+ xy 74 8 8 10

Capítulo 9 / Sección 9.1
51
SOLUCIONES
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución.
a. 6 x  6 y  78
b. 2 x  7 y  76


 10 x  y  53
 x  8 y  74
Se resuelve la ecuación (2) por y
Se resuelve la ecuación (2) por x
y  53  10 x
Se sustituye 53  10 x por y en la ecuación
x  74  8 y
Se sustituye 74  8 y por x en la ecuación
(1) y se resuelve la ecuación resultante por
la variable x.
(1) y se resuelve la ecuación resultante por
la variable y.
6 x  6  53  10 x   78
2  74  8 y   7 y  76
6 x  318  60 x  78
66 x  396
x  6
Se sustituye hacia atrás
Se sustituye hacia atrás
x  74  8  8   10
148  16 y  7 y  76
y 8
y  53  10  6   7
Así, x  10, y  8
La solución se puede escribir como el par
Así, x  6, y  7
La solución se puede escribir como el par
ordenado (10,8).
ordenado (6, 7).
2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación.
a.
2 x  5 y  12

7 x  2 y  11
Se multiplica la ecuación (1) por 7 y la
ecuación (2) por -2
7 2 x  5 y  12

2 7 x  2 y  11
14 x  35 y  84

 14 x  4 y  22
Se suman ambas ecuaciones
14 x  35 y  84
14 x  4 y  22
 31 y  62
y2
Se sustituye hacia atrás y  2 y se
resuelve por 𝑥.
b.
 3x  4 y  6

9 x  12 y  18
Se multiplica la ecuación (1) por -3
3  3 x  4 y  6

9 x  12 y  18
9 x  12 y  18

 9 x  12 y  18
Se suman ambas ecuaciones
9 x  12 y  18
9 x  12 y  18
00
Por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene
infinitas soluciones.
Solución general:
52
9.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Capítulo 9 / Sistemas de Ecuaciones
2 x  5  2   12
xt
4
y  t2
3
, donde t es cualquier número real.
x  1
Así, x  1, y  2. La solución se puede
escribir como el par ordenado (−1,2)
En
notación
de
conjunto
es
 4


 t , t  2  : t es real 

 3

c.
 6  2 x  3 y

7
 5
1  9 y   18 x
d.
Se ordenan las ecuaciones.
 2 x  3 y  6

5
7
18 x  9 y  1
Se multiplica la ecuación (2) por 2
(1)
(2)
Se multiplica la ecuación (1) por 7/18 y la
ecuación (2) por -2.
7  2 x  3 y  6
87
5
2  x  y  1
9
18
21
42
14
18 x  18 y   18

  14 x  10 y  2
 18
9
Se suman ambas ecuaciones
14
21
42
x y 
18
18
18
14
10
 x y  2
18
9
1
1
y
18
3
y  6
Se sustituye hacia atrás y  6 y se
resuelve por 𝑥.
6  2 x  3  6 
x6
1
1
 3 x  5 y  7

 1 x  2 y  4
 6
5
1
1
 3 x  5 y  7

2 1
2
x  y  4
 6
5
1
1
x

y7
 3
5

 1 x  4 y  8
 3
5
Se suman ambas ecuaciones
1
1
x y 7
3
5
1
4
 x y 8
3
5
y  15
Se sustituye hacia atrás y  15 y se resuelve
por 𝑥.
1
1
x  15   7
3
5
x  12
Así, x  12, y  15. La solución se puede
escribir como el par ordenado 12,15 
Capítulo 9 / Sección 9.1
53
Así, x  6, y  6. La solución se puede
escribir como el par ordenado (6, −6)
3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico.
a.
 x y 7

