introducción a la teoría pcf - Fundación Universitaria Konrad Lorenz

Introducción a la Teoría PCF
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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF
ALEXANDER AMEZQUITA OCHOA
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
13 DE DICIEMBRE DE 2003
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Introducción a la Teoría PCF
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Introducción a la Teoría PCF
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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF
ALEXANDER AMEZQUITA OCHOA
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TITULO DE MATEMÁTICO
DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA
MATEMÁTICO.
PROFESOR FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
13 DE DICIEMBRE DE 2003
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Introducción a la Teoría PCF
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Introducción a la Teoría PCF
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RESUMEN
RESUMEN. Los problemas relacionados con la Hipótesis del Continuo son uno de los
intereses centrales de la teoría de conjuntos y de la lógica. La manera en la que la primera
ha tratado de atacar este tópico ha sido a través de la aritmética cardinal, y en especial,
mediante el estudio de los cardinales regulares y singulares. Los resultados mas importantes
en este sentido son presentados por la denominada teoría PCF, y los conceptos centrales
para tener un acercamiento a esta teoría se presentan en este trabajo.
ABSTRACT. The questions related with the Continuum Hypothesis are one of the central
interests of the set theory and the logic. The way that the first one has deal with this topic
has been through the Cardinal Arithmetic, especially, by means of the study of regular and
singular cardinals. The most important products are introducing by the named PCF theory,
and the central concepts that are enough to approach this theory are introducing in this
paper.
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Introducción a la Teoría PCF
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Índice General
Introducción........................................................................................
Introducción a la Teoría PCF.......................................................
Planteamiento del Problema...............................................
Una Breve Historia......................................................................
Capitulo 1. Teoría Axiomática de Conjuntos..................................
1.1 Introducción...........................................................................
1.2 Teoría Axiomática de Conjuntos Zermelo – Fraenkel...........
1.3 Funciones...............................................................................
Capitulo 2. Números Ordinales.........................................................
2.1 Los Números Naturales..........................................................
2.2 Los Números Ordinales..........................................................
2.3 Axioma de Elección...............................................................
Capitulo 3. Los Números Cardinales................................................
3.1 Números Cardinales...............................................................
3.2 Conjuntos Finitos e Infinitos..................................................
3.3 Aritmética Cardinal................................................................
3.4 Aritmética Cardinal Infinita...................................................
Capitulo 4. El Problema de los Cardinales Singulares...................
4.1 La Hipótesis del Continuo......................................................
4.2 Cardinales Regulares y Singulares.........................................
4.2.1 Cofinalidad.................................................................
Capitulo 5. Conclusiones....................................................................
5.1 Conclusiones..........................................................................
5.2 Recomendaciones...................................................................
Referencias..........................................................................................
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Introducción a la Teoría PCF
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INTRODUCCIÓN
Una de las preocupaciones fundamentales de la matemática ha sido y es todavía encontrar
el orden de sus propios productos científicos. Las matemáticas produce en cada una de sus
ramas diferentes conocimientos, y estos deben ser ordenados y sistematizados de manera tal
que puedan construirse como teorías, para lo cual ella misma ha creado conceptos tales
como conjunto, colección, clase, cuerpo, anillo, grupo. Estos conceptos y otros mas,
algunos de ellos intuitivos, han servido para ordenar tales conocimientos, pero al constituir
ellos mismos sistemas se han encontrado paradojas, y de ellas han emergido nuevas
preocupaciones, nuevos problemas.
Uno de tales sistemas lo ha constituido la Teoría de Conjuntos, aquella que se ocupa de la
definición de los conjuntos, de la ordenación y estructuración de las agrupaciones de
elementos que constituyen el todo detrás de cada operación matemática. Baste para
demostrar esto recordar como cada axioma, teorema o proposición comienza con una
sentencia como esta:
Sea A el conjunto de ... tal(es) que ...
Con su configuración y desarrollo, esta teoría ha tenido que enfrentarse con diferentes
paradojas e inconsistencias que han terminado por definirla como una de las ramas de la
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Introducción a la Teoría PCF
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matemática que mas se ha desarrollado fundamentada en bases tan seguras de su veracidad
como de su falsedad. Y todo ello ha seguido siempre la misma dirección. Esta es una
afirmación que debería demostrarse, pero la histórica matemática de la teoría de conjuntos
ha de presentar suficientes evidencias al respecto.
Tal comprobación histórica afirma que: de una manera somera, general y amplia, la teoría
de conjuntos es un estudio del concepto de infinito. Esto es así porque dentro de lo que
podríamos definir como la teoría de conjuntos finita, aquella que trata con colecciones de
elementos que pueden ser contados, e incluso aquella cuyo objeto de estudio es fácilmente
comparado con la realidad, las definiciones, aun cuando siguen siendo intuitivas, no
presentan contradicciones, no se presentan confusiones. Pero inmediatamente empezamos a
trabajar con cantidades infinitas, con colecciones infinitas de elementos y las
comparaciones con la realidad se hacen imposibles, las paradojas y los problemas
comienzan a aparecer.
La teoría de conjuntos, por tal razón, ha construido sistemas axiomáticos lo suficientemente
poderosos como para hacer manejables las operaciones a un nivel finito, mensurable. Tales
sistemas se han modificado, se han adecuado a lo largo de la historia a los diferentes
descubrimientos que la misma teoría ha hecho, y ello ha permitido que se pueda hoy hablar
de un sistema axiomático que permite realizar operaciones no triviales con conjuntos
infinitos.
Expliquemos un poco algunos de estos argumentos. Por sistema axiomático entenderemos
al conjunto finito de afirmaciones sobre las que se sustenta una teoría. Tales afirmaciones
por su carácter fundamental, no poseen medios para demostrarse a ellas mismas, son verdad
por solas, no es necesario seguir una prueba sistemática para saber si se puede trabajar con
ellas, son las bases o verdades de la teoría. A la manera de la filosofía son nuestros juicios
sintéticos a priori, así, de la misma manera en que en toda ciencia hay verdades
incuestionables como todo efecto es producido por una o múltiples causas, así también la
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teoría que nos ocupa construye, por decirlo así, mundos en los que ciertas verdades son
irrefutables y sobre las que se busca ordenar el conocimiento.
Por operaciones no triviales consideramos aquellas que no tienen una solución trivial, es
decir, ordinaria o fácilmente identificable a través de la comparación con otras semejantes.
En este sentido, veremos a continuación como la teoría de conjuntos ha tratado no
solamente con los problemas y el estudio sistemático del infinito, sino también con sus
operaciones no triviales, aquellas que no se deducen de las operaciones con finitos, por
ejemplo.
De esta manera, a partir de un sistema axiomático, la teoría de conjuntos se ha enfrentado al
problema de ciertas operaciones no triviales relacionadas con un conjunto de números
llamados transfinitos. Tal operación no trivial se denomina exponenciación cardinal.
Ambos, conceptos-conjunto y operación son las herramientas claves para llevar a cabo la
labor que nos proponemos. Plantearemos la cuestión en los términos de una propuesta de
trabajo y finalmente expondremos la manera en la que interactúan estas herramientas
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF.
Planteamiento del Problema.
Uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos es el de la hipótesis del continuo.
Si bien la teoría de conjuntos se creo con la intención de ordenar las matemáticas tanto en
su enseñanza como en las demostraciones y el sentido central de la misma, las paradojas
que generó en poco o nada ayudaron a tal objetivo.
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Dentro de tales problemas y paradojas, la hipótesis del continuo se eleva como un punto
central sobre el que la teoría de conjuntos puede mas bien aportar, si no a la ordenación de
las explicaciones, sí a aplicaciones en amplios campos de la matemática como la topología.
Lo que se demuestra en el desarrollo histórico, es que más que un catalizador universal de
ordenación de la matemática, la teoría de conjuntos se ha convertido en una herramienta
universal para el ataque de problemas de diversos ámbitos de la misma.
Lo mismo que en la física las teorías de luz, divididas en aquellas que consideran la luz
como un conjunto de corpúsculos y aquellos que la consideran una onda, han resuelto
importantes problemas de esta ciencia de manera separada e independiente, es decir,
muchos se resuelven bajo la suposición de la primera y la negación de la segunda, y otros
muchos de manera inversa, en la matemática muchos son los problemas que se resuelven
suponiendo construcciones axiomáticas de la teoría de conjuntos (como puede ser ZermeloFraenkel) y la veracidad de la Hipótesis del Continuo (HC de aquí en adelante) e
igualmente muchos los que encuentran solución suponiendo las mismas construcciones
axiomáticas y la nulidad de HC.
De esta manera, la HC se convierte en uno de los núcleos alrededor de los cuales la teoría
de conjuntos contribuye como herramienta al desarrollo de la matemática.
Frente a esta situación, la matemática contemporánea ha encontrado en aquella de sus
especialidades denominada “Teoría avanzada de conjuntos” y más específicamente en el
campo de la exponenciación cardinal, un posible planteamiento acerca de la hipótesis del
continuo, que oponiéndose a posiciones intuicionistas, ha accedido a su análisis a través de
la metodología de las demostraciones por contradicciones y la presentación de
contraejemplos.
Resultado de estos análisis, podemos presentar la obra cumbre del matemático Sharon
Shelah, publicada bajo el titulo de Cardinal Arithmetic, y que contiene toda una
sustentación teórica de la posibilidad de construir “contraejemplos” a la HC, a través del
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estudio de las posibles cofinalidades, dando origen a lo que hoy día se denomina Teoría
PCF (Posibles CoFinalidades).
