Dados dos vectores: de 6,00 unidades haciendo un

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORES
Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Última revisión en junio 09 de 2013
1
Temas
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Magnitudes vectoriales y escalares.
Clasificación de vectores.
Suma de vectores por los métodos: paralelogramo, triángulo, polígono.
Componentes rectangulares de un vector: en el plano y en el espacio.
Suma de vectores por el método de las componentes rectangulares.
Producto escalar por vector.
Producto escalar de vectores.
Producto vectorial de vectores.
Derivada de un vector
Nota: En el desarrollo de este módulo se asume que los estudiantes ya cursaron Geometría Vectorial. Es
decir, el módulo considera sólo un breve REPASO.
I.



¿Qué es un vector?
Las magnitudes físicas se pueden clasificar en escalares y vectoriales.
Las magnitudes escalares tienen sólo tamaño (que de ahora en adelante se denominará módulo o
simplemente magnitud). Son ejemplos de estas: el tiempo, la masa, la rapidez, la longitud de un
recorrido, la energía, el trabajo, el voltaje, la potencia.
Las magnitudes vectoriales poseen además de módulo, dirección y sentido. Se representan mediante un
segmento orientado (flecha), como lo indica la figura 1.
Figura 1
La dirección de la cantidad vectorial, está dada por el valor del ángulo que define la pendiente de la
recta sobre la cual se "apoya" la "flecha" que la representa. El sentido queda definido por la
"cabeza" o "punta" de la misma. El tamaño (módulo o magnitud) del vector lo da el tamaño de dicha
"flecha". Así por ejemplo, si la cantidad vectorial se duplica, la "flecha" que la representa se deberá
dibujar de doble tamaño.
Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la posición, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración,
la fuerza, la cantidad de movimiento (momentum), la elongación, el peso, el campo eléctrico, el
campo magnético.
Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas o
minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, por ejemplo b, que
significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección (incluyendo el sentido dentro de la
dirección). En la escritura manual se suele poner una flecha sobre la letra,
b.
La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o simplemente
la letra,
II.
b = b.
Clasificación de vectores
Línea de acción de un vector es la recta a la que pertenece el vector, Figura 2.
Figura 2
Vectores paralelos
Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas e igual sentido, Figura 3.
Figura 3
Vectores antiparalelos
Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas y sentido opuesto, Figura 4.
2
3
Figura 4
Vectores iguales
Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido aunque no tengan el mismo punto
de aplicación, Figura 5.
Figura 5
Vector opuesto de un vector
Es aquel que tiene la misma magnitud del vector, pero está rotado 180° respecto a éste, Figura 6.
Figura 6
Vectores fijos
Son aquellos vectores que no pueden deslizarse sobre su línea de acción. Su origen está anclado al punto de
aplicación. Ejemplos son: el vector posición (Figura 7), la velocidad (Figura 7), el campo eléctrico.
4
Figura 7
Vectores deslizantes
Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su magnitud y dirección.
Ejemplo. Las fuerza que actúan sobre los cuerpos rígidos, Figura 8.
Figura 8
Vectores libres
Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas.
Ejemplo. El torque de una cupla (también denominado par de fuerzas), Figura 9.
Figura 9
Vector unitario (versor de un vector)
Es un vector de magnitud 1 y de igual dirección del vector dado, Figura 10.
Se obtiene
dividiendo el vector entre su magnitud,
û =
a
a
[1]
5
Figura 10
Ejemplos de versores son los que representan las direcciones de los ejes cartesianos (eje x, î ; eje y, ˆj ;
eje z, k̂ ), Figura 11.
Figura 11
III.
Suma de vectores por los métodos: paralelogramo, triángulo, polígono
Para sumar vectores se emplean diferentes métodos: el método del paralelogramo, el método del triángulo,
el método del polígono y el método de las componentes rectangulares. A continuación se tratarán los tres
primeros.
Método del paralelogramo
En este método, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el
vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá
también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal. En la Figura
12 se ilustra este método.
6
Figura 12
Para realizar los cálculos se emplear las leyes de seno y coseno.
Ley de cosenos:
s2 = a 2 + b2 - 2abcosφ
[2-a-]
a 2 = s2 + b2 - 2sbcosα
[2-b-]
b2 = s2 + a 2 - 2sacosβ
[2-c-]
Ley de senos:
a
b
=
senα
senβ
[3-a-]
b
s
=
senβ
senφ
[3-b-]
a
s
=
senα
senφ
[3-c-]
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método del
paralelogramo. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 12. En ésta
hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
7
Figura 12
Ejemplo 1:
Dados dos vectores: a de 6,00 unidades haciendo un ángulo +36,0o con el eje X;
b
de 7,00 unidades y
apuntando en la dirección negativa del eje X, Figura 13. Hallar la suma de los dos vectores.
Figura 13
Solución:
En la Figura 14 se ilustra la suma de los dos vectores empleando el método del paralelogramo. Aplicandola
ley de cosenos se obtiene,
Figura 14
s2 = a 2 + b2 - 2abcos36o
s 2 =  6,00 u  +  7,00 u  - 2   6,00 u    7,00 u  cos36,0o
2
2