2 x  y  2
b.
La solución es (3,4).
 x  2y  5

4 x  y  13
La solución es (3,1).
4. Encuentre dos números sabiendo que la mitad de su suma es 218 y el doble de su diferencia es 116.
Sean 𝑥, 𝑦 los números.
Se traduce la información del problema a ecuaciones y se pasa a resolver.
 x y
 218

y este sistema es
 2
2  x  y   116

x  y  436
x  y  58
2 x  494
x  247
 x  y  436

 x  y  58
Se suman ambas ecuaciones para eliminar la variable 𝑦 y se resuelve por 𝑥
Se sustituye hacia atrás x  247 y se resuelve por y.
247  y  436
y  189
Los números son 247 y 189.
54
9.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Capítulo 9 / Sistemas de Ecuaciones
5. En un triángulo isósceles de 14 cm. de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que cada uno de
los otros dos lados. ¿Cuánto miden los lados?
Sea 𝑥 la medida de los lados iguales y 𝑦 la medida del lado desigual del triángulo.
Se traduce la información del problema a ecuaciones y se pasa a resolver.
2 x  y  14

y este sistema es
1

 y  3 x
 2 x  y  14

 1
 3 x  y  0
 2 x  y  14

Se multiplica la ecuación (2) por -2
 1
1  x  y  0
 3
2 x  y  14
1
x y 0
3
7
x  14
Se suman ambas ecuaciones para eliminar la variable 𝑦 y se resuelve por x
3
x6
Se sustituye hacia atrás x  6 y se resuelve por 𝑦.
2  6   y  14
y2
Los lados iguales miden 6 cm y el lado desigual mide 2 cm.
6. Un comerciante compró dos relojes distintos por $300 y los vendió por $322.50. ¿Cuánto pago por
cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%?
Sea x, y los precios de los relojes. Se traduce la información al lenguaje matemático.
x  y  300


0.2 x  0.05 y  22.50
x  y  300

Se multiplica la ecuación (2) por 20

20 0.2 x  0.05 y  22.50
x  y  300
4 x  y  450
5 x  750
x  150
Se suman ambas ecuaciones para eliminar la variable 𝑦
Se sustituye hacia atrás x  150 y se resuelve por 𝑦.
150  y  300
y  150
Compró los relojes en 150 cada uno.
Capítulo 9 / Sección 9.1
55
7. Vanessa invirtió un total de $12,000 en dos cuentas: una que paga 7.5 % de interés simple y la otra que
paga 6 % al mismo tipo de interés. Si al cabo de un año, recibió $840 por intereses, ¿qué cantidad
invirtió en cada cuenta?
Sea 𝑥 la cantidad invertida en la cuenta que paga al 7.5% de interés simple y 𝑦 la cantidad invertida en
la cuenta que paga 6% de interés simple.
Se traduce la información del problema a ecuaciones y se pasa a resolver.
x  y  12000


0.075 x  0.06 y  840
0.06 
x  y  12000
Se multiplica la ecuación (1) por -0.06

0.075 x  0.06 y  840
0.06 x  0.06 y  720

 0.075 x  0.06 y  840
0.015 x  120
x  8000
Se suman ambas ecuaciones para eliminar la variable 𝑥
Se sustituye hacia atrás x  8000 y se resuelve por 𝑦.
8000  y  12000
y  4000
Se invierte 8000 en la cuenta que paga 7.5% de interés simple y 4000 en la cuenta que paga 6% de
interés simple.
8. Una tortuga camina a 0.4m/s y se arrastra a 0.3m/s. Si al realizar un determinado trayecto, la tortuga
camina la primera parte y se arrastra la segunda, tarda 110 segundos. Si la primera parte se arrastra y
la segunda parte camina, tarda 100 segundos. Halla la longitud de las dos partes.
Sea x la longitud de la primera parte y y la longitud de la segunda parte.
Se traduce la información del problema a ecuaciones y se pasa a resolver.
y
 x
 0.4  0.3  110

 x  y  100
 0.3 0.4
y
 x
4

 110
  0.4 0.3
Se multiplica la ecuación (1) por -4/3
3
 x  y  100
 0.3 0.4
56
9.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales Capítulo 9 / Sistemas de Ecuaciones
x 40 y
440


0.3
9
3
x
y

 100
0.3 0.4
35
140
Se suman ambas ecuaciones para eliminar la variable x

y
18
3
y  24
Se sustituye hacia atrás y  24 y se resuelve por 𝑥.
x
24

 110
0.4 0.3
x  12

Es decir, la longitud de la primera parte es 12 m y la de la segunda parte es de 24 m.