TEMA 5 Integrales 2004

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2004
MATEMÁTICAS II
TEMA 5: INTEGRALES

Junio, Ejercicio 1, Opción A

Junio, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A

Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A

Septiembre, Ejercicio 2, Opción B
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De la función f : ( − 1, + ∞ ) → » se sabe que f '( x ) =
3
y que f (2) = 0 .
( x + 1)2
a) Determina f.
b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por (0,1) .
MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos f ( x) .
f ( x) =
∫
3
( x + 1) −1
−3
−2
dx
=
⋅
x
+
dx
=
=
+C
3
(
1)
3
2
( x + 1)
−1
x +1
∫
Como queremos que pase por el punto (2, 0) , tenemos:
3
f (2) = 0 ⇒ − + C = 0 ⇒ C = 1
3
Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: f ( x) =
−3
+1
x +1
b) Calculamos una primitiva de f ( x) .
F ( x) =
∫
 −3

+ 1 dx = − 3ln( x + 1) + x + C

 x +1 
Como queremos que pase por el punto (0,1) , tenemos:
F (0) = 1 ⇒ − 3ln(0 + 1) + 0 + C = 1 ⇒ C = 1
Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: F ( x) = − 3ln( x + 1) + x + 1
Determina b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta
9
y = bx es igual a .
2
MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones.
y = x2
2
 ⇒ x − bx = 0 ⇒ x = 0 ; x = b
y = bx 
A=
∫
b
b
 bx 2 x 3 
b3 9
(bx − x ) dx = 
−  =
= ⇒b=3
2
3
6
2

0
2
0
Calcula
∫
0
−2
1
dx
x + 2x − 3
2
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos las raíces del denominador: x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 1 ; x = − 3
Descomponemos en fracciones simples:
1
A
B
A( x + 3) + B( x − 1)
=
+
=
x + 2 x − 3 x −1 x + 3
( x − 1)( x + 3)
2
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.
1
x = 1⇒ 1 = 4A ⇒ A =
4
1
x = − 3 ⇒ 1 = − 4B ⇒ B = −
4
Con lo cual:
∫
0
−2
1
1
dx =
2
4
x + 2x − 3
∫
0
1
1
dx −
4
−2 x −1
∫
0
1
1
1
ln 3
0
0
dx = [ ln ( x − 1)] − 2 − [ ln ( x + 3)] − 2 = −
4
4
2
−2 x + 3
Sea f : » → » la función definida por f ( x ) = ( x − 1) ⋅ e 2 x . Calcula la primitiva de f cuya
gráfica pasa por el punto (1, e 2 ) .
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos la integral, que es una integral por partes.
u = x − 1; du = dx
dv = e 2 x dx ; v =
e 2x
2
∫ ( x − 1) ⋅ e
2x
dx =
1
1 2x
1
1
e dx = ( x − 1) ⋅ e 2 x − ⋅ e 2 x + C
( x − 1) ⋅ e 2 x −
2
2
2
4
∫
Calculamos una primitiva que pase por el punto (1, e 2 ) .
1
1
5
e 2 = ⋅ (1 − 1) ⋅ e 2 − e 2 + C ⇒ C = e 2
2
4
4
Luego, la primitiva que nos piden es: F ( x) =
1
1
5
( x − 1) ⋅ e 2 x − ⋅ e 2 x + ⋅ e 2
2
4
4
Considera la integral definida I =
∫
1
9
dx
1+ x
a) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables1 + x = t .
b) Calcula I.
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
1
R E S O L U C I Ó N
1 + x = t ⇒ x = (t − 1) 2
dx = 2 ⋅ (t − 1) dt
Calculamos los nuevos límites de integración:
x =1⇒ t = 2
x =9⇒t =4
Con lo cual:
I =2
∫
4
2
t −1
dt = 2
t
∫
4
2
4
 1
1 −  dt = 2 ⋅[ t − ln t )] 2 = 4 − 2 ln 2
 t
1 2 2
x + x +1.
3
3
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada
y = 1 , teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa.
b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y
el eje de ordenadas.
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
Sea f : » → » la función definida por f ( x ) = −
R E S O L U C I Ó N
1
2
a) 1 = − x 2 + x + 1 ⇒ − x 2 + 2 x = 0 ⇒ x = 0 ; x = 2
3
3
2