s = 4,13 u
La dirección se obtiene calculando el ángulo que forma con el eje X. Aplicando ley de senos,
s
b
=
o
sen36,0
senφ
senφ =
b sen36,0o
s
senφ =
 7,00 u   sen36,0o
 4,13 u 
senφ = 0,996 2
φ = 85,0o
Por lo tanto el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es igual a,
φ = 36,0o + 85,0o  121,0o
Ejemplo 2:
Dos vectores forman un ángulo de 110,0o. Uno de ellos tiene 20,0 unidades de longitud y hace un ángulo de
40,0o con el vector resultante (vector suma) de los dos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del
vector suma.
Solución:
Figura 15
En la Figura 15 se ilustra la suma de estos dos vectores empleando el método del paralelogramo. Sea b= 20
u, aplicando ley de senos,
8
s
b
=
senφ
senβ
Pero
φ = 70,0o ya que es el suplemento de 110,0o (esta es una propiedad de los paralelogramos), y como
los ángulos interiores de un triángulo suman 180 o, β = 70,0 , entonces,
o
s=
s=
b senφ
senβ
9
 20,0 u ×sen70,00
sen70,0o
s = 20,0 u
Aplicando ley de cosenos,
a 2 = s2 + b2 - 2sbcos40,0o
a 2 =  20,0 u  +  20,0 u  - 2   20,0 u    20,0 u  cos40,0o
2
2
a = 13,7 u
Método del triángulo
En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la
"cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El
vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que
también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas"). En la Figura 16 se ilustra el
método.
Figura 16
En la Figura 16 el vector de color verde es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.
Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del
vector de color verde utilizando la misma escala que se utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y
el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el
ángulo que forma la resultante con una línea horizontal.
Pero no basta con saberlo hacer gráficamente. Se debe aprender a realizar analíticamente. Para ello se
deben utilizar los teoremas del seno y del coseno, y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de
Pitágoras y las definiciones de las funciones seno y coseno.
Ejemplo 3:
Resolver el ejemplo 1 usando el método del triángulo.
Solución:
Figura 17
En la Figura 17 se ilustra la suma de los dos vectores empleando el método del triángulo. Aplicando ley de
cosenos,
s2 = a 2 + b2 - 2abcos36o
s 2 =  6,00 u  +  7,00 u  - 2   6,00 u    7,00 u  cos36,0o
2
2
s = 4,13 u
La dirección se obtiene calculando el ángulo que forma con el eje X. Aplicando ley de senos,
s
a
=
o
sen36,0
senβ
a sen36,0o
senβ =
s
senβ=
 6,00 u  ×sen36,0o
 4,13 u 
senφ = 0,854
10
φ = 58,6o
Por lo tanto el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es igual a,
φ = 180o - 58,6o  121o
Método del polígono
11
Cuando se van a sumar más de dos vectores, se puede sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego
el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, y así sucesivamente
hasta llegar a obtener la resultante final: la suma de vectores es conmutativa y asociativa.
Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la
extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza"
del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la
"cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas").
Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma
diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.
Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la Figura 18
se ilustra la suma de cuatro vectores.
Figura 18
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método del polígono.
Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 19. En ésta hacer las
variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
12
Figura 19
IV.
Componentes de un vector
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina
componentes. En la Figura 20 se ilustra esto.
Figura 20
En esta figura el vector verde tiene como componentes los vectores azul y rojo. Estos últimos sumados
componen al vector verde.
Componentes rectangulares de un vector en el plano
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la Figura 21 se
ilustran las componentes rectangulares del vector verde.
Figura 21
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones:
a x = a cosα
[4-a]
a y = a senα
[4-b]
a = a 2x +a 2y
[5]
13
tanα =
ay
ax
[6]
Estas componentes se pueden escribir en función de los versores correspondientes a los ejes cartesianos,
a = a x ˆi + a y ˆj
[7]
Componentes rectangulares de un vector en el espacio
Componentes rectangulares
Ángulos directores
Figura 22
De la Figura 22 se puede concluir que,
a = a x ˆi + a yˆj + a z kˆ
[8]
a x = a cosθx
[9-a]
a y = a cosθy
[9-b]
a z = a cosθz
[9-c]
En donde
cosθx , cosθy y cosθ z se denominan cosenos directores y cumplen,
cos2θx + cos2θy + cos2θz  1
[10]
es decir los cosenos directores no son independientes.
Ejemplo 4:
Una fuerza F tiene magnitud igual a 10,0 N y dirección igual a 240,0º. Encontrar las componentes
rectangulares y representarlas en un plano cartesiano.
Solución:
Calcular las respectivas componentes:
Fx = 10,0N   cos240,0o  = -5,00 N
Fy = 10,0N   sen240,0o  = -8,66 N
El resultado lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5,00 N y apunta en
dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8,66 N y apunta en el sentido
negativo del eje Y. Esto se ilustra en la Figura 23.
Figura 23
Adicionalmente el vector se puede escribir en función de sus componentes rectangulares,
F = -5,00 ˆi - 8,66 ˆj N