En tal planteamiento se encuentra el hallazgo cumbre de dicha teoría y es el teorema que
Shelah plantea como el primer contraejemplo a la HC, y que se formula de la siguiente
manera:
Teorema 1. Shelah hacia 1990
ℵ0
2
< ℵω ⇒ ℵω 0 < ℵω 4 .
ℵ
El cual plantea que la primera cota para los contraejemplos a la hipótesis del continuo es el
cuarto cardinal limite.
Esta presentación tiene por objeto realizar una introducción a los conceptos de la teoría de
conjuntos que son necesarios para emprender el camino de la comprensión de este resultado
de Shelah. Su aritmética cardinal es un producto complejo, de un alto nivel de abstracción,
por eso, el acercamiento a la teoría PCF requiere de amplios conocimientos en teoría de
conjuntos, teoría combinatoria de conjuntos y topología, por lo que se propone este trabajo
es presentar un acercamiento didáctico a los conceptos fundamentales, realizando las
demostraciones básicas de la teoría de conjuntos y haciendo la presentación de teoremas,
proposiciones y corolarios básicos para hacerse una idea de los problemas de la
exponenciación cardinal que construyen lo que se denomina el problema de los cardinales
singulares. Clarificar de manera introductoria, y con la intención de generar interés y
preguntas acerca este problema, los conceptos centrales de este tópico son los objetivos de
esta investigación.
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UNA BREVE HISTORIA.
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría
rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación
del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números
racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma
de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números
racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos
pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números
racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de
conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto
límite, de conjunto derivado...
La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre
conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la
teoría abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos,
junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo
XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de
los fundamentos de las matemáticas modernas.
El campo de aplicación del análisis matemático creció rápidamente merced a un sin fin de
investigadores de los métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes,
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Thomson, Hamilton, Maxwell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del
aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría
matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la
nueva mecánica.
Así, a finales del siglo XIX, Cantor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual.
Todos los argumentos dados, señala Cantor, en contra del infinito han sido insensatos, ya
que han tratado la aritmética de los números infinitos como una extensión de la aritmética
de los números finitos. Uno de los objetivos de su obra era demostrar que no había ninguna
razón para aceptar las viejas ideas en contra del infinito actual. Si los conjuntos infinitos se
comportan de manera diferente a los conjuntos finitos no quiere decir que estos sean
inconsistentes, sino que obedecen a una aritmética diferente.
Cantor demostró, contra la famosa aniquilación de lo finito por lo infinito, que los números
infinitos eran susceptibles de ser modificados por los números finitos. También rechazó la
distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial, ya que todo infinito potencial
presupone la existencia de un infinito actual. Georg Cantor, siguiendo los pasos de
Bolzano, consideró que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar
conjuntos infinitos. Si existe una biyección entre dos conjuntos, podemos decir que dichos
conjuntos son equipolentes o tienen la misma potencia. El término de potencia de un
conjunto dio paso al término de número cardinal.
Bolzano introdujo las siguientes definiciones de conjunto infinito: Un conjunto no vacio A
es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente a {1,2,....,n}; de otra forma A es
infinito. Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A;
en cualquier otro caso A es finito. Cantor y Dedekind utilizaron esta definición reflexiva
del infinito:
Cantor: Un conjunto finito es uno cuya potencia es un entero positivo. Para tal conjunto
todo subconjunto propio tiene una potencia menor, mientras que un conjunto infinito A
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tiene la misma potencia que algún subconjunto propio de A. (Implícitamente dio estas
propiedades cuando demostró que R y Rn tenían la misma potencia).
Dedekind: Un conjunto A es Dedekind-infinito si algún subconjunto propio B de A es
equipolente a A; en cualquier otro caso A es Dedekind-finito.
Cantor: Por un conjunto finito entendemos un conjunto M, el cual surge a partir de un
elemento original a través de la adición sucesiva de nuevos elementos de tal forma que el
elemento original puede ser obtenido a partir de M eliminando sucesivamente los elementos
añadidos en el orden reverso. (Esta es la primera definición explícita de un conjunto finito
dada por Cantor).
Cantor: Mientras que un conjunto finito siempre retiene el mismo número ordinal,
independientemente de la forma en que estén ordenados sus elementos, un conjunto infinito
puede ser reordenado de tal forma que tenga más de un ordinal.
Cantor definió que dos conjuntos tenían el mismo número de elementos si existía una
correspondencia biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos; a diferencia de
Bolzano, quien concluyó que la existencia de una correspondencia entre dos conjuntos
infinitos A y B no justificaba la inferencia de su igualdad, con respecto a la multiplicidad
de sus miembros. La razón por la cual la definición de Cantor y sus consecuencias han sido
aceptadas no es porque estén, ciertamente, mas cerca del uso común sino más bien porque
son más útiles para la matemática.
Aún hoy en día tendemos a pensar que existen más números naturales que números pares.
Cantor consideraba tres contextos donde surge el concepto de infinito actual: primero
cuando es realizado en la forma más completa, en un ser independiente de otro mundo, en
Dios, al cual llamo el Infinito Absoluto o simplemente Absoluto; segundo cuando ocurre en
lo contingente, en el mundo físico; tercero cuando la mente lo aprehende en abstracto como
una magnitud matemática, número, o tipo de orden.
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Así, uno de los problemas más importantes de la teoría de conjuntos moderna y
contemporánea trata con lo que se conoce como aritmética cardinal. De una lado, como lo
afirmaba Cantor, es insensato pensar que el infinito es susceptible de ser manejado a través
de la aritmética finita; de otro, conocido este hecho, la construcción de una sólidas bases
para una aritmética cardinal permitirán tratar con estas cantidades y conjuntos de manera
científica y no solamente metafísica.
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Introducción a la Teoría PCF
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CAPITULO 1. LA TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS
1.1. INTRODUCCIÓN.
No podemos comenzar una explicación coherente de los problemas derivados de los
cardinales sin llegar a su construcción clara. Tales cuestiones de constitución del problema
debe atacarse a partir de una exposición clara y sencilla de la teoría de conjuntos que
recibió en su seno tal problema.
Esta sección estará dedicada entonces a una explicación de cada uno de los axiomas de la
teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel, y de sus consecuencias más importantes.
1.2. TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS. ZERMELO – FRAENKEL
«Una variedad (una totalidad, un conjunto) de elementos pertenecientes a cualquier esfera
conceptual se dice “bien definida" si sobre la base de su definición y como consecuencia
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del principio lógico del tercio excluido, puede ser considerado como internamente
determinado, por una parte, si cualquier objeto perteneciente a esta esfera conceptual
pertenece o no como elemento a dicha variedad y, por otra, si dos objetos pertenecientes al
agregado son o no iguales entre sí, aparte de las diferencias formales en la manera en la que
estén dados.» G. Cantor.
«Entendemos por “conjunto" cualquier agrupación en un todo M de determinados objetos
bien diferenciados m de nuestra intuición o de nuestro pensamiento (llamados “elementos"
de M).» G. Cantor.
Como decíamos en la introducción, un sistema axiomático es una de las herramientas
fundamentales de la matemática en su intento de dotar de claridad científica a sus
producciones. Los axiomas de Zermelo Fraenkel son una construcción abstracta que
permite trabajar con los conjuntos. A continuación presentamos tales axiomas.
Pero antes de llevar a cabo esta tarea es necesario que formalicemos un leguaje que nos
permita notar claramente cada uno de estos axiomas. Tal leguaje debe estar constituido por
símbolos básicos y por reglas que permitan crear expresiones a partir de tales símbolos.
Los símbolos que conformaran nuestro leguaje son los siguientes:
1. Variables: serán las ultimas letras del alfabeto latino, mayúsculas o minúsculas,
con la posibilidad de usar subíndices. X , Y , Z , x, y, z , x1 , x2 ,...
2. Constantes: las primeras letras del alfabeto latino; nos servirán para designar
conjuntos específicos. A, B, C, a, b, c,…
3. Símbolo de pertenencia: ∈.
4. Símbolo de igualdad: =.
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5. Conectivos lógicos: los símbolos habituales para la negación, disyunción,
conjunción, implicación y equivalencia. ¬,∧,∨, →, ↔ .
6. Cuantificadores: en su uso habitual. ∀,∃.
7. Paréntesis: untados como signos de puntuación ( , ).
Cualquier cadena finita constituida por estos símbolos representara una expresión, pero es
necesario definir las reglas de lo que constituirán las expresiones aceptables dentro de
nuestro lenguaje:
1. X ∈ Y , X = Y . Son formulas de nuestro lenguaje, y llamaremos formulas a
aquellas expresiones que pertenecen al lenguaje.
2.
Si
φ yϕ
son
formulas
del
lenguaje,
también
lo
son
(φ ∧ ϕ ) (φ ∨ ϕ ) (φ → ϕ ) (φ ↔ ϕ ).
3. Si ϕ es una formula de nuestro lenguaje, lo es también ¬ϕ . De la misma
manera, X ∉ Y o X ≠ Y representaran ¬( X ∈ Y ) y ¬( X = Y ) respectivamente.
4. Si ϕ es una formula del lenguaje, entonces ∀xϕ y ∃xϕ son formulas del
mismo, siempre y cuando x sea una variable.
5. Solo las expresiones resultado de la aplicación finita de estas reglas es
consideradas una formula del lenguaje.
Denominemos nuestro lenguaje a través de la letra L.
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AXIOMA 1.2.1. AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD:
“Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de Y es un elemento de X ,
entonces X es igual a Y ".
Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales.
Este axioma nos dice que lo que caracteriza a un conjunto son sus elementos.
