN
Se demuestra cómo los residuos recursivos pueden escribirse de tal
forma que son un miembro de la familia de los residuos ELIO.
Pulut^rus clu ^ ^e: Residuos recursivos; residuos ELIO.
En el marco del modelo lineal general Y=^3 + u se de^inen los residuos MCO
para utilizarlos en los contrastes sobre las perturbaciones aleatorias. Pero estos residuos
tienen una matriz de varianzas y covarianzas que no es escalar, lo cual tiene dos
consecuencias importantes: primero, que los residuos no son independientes entre sí y,
segundo, que los momentos dependen de los regresores observados en un mornento
dado.
Para obviar estas dificultades se han propuesto alternativas de vectores de residuos
con una matriz de varianzas y covarianzas escalar. Entre estas alternativas está la de
los residuos recursivos como puede verse en Hedayat y Robson (1974), BrownDurbin-Evans (197'S) y Harvey (1981), el residuo recursivo i-ésimo se define como
_ ,A
!^i
^
uRi =
^ ^ „}
Xi i-1
x^^X^,-1xi- ^^_ ^X^
i= k+ 1, k+ 2, ..., n
[1]
i:ti i r^l>lST^IC^A EwSPAtiC:)1_r^
en donde
= es el vector fila de la vbservación r-ésima de las k rariables.
^3'^ = es el vector de estimadores MCO de ^3 utilizandu las primeras i observaciones de
las variables.
= es la matriz de las primeras r observaciones de las k variables explicativas.
En los anteriores trabajos puede verse como
E^t! ^,
_ ^}
Var ^(1l R) = cs2 1 n-k
En el presente trabajo lo que se pretende es desarrollar una observación que Fick
realiza al trabajo de Brown-Durbin-Evans. Recogiendo una sugerencia de Durbin de que
los residuos recursivos pueden interpretarse como una transformación lineal del espacio
n-dimencional al (n -- k)- dimensional, Fisk dice que es posible escribir la matriz de
transformacián de tal forma que sea ortogonal a la matriz de observaciones de las
variables explicativas X, y se pueda poner en relacián con los residuos ELIO. ^eamos
la forma concreta de esta matriz y las propiedades que tiene.
Corr^o puede verse en Harvey (198 I) los (n - k) residuos rec: ursivos pueden escribirse de la siguiente forma
1
lI
r^rk*
i ^xk+!(XkXk^^ ^Xk
Rk+ t
^
+2^X k-F- 1^k+ 1^
u Rk+2
i
^
X n^^n_ lXn_ 1^^
^
*
xh+ Zuk+ 1
*
^n-- lun- 1
en donde
u2
r` > k
L u^J
1
^^^
119
RE:^SI[^UOS Rf-,C't..'fitil`'C)S
Sean ahora las siguienies rnatrices:
J, = matril de urden i_rn , tdl q ue :
J, X = X,
J , c^r
l, 2, ..., rr
- u *
Se ve fácilmente yue cumple
,
_
J' J' --
1,
4
0
0
= matriz de orden (n - k)xn, tal que
*
J^u =
^uk+1
u k+z
_
Se ve fácilmente que
J^ J^' _
J^' J^ =
Con ayuda de estas matrices podemos escribir [2] de la forma siguiente
_
l^ Rk + 1
1
h t/ 2
u k+ 1
^ x^+ ^(X^J;^JkX) _ ^ X'JkJku
k+l
k+2
ú Rn =
ux'n^ X'J'n- l Jn- 1 X)^^X'J'n- 1Jn- 1 u
n
1
h 1^^
n
_ < < ^
Xk+2^X Jk+^Jk+l X)- ^X'Jk+ jJk+ Iu
^-
y en forma matricial
i^R = H-^ ^'2[JÁ u- ADu ^= CRu
en donde
CR = H - u^[J^ - AD)
]
E-STA[)IST1C'A ESPAÑC)LA
^ ^^?
A es una matriZ de orden (n - k)x (n - k)k que torna la forma siguiente
.r^+^
0 ... 0
0
hk+l
a
......
0
A ^ U _Y'k + z 0 . . . 0 ^ _ a h ,^ ^ z a . . . a
.
........ o
L°
x^J
......... a
L o
D es una matriz de orden (n - k)k xn que toma la forma siguiente
^X^JkJkX)-1^,Jk^k
^X^Jk+ iJk+i^) -^X^Jk+IJk+ 1
D=
.......................
L^x,JR- 1Jn- 1 X^-' xl Jn- 1Jn- 1
Veamos ahora las propiedades de la matriz CR.
En principio se ve que
CRX = 0
teniendo en cuenta que
_
Jk X =
^2^tc+1
"'
xkk+l
X 1k+2
^ Zic +2
' "
Xkk+2
o
...
a
(^i'akJkx)-'x,Jk.lk^^
0
....
x`^+7
....
...
U
..,
(X'Jk+^Jk+^X^-'X^Jk+1Jk+ IX
........
...... ...
a
....
o
Xk+l
ADX =
Xlk+l
X lk+ 1
X?Jc+2
x^J L(^`J^_
...
- Ix)- 1^'Jn- 1Jn-IXJ
Xkk+i
. . , xkk+^
.........................
xk"
X>k+2
X^+2
A partir de este resultado se pueden obtener los siguientes
.
MCR
CR
es decir, que las colurnnas de C, son vectores caracteñsticos de la matriz M correspondiente a las ra^ces unidad.
12l
RE=:SfDtu^^)5 RE:('ltRS1^"C.)S
Por otra parte, si F` es la matriz de los vectores característicos correspondiente a las
raíces cero se tíene que
^
^' F'
R
^
CR
^
= 1
por Io que
M= M C'
RF' if
^
CR
= C'
0 CR
= C' RC R
F
^
R^
^
Es decir, que cumple las mismas propiedades que cumptía la matriz que servía para
definir los residuos EL[O.
BIBLIOGRAFIA
BROWN, R. C.; DuttBftv, J., y EvAnfs, J. M.: «Techniques for Testing the Constancy of Regnession
Relationships over Time^ . Jnurnal of^ the Royal Statrstical Society, 2, 1975 .
HEDAYAT, A., y RoesoN, D. S.: «Independent Step wise Residuals for Testing Homoscedasticity^.
JASA, bS. December 1970.
HARVEY, A. C.: The Econvmetric Analysis o^f^ Time Series.
1981.
SUMMARY
RECURSIVE RESIDUALS
In this paper it is shown that the recursive residuals are BLUS
residuals defining a+dequately a transformation matrix.
Key words: Recursive residuals; BLUS residuals.
AMS 1980. Subject classification: 62JOS.