1. Si la población de un - Escuela de Matemáticas UIS

Taller
Modelos y Modelamiento
Matemático
Noviembre de 2007
Prof: Gilberto Arenas D.
Universidad
Industrial de
Santander
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas
Nombre:
Código:
1. Si la población de un pais se duplica en 50 años, ¿en cuánto será el triple suponiendo que la velocidad de aumento sea proporcional al número de habitantes?
Solución. Sea P la población a los t años y Po la población en el tiempo t = 0. Se puede escribir
dP
= kP
dt
o
dP
= k dt,
P
siendo k la constante de proporcionalidad.
Integrando se obtiene ln P = kt + c, de donde P (t) = Cekt , utilizando la condición inicial se tiene
P (0) = Po = Cek0 = C. Por consiguiente se obtiene P (t) = Po ekt .
Dado que cuando t = 50 años la población es el doble de la inicial entonces P (50) = 2Po = Po e50k ,
de donde se encuentra que k = ln502 = 0, 013863.
Se necesita encontrar el tiempo que tarda la población en triplicarse, para ello reemplazemos los
datos encontrados:
∗
P (t∗ ) = Po e0,013863·t = 3Po ,
50 ln 3
ln 2 ∗
t = ln 3 =⇒ t∗ =
≈ 79, 248
50
ln 2
Luego, el tiempo que tarde en triplicarse la población es de aproximadamente 79 años.
2. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al número presente.
a) Si se ha hallado que el número se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad de bacterias deben esperarse al cabo de 12 horas?
b) Si hay 104 bacterias al cabo de 3 horas y 4 × 104 al cabo de 5 horas, ¿cuántas habian en un
principio?
Solución. Sea y el número de bacterias a las t horas. Entoces,
dy
= ky,
dt
o bien
dy
= k dt.
y
a) Un proceso análogo al del problema anterior lleva a que x (t) = Cekt .
Suponiendo que x (0) = x0 , implica que C = x0 y en consecuencia x (t) = x0 ekt .
Ahora, como para t = 4, x = 2x0 . Entonces 2x0 = x0 e4k , de donde e4k = 2, k = ln42 .
3
Ası́, se obtiene que x (12) = x0 e12k = x0 e4k = x0 23 = 8x0 , es decir, a las doce horas hay
ocho veces el número inicial de bacterias.
104
b) Cuando t = 3 hay x = 104 . Luego 104 = Ce3k , y en consecuencia C = 3k .
e
4 · 104
4
4
5k
.
Cuando t = 5 hay x = 4 · 10 . Por tanto, 4 · 10 = Ce , y en consecuencia C =
e5k
104
4 · 104
Igualando los valores de C, se tiene C = 3k =
, esto implica que e2k = 4 y ek = 2.
e
e5k
104
104
104
Luego el número inicial de bacterias es C = 3k =
=
= 1250.
3
e
23
(ek )
3. Según la ley de calentamiento de Newton, la velocidad a que se enfrı́a una sustancia al aire libre
es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura
del aire es 30◦ y la sustancia se enfrı́a de 100 a 70 grados en 15 minutos, ¿cuándo será 40◦ la
temperatura de la sustancia?
Solución. Sea T la temperatura de la sustancia a los t minutos. Entonces
dT
= k (T − 30) ,
dt
de donde
dT
= k dt =⇒ ln |T − 30| = kt + c =⇒ T (t) = 30 + Cekt
T − 30
Cuando t = 0, T = 100, entonces 100 = 30 + Ce0k , luego C = 70.
Cuando t = 15, T = 70, entonces 70 = 30 + 70e15k , luego e15k = 74 , entonces k =
ln(4/7)
15
Se quiere encontrar el tiempo necesario para que la temperatura sea de 40 grados.
40 = 30 + 70ekt , esto implica que t =
ln(1/7)
k
=
15 ln(1/7)
ln(4/7)
≈ 52,158.
Luego el tiempo que se demora en llegar la temperatura a 40◦ es de aproximadamente 52 min.
4. Cierto producto quı́mico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aún no disuelta y la diferencia entre la concentración en una solución saturado y la concentración
real. Se sabe que en 100gr de una solución saturada estan disueltos 50 gr de la sustancia. Si se agitan 30 gr del producto quı́mico con 100 gr de agua, en 2 horas se disuelven 10g; ¿cuántos se
disolverán en 5 horas?
Solución.Sea X el número de gramos del producto quı́mico aún no disuelto después de t hora. En
50
30 − X
, y la de una solución saturada es
.
este tiempo la concentración de la solución real es
100
100
Entonces,
dX
20 + X
30 − X
50
= kX
= kX
−
,
dt
100
100
100
de donde
dX
dX
k
−
= dt .
X
X + 20
5
Integrando entre t = 0, X = 30 y t = 2, X = 30 − 10 = 20,
Z
Z 20 1
k 2
1
−
dX =
dt
X
X + 20
5 0
30
se obtiene que k =
5
2
ln 65 ≈ −0,4558.
Integrando ahora entre t = 0, X = 30 y t = 5, X = X,
Z
Z X
1
k 5
1
−
dX =
dt
X
X + 20
5 0
30
se obtiene que
ln
5 5
5X
= k = ln ,
3 (X + 20)
2 6
5
X
= 35 65 2 ≈ 0,38036, y de donde X =
X + 20
la cantidad disuelta después de 5 horas es 30 − 12,277 = 17,723 gramos.
de donde se encuentra que
5
20∗ 35 ( 65 ) 2
5
1− 35 ( 65 ) 2
≈ 12,277. Luego
5. Un tanque de 100 Dl está lleno con salmuera que contiene 60 kg de sal disuelta. Entra agua en el
tanque a una velocidad de 2 Dl por minuto y la mezcla; conservada uniforme mediante agitación,
sale a la misma velocidad. ¿Cuánta sal queda en el tanque después de una hora?