En L, este axioma se escribe
∀X∀Y (∀z ( z ∈ X ↔ z ∈ Y ) → X = Y ).
Debemos además realizar una definición adicional.
DEFINICIÓN 1.2.1. Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de A es elemento de B,
entonces decimos que A está incluido en B, o de A es un subconjunto de B, lo cual se
simboliza: A ⊆ B.
AXIOMA 1.2.2. AXIOMA DEL CONJUNTO VACÍO:
“Existe un conjunto que no contiene ningún elemento".
En L escribimos
∃X∀x x ∉ X .
Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al menos un conjunto.
LEMA 1.2.1. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento.
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Introducción a la Teoría PCF
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DEMOSTRACIÓN. Supongamos que existen dos conjuntos distintos a y b ambos sin
elementos.
Por Axioma 1.2.1 ∃x((x ∈ a ∧ x ∉ b ) ∨ ( x ∉ a ∧ x ∈ b )) una contradicción. Luego hay un
único conjunto vacío. ∴
DEFINICIÓN 1.2.2. El (único) conjunto que no tiene elementos se llama el conjunto vacío y
se le denota: ∅
AXIOMA 1.2.3. AXIOMA DE SEPARACIÓN:
“Si ϕ ( x ) es una fórmula de L y X es un conjunto, entonces existe un conjunto Y cuyos
elementos son aquellos elementos de X que verifican ϕ (x ) ".1
En L escribimos
∀X∃Y ∀z ( z ∈ Y ↔ z ∈ X ∧ ϕ ( x ))
1
Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir el conjunto de todos los conjuntos
que verifican una propiedad cualquiera ϕ ( x ) . Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de
objetos que verifican una cierta propiedad, sólo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a
un cierto conjunto dado, verifican la propiedad en cuestión. Veamos que esta restricción evita que se
produzca la paradoja.
Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A , el axioma de extensionalidad nos
permite formar el conjunto R = {x ∈ A : x ∉ x} En este caso tenemos que si R ∉ R , entonces
R ∈ A y R ∉ R , lo cual es una contradicción, luego R ∉ R lo que a diferencia de antes no es una
contradicción, y solo implica que R ∉ A.
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Introducción a la Teoría PCF
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Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por ϕ (x ) ) y cualquier
conjunto A, existe el subconjunto de A formado por los elementos que verifican esa
propiedad. Obviamente este conjunto es único.
DEFINICIÓN 1.2.3. Si ϕ (x ) es una fórmula de L y A un conjunto, el conjunto cuya
existencia está garantizada por Axioma 1.2.3. se denotará con el símbolo {x ∈ A : ϕ ( x )} y se
lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ (x ) ".
TEOREMA 1.2.1. No existe el conjunto de todos los conjuntos.
DEMOSTRACIÓN. Supongamos que si existe y llamémoslo V . Entonces en virtud de
Axioma 1.2.3. podemos construir el conjunto de Russell:
R = {x ∈ V : x ∉ x} , contradicción. ∴
Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino más bien un esquema.
En efecto, para cada fórmula ϕ ( x ) de L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una
cantidad ilimitada de instancias de este axioma.
AXIOMA 1.2.4. AXIOMA DE PARES:
“Dados dos conjuntos X e Y, existe un conjunto cuyos únicos elementos son X e Y ".
Su expresión en L es
∀X∀Y∃Z ∀x( x ∈ Z ↔ x ∈ X ∨ x ∈ Y )
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Introducción a la Teoría PCF
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Resulta claro por Axioma 1.2.1. que este conjunto es único. Lo denotamos {X , Y } y lo
llamamos el par no ordenado X, Y.
El Axioma 1.2.1. también garantiza la existencia del conjunto cuyo único elemento es el
conjunto X
{X , X } = {X }
el que a menudo recibe el nombre de singleton X .
AXIOMA1.2. 5. AXIOMA DE UNIONES:
“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los
elementos de X ".
En L escribimos
∀X∃Y ∀z ( z ∈ Y ↔ ∃U ( z ∈ U ∧ U ∈ X ))
Nuevamente por Axioma 1.2.1., este conjunto es único, se llama la unión de X y se le
denota U X .
Un caso particular que merece una notación especial es el siguiente. Si X e Y son conjuntos,
entonces existe U {X ,Y }.
Entonces
x ∈ U{X , Y } ↔ ( x ∈ X ∨ x ∈ Y )
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Introducción a la Teoría PCF
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U {X , Y } se llama la unión de X e Y, y se le denota X U Y . Corresponde al conjunto de
todos los conjuntos que pertenecen ya sea a X o a Y (o a ambos).
Más generalmente, dados los conjuntos X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n de manera análoga al caso de la
unión de dos conjuntos, definimos
X 1 U X 2 U ... U X n = U{X 1 , X 2 ,..., X n }
de tal manera que
x ∈ X 1 U X 2 U ... U X n ↔ x ∈ X 1 ∨ x ∈ X 2 ∨ ... ∨ x ∈ X n .
La teoría de conjuntos mas generalizada nos permite cierta familiaridad con la unión de
dos o de una cantidad finita de conjuntos; el Axioma 1.2.5. generaliza este concepto a la
unión de una familia arbitraria, incluso infinita, de conjuntos. Observemos que para definir
la unión de dos conjuntos son necesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el
Axioma de Extensionalidad (para garantizar unicidad).
DEFINICIÓN 1.2.4. Otra generalización de un concepto familiar es el de intersección de un
conjunto no-vacío X, en símbolos, I X , definida por
I X = {x ∈ U X : ∀B(B ∈ X → x ∈ B )}
Observemos que en virtud del Axioma 1.2.5. y del Axioma 1.2.3., I X es efectivamente
un conjunto.
DEFINICIÓN 1.2.5. La intersección de dos conjuntos X e Y , X I Y , se define por
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X I Y = I{X , Y }
y en general
X 1 I X 2 I ... I X n = I{X 1 , X 2 ,..., X n }
Diremos también que dos conjuntos X e Y son disjuntos si
X IY = ∅
TEOREMA 1.2.2. I A ⊆ U A.
DEMOSTRACIÓN. Si x ∈ I A , entonces, por definición 1.2.4.,
1).
∀B(B ∈ A → x ∈ B ) ∧ ∃B(B ∈ A)
de lo cual se puede afirmar que
∃B(B ∈ A ∧ x ∈ B )
así, por el axioma 1.2.5., x ∈ U A , y por la definición 1.2.1. I A ⊆ U A. ∴
AXIOMA 1.2.6. AXIOMA DEL CONJUNTO POTENCIA.
“Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los subconjuntos de X ". Esto es:
∀X∃Y ∀Z ( Z ∈ Y ↔ Z ⊆ X )
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El (único) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa por PX y se llama el
conjunto potencia de X .
AXIOMA 1.2.7. AXIOMA DE REGULARIDAD.
“Todo conjunto no vacío contiene un elemento con el que no comparte ningún elemento."
En L escribimos
∀x( x ≠ ∅ → ∃y ( y ∈ x ∧ y I x = ∅ ))
A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulación, este axioma impide la
existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o incluso a ∈ b ∈ a , etc.
TEOREMA 1.2.3.
i) ∀x x ∉ x.
ii) ∀x∀y ( x ∉ y ∨ y ∉ x).
iii) En general, no existen a1 , a2 , a3 ,..., an tales que a1 ∈ a2 ∈ a3 ∈ ... ∈ an ∈ a1.
iv) No existen conjuntos a1 , a2 ,..., an tales que ... ∈ an ∈ ... ∈ a2 ∈ a1.
DEMOSTRACIÓN.
i) Supongamos que existe a tal que a ∈ a, entonces A = {a}, lo que contradice el
Axioma 1.2.7.
ii) Idem i) con A = {x, y}
iii) Idem i) con A = {a1 , a2 ,..., an }
iv)
Supongamos
que
existe
el
conjunto
cuyos
elementos
son
precisamente a1 , a2 , a3 ,... Llamémoslo A . Entonces A contradice al Axioma 1.2.7. ya
que para cualquier y ∈ A, digamos y = am para algún m , am +1 ∈ am y am +1 ∈ X , o
sea y I X ≠ ∅ .
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Introducción a la Teoría PCF
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AXIOMA 1.2.8. AXIOMA DEL CONJUNTO INFINITO.
“Existe un conjunto que tiene infinitos elementos". Para escribirlo en el lenguaje L
debemos usar una expresión no muy transparente.
∃X (∅ ∈ X ∧ ∀y ( y ∈ X → y U {y} ∈ X ))
Es claro que el conjunto así formado es intuitivamente infinito.
∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}},...
Para introducir el último axioma de ZF, debemos estudiar antes un cierto tipo de fórmula de
L. Una fórmula ϕ ( x, y ) de L con dos variables libres x e y se denominará función
proposicional si para todo conjunto a existe un único conjunto b tal que ϕ ( x, y ) se verifica.
Ejemplos de éstas son las fórmulas ϕ ( x, y ) siguientes:
y = U x.
y = Ρx.
y = x U {x}.
y = x I a.
donde a es un conjunto fijo, etc.
AXIOMA 1.2.9. AXIOMA DE REEMPLAZO.
