CI63F/EL761
Control Inteligente para Problemas
Dinámicos de Transporte
Profesores II-2009:
Cristián Cortés*, Doris Sáez**
Departamento de Ingeniería Civil - Transporte
*Departamento de Ingeniería Eléctrica
Universidad de Chile
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
1
Esquema de control avanzado:
y (t ) = [l1 (t ), l2 (t ) ]
d1 (t ), d 2 (t )
Estimador
demanda
Salidas
l1ref
Control Predictivo
l2ref
Control Óptimo
r1 ( t )
Entrada
l1 (t )
l2 (t )
Sensores
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
2
Modelación en variables de estado
Variables de estado: Representan a las
variables que caracterizan de manera única a
n
un sistema o proceso. x ∈ R
Variables de control o variables
r
manipuladas: Son las variables sobre las u ∈ R
cuales podemos decidir y afectar al sistema.
Variables de salida: Variables que se miden.
y ∈ Rm
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
3
Modelación en variables de estado
Ecuación de estado. Caracteriza al proceso.
x = f ( x, u, t )
x(k + 1) = f ( x(k ), u (k ), k )
Ecuación de salida. Caracteriza a las variables que
se miden del proceso.
y = g ( x, u, t )
y (k ) = g ( x(k ), u (k ), k )
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
4
Modelación en variables de estado
Caso Lineal, invariante, tiempo continuo.
⎧ x′ = Ax + Bu
⎪
( SL) ⎨ y = Cx + Du
⎪ x(t ) = x
0
⎩ 0
x0 ∈ R , A ∈ R
n
C∈R
m× n
n× n
,D∈R
,B∈R
n×r
m×r
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
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Modelación en variables de estado
Dado u(t) (estrategia de control).
x (t ) =
A( t −t0 )
e
x0
t
+e
y ( t ) = Ce
∫e
− Aτ
Bu (τ ) dτ
t0
Respuesta a entrada cero
(Solución homogenea)
A( t −t0 )
At
Respuesta a estado cero
(Solución particular)
t
x0 + Ce At ∫ e − Aτ Bu (τ ) dτ + Du
t0
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
6
Modelación en variables de estado
Controlabilidad.
⎧ x′ = Ax + Bu Este sistema es controlable si existe
⎨
u(t) tal que x(T)=xT dado.
x
(
t
)
=
x
0
⎩ 0
⇔
Criterio de Kalman:
La matriz de controlabilidad ⎡⎣ B, AB,....., An −1 B ⎤⎦ tiene rango n
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
7
Modelación en variables de estado
Observabilidad.
⎧ x′ = Ax
⎪
⎨ y = Cx
⎪ x(0) = x
0
⎩
⇔
Este sistema es observable si
conocido y(t) y u(t) en [0,T], es
posible recuperar la condición inicial
x(0)=x0 dado.
Criterio de Kalman:
⎡ C ⎤
⎢ CA ⎥
⎥ tiene rango n
La matriz de observabilidad ⎢
⎢ # ⎥
⎢ n −1 ⎥
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez,
2009 ⎦
⎣CA
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Modelación en variables de estado
Observabilidad.
y (t ) = Ce At x0
T
e A*t C * y (t ) = e A*t C * Ce At x0 / ∫
0
T
⎛
⎞
A*t
A*t
At
∫0 e C * y (t )dt = ⎜⎝ ∫0 e C * Ce ⎟⎠ x0
T
w T
Si w T es definida positiva ⇒ El sistema es observable
⎛ A*t
⎞
At
x0 = ⎜ ∫ e C * Ce ⎟
0
⎝
⎠
T
w T −1
−1 T
A*t
e
∫ C * y (t )dt ← Para calcular x0
0
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
9
Modelación en variables de estado
Dualidad Controlabilidad - Observabilidad.
⎧ x′ = Ax
( S1) ⎨
⎩ y = Cx
( S 2 ){ z′ = A * z + C * u
(S1) es observable si (S2) es controlable
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
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Control en variables de estado
Caso Lineal, invariante, tiempo continuo.
Teorema de Localización de polos:
Si (A,B) controlable, existe K tal que el control
u(t)=-Kx(t) ubica los polos del sistema en lazo
cerrado en los requerimientos.
