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MA TEMÁTICAS BÁSICAS
1. Verificar que log J ( _1_ ) = 2.
"9 243
2
2. Calcular:
x y,
entonces
i)logJ2(16) (R!. 8)
i ii) 3 4 Jog J
2
( )
(R!. 16)
3. Dado que log(5)~ 0.6990 y log(9)~ 0.9542, calcular valores aproximados de :
i) log(2) (R!. 0.3010)
iv)
a 32
IOg(~J (R!. 0.2552)
ii) log(3) (R!. 0.4771)
iii) log(45) (R!. 1.6532)
v) log(125) (R!. 2.0970)
4. Resolver las siguientes ecuaciones:
rá al
i) 6 2x - 1 = 36 (R!. x = 3/2)
ii) log 2(x+3) =­ I(R!. x =-5/ 2)
32 ,
2),
iii) 210(4x) = 100+ln(2x) (R! . x =
e lOO
)
8
v) log x(5x-6)=2 (R!. x =2,3)
vii) (5 x
-
5- x )/2 = 3 (R!. x = log s (3 +
2) 410
ix)
g2
( 5)2( IO-410g(XJ))
(X)
(5
=
-JíO)
viii) (Iog(x)? = log(x 2 )<R!. x = 1,100)
s
(R!.x = IO,IO )
2
x) log(x) = log(3)+
2Iog(2)-~log(16) (R!.
4
xi) log3J3/ x)+log~(x)==1 (R!.x==I,3 , 9-
x = 3/2)
1
)
(Ayuda: pasara log3(x)).
5. Para medir la longitud de los sismos se usa la escala de Richter. La fórmula para la
escala de Richter es R = log(r) donde R es el número de Richter e I es la intensidad del
\
sismo. Expresar la escala de Richter en forma exponencial (R!. 1 == I OR)
\
\
6. Si cierta cantidad de dinero P se invierte al 5% de interés compuesto de manera
.
' d e t anos
- e 1 va lori d e la 'mverSlOn
. , es I == Pe'
o OS l . ¿E n cuanto
'
contmua,
entonces d
espues
tiempo se duplicará la cantidad de dinero P invertido? (Ayuda: 10(2) ~ 0.69 . R!.
t
~
13.8 años) .
I
47
MATEMÁTICAS BÁSICAS
7. Una compañía farmacéutica está desarrollando un organismo que será utilizado en una
vacuna y cuyo crecimiento está dado por Q
= 400 (3 k t),
siendo Q la cantidad de
La recta que pasa por dos puntos (x l' Y1)
constituida por todos aquellos puntos
organismos en el tiempo t (en horas) transcurrido desde cuando se anotó la cuenta inicial
2~
horas, Q = 1200, encontrar k y hallar el número
2
de organismos después de 5 horas de haberse iniciado el conteo. ( RJ. k = 0.4; Q = 3600
y k es una constante . Si cuando t
=
siguiente:
y
organismos) .
8. La temperatura T de un objeto después de un período de tiempo t es
T = T 111 + (To - T m)e -O.5 t , donde To es la temperatura inicial y T m es la temperatura del
T +T
m. (RJ. t = 210(2) ).
2
9. Un cultivo de bacterias se triplica cada dos horas. Si inicialmente había 27 bacterias,
hallar la población de bacterias al cabo de t horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 6
medio circundante. Hallar t para el cual T
= o
horas? ¿Cuándo habrá 243 bacterias? (R!. p(t) = 33+t 2, 729 bacterias, t
x-x
= 4 ).
Nótese q
El núme
x-
XI
y = mx
correspo
puntos
Por eje
tajes qu
y=
3
4
x
como se
RECTAS
48
(x, y)
MATEMÁTICAS BÁSICAS
La recta que pasa por dos puntos (x"y,) y (X2,yJ del plano cartesiano R
mollando un organismo que será utilizado en una
kt
Ido por Q=400(3 ), siendo Q la cantidad de
ranscurrido desde cuando se anotó la cuenta inicial
constituida por todos aquellos puntos (x, y)
~
siguiente:
horas, Q = 1200, encontrar k y hallar el número
tales que
y-y,
Y2 -YI
2
,
está
Ver figura
2
laberse iniciado el conteo. ( RI. k = 0.4; Q = 3600
y
,
después
de
un
período
de
tiempo
(X 2 ,Y
t es
(x, y)
s la temperatura inicial y T m es la temperatura del
l
T _
y
;
2
1
(x, y)
)
(X 2' Y2) (X¡,Y¡) ___ J!~Y~JJY2-Y¡
To +'L
;1
(X¡'!J~ ___ J:'~-!JJY-Y¡
----1
X2- X ¡
x-x
x
s,
6
x
'----+--·v~--~
X-Xl
Nótese que no importa si se intercambian los puntos, pues:
Y2-Y'
\
El número
\
\
\
=
Y'-Y2
Y2 - y,
se llama la pendiente de la recta y se acostumbra denotar por m. Así,
x 2 - x,
y - y, = m , o sea y-y, =m(
).
x-x,
x -x,
Luego y = mx + YI - mx l , que es de la forma
y = mx + b donde b = y, - mx, . El número b es el valor de y cuando x = O.
