El Teorema de Contracción de Mapas

Introducción
Ecuación Integral de Fredholm
Aplicaciones a ODEs
El Teorema de Contracción de Mapas
Carlos Gamez
Escuela de Matemática
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Universidad de El Salvador
Presentación Beamer
Resumen
Introducción
Ecuación Integral de Fredholm
Aplicaciones a ODEs
Esquema
Introducción
Contracción
Punto Fijo, Teorema de Contracción y demostración
Ecuación Integral de Fredholm
Definición
Teorema, demostración y resultados adicionales
Aplicaciones a ODEs
Problemas de valor inicial de DEs
Teorema y demostración de unicidad de ODEs
Resumen
Introducción
Ecuación Integral de Fredholm
Aplicaciones a ODEs
Outline
Introducción
Contracción
Punto Fijo, Teorema de Contracción y demostración
Ecuación Integral de Fredholm
Definición
Teorema, demostración y resultados adicionales
Aplicaciones a ODEs
Problemas de valor inicial de DEs
Teorema y demostración de unicidad de ODEs
Resumen
Introducción
Ecuación Integral de Fredholm
Aplicaciones a ODEs
Resumen
Definición
Contracción
Sea (X, d) un espacio métrico. Un mapeo T : X → X es un
mapeo de contracción o simplemente llamado ”contracción” si
existe una constante c, con 0 ≤ c < 1, tal que
d(T (x), T (y)) ≤ cd(x, y)
para todos x, y ∈ X.
Así, una contracción mapea los puntos a una distancia más
"cercana" basado en una espacio métrico definido.
(1)
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Resumen
En particular, para todo x ∈ X, y por cualquier r > 0, para
todos los puntos y en la esfera Br (x) son asignados a la esfera
Bs (T x), con
Figura 1. T es una contracción.
s < r. Esto es ilustrado en la figura (Fig 1). Al observar (1) se
concluye que una contracción T es una función
uniformemente continua.
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Resumen
Punto Fijo y Teorema Contracción de Mapas
Definición. Punto Fijo.
Si T : X → X, entonces el punto x ∈ X tal que
T (x) = x
es llamado un punto fijo de T .
(2)
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Resumen
Teorema de Contracción de Mapas
Teorema Contracción de mapas. Si T : X → X es un mapeo
de contracción es un espacio métrico completo (X, d) entonces
existe exactamente un punto fijo (x ∈ X que es solución de la
ecuación 2).
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Resumen
Demostración del teorema
Demostración. La prueba es constructiva, lo que significa que
construiremos explicitamente una secuencia convergiendo a el
punto fijo. Sea x0 cualquier punto en X. Definimos la secuencia
{xn } en X por
xn+1 = T xn
para n ≥ 0.
Para simplificar la notación, normalmente omitiremos los
paréntesis alrededor de el argumento del mapeo. Denotaremos
la n-ésima iteración de T por T n ,de tal forma que xn = T n x0.
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Resumen
Mostramos que (xn ) es Cauchy. Si n ≥ m ≥ 1, entonces de (1)
y de la desigualdad triangular obtenemos:
d(xn , xm ) = d(T n x0 , T m x0 )
≤ cm d T n−m x0 , x0
≤ cm d T n−m x0 , T n−m−1 x0 + d T n−m−1 x0 , T n−m−2 x0
+ . . . + d (T x0 , x0 )]
"n−m−1 #
X
≤ cm
ck d(x1 , x0 )
k=0
≤ cm
≤
"∞
X
#
ck d(x1 , x0 )
k=0
m
c
1−c
d (x1 , x0 )
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Resumen
lo que implica que (xn ) es Cauchy. Ya que X es completo, (xn )
converge a un limite x ∈ X. El hecho que el límite x es u punto
fijo de T sigue de la continuidad de T :
T x = T lı́m xn = lı́m T xn = lı́m xn+1 = x.
n→∞
n→∞
n→∞
Finalmente si x y y son dos puntos fijos, entonces:
0 ≤ d(x, y) = d(T x, T y) ≤ cd(x, y)
Ya que c < 1, tenemos que d(x, y) = 0,por lo que x = y y el
punto fijo es único.
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Introducción
Contracción
Punto Fijo, Teorema de Contracción y demostración
Ecuación Integral de Fredholm
Definición
Teorema, demostración y resultados adicionales
Aplicaciones a ODEs
Problemas de valor inicial de DEs
Teorema y demostración de unicidad de ODEs
Resumen
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Ecuación Integral de Fredholm
Una Ecuación Integral de Fredholm del segundo tipo para una
función desconocida f : [a, b] → R es una ecuación de la forma:
Z
f (x) −
b
k(x, y)f (y)dy = g(x)
(3)
a
donde k : [a, b] × [a, b] → R y g : [a, b] → R son funciones dadas.
La ecuación integral (3) puede ser escrita como una ecuación
de punto fijo T f = f , donde el mapa T es definido por
Z
b
k(x, y)f (y)dy.
T f (x) = g(x) +
a
(4)
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Resumen
Teorema
Teorema
Supóngase que k : [a, b] × [a, b] → R es una función continua
tal que
Z
|k(x, y)| dy
sup
a≤x≤b
b
<1
a
y g : [a, b] → R es una función continua. Entonces existe una
función continua única f : [a, b] → R que satisface (3).