14
Ejemplo 5:
En la Figura 24 se ilustra un poste vertical AE que está sujetado por cables (tensores) AB, AC y AD. Si la
fuerza de tensión F en el cable AD tiene una magnitud igual a 1 200 N, escribir esta fuerza en forma
vectorial.
15
Figura 24
Solución:
A: (0,0 m, 0,0 m, 3,6 m)
D: (1,2 m, 1,8 m, 0,0 m)
Nota: Dado un sistema de coordenadas, a cada punto del espacio se le puede asignar un vector posición y
solo uno (es decir un vector cuya “cola” está anclada en el origen del sistema de coordenadas elegido y cuya
“cabeza” está ubicada en dicho punto). Por lo tanto al punto A se le asigna el vector posición A y al punto
D se le asigna el vector posición D . Las componentes rectangulares de estos vectores corresponden a las
respectivas coordenadas de los puntos,
A = 3,6 kˆ  m
D = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj m


El vector AD es igual a la diferencia de los vectores posición D y A (FINAL menos INICIAL),
AD  D-A= 1, 2  0, 0  ˆi  1,8  0, 0  ˆj   0  3, 6  kˆ  m
AD = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 kˆ  m
La fuerza de tensión en el cable AD se escribe,

 AD 
F = Fuˆ F = F 
 = 1 200  

AD




 N
2
2 
2
1,2  + 1,8 +  -3,6  
1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 kˆ
F = 342,86 ˆi + 514,29 ˆj - 1 028,57 kˆ  N
16
F = 3,4x102 ˆi + 5,1x102 ˆj - 1,0x103 kˆ  N
V.
Suma de vectores empleando el método de las Componentes Rectangulares
Cuando se suman vectores, se puede optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego
realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las
resultantes en las direcciones x e y.
A continuación se ilustra este método mediante un ejemplo. Este será en la mayor parte de los casos el
método que se usará a través del curso.
Ejemplo 6:
Sumar los vectores de la Figura 25 mediante el método de las componentes rectangulares: a=8,00 u,
b=7,50 u, c= 4,30 u, d=7,80 u.
Figura 25
Lo primero que se debe hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarse mejor (las
colas deben anclarse al origen). Esto se ilustra en la Figura 26.
17
Figura 26
Calcular las componentes rectangulares:
a x =  8,00 u   cos50,0o  = 5,14 u
a y =  8,00 u   sen50,0o  = 6,13 u
b x =  7,50 u   cos 0o  = 7,50 u
b y =  7,50 u   sen0o  = 0 u
c x =  4,30 u   cos120,0o  = -2,15 u
c y =  4,30 u   sen120,0o  = 3,72 u
d x =  7,80 u   cos200,0o  = -7,33 u
d y =  7,80 u   sen200,0o  = -2,67 u
A continuación se realiza la suma de las componentes en X y de las componentes en Y:
Sx = 5,14 u + 7,50 u - 2,15 u - 7,33 u = 3,16 u
Sy = 6,13 u + 0 u + 3,72 u - 2,67 u = 7,18 u
Se representa estos
dos vectores en el plano cartesiano y de una vez se hace la composición (suma
vectorial de las componentes
Sx y Sy ), Figura 27
Figura 27
Se calcula ahora el módulo de la resultante y su dirección:
S = S2x +S2y =
3,16 u  +  7,18 u 
2
2
= 7,84 u
 Sy 
 7,18 u 
α = tan -1   = tan -1 
= 66,2o