f
'(0)
=
2
2 
3
f '( x) = − x + ⇒ 
2
3
3 
f '(2) = −

3

2
− 2x + 7

2  ⇒ y − 1 = − ( x − 2) ⇒ y =
3
3
f '(2) = m = − 
3
P(2,1)
Luego:
b)
A=
∫
2
0
  −2 x + 7   − x 2 + 2 x + 3  

  dx =
−
3
3





∫
2
0
2
 x 2 − 4x + 4 

1  x3
8
=
⋅  − 2x 2 + 4x = u 2
dx


3
3 3


0 9
Considera las funciones f : (0, +∞ ) → » y g : » → » definidas, respectivamente, por
f ( x ) = Ln x y g ( x ) = 1 − 2 x
siendo Ln x el logaritmo neperiano de x. Calcula el área del recinto limitado por las rectas x = 1
y x = 2 y las gráficas de f y g.
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
A=
∫
2
2

2x 
2
 ln x − (1 − 2 )  dx =  x ln x − x − x +
u2
 = 2 ln 2 − 2 +


ln
2
ln
2

1
x
1
Determina b sabiendo que b > 0 y que el área del recinto limitado por la parábola de ecuación
2
1

y =  x − b  y los ejes coordenados es igual a 8.

3
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
2
x 2 − 6bx + 9b 2
1

y =  x −b =
9
3

6b
b
Vértice −
= 9 = 3b ⇒ (3b, 0)
2
2a
9
A=
∫
3b
0
3b


x 2 − 6bx + 9b 2
1  x 3 6bx 2
1  27b 3 54b 3
+ 9b 2 x  = 
−
+ 27b 3  = b 3 = 8 ⇒ b = 2
dx =  −
9
9 3
2
2
0 9  3

Considera la función f : » → » definida por f ( x ) = x x .
a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del
primer y tercer cuadrante.
b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
 x 2 si x ≥ 0
a) Abrimos la función: f ( x) = x x =  2
− x si x < 0
b)
A = 2⋅
∫
1
1
 x2 x3 
1
 x − x  dx = 2  −  = u 2
30 3
2
2
0
Considera la función f : » → » definida por f ( x ) = e x + 4e − x .
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos
o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y
x = 2.
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero.
y ' = e x − 4e − x = 0 ⇒ e 2 x − 4 = 0 ⇒ x = ln 2
(− ∞, ln 2)
(ln 2, ∞)
Signo y '
―
+
Función
D
C
↓
mínimo (ln 2, 4)
No tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto coincide con el mínimo relativo.
b)
A=
∫
2
0
2
4
 e x + 4e − x  dx = e x − 4e − x  = e 2 − 2 + 3 u 2
0
e
Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada.
MATEMÁTICAS II. 2004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
A1 = ∫ ln x dx = [ x ln x − x ] 1 = (3ln 3 − 3) − (1ln1 − 1) = 3ln 3 − 2
3
3
1
Área del rectángulo = base x altura = 3ln 3
Área pedida = Área del rectángulo − A1 = 3ln 3 − (3ln 3 − 2) = 2 u 2
Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = 2 x y por las curvas y = x 2
x2
.
2
MATEMÁTICAS II. 2004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
e y=
R E S O L U C I Ó N
2
4
4
 2 x2 
 x3 x3 
 2 x3 
x2 
Área = ∫  x −  dx + ∫  2 x −  dx =  −  +  x −  =
0
2
2
2
6 0 
6 2


3
2
64
8
8 8
=  − + 16 − − 4 +  = 4 u 2
6
6
3 6