“Si ϕ ( x, y ) es una función proposicional y A es un conjunto, entonces existe el conjunto de
los elementos b que verifican ϕ ( x, y ) para algún a ∈ A". Expresado en L, tenemos
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Introducción a la Teoría PCF
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∀X∃Y ∀y ( y ∈ Y ↔ ∃x( x ∈ X ∧ ϕ ( x, y )))
La idea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una función f cuyo dominio es
A, f [A] = { f ( x ) : x ∈ A} , es también un conjunto. El problema se suscita cuando vemos
que en nuestra teoría la “función" x a Ρx no es un objeto de la misma, es decir, no es un
conjunto, sino que corresponde a lo que llamamos una clase propia. Nuestro lenguaje nos
permite referirnos a dichos objetos mediante la fórmula que los define. Así, ϕ ( x, y ) no es
una función dentro de nuestra teoría sino más bien una regla que nos permite asociar a cada
elemento de un conjunto A un único elemento. El problema aquí es que el dominio de esta
función es la clase de todos los conjuntos que, como ya vimos, no es un conjunto. Sin
embargo, cuando restringimos dicho “dominio" a un conjunto A, el Axioma 9 garantiza que
existe el recorrido de la función.
Deberíamos ahora definir el concepto matemático que da origen al problema del continuo:
la Función.
1.3. FUNCIONES.
Siendo uno de los conceptos mas importantes de la matemática, la función puede ser
definida intuitivamente como la regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único
elemento de otro conjunto, no necesariamente distinto.
Pero de manera mas formal, deberíamos definir
29
Introducción a la Teoría PCF
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DEFINICIÓN 1.3.1. Una relación2 F es una función si y solo si
∀x∀y∀z (( x, y ) ∈ F ∧ ( x, z ) ∈ F → y = z )
DEFINICIÓN 1.3.2.
i) Si F es una función, Dom F = a, y Re c F ⊆ b decimos que F es una función de a
en b, y escribimos
F :a ab
x a f (x )
ii) F es una función inyectiva o uno a uno si
∀x∀y (F ( x ) = F ( y ) → x = y )
iii) Una función F de a en b se dice sobreyectiva si
∀y ( y ∈ b → ∃x( x ∈ a ∧ y = F ( x )))
El interés fundamental de este capitulo es poner algunos elementos centrales que ayuden a
la comprensión del problema del continuo y sobretodo de la propuesta de la teoría de
posibles cofinalidades.
En ese objetivo, es necesario presentar a continuación una definición que si bien podría
hacer parte de otra sección del trabajo, nos ayudara a comprender mejor la sección
inmediatamente siguiente, antes de entrar en el concepto de cardinalidad.
Cantor propone una noción referente a la potencia de los conjuntos. Podemos decir según
esto, que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos si existe una función de
correspondencia 1-1 entre ellos. Esta situación se denomina equipotencia.
2
Debemos asumir aquí las definiciones regulares de relaciones como puede ser la del conjunto formado por
pares ordenados. Asumimos así mismo las definiciones usuales de producto cartesiano y par ordenado. En ese
sentido, las definiciones de Dominio, Recorrido, Función Inversa, Imagen, etc., deben ser tomadas de la
misma manera que en las relaciones.
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Introducción a la Teoría PCF
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Definición 1.3.3.
i) A ≈ B bajo f, si y solo si f es una función 1-1 cuyo dominio es A y cuyo recorrido
es B.
ii) A ≈ B , si y solo si existe una función f tal que A ≈ B bajo f.
En este caso, el símbolo ≈ representa equipotencia, y se utilizara así en adelante.
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Introducción a la Teoría PCF
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Introducción a la Teoría PCF
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CAPITULO 2. NÚMEROS ORDINALES
Como se introdujo en la sección inicial, el problema del continuo se refiere en primera
instancia al cardinal de los números naturales. La noción de cardinalidad, aunque ya ha sido
de cierta manera introducida intuitivamente, posteriormente será clarificada y formalizada,
lo que nos deja frente a la necesidad de formalizar los conceptos relacionados con los
números naturales.
2.1. LOS NÚMEROS NATURALES.
Dentro de la formalización de los números naturales de nuestra teoría axiomática ZF, es
necesario recurrir a una definición inicial.
DEFINICIÓN 2.1.1. El sucesor de un conjunto x es el conjunto Sx = x ∪ {x} . Debemos
observar además, que su x es un conjunto, Sx también lo es. Esto es por Axioma 1.2.1. y
Axioma de Uniones.
33
Introducción a la Teoría PCF
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DEFINICIÓN 2.1.2.
0=∅
1 = S 0 = {∅}
2 = S1 = {∅, {∅}}
3 = S 2 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
.
.
.
Cada uno de estos conjuntos es un número natural.
En general, podríamos decir que
Sn = {0,1,2,..., n}
todo número natural está formado por los naturales que lo preceden, exceptuando el 0, que
no posee elementos. De aquí, la definición de número natural, como la clase de todos los
conjuntos que poseen tal cantidad de elementos.
La pregunta que cabría ahora, ¿existe un conjunto que contenga a todos y solamente a los
números naturales?. Esta respuesta no es obvia. El conjunto de los números naturales se
construye de la siguiente manera.
DEFINICIÓN 2.1.3. Decimos que X es inductivo si
i) 0 ∈ X .
ii) Si x ∈ X , entonces Sx ∈ X .
Gracias al Axioma de Infinito, sabemos que existe al menos un conjunto inductivo.
Denominémoslo I.
34
Introducción a la Teoría PCF
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DEFINICIÓN 2.1.4. El conjunto ω de los números naturales se define como sigue:
ω = I{x ∈ PI : x es inductivo}
Debemos observar que ω es inductivo, y que si X es inductivo, ω ⊆ X , de lo cual, ω es el
mas pequeño de los conjuntos inductivos.
Debe quedar claro que ningún otro conjunto que no sea un número natural pertenece a ω .
Para que esto sea mas evidente, demostremos el siguiente teorema, denominado principio
de inducción. Este principio puede enunciarse bien a través de formulas o bien a través de
relaciones. Por su simplicidad enunciaremos el principio a través de relaciones.
TEOREMA 2.1.1. Sea B un conjunto tal que. (Principio de Inducción)
i) 0 ∈ B.
ii) Para todo n, si n ∈ B , entonces Sn ∈ B.
Entonces ω ⊆ B.
DEMOSTRACIÓN. Sea
B = {x ∈ ω : x = 0 ó x es el sucesor de un número natural}
como, es claro que, B es inductivo, tenemos que ω ⊆ B ⊆ ω ∴.
Nótese que
0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ ... y támbien que 0 ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ 3 ⊆ ...
35
Introducción a la Teoría PCF
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L o que nos podría dar una noción de orden apropiado para los números naturales. Pero las
cosas son al revés, los naturales se definen así para que la relación de pertenencia posea
buenas propiedades de orden.
DEFINICIÓN 2.1.5. La relación ≤ se define en ω por:
m≤n
m∈n
si y solo si
ó
m=n
Diremos que m es menor o igual que n. También debemos usar el símbolo < para denotar
m<n
si y solo si
m≤n y m≠n
Podemos decir de otra manera, que m<n si y solo si m ∈ n.
Dentro de los objetivos de este trabajo, es necesario demostrar que esta relación es de orden
lineal, y mas aun, que se trata de un buen orden, para ello es lo siguiente.
LEMA 2.1.1. Para todo n, m ∈ ω ,
i) 0 ≤ n.
ii) Si x ∈ n, entonces x ∈ ω .
iii) m < Sn si y solo si m ≤ n.
iv) Si n < m, entonces Sn ≤ m.
DEMOSTRACIÓN.
i) Por inducción con ϕ (x ) = 0 ≤ x.
- ϕ (0 ) se verifica.
- Supongamos ahora que se verifica ϕ ( x ).
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Introducción a la Teoría PCF
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Es
decir,
0 ≤ x, es
decir
0 ∈ n ó 0 = n.
En
cualquier
caso
0 ∈ n ∪ {n} = Sn, o sea ϕ (Sn ) se verifica. Luego, en virtud del principio de
inducción, para todo n ∈ ω , 0 ≤ n.
ii) Por inducción sobre n. Sea
ϕ ( x ) = ∀y ( y < x → y ∈ ω )
- ϕ (0 ) se verifica trivialmente.
- Supongamos ϕ (m ) y sea y ∈ Sm . Entonces y ∈ m ó y = m .
Si y ∈ m , entonces por hipótesis de inducción, y ∈ ω .
Si y = m, entonces y ∈ ω . En cualquier caso y ∈ ω .
Luego por principio de inducción, todo n ∈ ω verifica ϕ ( x ) .
iii) m < Sn
si y solo si
m ∈ Sn = n ∪ {n}
si y solo si
m ≤ n.
iv) Por inducción sobre m. Consideramos
ϕ ( x ) = ∀y ( y < x → Sy ≤ x )
- ϕ (0 ) se verifica trivialmente.
- Supongamos ϕ (m ) , o sea, ∀y ( y < m → Sy ≤ m ) . Supongamos que y < Sm ,
entonces, y ∈ m ó y = m .
Si y ∈ m , por hipótesis de inducción, Sy ≤ m y luego Sy ≤ Sm .
Si y = m, entonces Sy = Sm . En cualquier caso, si
Sy ≤ Sm , es decir, ϕ (Sm ) se verifica.
Luego por principio de inducción, para todo m ∈ ω verifica ϕ (m ) .∴
TEOREMA 2.1.2. ≤ es un orden total sobre ω .
37
y < Sm , entonces,
Introducción a la Teoría PCF
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DEMOSTRACIÓN.
i). ≤ es obviamente reflexiva.
ii). ≤ es antisimétrica. En efecto, supongamos que m ≤ n y n ≤ m , pero m ≠ n .