 3,16 u 
 Sx 
18
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método de las
componentes rectangulares. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 28.
En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 28
Resta de Vectores
Para restar vectores se aprovecha del elemento inverso de la suma. Así la resta de dos vectores se puede
ver como una suma:
 
a - b = a + -b
El negativo de un vector es otro vector con sentido contrario. De ahí en adelante la operación sigue como
una suma de vectores.
En la Figura 29 se ilustra un ejemplo de una resta.
19
Figura 29
Ejemplo 7:
Para los vectores del ejemplo 1 encontrar b - a .
Solución:
En la Figura 30 se ilustra la operación
R = b - a = b +  -a  usando el método del triángulo.
Figura 30
Aplicando la ley de cosenos,
R 2 = a 2 + b2 - 2abcos144,0o
R 2 =  6,00 u  +  7,00 u  - 2  6,00 u  7,00 u  cos144,0o
2
R = 12,37 u
Aplicando ley de senos,
R
b
=
o
sen144,0
senβ
2
senβ =
b sen144,00
R
senβ =
 7,00 u  0,588
12,37 u 
β = 19,44o
20
φ = 196,56o
Por lo tanto R mide 12,4 u y forma un ángulo igual a 197o con el eje X.
VI.
Producto de un Escalar por un Vector
El producto de un escalar por un vector da como resultado otro vector que tiene la misma dirección que el
vector factor. Si el número que multiplica al vector es positivo, conservará el sentido y si es negativo
invertirá su sentido. Si el número además es mayor que uno el vector resultante será proporcionalmente
mayor que el vector factor. Si el número es menor que uno el vector resultante será proporcionalmente
menor que el vector factor. En la Figura 31 ilustramos varios ejemplos de producto de escalares por
vectores.
Figura 31
VII.
Producto Escalar de dos Vectores
Al producto escalar entre dos vectores
a y b se denota como a b . Por definición es el resultado de la
magnitud del vector a por la magnitud del vector b por el coseno del ángulo que forman entre ellos,
a  b  abcosφ
[11]
El resultado de este producto es una cantidad escalar. Si se observa la Figura 32 se puede interpretar
esta operación vectorial como el producto de la proyección del vector a sobre el vector b por la magnitud
de b y viceversa.
Muchas relaciones físicas se pueden expresar como este producto (por ejemplo, el concepto de trabajo).
Para operar, se llevan los dos vectores a un origen común, siendo  el ángulo que forman entre sí los
vectores a y b .
Figura 32
El producto escalar es un número, no es un vector y puede ser positivo, negativo o nulo.
Si el ángulo entre los vectores es menor que 90º el producto escalar es positivo, si es mayor que 90º pero
menor que 180º el producto es negativo y si es igual a 90° el producto escalar es nulo.
Atención:

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.

Producto escalar de los versores que dan las direcciones de los ejes cartesianos,
ˆi  ˆi = 1
ˆi  ˆj = 0
ˆi  kˆ = 0
ˆj  ˆi = 0
ˆj  ˆj = 1
ˆj  kˆ = 0
kˆ  ˆi = 0
kˆ  ˆj = 0 ”
kˆ  kˆ = 1
Ejemplo 8:
Dos vectores a y b cuyas magnitudes son iguales a 20,4 unidades (u) y 30,6 unidades (u) forman un
ángulo de 60,0º, calcular su producto escalar.
Solución:
Según la definición,
a  b  abcosφ
[11]
por lo tanto:
a  b   20,4 u  30,6 u  cos60,0o = 312 u 2
Producto escalar en componentes rectangulares
Sean,
21
a = a x ˆi + a yˆj + a z kˆ
b = bx ˆi + b y ˆj + bz kˆ
entonces,


