CLASE No 4

ELABORADO POR: LETICIA LOPERA
CARLOS GUEVARA
BEATRIZ EUGENIA TANGARIFE MEJIA
NOCIONES SOBRE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto.
Un conjunto puede escribirse por:
* Extensión: haciendo una lista explícita de sus elementos, separados por comas y
encerrado entre llaves, o por
* Comprensión: dando la condición o condiciones que cumplen los elementos del
conjunto.
Si un conjunto no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por φ ó { }.
Si un conjunto es vacío o su número de elementos es un número natural , se dice que
el conjunto es finito.
Si un conjunto no es finito, se dice que es infinito.
Si A es un conjunto, decimos que a pertenece a A y escribimos a
A si a es un
elemento de A. En caso contrario decimos que a no pertenece a A y escribimos a ∉ A.
Si C y B son conjuntos, decimos que C es subconjunto de B y escribimos C ⊆ B si todo
elemento de C es también elemento de B.
C ⊆B
Propiedades:
Si A, B y C son conjuntos,
a) φ ⊆ A.
b) A ⊆ A.
c) Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Es decir, A = B si y sólo si
todo elemento de A está en B y todo elemento de B está en A.
Número de elementos de un conjunto:
Si A es un conjunto, denotaremos con n( A) el número de elementos de A.
Ejemplo. Si V  x / xesvocal , entonces n(V ) = 5.
Si conocemos el número de elementos de ciertos conjuntos dados, es posible encontrar
el número de elementos de la unión, intersección y complementos.
Si A  B   , n( A  B)  n( A)  n( B)
Si A  B   , se tiene que n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)
Si A ∩ B ∩ C ≠ φ, se tiene que n( AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n (A ∩ B) – n(A ∩ C) –
n(B ∩ C) +n(A ∩ B ∩ C)
Ejemplo:
En el grupo de deportes del colegio hay 75 estudiantes y en danza hay 35. Halla el
número de estudiantes que hacen deporte o danza:
a) Si los entrenamientos se hacen a la misma hora.
b) Si los entrenamientos se hacen en días diferentes y se sabe que 15 estudiantes
pertenecen a ambos grupos.
Solución:
a) En este caso no se puede determinar con certeza el número de elementos, pues no
sabemos cuántos estudiantes practican ambas cosas. Podemos asegurar que el
número máximo es 110 y el mínimo 75.
b) Tenemos que si A  {x / x practica deporte} y B  {x / x hace danza}, entonces
n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)
= 75 + 35 - 15
= 95
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B, denotada AU B, como el
conjunto A U B = {x/x
Aox
B}
AUB
2. Intersección
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la intersección de A y B, denotada A ∩ B, como el
conjunto A ∩ B = {x/x
A y x
B}
A∩B
Propiedades de la Unión y de la Intersección
Sean A, B y C conjuntos.
A∩A=A
A∩φ=φ
(A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B
A∩B=B∩A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
AUA=A
AUφ=A
A ⊆ (A U B); B ⊆ (A U B)
AUB=BUA
A U (B U C) = (A U B) U C
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
3. Complemento
Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, definimos el complemento de
A, denotado A’ como el conjunto,
A’ = {x
Propiedades del Complemento
Sean A y B conjuntos.
U / x ∉ A.}
a) (A’)’ = A
b) A U A’ = U
c) A ∩ A’ = φ
d) (A U B)’ = A’ ∩ B’
e) (A ∩ B)’ = (A’ U B’)
Nota: Las dos últimas propiedades son conocidas como las "Leyes de De Morgan".
4. Diferencia
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B, denotada A - B, como
A - B = {x/x
Ayx
B}
A–B
Propiedades de la Diferencia
Sean A y B conjuntos.
a) A - B = A ∩ B’
b) A - B ≠ B - A
c) A - A = φ;
d) A - φ = A
e) U - A = A’
SISTEMAS NUMÈRICOS
Los números naturales son: 1, 2, 3, 4, ……….
Representamos por N al conjunto de todos lo números naturales, es decir,
N = {1; 2; 3; 4,……….}
Los números enteros están formados por los números naturales junto con los números
negativos y el 0. Denotamos por Z al conjunto de los números enteros:
Z = {…….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….}
:
Algunas veces, se acostumbra escribir Z+ = N.
El conjunto de los números racionales se obtiene al forma cocientes de números
enteros. Este conjunto lo denotamos por Q. Luego, r
, con p, q
Q si y sólo si r =
Z, q ≠ 0.
Existen números que no pueden expresarse en la forma
con p, q
Z; q ≠ 0. Estos
números se denominan irracionales, denotados por I. Es posible probar que números
como
;
,
, e,π pertenecen al conjunto I.
El conjunto de lo números reales se representa por R y consta de la unión de los
racionales y los irracionales, es decir, R = Q U I.
Todos los números reales tienen una representación decimal. Si el número es racional,
entonces, su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo
1 = 0:5000….= 0,50
2
1 = 0,3333…. =
3
157 = 0,3171717……. =0,3
495
9 = 1,285714285714…….. = 1,
7
La barra significa que la sucesión de cifras se repite indefinidamente. Si el número es
irracional, la representación decimal no es periódica, por ejemplo
=1,41421356237… e = 2:7182818284590452354……
ACTIVIDADES PARA REALIZAR EN CLASE:
1. Utilizar figuras geométricas para formar conjuntos y analizar las operaciones
entre ellos.