Solución. Sea x el número de kilogramos de sal en el tanque después de t minutos; entonces la
x
(kg/Dl). Durante el intervalo dt entran en el tanque 2 dt Dl de agua y salen 2 dt
concentración es
100
x
2x
dt = 50
dt kg de sal.
Dl de mezcla que contiene 100
x
dt.
Ası́, pues, el cambio dx en la cantidad de sal en el tanque es dx = − 50
Integrando,se obtiene que x = Ce−t/50 . Para t = 0, x = 60, luego C = 60, en consecuencia x =
60e−t/50 . Luego, para t = 60 minutos, x (60) = 60e−60/50 = 60 (0,30119) = 18,071 kg.
6. Se ha encontrado que en una habitación subterránea de 150 × 50 × 12 dm3 hay una concentración de
0,2 % CO2 , por lo que se trata de renovar esa atmósfera con aire más limpio, cuya concentración de
CO2 es del 0,05 %, mediante ventiladores a una velocidad de 9000 dm3 /min. Hállese el porcentaje
de CO2 después de 20 minutos.
Solución. Sea A el número de dm3 de CO2 presentes en el instante t; la concentración de CO2 es,
en ese momento, A/90000. Durante el intervalo dt, la cantidad de CO2 que entra es 9000 (0,0005) dt
A
dm3 y la cantidad que sale es 9000 90000
dt dm3 .
De donde se tiene que el cambio dA en el intervalo es
45 − A
A
dt.
dt =
dA = 9000 0,0005 −
90000
10
Integrando se obtiene
10 ln (A − 45) = −t + c,
y despejando A se tiene
A (t) = 45 + Ce−t/10 .
Ahora, como para t = 0, A = 0,002 (90000) = 180, entonces C = 180 − 45 = 135, y de esta forma se
llega
A (t) = 45 + 135e−t/10 .
Encontremos ahora la concentración cuando t = 20,
A (20) = 45 + 135e−20/10 ≈ 63,27
El porcentaje de CO2 es entonces
63,27
90000
≈ 0,000703 ≈ 0,07 %.
7. Una de las ecuaciones fundamentales en circuitos eléctricos es
L
dI
+ RI = E (t) ,
dt
(*)
donde L (henrios) se denomina la inductancia, R (ohmios) la resistencia, I (amperios) la corriente y
E (voltios) la fuerza electromotriz o f.e.m. Generalmente R y L son consideradas constantes.
a) Resolver la ecuación (*) cuando E (t) = E0 y la corriente inicial es I0 .
b) Resolver la ecuación (*) cuando L = 3 henrios, R = 15 ohmios, E (t) es una onda sinusoidal
de amplitud 110 voltios, ciclo 60, e I (0) = 0.
Solución.
a) Las condiciones dadas hacen que el problema se convierta en uno de valor inicial
(
dI
L + RI = E0
dt
I (0) = I0
Buscando el factor integrantes, se obtiene
Z
E0
E0 Rt/L
Rt/L
Ie
=
e
+ C,
eRt/L dt =
L
R
y por lo tanto I (t) = ER0 + Ce−Rt/L . Utilizando la condición inicial I (0) = I0 =
C = I0 − ER0 , en consecuencia
E0
E0
e−Rt/L .
I (t) =
+ I0 −
R
R
E0
R
+ C, luego
b) La onda sinusoidal de amplitud 110 voltios y ciclo 60 es E (t) = 100 sen (2π (60) t) = 100 sen 120πt,
considerando las condiciones dadas la ecuación a resolver queda de la siguiente forma
3
dI
+ 15I = 110 sen 120πt.
dt
Integrando se obtiene
110
Ie =
3
5t
Z
e5t sen 120πt dt =
en consecuencia
I (t) =
110 5t 5 sen 120πt − 120π cos 120πt
+ C,
e
3
25 + 14400π 2
22 sen 120πt − 24π cos 120πt
+ Ce−5t .
3
1 + 576π 2
Teniendo en cuenta la condición inicial I (0) = 0, se tiene que C =
I (t) =
22·24π
,
3(1+576π 2 )
luego
22 sen 120πt − 24π cos 120πt + 24πe−5t
.
3
1 + 576π 2
8. Otra ecuación importante en circuitos se da cuando el circuito contiene una resistencia R (ohmios) y
un condensador de capacidad C (faradios) en serie y una f.e.m. E (t) (voltios), en este caso la carga
del condensador Q (culombios) está dada por
R
dQ Q
+
= E (t) .
dt
C
Si R = 10 ohmios, C = 10−3 faradios y E (t) = 100 sen 120πt voltios,
a) hallar Q, suponiendo que Q (0) = 0;
b) emplear la ecuación I = dQ/dt para hallar I, suponiendo que I (0) = 5.
Solución.
a) La ecuación queda de la siguiente forma
10
dQ
+ 103 Q = 100 sen 120πt,
dt
integrando se obtiene
100t
Qe
100 sen 120πt − 120π cos 120πt
+K
10000 + 14400π 2
10 sen 120πt − 12π cos 120πt
= e100t
+ K,
100 + 144π 2
= 10
Z
e100t sen 120πt dt = 10e100t
10 sen 120πt − 12π cos 120πt
+ Ke−100t , teniendo en cuenta la condi100 + 144π 2
−12π
3π
ción inicial Q (0) = 0 =
+ K, luego K = 25+36π
2 , por lo tanto
100 + 144π 2
y en consecuencia Q (t) =
Q (t) =
10 sen 120πt − 12π cos 120πt + 12πe−100t
.
100 + 144π 2