a  b = a x ˆi + a y ˆj + a z kˆ  b x ˆi + b y ˆj + b z kˆ

a  b = a x b x ˆi  ˆi + a x b y ˆi  ˆj + a x b z ˆi  kˆ + a y b x ˆj  ˆi + a y b y ˆj  ˆj + a y b z ˆj  kˆ +
+ a z b x kˆ  ˆi + a z b y kˆ  ˆj + a z b z kˆ  kˆ
a  b = a x bx + a y b y + a z b z
[12]
El ángulo  entre dos vectores se puede calcular empleando el producto escalar,
a b = a x bx + a y b y + a z b z = abcos
cosφ =
a  b a x bx + a y b y + a z bz

ab
ab
[13]
en donde,
a = a 2x +a 2y +a 2z
b = b2x +b2y +bz2
Ejemplo 8:
Calcular el ángulo que forman las cuerdas AC y AD de la Figura 33.
22
23
Figura 33
Solución:
A = 3,6 kˆ  m
C = 0,9 ˆi - 1,2 ˆj m
D = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj m


Si
α es el ángulo entre ambas cuerdas, según la ecuación [13] se obtiene,
cosα =
AC  AD
AC AD
como,
AC = C - A =  0,9 ˆi - 1,2 ˆj - 3,6 kˆ  m


AD = D - A =  1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 kˆ  m
AC 
 0,9 m
2
  1, 2 m    3,6 m   3,9 m
AD 
1, 2 m
2
 1,8 m   3,6 m   4, 2 m
2
2
2
2
24
Por lo tanto,
cosα =
 0,9 m1,2 m +  -1,2 m1,8 m +  -3,6 m -3,6 m
3,9 m 4,2 m
α = 43,5o
α = 44o
VIII. Producto Vectorial de dos Vectores
Al producto vectorial entre dos vectores a y b se denota como a × b . Ejemplos de la física que emplean
esta operación son el torque y la fuerza magnética.
Para definirlo se lleva ambos vectores a un origen común. A diferencia con el producto escalar, el resultado
de este producto es un vector, cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a los vectores a y b ,
cuyo sentido se obtiene aplicando la denominada regla de la mano derecha y cuyo módulo (magnitud) es igual
al producto entre las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo que forman, Figura 34,
a×b  absenφ
[14]
Regla de la mano derecha:
El sentido del producto vectorial a × b se obtiene aplicando la regla de la mano derecha: se coloca la palma
de la mano derecha en la dirección del vector a y se envuelven los dedos en el sentido de rotación hacia el
vector b eligiendo siempre el menor ángulo posible manteniendo erecto el pulgar. El sentido en que apunta
el pulgar, es el sentido del producto vectorial a × b , Figura 34.
Como se puede observar no es lo mismo hacer el producto vectorial de a × b que el de b × a . Un vector se
define por: el módulo, la dirección y el sentido. En los dos casos tanto el módulo como la dirección no
cambian pero el sentido es opuesto, Figura 34.
El producto vectorial es anticonmutativo. Es decir que:
a × b = - ba
25
Figura 34
Atención:

Si los vectores a y b son paralelos (ángulo entre ellos igual a 0º) o antiparalelos (ángulo entre ellos
igual a 180º) el producto vectorial será nulo. En particular, el producto vectorial de un vector por sí
mismo es cero.

Producto escalar de los versores que dan las direcciones de los ejes cartesianos,
ˆi × ˆi = 0
ˆi × ˆj = kˆ
ˆi × kˆ = - ˆj
ˆj × ˆi = - kˆ
ˆj × ˆj = 0
ˆj × kˆ = ˆi
kˆ × ˆi = ˆj
kˆ × ˆj = - ˆi
kˆ × kˆ = 0
Regla nemotécnica: El producto de dos de los vectores da como resultado el otro, con signo positivo si es en
el sentido indicado por la Figura 35 y negativo en el sentido contrario.
Figura 35
Producto vectorial de dos vectores en componentes rectangulares
Sean,
a = a x ˆi + a yˆj + a z kˆ
26
b = bx ˆi + b y ˆj + bz kˆ
entonces,

