Exposición de los cuerpos geométricos y las

Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas
MATERIAL DE CLASE OBLIGATORIO
Regla.
Escuadra.
Cartabón.
Compás.
Transportador de ángulos.
Calculadora
Portaminas.
Goma
10.1 Polígonos
PROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS
1.
2.
Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.
El perímetro es P 5 5 8 18 cm
No se puede calcular el área dado que no conocemos la altura: habría que aplicar el Teorema
de Pitágoras.
Encuentra el área de los siguientes polígonos:
a) un trapecio de bases 12 cm y 8 cm y de altura 5 cm.
No podemos calcular el perímetro pues no conocemos las medidas de los lados oblicuos:
habría que aplicar el Teorema de Pitágoras para calcularlos.
20 5 10 5 50 cm 2
Àrea 12 8 5
2
2
1
b) Un rombo de diagonales 12 y 9 cm.
Su área es 12 9
54 cm 2
2
c) Un rombo de diagonal mayor 8 cm y de lado 5 cm.
3.
No se puede calcular dado que no conocemos la diagonal menor: tendríamos que aplicar el
Teorema de Pitágoras.
Si podemos calcular su perímetro: P 5 4 20 cm
Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 20 cm de lado.
Su perímetro es 3 20 60 cm.
Su área no se puede calcular dado que no conocemos la altura: habría que aplicar el Teorema
de Pitágoras.
2
Tareas 17-05-2013: todos los ejercicios de la página 295 del libro
10.2 Teorema de Pitágoras
PROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS: página 74
5
Los lados de un triángulo miden 6,8,10. ¿Es un triángulo rectángulo?
Consideramos que la hipotenusa es 10 mientras que los catetos son 6 y 8.
Tenemos que:
62
82
36
10 2
2
2
64
100
100
2
Se cumple que 10
6 8 , es decir, se cumple el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, el
triángulo es rectángulo.
Lo construimos gráficamente
6
7
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 y 3 cm. Dibújalo.
Será que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
b2 a2 c2
b 2 9 2 3 2 81 9 90
b
90
9. 486 8 9. 5 cm
Calcula el cateto desconocido en un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 13 cm y el otro
cateto mide 5 cm.
3
8
Aplicamos el Teorema de Pitágoras.
Será que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
b2 a2 c2
13 2 5 2 c 2
169 25 c 2
c 2 169 25 144
c
144
12 cm
¿Cuál es la altura de una tienda de campaña si cada una de las cuerdas que tensan el mástil
mide 1 m, si estas están a 1 m de distancia del mismo?
Gráficamente la situación se representa así:
Tomamos el triángulo rectángulo ABD : para aplicar el Teorema de Pitágoras.
AB 2 AD 2 BD 2
1 2 AD 2 1 2
1 AD 2 1
AD 2 1 1 0
AD
0
0m
Por lo tanto, la altura de la tienda es cero, y no tenemos una tienda montada!!!!!!!!!!
Vamos a pensar que lo que mide 1 m es la distancia entre los anclajes de las cuerdas que
sujetan el mástil central de la tienda.
4
1
2
Tomamos el triángulo rectángulo ABD : para aplicar el Teorema de Pitágoras.
AB 2 AD 2 BD 2
1 2 AD 2 0. 5 2
1 AD 2 0. 25
AD 2 1 0. 25 0. 75
AD
0. 75
0. 866 03 0. 9 m
Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABD para calcular un cateto:
AB 2 AD 2 BD 2
5 2 4 2 BD 2
25 16 DB 2
DB 2 25 16 9
DB
9
3 cm
8 3
24
Finalmente el área es basexaltura
12 cm 2
2
2
2
Encuentra el área de los siguientes polígonos:
c) un rombo de diagonal mayor 8 cm y de lado 5 cm.
5
3
4
Trabajamos en el triángulo rectángulo ADE donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
AD 2 AE 2 DE 2
5 2 4 2 DE 2
DE 2 25 16 9
DE
9
3 cm
Por lo tanto, la diagonal menor es 2 3 6 cm
48
24 cm 2
Finalmente el área vale 6 8
2
2
Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de lado 20 cm.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo CDB :
CB 2 CD 2 DB 2
20 2 CD 2 10 2
CD 2 400 100 300
CD
300
10 3
17. 321 17. 3 cm
basexaltura
20 17. 3
173. 0 cm 2
Por lo tanto el área es
2
2
Calcula el áreas de las siguientes figuras:
a)
Trabajamos en el triángulo rectángulo FGC donde aplicamos el Teorema de Pitágoras:
FC 2 GC 2 FG 2
6 2 2 2 FG 2
FG 2 36 4 32
FG
32
4 2
5. 656 9 5. 7 cm
6
Tenemos que área del pentágono es 5 veces el área del triángulo FCB:
basexaltura
ÀREA PENTÁGONO 5 ÁREA TRIÁNGULO FCB
2
5.
7
4
2
5
57. 0 cm
2
b)
9.
base menor
base mayor
5
8
6 39 cm 2
2
2
Vamos a calcular también el perímetro, es decir, la suma de todos los lados.