Entonces m ∈ n y n ∈ m . Esto contradice el teorema 1.2.3.
iii). ≤ es transitiva. Supongamos que k ≤ m y m ≤ n . Demostraremos que k ≤ n
por inducción sobre n. Para ello sea
ϕ ( x ) = ∀y ∀z (( z ≤ y ∧ y ≤ x ) → z ≤ x )
- ϕ (0 ) se verifica puesto que si k ≤ m y m ≤ 0 , m = 0 luego k ≤ 0 .
- Si ϕ (n ) se verifica, consideremos k ≤ m y m ≤ Sn . Entonces
m < Sn
ó
m = Sn.
Si m < Sn , entonces por el lema 2.1. iii), m ≤ n y por hipótesis de inducción
k ≤ n . Es decir k ∈ n ó k = n. En cualquier caso k ∈ Sn , o sea, k ≤ Sn .
Si m = Sn, como k ∈ m ó k = m, tenemos k ∈ Sn
ó k = Sn, es decir,
k ≤ Sn .
Esto completa la inducción, por lo que todo número natural n verifica ϕ (n ) , o
sea, ≤ es transitiva.
iv). ≤ es un orden total. Sean m y n dos números naturales. Demostraremos por
inducción n que m < n ó m = n ó n < m. Para ello sea
ϕ ( x ) = ∀y ( y < x ∨ y = x ∨ x < y )
- ϕ (0 ) se verifica por el lema 2.1. i).
- Supongamos que ϕ (n ) se verifica. Entonces para todo m, m < n ó m = n ó n
< m.
Si m < n ó m = n, entonces m ∈ Sn , luego m < Sn.
Si n < m, entonces Sn ≤ m por el lema 2.1.1. iv).
Luego, por principio de inducción, ≤ es un orden total sobre ω .
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Introducción a la Teoría PCF
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A través de un planteamiento del principio de inducción denominado principio de
inducción completa, es posible demostrar que ≤ es un buen orden. Pero en nuestra
presentación es necesario utilizar el axioma de elección y el principio de buen
ordenamiento, a partir de los cuales podremos decir que cualquier conjunto infinito puede
ser bien ordenado, por lo que a partir de que los números naturales es un conjunto inductivo
infinito, podemos decir que puede ser bien ordenado. Pasaremos de esta manera a los
conceptos fundamentales de ordinales, dejando a su tiempo la presentación del axioma de
elección y el principio de buen ordenamiento.
2.2. LOS NÚMEROS ORDINALES
Los ordinales son conjuntos asociados con buenos ordenes, de hecho, son los ejemplos
típicos de estos últimos en el sentido que todo buen orden es isomorfo a algún ordinal.
DEFINICIÓN. 2.2.1.
i). a es ∈ − transitivo si
∀x∀y (( x ∈ y ∧ y ∈ a ) → x ∈ a )
ii). a es un ordinal si a es ∈ − transitivo y todo elemento de a es ∈ − transitivo . Si
x es un ordinal escribiremos Ord ( x ) . Obsérvese que Ord ( x ) es una fórmula de
nuestro lenguaje en la que x aparece libre.
Notación: usaremos las letras griegas minúsculas para denotar ordinales.
Pero hasta el momento no hemos demostrado que los ordinales existan, o que haya un
conjunto que se les equipare. Observemos el siguiente desarrollo tratando de analizar este
problema.
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Introducción a la Teoría PCF
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TEOREMA 2.2.1.
i). 0 es un ordinal.
ii). Ord ( x ) → Ord (Sx ) .
iii). ∀x( x ∈ ω → Ord ( x )) .
iv). Ord (ω ) .
DEMOSTRACIÓN.
i). Ord (0) trivialmente ya que 0 = ∅ .
ii). Supongamos que x es ordinal. Entonces x es ∈ − transitivo y todo elemento de x
es ∈ − transitivo . Como Sx = x ∪ {x} , todo elemento de Sx es ∈ − transitivo .
iii). Consideramos la fórmula ϕ ( x ) = Ord ( x ) . Por i) y ii) y por principio de
inducción, todo número natural es un ordinal.
iv). El lema 2.1.1. ii) demuestra que ω es ∈ − transitivo . Si n ∈ ω iii) nos
demuestra que n es ∈ − transitivo . Luego Ord (ω ) .
Podemos pensar en conjuntos como
{{0}}
y darnos cuenta fácilmente que no es
∈ − transitivo , lo que nos dice que no todo conjunto es un cardinal, lo mismo que, por
ejemplo, ningún par ordenado a, b es un ordinal.
TEOREMA 2.2.2. Si C es un conjunto de ordinales, entonces U C también es un ordinal.
DEMOSTRACIÓN. Supongamos x ∈ y ∈ UC . Entonces existe α ∈ C tal que y ∈ α . Como
x ∈ y ∈ α y este último es ∈ − transitivo , x ∈ a y por lo tanto x ∈ UC , es decir, U C es
∈ − transitivo .
Sea x ∈ UC . Entonces existe α ∈ C tal que x ∈ α , entonces, x también es ∈ − transitivo .
Por lo tanto U C es un ordinal.∴
40
Introducción a la Teoría PCF
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Aunque se podrían trabajar muchas mas propiedades de los números ordinales, es preciso
llegar al tema central de esta presentación, por lo que avanzaremos hacia las definiciones
principales.
DEFINICIÓN 2.2.2. Sea α un ordinal. Definimos la relación ≤ en α como sigue. Para
x, y ∈ α
x≤ y
si y solo si
x∈ y ∨ x = y
El siguiente teorema resume algunas de las propiedades de este orden.
TEOREMA 2.2.3. Sea α un ordinal
i). ≤ es un buen orden en α .
ii). Si A ⊆ α y A ≠ ∅ , entonces I A es el menor elemento de A.
iii). 0 es el menor elemento de α .
iv) β < Sα si y solo si β ≤ α .
v). α = {β ∈ α : β < α } .
vi). No existe un ordinal β tal que α < β < Sα .
vii). α ≤ β si y solo si α ⊆ β .
viii). Si A ⊆ α , entonces U A es el supremo de A.
ix). α < β si y solo si Sα ≤ β .
x). Sα = Sβ si y solo si α = β .
xi). Sα < Sβ si y solo si α < β .
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Introducción a la Teoría PCF
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DEMOSTRACIÓN.
i) ≤ es obviamente reflexiva. Es antisimétrica por el teorema 1.2.3. Es transitiva por la
∈ − transitividad de α . Es decir, ≤ es un orden. Además podemos decir que se trata de un
orden total3.
Para ver que ≤ es un buen orden, consideremos un subconjunto no vacío A ⊆ α .
Por una de los teoremas de números ordinales, tenemos que I A ∈ A . Supongamos
x ∈ A ∩ (I A) . Entonces para todo x ∈ A, x ∈ α , en particular x ∈ x , lo que es una
contradicción. Luego A ∩ (I A) = ∅ , o sea, ≤ es un buen orden4.
ii). Quedó demostrado en i) que I A es el menor elemento de A.
iii), iv) y v) son obvio por las demostraciones hechas hasta ahora.
vi). Supongamos que existe β tal que α < β < Sα , o lo que es lo mismo,
α ∈ β ∈ Sa . Si suponemos que x ∈ U Sα , entonces x ∈ y para algún y ∈ Sα .
Luego, y ∈ α ó y = α ; en cualquier caso x ∈ α . Entonces x ∈ α ∈ Sα , por lo
tanto x x ∈ U Sα . Lo que demuestra que α = U Sα . Ahora, si decimos que
α ∈ β ∈ Sα , decimos que α ∈ U Sα = α , lo que es una contradicción.
vii). Existe un teorema que nos dice que α ∈ β si y solo si α ⊂ β , del cual es
consecuencia inmediata la propiedad vii).
viii). Supongamos A ⊆ α , entonces U A es un ordinal y para x ∈ A es claro que
x ⊆ U A , o sea, por vii), x ≤ U A , es decir, U A es cota superior.
Sea β otra cota superior de A. Entonces para todo x ∈ U A , como x ∈α ∈ U A , y β
es otra cota superior de A, x ≤ α ≤ β , es decir, x ∈ β , o sea, U A ⊆ β , por lo tanto
U A es la menor de las cotas superiores de A.
ix). Si α ∈ β , entonces por ∈ −transitividad Sα ⊆ β , o sea, Sα ≤ β . Si Sα ≤ β ,
como α < Sα , α < β por ∈ − transitividad de <.
3
Existe un teorema que dice que para cualquier par de ordinales
α, β
se tiene que
α ∈ β ó α = β ó β ∈ α , y lo que es mas, solo una de estas posibilidades se verifica. La demostración
de este teorema es algo extensa, por lo que se omite en esta presentación.
Podemos definir el buen orden como que todo subconjunto no vacío del conjunto objetivo tiene elemento
menor, que es lo que busca la demostración.
4
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Introducción a la Teoría PCF
_________________________________
x). Supongamos Sα = Sβ
y α ≠ β . Entonces como α ∈ Sα = Sβ , α ∈ Sβ .
Pero entonces α ∈ β . Análogamente β ∈ α , lo cual es imposible con la hipótesis
propuesta, por lo que concluimos que α = β .
xi). α < β si y solo si Sα ≤ β
si y solo si Sα < Sβ , por ix). y iv).
respectivamente.∴
De esta manera concluimos nuestra presentación de los números ordinales. La aritmética, lo
mismo que los problemas relacionados con la jerarquía acumulativa de los conjuntos son
aspectos muy importantes de la teoría de conjuntos, pero no lo suficientemente pertinentes
para la introducción a la teoría PCF.