(5)
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Resumen
Demostración
Demostración. Probamos este resultado cuando mostramos
que cuando la condición del teorema se cumple, el mapa T es
una contracción en el espacio C([a, b]) con norma al máximo
k·k∞ . Como el espacio C([a, b]) es completo, T es una
contracción ya que para todas f1 , f2 ∈ C([0, 1]) tenemos:
kT f1 − T f2 k∞
Z b
= sup k(x, y) (f1 (y) − f2 (y)) dy a≤x≤b a
Z b
≤ sup
|k(x, y)| |f1 (y) − f2 (y)| dy
a≤x≤b a
Z
≤ kf1 − f2 k∞ sup
a≤x≤b
b
|k(x, y)| dy
a
≤ c kf1 − f2 k∞ .
El resultado sigue del Teorema de Contracción de Mapas.
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Resumen
De la prueba del Teorema de Contracción de Mapas,
obtenemos el punto fijo f en el límite:
f = lı́m T n f0
n→∞
(6)
para cualquier f0 ∈ C([a, b]). Es interesante re-interpretar el
límite como una serie. Definimos el mapa
K : C([a, b]) → C([a, b]) por :
Z
Kf =
b
k(x, y)f (y)dy.
a
El mapeo K es llamado el Operador Integral Fredholm y la
función k es llamada el kernel de K. La Ecuación Integral de
Fredholm puede ser escrito como
(I − K)f = g,
donde I es el mapeo identidad (If = f ).
(7)
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Resumen
El mapeo de contracción T esta dado por T f = g + Kf , lo que
implica que:
T n f0 = g + K (g + . . . + K (g + Kf0 ))
= g + Kg + . . . + K n g + K n+1 f0 .
Obteniendo el punto fijo a través de iteraciones (ecuación 6),
encontramos que:
∞
X
f=
K n g.
n=0
K)−1 g,
Ya que f = (I −
formalmente como:
es posible escribir esta ecuación
−1
(I − K)
=
∞
X
n=0
K n.
(8)
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Resumen
Estas series son llamadas las Series de Neumann. El uso de
las sumas parciales de estas series para aproximar el inverso
es llamado la Aproximación Born. Explicitamente tenemos:
I + K + K 2 + . . . f (x)
Z b
Z bZ b
= f (x) +
k(x, y)f (y)dy +
k(x, y)k(y, z)f (z)dydz + . . .
a
a
a
Las series de Neumann se parecen a las series geométricas,
(1 − x)−1 =
∞
X
xn
para |x| < 1.
n=0
De hecho está serie de Neumann (ecuación 8) realmente es
una serie geométrica que converge absolutamente con
respecto a un operador de norma apropiado cuando kKk < 1.
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Contracción
Punto Fijo, Teorema de Contracción y demostración
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Definición
Teorema, demostración y resultados adicionales
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Problemas de valor inicial de DEs
Teorema y demostración de unicidad de ODEs
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Resumen
Problemas de valor inicial de DEs
• El Teorema de Contracción de Mapas puede ser utilizado
para probar la existencia y unicidad de soluciones de
problemas de valor inicial.
• Consideremos un sistema de primer orden de ODEs para
una función u(t) que toma valores en Rn ,
u̇(t) = f (t, u(t)),
(9)
u(t0 ) = u0
• Se asume que la función f (t, u) es continua de t y
Lipschitz continua de u e cierto dominio.
• Este ODE se puede re-formular como:
Z t
u(t) = u0 +
f (s, u(s))ds.
t0
(10)
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Resumen
• Esta reformulación (ecuación 10) puede ser expresado en
forma de ecuación punto fijo:
u = Tu
por el mapa T definido por:
Z t
T u(t) = u0 +
f (s, u(s))ds.
t0
• Queremos hallar las condiciones que garanticen que T
sea una contracción.
(11)
(12)
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Definición Lipschitz
Definición. Supóngase que f : I × Rn → Rn , donde I es un
intervalo en R. Decimos que f (t, u) es globalmente Lipschitz
continua de u uniformemente en t si existe una constante
C > 0 tal que
kf (t, u) − f (t, v)k ≤ C ku − vk
para todo u, v ∈ Rn y todo t ∈ I.
(13)
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Teorema de unicidad ODEs
Teorema. Supóngase que f : I × Rn → Rn , donde I es un
intervalo en R y t0 un punto interior de I. Si f (t, u), es una
función continua de (t, u) y globalmente Lipschitz continua de
u, uniformemente en t, en I × Rn , entonces hay una única
función diferenciable u : I → Rn que satisface el problema de
valor inicial (ecuación 9).
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Resumen
Demostración del teorema de unicidad
Probaremos que T es una contracción en el espacio de
funciones continuas en el intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + δ. Supóngase
que u, v : [t0 , t0 + δ] → Rn son dos funciones continuas.
De la reformulación y de la condición de continuidad Lipschitz
(ecuaciones 12 y 13) estimamos:
kT u − T vk∞ =
sup
kT u(t) − T v(t)k
t0 ≤t≤t0 +δ
Z t
= sup [f (s, u(s)) − f (s, v(s))] ds
t0 ≤t≤t0 +δ
t0
Z t
≤ sup
kf (s, u(s)) − f (s, v(s))k ds
t0 ≤t≤t0 +δ
t0
t
Z
≤
C ku(s) − v(s)k ds
sup
t0 ≤t≤t0 +δ
t0
≤ Cδ ku − vk∞
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Resumen
• Escogiendo δ < 1/C, entonces T es una contracción en
C([t0 , t0 + δ]).
• Por lo tanto hay solución única en u : [t0 , t0 + δ] → Rn .
• El argumento se mantiene para cualquier t0 ∈ I y
cubriendo I a través de intervalos de longitud menor a 1/C
vemos que el problema de valor inicial (ecuación 9) tiene
solución única definida en I.
• Una prueba similar aplica para t0 − δ < t < t0 .
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Aplicaciones a ODEs
Gracias!
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