Recíprocamente, toda ecuación de la forma y = mx + b donde m y b son constantes,
corresponde a la ecuación de una recta de pendiente m. En efecto, si (x" y, ) Y (x 2' Y2) son
\
puntos que satisfacen la ecuación y = mx + b es porque y, = mx, + b y Y2 = mx 2 + b ;
luego
Y2-y,
x 2 -x,
=
mx 2 +b-(mx,+b)
x 2 -x,
=
m(x 2 -x,)
x 2 -x,
= m, es
d
' Y2-Y,
ec,r,
= m.
x 2 - x,
Por ejemplo, la recta que pasa por (-1,-2) y (3,1) está formada por aquellos puntos (x,y)
I
I
tales que y-((-2)) = 1-((-2)) . Luego y+2=3 , o sea que y+2=3(x+I), es decir,
x--13--1
x+14
4
\
\
Y=
~ x - ~.
Esta recta tiene pendiente
~
y pasa por el punto
como se indica en la siguiente figura:
49 (O, - ~).
Su gráfica es
MATEMÁTICAS BÁSICAS
y
y
= (3/4)x-S/4
-----~
-1
/~.-
I
x
3
I
I
I
(- 1, -2)
I
2
__
r/
Es de anotar que, en el plano cartesiano, toda recta que de izquierda a derecha "sube" tiene
pendiente positiva, y que toda recta que "baja" tiene pendiente negativa. Es más, la
pendiente nos indica lo que se debe "ascender" o "descender" verticalmente cuando se
avanza una unidad horizontalmente hacia la derecha. En efecto , si y = mx + b es la
Para indicar que las
ecuación de una recta y si de
Dos rectas de ecuaci
Xo
se pasa a
Xo +
J, entonces Yo
=
LIII L 2 <=> mI
m1m 2 = -l. En efec
= c con a 7:- O Y entonces x = c que es una
recta vertical. Si b::j::. O, entonces by = -ax + c , o sea Y = pendiente - : Y que pasa por el punto ( 0,
m2'
RECTASPERPEN
mx o + b pasa a
m(x o +J)+ b , Y entonces m(x o + J)+ b-(mx o + b)= m.
Las rectas horizontales tienen pendiente cero Y sus ecuaciones son de la fonna Y = k , con k
constante. Las rectas oblicuas tienen pendiente m::j::. O Y las rectas verticales tienen
ecuaciones de la forma x = c , con c constante, Y se dice que tienen pendiente infinita.
Toda ecuación de la forma ax + by = c con a, b Y c constantes, a 7:- O o b::j::. O, representa
una recta . En efecto, si b = O, se tendría ax
=
a
a
b
«
x + , la cual es
b
la recta con
~ J.
Ejemplo: Supongamos que un fabricante utiliza 100 libras de cierto material para producir
dos tipos de fertilizantes , Si el fertilizante del tipo 1 requiere 4 libras del material por unidad
y el del tipo II requiere 2 libras por unidad, entonces 4x + 2y = 100 representa todos los
niveles de producción cuando se producen x unidades del fertilizante tipo 1 e y unidades del
fertilizante tipo O. Por tanto, y = -2x + 50, con x ::::: O e y::::: O. De acá se infiere que por
cada unidad adicional que se produzca del fertilizante tipo 1, se debe disminuir en dos
unidades la producción del fertilizante tipo II, pues se requieren 4 libras más del material.
RECTAS PARALELAS
Dos rectas de ecuaciones Y = m Jx + b) Y Y = m 2x + b 2 son paralelas si Y sólo si l m¡
En efecto, referirse a las siguientes figuras:
50
= m2· )
__
Si tomamos una
"sube" mi unid
perpendiculares, 1
1
se forma un áng
intersección se ti
MATEMÁTlCAS BÁSICAS
y = (3/4)x-5/4
//-,/~
-- - - - - -
/
I
7
//
~-
I
~//(~
./0 I
:.
I
3
-',
1)
~
X
lene
la
se
la
i
a
k
Para indicar que las rectas L,
y
L 2 son paralelas, escribiremos L,
11
L2.
Así que
L,IIL 2 <=?m, =m2'
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas de ecuaciones y = m, x + b, Y Y = m 2 x + b 2 son perpend iculares si y sólo si
m J m 2 = -l. En efecto, referirse a las siguientes gráficas:
len
y
\
[:
II
Si tomamos una unidad hacia la derecha del intercepto entre las dos rectas, la recta L,
"sube" m¡ unidades y la recta L 2 "baja" m 2 unidades. Entonces, si L, y L 2 son
perpendiculares, lo cual se nota escribiendo L, 1- L 2 , es porque en el punto de intersección
se forma un ángulo de
radianes, y por el recíproco del teorema .de Pitágoras, se satisface
2
l=m,(-m 2 ),osea m¡m2 =-l. Recíprocamente,si m,m 2 =-1 es porque en el punto de
11:
intersección se forma un ángulo de ~ radianes.
2
51
\