2.3. AXIOMA DE ELECCIÓN
DEFINICIÓN 2.3.1. La función f : x → V es una función de elección sobre x si
∀( y ∈ x )( y ≠ ∅ → f ( y ) ∈ y ) .
AXIOMA 2.3.1. AXIOMA
DE
ELECCIÓN. Para cada conjunto x, existe una función de
elección sobre x.
Observemos que si definimos el axioma de elección como: “Si A es un conjunto de
conjuntos no vacíos, entonces existe una función F cuyo dominio es A y tal que para todo
x ∈ A, Fx ∈ x. ”, podemos tener que
F : A → UA
x a Fx ∈ x
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Introducción a la Teoría PCF
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La existencia de una función de elección implica elegir simultáneamente un elemento de
cada conjunto que pertenece a A. Esto no representa ningún problema si A es finito, sin
embargo si A es infinito, no es en absoluto intuitivo que se pueda hacer. Nótese también
que el axioma no da ninguna idea de cómo se puede construir la función.
Este axioma es equivalente con el teorema del buen orden, según el cual, todo conjunto
puede ser bien ordenado.
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Introducción a la Teoría PCF
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Introducción a la Teoría PCF
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CAPITULO 3. LOS NÚMEROS CARDINALES
3.1 NÚMEROS CARDINALES
Uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos, es el de la cardinalidad de un
conjunto, o lo que es equivalente, del numero de elementos del mismo. En este capitulo
clarificaremos los conceptos fundamentales relacionados con este, y debemos notar que
muchos de ellos dependen del axioma de elección. Por esto, en este capitulo se mostrara la
relevancia de la ordinalidad y del axioma de elección, lo mismo que la pertinencia o no de
los conceptos presentados y los que no lo fueron.
DEFINICIÓN 3.1.1.
i). Reescribiendo la definición 1.3.3., podemos decir que, dos conjunto A y B son
equipotentes si y solo si existe una biyección entre A y B. en tal caso escribiremos
A ≈ B.
ii). Un ordinal α es un cardinal si y solo si no es equipotente con ninguno de sus
elementos.
46
Introducción a la Teoría PCF
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Si α es un cardinal escribimos Car (α ) . En general usaremos letras góticas minúsculas m, n,
p, ..., para designar números cardinales.
Por otro lado, la definición de Frege-Russell de números cardinales es bella en su
simplicidad. El numero cardinal A del conjunto A es la clase de todos los conjuntos
equipotentes con A, esto es
A = {B : B ≈ A} .
Cantor uso la doble barra para indicar dos niveles de abstracción. La primera barra significa
que se abstrae de la naturaleza particular de los elementos del conjunto; la segunda barra,
que se abstrae de su orden. Podemos, como ejemplo, definir los cardinales finitos cero, uno
y dos.
0 f = {0},
o sea que 0 f es el conjunto de todos los conjuntos que no tienen elementos;
1 f = {A : ∃x( x ∈ A ∧ ∀y ( y ∈ A → x = y ))},
esto es, 1 f es el conjunto de todos los conjuntos unitarios; una definición equivalente,
usando la relación de equipotencia, es:
1 f = {A : A ≈ {0}}.
Procedemos en forma similar para definir:
2 f = {A : A ≈ {0, {0}}}
El problema surge cuando, asumiendo esta definición, tratamos de encontrar clases de
equivalencia para conjuntos infinitos. Como no se pueden encontrar tales clases apropiadas,
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Introducción a la Teoría PCF
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el camino sugerido es suponer el axioma de elección y escoger un representante de cada
una de las “clases de equivalencia”, a saber, el menor ordinal perteneciente a ella.
Procedemos así.
TEOREMA 3.1.1. Si m ≠ n , entonces m y n no son equipotentes.
DEMOSTRACIÓN. Como m y n son ordinales distintos, entonces m ∈ n
ó
n ∈ m , luego m y
n no son equipotentes por definición 3.1.1. ii).∴
TEOREMA 3.1.2. Para todo conjunto A existe un único cardinal n tal que A y n son
equipotentes.
DEMOSTRACIÓN. Por el principio de enumeración existe un cardinal α tal que A es
equipotente con α . Sea:
m = I{β ∈ Sα : A ≈ B}
o sea, m es el menor elemento del conjunto no vacío {β ∈ Sα : A ≈ B} . Es claro entonces
que A ≈ m .
Por ultimo, si existiera B ∈ m tal que B ≈ m , tendríamos que B ≈ A , luego m no es el
menor elemento del conjunto anterior, lo cual es una contradicción. Por lo tanto m es un
cardinal.
Queda claro que m no depende del ordinal α usado en la definición. ∴
DEFINICIÓN 3.1.2. La cardinalidad A de un conjunto A es el único cardinal m tal que
A ≈ m . Decimos también que m es el cardinal de A.
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Introducción a la Teoría PCF
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TEOREMA 3.1.3. Si A, B son conjuntos y α es un ordinal
i). A ≈ B si y solo si A = B .
ii). A ≈ A .
iii). α ≤ α .
iv). Si α ≈ A , entonces A ≤ α .
v). α es un cardinal si y solo si α = α .
vi). Si ω ≤ α , entonces α + 1 = α .
DEMOSTRACIÓN. Los numerales del i). al v). son solo formalizaciones de definiciones y
teoremas anteriores.
vi). Si ω ≤ α , entonces α = ω + γ . Definimos f : α + 1 → α como sigue
f (x )
0

= x + 1
x

si x = α
si x ∈ ω
si x ∉ ω , x ≠ α
Es claro que se trata de una biyección. ∴
El siguiente teorema es el resultado mas importante de la cardinalidad que no utiliza el
axioma de elección.
TEOREMA 3.1.4. CANTOR – SCHROEDER – BERNSTEIN. Si A y B son conjuntos tales que
existen funciones inyectivas f : A → B y g : B → A entonces A = B .
Podemos ahora hacer una presentación breve de ciertos teoremas relacionados con el
axioma de elección, y que nos sirven de introducción a los conjuntos finitos e infinitos, lo
mismo que a la presentación del problema del continuo.
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Introducción a la Teoría PCF
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TEOREMA 3.1.5. Las siguientes tres condiciones son equivalentes.
i). A ≤ B .
ii). Hay una función inyectiva f : A → B .
iii). A = ∅ o hay una función sobreyectiva g : B → A .
DEMOSTRACIÓN.
i). ⇒ ii). Sean f : A → A , g : B → B biyecciones, entonces g o f : A → B es
inyectiva.
ii). ⇒ iii). Sea A ≠ ∅ , a ∈ A y f : A → B inyectiva. Definimos g : B → A
como sigue.
 f −1 ( x ),
g (x ) = 
a ,
si x ∈ f * A,
si no
entonces g es sobreyectiva.
iii). ⇒ i). Supongamos A ≠ 0 y sea g : B → A sobreyectiva. Entonces g −1* A
{
}
induce una partición de B, a saber, g −1* {a} : a ∈ A . Por el axioma de elección,
escogemos un sistema de representaciones para esta partición. Definimos
f : A → B asignando a x ∈ A el representante de g −1* {x} anteriormente elegido. Es
claro que f es inyectiva, luego, A ≈ f * A y f * A ⊆ B , luego A = f * A ≤ B . ∴
Todavía no hemos dado ningún ejemplo de cardinal. Los siguientes teoremas darán
solución a ello.
TEOREMA 3.1.6. Si n ∈ ω , entonces n es un cardinal.
DEMOSTRACIÓN. Es claro que 0 es un cardinal. Supongamos que n es un cardinal y n + 1
no lo es. Entonces existe m < n + 1 tal que m ≈ n + 1 , es claro que m ≠ 0 . Sea
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Introducción a la Teoría PCF
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f : n + 1 → m una biyección. Podemos suponer que f(n)=m-1, porque si no, mediante una
permutación apropiada lo podemos lograr. Entonces f n : n → m − 1 es una biyección,
luego, por hipótesis de inducción, m – 1 = n, o sea, m = n + 1, lo que es una contradicción.
Por lo tanto n + 1 es un cardinal, lo que completa la inducción. ∴
TEOREMA 3.1.7. ω es un cardinal.
DEMOSTRACIÓN. Sabemos por teorema 3.1.3. iii). que ω ≤ ω . Si ω <ω , ω =m para
algún natural m. Pero m ⊆ m + 1 ⊆ ω , luego
ω = m = m ≤ m +1 = m +1 ≤ ω
así, m = m + 1, lo cual es una contradicción.
Luego ω = ω .∴
TEOREMA 3.1.8. CANTOR. Para todo A, A < PA .
DEMOSTRACIÓN. Es claro que A ≤ PA ya que la asignación a a {a} define una función
inyectiva de A en PA. Supongamos que existe una función sobreyectiva f : A → PA y sea
B = {x ∈ A : x ∉ f ( x )}.
Como B ⊆ A y f es sobreyectiva, existe a ∈ A tal que B = f (a ) . Entonces si a ∈ B , por
definición a ∉ f (a ) , luego a ∉ B . Si a ∉ B , entonces a ∉ f (a ) , o sea, a ∈ B , es decir,
a ∈ B si y solo si a ∉ B ,
lo que es una contradicción, luego tal función sobreyectiva no puede existir y A ≠ PA .∴
COROLARIO 3.1.1. Dado un ordinal α , existe un cardinal m > α .
DEMOSTRACIÓN. Basta considerar m = Pα .
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Introducción a la Teoría PCF
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3.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS.
Estudiaremos en esta sección, apenas algunas nociones fundamentales acerca de los
conjuntos finitos e infinitos.