⎧ x′ = Ax + Bu
⎪
( SL) ⎨ y = Cx + Du
⎪ x(t ) = x
0
⎩ 0
⇒ u = − Kx ⇒ x′ = ( A − BK ) x
Dado un conjunto de valores propios,
el espectro de ( A − BK ) se puede ubicar
enD.ese
o&
enA.cualquier
C. Cortés,
Sáez
Núñez, 2009conjunto
de valores propios.11
Control en variables de estado
Ajustando K, se hace que los vp de ( A − BK ) queden estables
y cumpliendo requerimientos de diseño (ts, mov, etc...)
Caso no lineal, invariante, tiempo continuo.
⎧ x′ = f ( x, u )
⎪
( SNL) ⎨ y = g ( x, u )
⎪ x(t ) = x
0
⎩ 0
si u = − Kx ⇒ x′ = f ( x, − Kx )
¿Qué ocurre con SNL en
lazo cerrado?, ¿es posible
controlarlo?
C. Cortés, D. Sáez &
A. Núñez, 2009
12
Control en variables de estado
Principio de linealización
⎧⎪ x′ = f ( x, u )
( SNL) ⎨
⎪⎩ y = g ( x, u )
⎧
⎡ ∂f ( x, u )
⎤
⎡ ∂f ( x, u )
⎤
⎪ x′ = ⎢
⎥⋅x+ ⎢
⎥ ⋅u
⎪
⎢⎣ ∂x ( x ,u ) ⎥⎦
⎢⎣ ∂u ( x ,u ) ⎥⎦
⎪
⎪
A
B
( L) ⎨
⎡ ∂g ( x, u )
⎤
⎡ ∂g ( x, u )
⎤
⎪
⎥⋅x+ ⎢
⎥ ⋅u
⎪y = ⎢
x
u
∂
∂
⎢⎣
⎢⎣
⎪
( x ,u ) ⎥
( x ,u ) ⎥
⎦
⎦
⎪⎩
C
D
Dada una trayectoria ( x , u ) de (SNL), si el sistema linealizado
(L) en torno de la trayectoria ( x , u ) es controlable
⇒
D. Sáez & A. Núñez,
2009
el sistema no lineal C.esCortés,
localmente
controlable.
13
Control Óptimo
En control óptimo se busca resolver problemas del
tipo:
T
Min
u ( t ), x ( t )
s.a.
r ( x (T ) ) + ∫ L (τ , x(τ ), u (τ ) ) dτ
Función Objetivo
t0
x′ = f ( t , x(t ), u (t ) )
x(t0 ) = x0
x(T ) ∈ Ω
u (t ) ∈ U
EDO dinámica
Condición inicial
Condición terminal
Restricción en las variables de control
(Se debe aplicar solo controles factibles)
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
14
Control Óptimo
T
Min
u ( t ), x ( t )
s.a.
r ( x (T ) ) + ∫ L (τ , x(τ ), u (τ ) ) dτ
t0
x′ = f ( t , x(t ), u (t ) )
x(t0 ) = x0
x(T ) ∈ Ω
u (t ) ∈ U
Si r=0 se llama Problema de Lagrange
Si L=0 se llama Problema de Meyer
Si ambas funciones son distintas de cero, se llama
Problema de Bolza
C. Cortés, D. Sáez & A. Núñez, 2009
15
Control Óptimo
Principio del mínimo de Pontryagin:
Se define el hamiltoniano:
H ( t , x, λ , u ) = f ( t , x(t ), u (t ) ) ⋅ λ − L ( t , x(t ), u (t ) )
Sea u* control óptimo, x* trayectoria optima
asociada al control óptimo. Entonces:
∃λ * tal que:
x′* = ∇ λ H ( t , x *(t ), λ *(t ), u *(t ) )
λ ′* = −∇ x H ( t , x *(t ), λ *(t ), u *(t ) )
EDO
Ecuación adjunta
Principio
= min
,
*(
),
*(
),
H ( t , x *(t ), λ *(t ), u *(t )C.)Cortés,
H
t
x
t
λ
t
a
(
)
16
del mínimo
a∈D.
U Sáez & A. Núñez, 2009
0