 
a  b = a x ˆi + a y ˆj + a z kˆ  b x ˆi + b y ˆj + bz kˆ

a  b = a x bx ˆi  ˆi + a x b y ˆi  ˆj + a x b z ˆi  kˆ + a y b x ˆj  ˆi + a y by ˆj  ˆj + a y b z ˆj  kˆ + a z bx kˆ  ˆi +
+ a z b y kˆ  ˆj + a z b z kˆ  kˆ
ˆi
j
a×b = a x
bx
ay
by
kˆ
a z =  a y b z - a z b y  ˆi -  a x b z - a z b x  ˆj +  a x b y - a y b x  kˆ
bz
[15]
Ejemplo 9:
Calcular un versor ortogonal y saliente al plano al cual pertenecen las cuerdas AD y AB de la Figura 35.
Calcular ahora el versor ortogonal a ese plano pero entrante.
27
Figura 35
Solución:
A = 3,6 kˆ  m
B = - 2,7 ˆi  m


D = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj m


El versor ortogonal saliente es,
û s =
AD×AB
AD×AB
pero,
AD = D - A =  1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 kˆ  m


AB = B - A =  - 2,7 ˆi - 3,6 kˆ  m
AD 
1, 2 m
AB 
 2,7 m
2
 1,8 m   3,6 m   4, 2 m
2
2
2
+  3,6 m   4,5 m
2
28
El versor ortogonal entrante es,
1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 kˆ  × - 2,7 ˆi -3 ,6 kˆ  m2
 

û s = 
 4,2 m  4,5 m 
- 6,48 ˆi +14,04 ˆj + 4,86 kˆ  m2

û s = 
4,2
m
4,5
m



ûs = - 0,34 ˆi + 0,74 ˆj + 0,26 kˆ
Este resultado se ilustra en la Figura 36
Figura 36
El versor ortogonal entrante,
uˆ s = - uˆ s  0,36 ˆi - 0,74 ˆj - 0,026 kˆ
IX.
Derivada de un vector
Casi en la totalidad de los casos, en física, los vectores van a variar con respecto al tiempo, en otras
palabras son vectores que dependen del tiempo. Antes de continuar es muy importante recordar que un
vector se compone de módulo y dirección (incluyendo el sentido dentro de esta), y que por lo tanto éste
puede variar, en módulo o en dirección o en ambas cosas a la vez, y que en todos los casos admitiría
derivada.
Figura 37
Teniendo en cuenta que un vector puede expresarse en función de su vector unitario de la forma, Figura
37:
a = auˆ a
si se deriva esa expresión,
duˆ
da
da
=
uˆ a + a a
dt
dt
dt
Como,
û a =  cosφ  ˆi +  senφ  ˆj
Entonces,
duˆ a
 dφ 
 dφ 
=  -senφ    ˆi +  cosφ    ˆj
dt
 dt 
 dt 
duˆ a
 dφ 
=  -senφ  ˆi +  cosφ  ˆj  
dt
 dt 
29
Observar que,
û n =  -senφ  ˆi +  cosφ  ˆj
En donde
û n es ortogonal a û a , Figura 38,
30
Figura 38
Por lo tanto,
duˆ a  dφ 
=   uˆ n
dt  dt 
[16]
Obteniéndose,
da
da
 dφ 
=
uˆ a + a   uˆ n
dt
dt
 dt 
[17]
Como se observa, la derivada de un vector puede descomponerse en dos vectores:
• El primer sumando es un vector en la dirección y sentido de
vector unitario.
• El segundo sumando es un vector normal al vector
a , ya que tiene la dirección y sentido de su
a.
Si sólo cambia la dirección del vector solo permanece la segunda componente y si sólo cambia la magnitud
permanece la primera componente.
Ejemplo 10:

El vector V tiene

ortogonal a V .