Definición 3.2.1. Para todo ordinal α , α + es el menor cardinal mayor que α .
Definimos la operación ℵ(aleph ) recursivamente para todo ordinal.
ℵ0 = ω
ℵα +1 = (ℵα )
+
ℵλ =
Uℵ ,
α
si λ es límite.
α ≤λ
DEFINICIÓN 3.2.2.
i). Un conjunto A es finito si A < ℵ0 .
ii). A es infinito si A ≥ ℵ0 .
iii). A es enumerable si A = ℵ0 .
TEOREMA 3.2.1. Si A es finito y B ⊂ A , entonces B < A .
Aunque son varios los teoremas que podríamos demostrar a partir de esta definición, es
importante acercarnos a una de las definiciones mas importantes de infinito: se puede
definir conjunto infinito como un conjunto que es equipotente con uno de sus subconjuntos
propios. Un conjunto que satisface esta propiedad se dice Dedekind-infinito.
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Introducción a la Teoría PCF
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TEOREMA 3.2.2. Un conjunto A es infinito si y solo si A es equipotente con uno de sus
subconjuntos propios.
DEMOSTRACIÓN.
⇐). Por el teorema 3.2.1.
⇒).
Como A es infinito, A ≥ ℵ0 = ω , luego, existe una función inyectiva
f : ω → A . Definamos
h : A → A − { f (0 )} como sigue
h( x )
(
)
 f f −1 (x ) + 1 si x ∈ f *ω ,
=
 x
si x ∉ f *ω
Es claro que h es biyectiva. ∴
3.3. ARITMÉTICA CARDINAL.
Se trata ahora de definir la suma, producto y exponenciación cardinales, para acercarnos
finalmente al problema del continuo y los aspectos centrales de la teoría PCF.
El interés didáctico de esta presentación no cubre la extensión y complejidad de las
demostraciones acerca de la aritmética cardinal, por lo que haremos una presentación de los
teoremas centrales de la misma, para llegar al problema de la exponenciación cardinal mas
rápidamente.
LEMA 3.3.1. Si x ≈ x´, y ≈ y´, x ∩ y = ∅, x´∩ y´= ∅ , entonces x ∪ y ≈ x´∪ y´ .
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Introducción a la Teoría PCF
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DEFINICIÓN 3.3.1. CANTOR (1887). La suma de los cardinales a y b se define por
a + b = c ↔ ∃x∃y ( x = a ∧ y = b ∧ x ∩ y = ∅ ∧ x ∪ y = c ) .
Nota La suma de cardinales está bien definida.
PROPOSICIÓN 3.3.1.
1. La suma de cardinales es asociativa y conmutativa.
2. a + 0 = 0 + a = a.
3. b ≤ a ↔ ∃c (a = b + c ) .
4. a ≤ a´∧ b ≤ b´→ a + b ≤ a´+ b´ .
PROPOSICIÓN 3.3.2.
1. ∀n ∈ ω (ℵ0 + n = ℵ0 ) .
2. a ≥ ℵ0 → a + n = a .
3. ℵα + n = ℵα .
4. a + 1 = a ↔ ℵ0 ≤ a .
LEMA 3.3.2. Si x ≈ x´ e y ≈ y´ , entonces x * y ≈ x´*y´.
DEFINICIÓN 3.3.2. CANTOR (1887). El producto de los cardinales a y b se define por
a b = c ↔ ∃x∃y ( x = a ∧ y = b ∧ x * y = c )
Nota. El producto de cardianles está bien definido.
PROPOSICIÓN 3.3.3.
1. El producto de cardinales es asociativo y conmutativo.
2. a0 = 0a =0.
3. a1=a.
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Introducción a la Teoría PCF
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4. Distributiva: a ( b + c ) = ab + ac.
5. a ≤ a´∧b ≤ b´→ ab ≤ a´b´ .
LEMA 3.3.3. Si x ≈ x´ e y ≈ y´ , entonces x y ≈ x´y´ .
DEFINICIÓN 3.3.3. CANTOR (1895). La exponenciación de los cardinales a y b se define por
(
a b = c ↔ ∃x∃y x = a ∧ y = b ∧ x y = c
)
Nota. La exponenciación cardinal está bien definida.
PROPOSICIÓN 3.3.4.
( )
1. a b
c
= a bc .
2. (ab ) = a cb c .
c
3. a b + c = a b a c .
4. 00 = 1. Si a ≠ 0 entonces 0a = 0 .
5. a1 = a ∧ 1a = 1 .
6. a ≤ c ∧ b ≤ d → a b ≤ c d .
3.4. ARITMÉTICA CARDINAL INFINITA
DEFINICIÓN 3.4.1. La relación R definida sobre la clase Ord x Ord por:
max (α , β ) < max (α´, β ´) ó
(α , β )R(α´, β ´) ↔ max(α , β ) = max(α´, β ´) ∧ α < α´ ó
max (α , β ) = max (α´, β ´) ∧ α = α´∧ β < β ´

se llama el orden canónico de Ord x Ord.
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PROPOSICIÓN 3.4.1.
1. ℵαℵα = ℵα .
2. ℵαℵβ = max (ℵα ,ℵβ ) .
3. ℵα + ℵβ = max (ℵα ,ℵβ ).
COROLARIO 3.4.1.
1. Si n ≠ 0, entonces nℵα = ℵα .
2. ℵα ≤ ab → ℵα ≤ a ∨ ℵα ≤ b .
PROPOSICIÓN 3.4.2.
1. β ≤ α → ℵβ
ℵα
= 2ℵα .
2. 2 ≤ n → nℵα = 2ℵα .
n
3. n > 0 → ℵα = ℵα .
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Introducción a la Teoría PCF
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CAPITULO 4. EL PROBLEMA DE LOS CARDINALES SINGULARES
4.1. LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO
En la matemática son muy conocidos dos tipos de conjuntos de infinitos: aquellos que
podemos equiparar a la cantidad de números naturales Ν , también denominados
enumerables, y aquellos que son equiparados a la cantidad de números reales ℜ , o a la
cantidad de puntos de la recta real, lo que significa que tienen cardinalidad (clase que
representan, o cantidad que contienen) c.
De esta manera, Cantor a través de su mayor aporte a la teoría de conjuntos (TC en
adelante), la función biyectiva que establece si dos conjuntos tienen la misma cantidad de
elementos o si no, y en caso tal si son mas o menos, estableció que el cardinal de ℜ es
estrictamente mayor que el de N, e incluso igual al de P(N), pero genero una pregunta
fundamental: ¿Qué tan estrictamente mayor es c de
ℵ
0
(forma estándar de denominar el
cardinal de los números naturales y que además se lee como “aleph sub cero”)? Existe un
conjunto de cardinales que sean mayores que ℵ0 y menores que c, o acaso c es el sucesor
estricto de ℵ0 ?
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Cantor de esta manera planteo la HC como la hipótesis según la cual, el sucesor estricto de
ℵ
0
es c, y por sucesor estricto entendemos nosotros aquel sucesor que no admite la
existencia de ningún otro sucesor anterior a él.
Dentro de la matemática, este problema fue históricamente presentado por Hilbert hacia el
año 1900, como uno de los problemas fundamentales que esta ciencia debería resolver
durante el siglo que para él se avecinaba.
A respecto apunta José Alfredo Amor: “El hecho de que fracasaran todos los intentos por
resolver el problema no fue accidental; los trabajos de Kurt Gödel (1939) y P.J. Cohen
(1963) al respecto, mostraron que la afirmación de que no hay un conjunto cardinal
intermedio no contradice a la teoría de conjuntos, es decir, es consistente con ella, pero
tampoco se puede deducir de ella; es decir, su negación también es consistente con ella. Si
dicho enunciado no contradice a la teoría de conjuntos, entonces su negación no se deduce
de la teoría por lo que ninguna de las dos afirmaciones de que si haya o de que no haya un
conjunto cardinal intermedio, se deduce de la Teoría de Conjuntos TC, es decir son
indecidibles de la TC”
Para Gödel, la TC estándar, es decir, aquella que funciona bajo los axiomas de Zermelo
Fraenkel unidos al axioma de elección (Choise Axiom) ZFC, representa de modo
incompleto la realidad matemática, de lo que se deduce que añadiendo nuevos axiomas será
posible resolver el problema del continuo.
Cuando pensamos en la formulación de la HC por parte de Cantor debemos tener en cuenta
que ella se formula antes que su presentación cumbre de números transfinitos. Es decir,
hasta el momento especifico de la formulación de la HC, los únicos cardinales infinitos con
los que trabajaba el autor eran ℵ0 y c, por lo que es natural que su hipótesis plantee que el
siguiente cardinal infinito a ℵ0 sea c.
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Introducción a la Teoría PCF
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Pero en la formulación de los números transfinitos, en la que podemos tener una
construcción de la forma:
ℵ ,ℵ ,ℵ ,ℵ ,...
0
1
2
3
ℵ = Ν , es el cardinal de la primera clase numérica, la de los números finitos.
El siguiente cardinal es ℵ , que es el cardinal de la segunda clase numérica, la de los
enumerables. Luego, ℵ es el cardinal de la tercera clase numérica, la de los cardinales
ℵ.
En la que
0
1
2
1
En esta construcción, podemos hacer nuestros primeros acercamientos a la aritmética
cardinal:
Sabemos que ℜ , el cardinal de ℜ cumple que ℜ > ℵ0 , por lo tanto se cumpla también que
ℜ ≥ ℵ1 . Además, la aritmética cardinal nos dice que:
A. ℵ0 = ℵ0 + 1 = ... = ℵ0 + n = ... = ℵ0 + ℵ0 = 2 ⋅ℵ0 = ... = n ⋅ℵ0 = ... = ℵ0 ⋅ℵ0 = ... =
ℵ = ... = ℵ = ... < ℵ .
