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Historia y Filosofı́a de la Lógica
Ejercicios sobre el Tema 2
Pablo Cobreros
[email protected]
September 10, 2012
1. El argumento: “{Todos los hombres son mortales, Sócrates es hombre} Sócrates es mortal” es válido. Explique por qué la validez de este argumento se puede recoger en un lenguaje de primer orden pero no en
uno proposicional.
2. Qué es un lenguaje de primer orden, ¿por qué se dice que es “de primer
orden”?
3. Formalizar en lenguajes de primer orden:
(a) Los alumnos sabios leen a Platón. Hay un alumno que es sabio y
estudia mucho. Por lo tanto, hay un alumno que estudia mucho
y lee a Platón.
(b) Marı́a se porta bien sólo con aquellos que son amables. Luis
es grosero y maleducado. Los groseros y maleducados no son
amables. Por tanto, Marı́a no se porta bien con Luis.
(c) Los alumnos inteligentes van a lo esencial. Cualquiera que vaya a
lo esencial aprueba todas las asignaturas. Pedro no ha aprobado
una asignatura. Por lo tanto, Pedro no va a lo esencial.
(d) Nadie ama a aquél que no ama a nadie, pero no hay nadie que no
sea amado por alguien. Por lo tanto, no hay nadie que no ame a
alguien.
4. Complete las cláusulas de la extensión de la noción de interpretación
para →, ∧, ∨, ∀.
5. Sea L el lenguaje de primer orden cuyo vocabulario extralógico consta
de dos predicados monádicos P y Q y una constante individual c. Sea
A la estructura para L tal que A = {1, 2, 3, 4}, PA = {1, 2}, QA =
{2, 3} y cA = 1. Determine el valor en A de cada una de las siguientes
oraciones:
1
(a) ∀x(P x ∨ Qx)
(b) ∃x(P x ∧ ¬Qx)
(c) ∃x∃y(¬P x ∧ ¬Qy)
(d) ∀x(P x → Qx)
(e) ∀xP x → ∀xQx
(f) ∃xP x → ∀yP y
(g) ∀x(P x → ∀yP y)
6. Una vez formalizados los argumentos del ejercicio tercero, diga cuál es
válido y cuál no (para mostrar que un argumento no es válido deberá
proporcionar un contraejemplo).
7. Explique en qué se parecen y en qué se distinguen la definición de
consecuencia lógica para lenguajes de primer orden de la definición
para el lenguaje proposicional.
8. Mostrar la corrección de las siguientes afirmaciones:
(a) {∀x(M x → ¬P x), ∃x(Sx ∧ M x)} ∃x(Sx ∧ ¬P x)
(b) {∀xP x} ∃xP x
(c) {∀x∀yRxy} ∀xRxx
(d) {t ≈ u, P t} P u
(e) {∀x∃yRxy} 2 ∀x∃yRyx
(f) {∃x∀yRxy} 2 ∃x∀yRyx
9. Sea A una estructura para un lenguaje de primer orden L. Muestre
que para toda fórmula B de L, si A y A∗ son fórmulas de L tales
que IA (A) = IA (A∗ ), y B ∗ es la fórmula de L que obtenemos al
reemplazar cada instancia de A en B con una instancia de A∗ , entonces
IA (B) = IA (B ∗ ). (Por inducción sobre fórmulas).
10. Muestre que si A A∗ y B ∗ es el resultado de reemplazar todas
las ocurrencias de A en B con instancias de B ∗ entonces B B ∗ .
(Se trata de un corolario del ejercicio anterior; emplee la definición de
equivalencia lógica).
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