1.- Señalar la relación que existe entre igualdad de razones y el

Lección 2.9
PROPORCIONES
Objetivos:
1.- Señalar la relación que existe entre igualdad de razones y el
concepto de "proporción".
2.- Mencionar los términos de una proporción.
3.- Nombrar la propiedad fundamental de las proporciones.
4.- Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución
de problemas de regla de tres simple.
La aplicación práctica del conocimiento de las proporciones se las debemos a los matemáticos
italianos del Renacimiento
Si dos razones son iguales, los cuatro números que las constituyen están en
proporción. Por ejemplo :
21
=3
7
6
=3
2
entonces :
21 6
=
7
2
En general:
a c
=
b d
esto es :
a : b :: c : d
que se lee " a es a b como c es a d". El signo de proporción (::) puede
considerarse como equivalente al signo de igualdad (=).
Recíprocamente, una proporción es la igualdad de dos razones
a : b :: c : d
lo que significa :
a c
=
b d
y la igualdad entre ellas significa que el valor a es tantas veces mayor (o
menor) que el valor b, como c lo es con respecto a d. En nuestro ejemplo
tenemos que:
21 : 7 :: 6 : 2
esto es :
21
=3
7
6
=3
2
entonces :
21 6
=
7
2
Así :
21 es 3 veces mayor que 7,
como 6 es 3 veces mayor que 2
En una proporción
el primero y el último términos son los extremos de la proporción, el segundo y
tercero (o términos intermedios), son los medios.
Si se conocen tres números cualesquiera de una proporción, pero se
desconoce el cuarto, puede hallarse el valor del número desconocido
considerando que la razón debe conservarse.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
DE LAS PROPORCIONES
" El producto de los medios es igual al producto de los extremos"
Esta propiedad de las proporciones sirve de base para resolver problemas
llamados de "regla de tres" , que no es más que una operación que tiene por
objeto hallar el cuarto término de la proporción, cuando se conocen tres de
ellos.
Consideremos una proporción, con tres términos conocidos y uno desconocido,
por ejemplo
Según la propiedad fundamental, el producto de los extremos 22 por x tiene
que ser igual al producto de los medios,
11× 10 = 110
entonces :
22 × x = 110
O sea, 22 veces x es igual a 110, entonces el número x tiene que ser 5 y la
proporción es:
22 : 11 :: 10 : 5
siendo la solución de la proporción x = 5.
En este caso se multiplican los medios conocidos y el producto se dividió por el
extremo conocido, siendo el cociente el extremo desconocido que se buscaba.
Supongamos que el término desconocido en una proporción es uno de los
medios. Así por ejemplo:
¿ cuál es el valor de x ?. En este caso también, según la propiedad fundamental,
7 por x es igual a 42 por 5, esto es :
7 × x = 210
y por lo tanto :
x=
210
= 30
7
En este caso, para hallar el medio desconocido, el producto de los extremos se
divide por el medio conocido.
La utilidad y el significado real de los principios de las proporciones radica
en poder expresar el problema en función de símbolos aritméticos de modo que
el cálculo dé el resultado que se busca, en esta lección se han incorporado los
siguientes ejemplos con el fin de ilustrar el procedimiento más sencillo conocido
como:
Regla de tres simple directa.Ejemplo ilustrativo 1.Si 4 libros cuestan $ 8, ¿cuánto constaran 15 libros?
Solución:
Como que a más libros, más pesos, estas cantidades son directamente
proporcionales, así que igualamos sus razones:
4 : 15 :: 8 : x
4 8
=
15 x
entonces:
x=
8 ×15
= 30
4
Regla de tres simple inversa.Ejemplo ilustrativo 2.4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma
obra 7 hombres?
Solución:
Como que a más hombres, menos días, estas cantidades son inversamente
proporcionales, así tendremos:
4 es inversamente proporcional a 12 y 7 es inversamente proporcional a x, esto
es:
4=
k
12
... (1)
7=
k
x
.... (2)
despejando k de ( 1 ) y ( 2 ) tenemos:
12 x 4 = k
7xx=k
igualando a k
(12)(4)=(7)(x)
x=
12 × 4
6
=6
7
7
Regla de tres compuesta.Ejemplo 3.3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10
días. ¿ Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para
hacer 60 metros de la misma obra?
Solución:
Hombres
3
5
Horas diarias
8
6
metros
80
60
días
10
x
El método de las proporciones consiste en descomponer la Regla de tres
compuesta en Reglas de tres simples y luego multiplicar ordenadamente las
proporciones formadas:
En este caso tenemos 3 proporciones:
3 hombres
5 hombres
10 días
y días
A más hombres,
menos días
Y días
Y' días
8 horas
6 horas
A más días, menos
horas
Y' días
X días
80 metros
60 metros
A más días, más
metros
5 10
=
3
y
6 y
=
8 y'
80 y'
=
60 x
Multiplicando término a término las proporciones, tenemos:
5 × 6 × 80 10 × y × y '
=
3 × 8 × 60
y × y '×x
Simplificando, queda:
5 10
=
3
x
despejando:
x=
10 × 3
= 6 días
5
Proporción
inversa
Proporción
inversa
Proporción
directa