dV
su módulo constante pero su dirección cambia con el tiempo. Demostrar que
es
dt
Solución:
Según la ecuación [17],
dV
dV
 dφ 
=
uˆ V + V   uˆ n
dt
dt
 dt 
En donde φ es el ángulo que forma V . Como este vector mantiene su magnitud constante, esta expresión
se reduce a,
dV
 dφ 
= V   uˆ n
dt
 dt 
que corresponde a un vector ortogonal a V .
Taller
1.
Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de (a) 0 o, (b) 60o, (c) 90o, (d)
150o y (e) 180o. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección respecto al vector más pequeño.
Rp: (a) 15 unidades, 0o; (b) 13,1 unidades, 35 o 27’; (c) 10,8 unidades, 56 o 19’; (d) 4,8 unidades, 111o 36’;
(e) 3 unidades 180o.
(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)
2. Dos vectores forman un ángulo de 110o. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de
40o con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.
Rp: 13,7 unidades; 20 unidades.
(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)
3. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60o, (b) 900 y (c) 120o.
Encontrar la magnitud de su diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor.
Rp: 9,2 unidades, -49o; (b) 12,8 unidades, -38o 40’; 15,6 unidades, -26o.
31
(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)
4. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo
forman un ángulo de 50o, mientras que el segundo y tercero forman un ángulo de 75 o. Encontrar la
magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor (emplear el método de las
componentes rectangulares).
32
Rp: 9,92 unidades, 45o 45’.
(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)
5. Considerar los vectores:

V2  î - ĵ

V1  î  ĵ
Calcular:



(a) 10V1  5V2


(b) V1  V2

(c) V1  V2


6. Considerar el vector velocidad V  2î  ĵ - k̂
(a) Calcular la longitud del vector

V
 ms
(b) Hallar el vector unitario en la dirección de




V



r1  2î  2 ĵ  k̂ m y r2  2î  10ĵ  11k̂ m


(a) Encontrar la proyección del vector r1 sobre el vector r2 . Ilustrarla gráficamente.


(b) Encontrar la proyección del vector r2 sobre el vector r1 . Ilustrarla gráficamente.

(c) Encontrar las proyecciones del vector r1 sobre los versores î , ˆj y k̂ . Ilustrar los resultados
7. Sean
gráficamente.
8. Sin evaluar cada cantidad en detalle, demostrar que cada una de las siguientes cantidades es igual a
cero o al vector nulo:
(a)
(b)
V  V  10 V 
V  V  V  V 




1
2
1
2
1
 
1
2
(c) 10î - 5ĵ  î  5ĵ
9. Encontrar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores:



V1  2î  2 ĵ  k̂ cm



V2  2î  10ĵ  11k̂ cm
Ilustrar esto gráficamente.
10. Encontrar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores:




V1  10î  ĵ cm


V2  2î  10ĵ cm
 

V3  12k̂ cm
Ilustrar esto gráficamente.
33
11. Considerar el vector



m
V  î cos 10t   ĵ sen 10t 
s
en donde t es tiempo:
(a) Mostrar que

V
tiene longitud constante.

 dV
(b) Calcular a 
dt


dV
(c) Verificar que
es ortogonal a V .
dt
(d) ¿A qué magnitudes físicas se refieren

V

dV
y
?
dt
12. Calcular los cosenos directores del vector fuerza:



F  2î  2 ĵ  k̂ N
13. Dados los puntos A (3 m, 0 m, -2 m); B (1 m, -1 m, 3 m); C(-2 m, 3m, -4 m) obtener:

S  AB  BC

el módulo del vector D  C B C A
 
el ángulo entre los vectores S y D .
(a) el módulo del vector
(b)
(c)
Nota: AB en negrillas significa el vector que va desde el punto A hasta el punto B (análogamente BC ,
CB , CA ).
Rp. (a) 6,16 m (b) 5,48 m (c) 95,1o.
14. En la cuña de la Figura 39 obtener un vector unitario saliente y normal al rectángulo ABCD.
34
Figura 39
Rp:
0,6î  0,8k̂
15. En la Figura 40 las longitudes están expresadas en m. Calcular: (a) la longitud de la viga, (b) el ángulo
entre los cables AB y AC, (c) un versor ortogonal al plano donde se encuentran los cables AB y AC
(discutir posibles soluciones), (d) si la magnitud de la fuerza que ejerce el cable AC sobre la barra PA
es igual a 100 N, expresar esta fuerza vectorialmente (ayuda: calcular el versor que expresa la
orientación AC y multiplicarlo por la magnitud de la fuerza).
Figura 40
FIN
REFERENCIAS:

Londoño M., Introducción a la Mecánica, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, 2003.

Singer F., Mecánica para Ingenieros, Estática, Ed Harla, México, 1979.

Finn E., Alonso M., Física, Vol. I: Mecánica, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1980.
35