APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
1.
4.
dy
6 3x 2
dx
dy
xx
dx
yy
2.
5.
7.
dy Sec2 x
dx tan 2 y
8.
10.
d2y
2x 3 0
dx 2
11.
dy
5 y 0
dx
2
dy 3 x 1 y
dx
y
dy Cos 2 x
0
dx Sen3 y
x dy Sen
y dx
16.
y 3 dy
xy 3 y 3 x
x 4 dx xy 8 2 x 4 y
6.
x y Sen
dy
3 x y2
dx
dy x 2 x3 3
0
dx
y2
d2y
5 x2 1
2
dx
dy Cos3 x
12.
dx Sen3 y
9.
d2y
Sen3 x Cos3 x
dx 2
13. ySec (3 x 1) dy Csc (1 y 2 ) dx 0
15.
3.
14. x 2 y 2 dy
y 3 1 dx 0
x y Cos y
17.
dy
dx
3
2 x
2 y
4)
4y
3
2
y2
R ESPU E ST AS
1)
5)
8)
1 1)
1 3)
16)
17)
y 6 x x3 c
2)
y
5x c
2
3)
y
2
3x2 c
y 3y2 4x
x 3x2 c
(3 x 2 c ) 2 4
2
6) y3
( x 3 3) 3 c 7 ) T g ( y ) y T g ( x ) c
2
3
3
5 4 1 2
1
C o s (3 y ) S en ( 2 x ) c 9 ) y
x x c1 x c 2 1 0 ) y
(2 x 3) 5 2 c1 x c 2
2
12
2
15
1
y ( S en 3 x co s 3 x ) c1 x c 2 1 2 ) C o s (3 y ) S en (3 x ) c
9
2
3
C o s (1 y 2 ) S e n (3 x 1) c 1 4 )
y3 1
c 1 5) T g y 2 C o s x c
3
2x
2
2
( y 3) 3 2 1 0 ( y 3)1 2 ( x 4 ) 3 2 1 0 ( x 4 )1 2 c
3
3
3
3
4 3
4 3
( y 2)
2 x (2 x)
c
4
4
y
EJERCICIOS DE CONDICION INICIAL
1. Determine la familia de curvas cuya pendiente en un punto dado sea igual y de signo
contrario al triple de la abscisa en dicho punto. En particular determine la curva que pasa
por el origen.
2. Obtenga la ecuación de la curva cuya derivada es 2 x - 5 y que pasa por (5,4).
3. Hallar la ecuación de la curva que en el punto (1,1) tiene una recta tangente de ecuación
x+y=1, si se sabe que en cualquier punto de ella se verifica que y’’=x.
4. Determine la ecuación de la curva para la cual y 4 / x 3 y que es tangente a la recta
2x + y = 5 en el punto (1,3).
5. Para una función F cuya derivada es 2 x + 3 , determine el valor de F(5) si se sabe que
cuando x=2 se tiene que y=3.
6. Obtenga una función de tal manera que f ( x ) 1/ x y que F(9)=1.
7. Obtenga una función f tal que f’’(x) = 1, f ’(-1) = 2 y f(-1) = 0.
8. Determine la ecuación de la curva para la cual Y’’’ = 2 y que tiene en el punto de inflexión
(1,3), una recta tangente paralela a y + 2x – 1 = 0.
9. En cada punto de una curva y 3 / x 3 . Hallar la ecuación de la curva si se sabe que
en el punto (1,1) tiene una recta tangente que forma con el eje X un ángulo de 45 grados.
10. Obtenga la ecuación de la curva y f ( x ) si se sabe que f ; f 2 2 8 y
f ( x) 1 2 Sen(2 x) .
11. Determine la ecuación de la curva para la cual y 6 x 2 y que pasa por (0,2) y (1,3).
12. Obtenga la ecuación de la curva que en el punto (1,2) tiene una recta tangente que corta
al eje de las ordenadas en -1/2, si se sabe que en cualquier punto de la curva se cumple
que y x .
13. Determine la ecuación de la curva que pasa por (2,6) y cuya pendiente en cualquiera de
sus puntos es igual a un tercio del cuadrado de su coordenada Y.
14. Si dp dx 1
2a x siendo p 2a cuando x 1 2 a3 . Determine el valor de p
cuando x 2 a 3 .
15. Obtenga la ecuación de la curva que tiene en (0,0) y (1,-1) dos puntos de inflexión, si
para todo punto de la curva se cumple que y IV 26 .
16. Halle la ecuación de la curva que tiene en (-1,5) y (0,0) un máximo y un mínimo,
respectivamente, si se sabe que en todo punto de la curva y IV 72 .
Danilo B.
Respuestas:
1)
4)
8)
10)
13)
16)
3
3
1
3
7
y x2 c ; y x2
2) y x 2 5 x 4 3) y x 3 x
2
2
6
2
3
x2
1
5
y
5) f (5) 33 6) y 2 x 5 7) y x 2 3 x
x
2
2
1
14
y x3 x 2 x
9) y 4 ( x 3)3 11x 20
3
3
1
1
1
1
1
1
y x 2 Sen(2 x) x
11) y x 4 x 2 12) y x3 2 x
2
2
2
2
2
6
6
9
13
13
1
y
14) p 3a 15) y x 4 x3 x
3x 7
12
6
12
48
y 3 x 4 x3 18 x 2
3
0