ℵ
ℵ
B. ℵ < c = 2ℵ = 3ℵ = ... = nℵ = ... = ℵ0 = ℵ1 .
2
n
0
0
1
0
0
0
0
0
0
ℵ
ℵ
ℵ
C. ℵ1 < 2ℵ1 = 3ℵ1 = ... = nℵ1 = ... = ℵ0 1 = ℵ1 1 = ℵ2 1 .
Pero paradójicamente no podemos concluir, a partir de A. B. y C. Que
2ℵ = ℵ .
0
1
Así, cuando pensamos en las posibles vías de explicación de esta situación tenemos que
encontrarnos con dos conceptos claves.
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Introducción a la Teoría PCF
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Primero, que existe un conjunto de números infinitos, el que se denomina transfinito, y y
que de él debe poder construirse un sistema numérico. Los números transfinitos se
definirán, como se explicara mas adelante, como el conjunto de las cardinalidades infinitas,
es decir, aquellas que no son equiparables con ningún entero positivo.
Segundo, que la aritmética cardinal es trivial en las operaciones finitas de suma y
multiplicación, pero en el caso de la exponenciación cardinal lo mismo que problemas de
definición, se presentan posibles vías de solución a la hipótesis del continuo.
La explicación de tales conceptos a la luz de una teoría especifica, la teoría de posibles
cofinalidades o PCF, es la intención del presente capitulo.
4.2. CARDINALES REGULARES Y SINGULARES
4.2.1.Cofinalidad
DEFINICIÓN. 4.2.1.1. Diremos que x ⊆ α
1.
Está acotado en α si ∃β < α∀y ∈ x( y < β ) .
2.
Es cofinal en α si ∃β < α∀y ∈ x(β ≤ y ) .
DEFINICIÓN. 4.2.1.2.
1.
Diremos que f : β → α es cofinal, si rang(f) es cofinal en α .
2.
La cofinalidad de α es cf (α ) = inf {β : ∃f f : β → α cofinal}.
LEMA. 4.2.1.1. Si β es cofinal con α entonces existe una función f : β → α tal que
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Introducción a la Teoría PCF
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U f (γ ) = α
γ ≤β
DEFINICIÓN. 4.2.1.3. Un cardinal infinito se dice regular y es igual a su cofinalidad, en
caso contrario, diremos que el cardinal es singular.
Presentemos algunos ejemplos:
1.
ω es regular.
2. ℵω es sin gular , ya que cf (ℵω ) = ℵ0 .
3. Mas generalmente, ℵα es singular si y solo si α es limite.
DEFINICIÓN. 4.2.1.4. Un cardinal k es limite si y solo si no es sucesor. k es limite fuerte si y
solo si para todo α < k , 2α < k .
Estas nociones no sirven para plantear el problema central. Los cardinales singulares son un
problema que la matemática trata de resolver desde sus dos ramas mas abstractas, la lógica
y la teoría de conjuntos, en la medida en que cardinales como el del segundo ejemplo
presentado arriba comienzan a ser “interesantes en la teoría de conjuntos. Esto en razón a
que la hipótesis del continuo los pone de relieve. Si observamos nuestras definiciones, nos
damos cuenta que todo sucesor es regular, por lo que posterior a aleph sub-cero las
operaciones básicas ya expuestas son de alguna manera triviales, hasta que nos
encontramos con un limite, como omega, que por su carácter enumerable nos permite salir
del “circulo” de los regulares.
Los cardinales regulares se limitan solo por el teorema de Easton, como sigue.
TEOREMA. 4.2.1.1. EASTON (1964). Dada F definida de Reg (clase de los regulares) en
Card (clase de los cardinales) tal que
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Introducción a la Teoría PCF
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a). ∀k (cfF (k ) ≥ k ) .
b). ∀k , γ (k ≤ γ → F (k ) ≤ F (γ )) .
Existe una noción de forcing P tal que
(
)
1p − ∀k 2k = F (k )
Se conoce como forcing al proceso mediante el cual Cohen demostró la consistencia de la
teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel sin Axioma de Elección y de ZFC sin la Hipótesis
del Continuo. Lo esencial de este teorema es que establece los limites del comportamiento
de los cardinales regulares.
Pero si la hipótesis del continuo plantea un problema para los limites, es en los cardinales
singulares donde podremos empezar a construir su solución. Los cardinales singulares son
la base de la Teoría PCF que planteo el contraejemplo expuesto en la introducción. .
Esperamos que con esta somera y superficial introducción e lector, tanto especializado
como principiante, se interese por la Hipótesis del Continuo, las pruebas de independencia,
la aritmética cardinal, y en general por la teoría de conjuntos, cuyo nivel de abstracción, si
bien puede alejarse un poco de la realidad, si propone formas de pensamiento y de
raciocinio que componen el pensamiento matemático mas puro tanto en la historia de la
matemática como su contemporaneidad.
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CAPITULO 5. CONCLUSIONES
5.1. CONCLUSIONES
Al finalizar esta presentación es necesario presentar algunos puntos importantes, que el
autor en su realización considera de vital importancia al introducirse al estudio de la teoría
PCF:
• Es absolutamente necesario un estudio pormenorizado de la teoría de conjuntos
clásica, de la teoría axiomática de conjuntos y de la teoría combinatoria de
conjuntos. Esto en razón a que conceptos tales como cardinales regulares y
singulares, como se ha demostrado en esta presentación, requieren para su
comprensión un recorrido por la teoría clásica. Las teorías contemporáneas y
alternativas solo son el resultado de los éxitos y fracasos del recorrido
conceptual anterior a ellos.
• Uno de los elementos centrales que debemos tener en cuenta es que teorías
como la que se trato de introducir en este trabajo, se construyen de una manera
particular. Heredera del método de demostración conocido como forcing, que
consiste en tomar una teoría axiomática y “obligarla” a producir cierto tipo de
proposiciones y teoremas, es decir, forzarla a construir resultados específicos
(no deducibles directamente), la teoría PCF no es ajena a esta realidad. A partir
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Introducción a la Teoría PCF
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de construcciones conceptuales como las pruebas de independencia de la
hipótesis del continuo respecto de la teoría de conjuntos clásica, teorías como la
nuestra construyen sus productos realizando también suposiciones como pueden
ser la hipótesis de cardinales singulares (Singular Cardinal Hipothesis):
(
SCH : ∀k singular k cf (k ) = k + + 2cf (k )
)
sobre la que la teoría PCF edifica su trabajo relacionado con ultrapotencias de
cardinales regulares. La conclusión entonces es precisamente que el trabajo que
se realiza en la exponenciación cardinal tiene mucho que ver con ideas que se
plantean como útiles para el trabajo, pero que no pueden en si mismas ser
comprobadas; la característica que define el trabajo con los cardinales infinitos
es precisamente su nivel de abstracción, que determina la imposibilidad de
“ver”, de tener referentes concretos acerca de sus objetos. Por esto, es casi
normal y lógico que la exponenciación cardinal infinita trabaje bajo supuestos,
pues aunque matemáticamente se haya comprobado su existencia, nadie podría
decir que conoce el infinito.
5.2. RECOMENDACIONES
El trabajo propuesto en esta presentación tenia un objetivo fundamental: servir de
herramienta didáctica y divulgativa acerca de la teoría PCF, pero mas específicamente
acerca de la Hipótesis del Continuo y de los retos que ésta le representa a la matemática. La
introducción de una teoría no puede ser otra cosa que la presentación de sus problemas
fundamentales, su objeto de estudio y los principales conceptos que hacen que estos dos
primeros elementos sean comprensibles. Esperamos haber logrado en alguna medida este
objetivo.
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Introducción a la Teoría PCF
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Pero el verdadero avance que es necesario hacer, tiene que ver con comprender qué hace
falta, qué es necesario para completar el acercamiento propuesto. En ese camino, lo que
presentaremos ahora es una lista de recomendaciones conceptuales que deberán guiar un
estudio mas profundo de la teoría PCF y el teorema de Shelah:
•
El primer tema central que debe ser asumido en la comprensión de la teoría
PCF, es el de la exponenciación cardinal, para lo que recomendamos
especialmente el estudio de la teoría combinatoria de conjuntos: [DiP, 91],
[Erd, 84].
•
El siguiente paso tiene que ver con la comprensión del problema de los
cardinales singulares, para lo que es necesario un estudio pormenorizado de el
método de demostración conocido como forcing, para lo que se recomienda el
estudio de las demostraciones de Cohen acerca de la independencia de la
Hipótesis de Continuo: [Coh, 63], [Coh, 64], [God, 40], [Am, 99], [Eas, 70],
[She, 82], [Sol, 70].
•
Posteriormente, seria necesario el manejo de los métodos de construcción de la
teoría PCF, que tienen que ver con conceptos tanto del algebra abstracta como
con la topología. Se recomienda en estudio de conceptos tales como filtros y
ultrafiltros, ideales, rangos ideales y finalmente ultrapotencias: [DiP, 91], [Cai,
96].
•
Estas recomendaciones son apenas unas cotas o limites que definen una
comprensión del alcance de la teoría PCF. Los demás temas relacionados serán
evidentes durante el estudio propuesto en los puntos anteriores.
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Introducción a la Teoría PCF
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Introducción a la Teoría PCF
_________________________________
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Pure and Applied Logic, No. 43, (1989)
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Annals
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