2. Plantear problemas para ser resueltos en grupos de 3.
2.1 A una fiesta asistieron 77 ejecutivos de los cuales 27 son gimnastas, 55 son
hombres y 10 de las mujeres son gimnastas. La cantidad de personas que son
hombres y no son gimnastas es. La cantidad de mujeres pero no gimnastas que
hay en la fiesta es.
2.2 En una encuesta en un centro educativo sobre la práctica de los deportes que
tienen los 100 estudiantes del plantel, se obtuvieron los siguientes resultados:
18 estudiantes practican fútbol, 26 baloncesto, 18 tenis, 9 practican fútbol y
tenis;10, fútbol y baloncesto; 8, baloncesto y tenis, La cantidad de estudiantes
que practican los tres deportes sabiendo que 59 estudiantes no practican
ninguno de los tres deportes es:
2.3 Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio
utilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas
escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las
noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios.
¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la
TV? ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por
Radio? ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?
2.4 Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de
productos A y B. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de personas que
prefirieron uno solo de los productos fueron 7. El número de personas que prefirieron
ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos
productos. El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el
producto B fueron 3. Se desea saber: ¿Cuántas personas prefieren el producto A?
¿Cuántas personas prefieren el producto B solamente? ¿Cuántas personas prefieren
ambos productos?
2.5 Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de
refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de
estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El número de estudiantes
que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: ¿Cuántos de los encuestados
prefirieron Pepsi? ¿ Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola? ¿ Cuántos de
los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?
3. Expresar un número decimal periódico en forma de fracción.
0,833333333….
0,77777….
0,545454….
4. SOLUCIONAR TALLER PROPUESTO
TALLER SOBRE CONJUNTOS
1. En una clase de historia de 50
estudiantes,
son
b) 90 estudiantes.
estudiosos, 23 pierden y 8 de
c) 70 estudiantes.
los
d) 30 estudiantes.
que
estudiosos.
que
35
a) 10 estudiantes.
no
pierden
Los
son
son
estudiantes
estudiosos
y
pierden son:
4. En una hamburguesería se
ofrecen
dos
tipos
hamburguesas:
sencilla
de
y
a) 31
especial. Al final del día, la
b) 20
contabilidad
c) 15
siguientes
d) 27
prefirieron la sencilla, 170 la
arrojó
los
datos:
130
especial y 38 ambos tipos de
2. Suponga que un conjunto de
hamburguesas. Si el servicio
100 pacientes de un hospital,
fue ofrecido a 350 personas,
20 tienen dolores estomacales,
entonces
la
30 tienen gripe y 5 los dos
personas
que
síntomas.
preferencia por ninguna es:
Tienen
dolores
cantidad
no
de
tuvieron
estomacales o gripe:
a) 88
a) 50 pacientes
b) 12
b) 45 pacientes
c) 68
c) 35 pacientes
d) 78
d) 65 pacientes
5. En el colegio el 60% de los
alumnos juega fútbol, el 40 %
3. En una clase de 50 estudiantes
hay
20
físicos
y
matemáticos.
simultáneamente
físicos
juega baloncesto
y el 20%
40
ninguno de ellos. El porcentaje
Son
de los alumnos del colegio que
y
juega ambos deportes es:
matemáticos:
a) 10%
b) 0%
física y 13 pierden química. 13
c) 20%
pierden matemáticas y física, 7 física
d) 8%
y química, 9 matemáticas y química y
4 las tres materias.
6. En una encuesta realizada en
un colegio de la ciudad a un
total de 150 estudiantes, se
hallaron los siguientes datos:
54
estudian
Álgebra,
89
estudian Inglés, 80 estudian
Ciencias
Naturales,
60
estudian Ciencias Naturales e
Inglés, 10 estudian Álgebra
solamente,
20
estudian
Álgebra
y
Ciencias,
estudian
las
tres
15
materias
simultáneamente.
Los
estudiantes que estudian sólo
Inglés o sólo Ciencias son:
7. Los estudiantes que perdieron
por lo menos una materia son:
a) 55
b) 30
c) 42
d) 50
8. Los estudiantes que no ganan
matemáticas sino física son:
a) 10
b) 17
c) 16
d) 5
9. Los estudiantes que ganan
a) 15 estudiantes.
física pero no química son:
b) 20 estudiantes.
c) 49 estudiantes.
a) 1
d) 45 estudiantes.
b) 4
c) 5
Los numerales del 7 al 9 se
responden
de
acuerdo
con
el
siguiente enunciado:
Los numerales del 10 al 14 se
De los 55 estudiantes de un curso, 23
pierden
matemáticas,
d) 6
19
pierden
responden
de
acuerdo
siguiente enunciado:
con
el
Al finalizar el año de estudios se
12. El porcentaje de estudiantes
observó, analizando tres materias M,
que
reprobó
B y E, que el 2% reprobó las tres
exactamente es:
una
materia
materias, el 6% reprobó M y B, el 5 %
reprobó B y E, el 10% reprobó M y E,
a) 16%
el 19% reprobó M, el 32% reprobó B
b) 32%
y el 16% reprobó E.
c) 13%
10. El porcentaje de estudiantes
que aprobó las tres materias
es:
a) 2%
b) 17%
c) 52%
d) 15%
11. El porcentaje de estudiantes
que reprobó B si y sólo si
aprobó E es:
a) 62%
b) 27%
c) 38%
d) 57%
d) 31%
13. El porcentaje de estudiantes
que aprobó a lo sumo una
materia es:
a) 83%
b) 31%
c) 15%
d) 17%
14. El porcentaje de estudiantes
que
aprobó
materias es:
a) 31%
b) 52%
c) 17%
d) 83%
mínimo
dos