En el triángulo rectángulo DEC aplicamos el Teorema de Pitágoras:
DC 2 ED 2 EC 2 6 2 3 2 36 9 45
DC
45
3 5
6. 708 2 6. 7 cm
Perímetro 5 6 8 6. 7 25. 7 cm
Dadas las medidas de la figura del cuadro, calcula los valores desconocidos.
El área sera
AF
1. 5cm
CH
1. 8cm
FG
1. 4cm
GB
2. 5cm
a) HI ?
Por el Teorema de Tales es
FG
1. 5
1. 4
AF
HI
HI
1. 8
CH
HI
altura
1. 8 1. 4
1. 5
1. 68 cm.
7
b) BI ?
Por el Teorema de Tales es
GB
1. 5
2. 5
2. 5 1. 8
AF
BI
3. 0 cm
BI
BI
CH
1. 8
1. 5
c) BC ?
BC CH HI IB 1. 8 1. 68 3 6. 48 cm
10. Calcula las medidas de los lados desconocidos:
a) EC ?
EC
2. 6
Aplicando el Teorema de Tales resulta que AE
BF
AF
1. 3
cm
b) DC ?
DC
2. 6
Aplicando el Teorema de Tales resulta que AE
AF
BG
1. 3
cm
11. Calcula las longitudes desconocidas de la siguiente figura:
a) FE ?
Aplicamos el Teorema de Tales
AF
FE
1. 5
FE
FE
AG
GH
1
2. 1
b) HI ?
Aplicamos el Teorema de Tales
ED
1. 5
0. 75
AF
HI
HI
HI
1
AG
c) IC ?
1. 5 2. 1
1
3. 15 cm
1 0. 75
1. 5
0. 5 cm
EC
2. 3
EC
2. 6 2. 3
1. 3
4. 6
DC
1. 3
EC
2. 6 1. 3
1. 3
2. 6
8
Aplicamos el Teorema de Tales
DB
1. 5
2. 7
AF
IC
AG
IC
1
IC
1 2. 7
1. 5
1. 8 cm
10.3 Poliedros
EJERCICIOS DE LAS FOTOCOPIAS PÁGINA 76
12 De los siguientes cuerpos indica los que son poliedros:
a)
Es un poliedro pues es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos. Es más es
un poliedro regular pues tiene seis caras que son cuadrados iguales.
b)
Es un poliedro pues es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos (rectángulos
y hexágonos).
c)
9
No es un poliedro pues no todas sus caras son polígonos.
13 Comprueba el Teorema de Euler en el siguiente poliedro.
El Teorema de Euler dice que C
Nº de caras C
2
5
7
V
Nº de vértices V
5
5
10
2. Consideramos la siguiente tabla:
A
Nº de aristas A
5
5
5
15
C
7
V
10
A
17 15
2
2
17
Vemos que si se verifica el Teorema de Euler.
14 Los siguientes datos pertenecen a un poliedro:
Nº de caras C
Nº de vértices V
Nº de aristas A
5
6
X
C
V
A
2
2
5
6
11 X
Como se ha de cumplir el Teorema de Euler, ha de ser 11
X
2
X
9
10
15 Calcula el área lateral de un prisma de base hexagonal de 5 cm de arista básica y 10 cm de
altura.
El área lateral será seis veces el área de un rectángulo de lados 5 y 10
16 Dado el siguiente prisma recto de base rectangular, calcula:
6
5 10
300 cm 2
a) El área de la base.
5 3 15 cm 2
b) El área de las caras laterales.
2 5 7 2 7 3
112 cm 2
c) El área de todo el prisma.
2 15 112 142 cm 2
11
d) El volumen del prisma.
Área de la base x altura 15 7 105 cm 3
17 Halla el volumen de este prisma recto de base hexagonal.
Volumen Área de la base x altura
Área de la base 6 área del triángulo MIJ
base x altura
MN IJ
área del triángulo MIJ
2
2
Como se trata de un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita coincide con el
lado del hexágono. Tenemos un triángulo rectángulo MNJ donde podemos, aplicando el
Teorema de Pitágoras, calcular la altura MN.
MJ 2 MN 2 NJ 2
6 2 MN 2 3 2
MN 2 36 9 27
MN
27
5. 196 2 5. 2 cm
Finalmente es Volumen 6 5. 2 6 10 936 cm 3
2
18 Calcula el área lateral de una pirámide de base hexagonal de 7 cm de apotema y 4 cm de
arista básica.
7 4
84 cm 2
2
19 Averigua el área total de una pirámide de altura 10 cm cuya base es un cuadrado de 6 cm de
lado.
Tenemos que Área lateral
6 x área del triángulo 6
12
Trabajamos en el triángulo rectángulo EFG donde aplicamos el Teorema de Pitágoras:
EG 2 EF 2 FG 2 10 2 3 2 100 9 109
EG
109
10. 44 10. 4
Área total área de la base 4 x área del triángulo lateral
6 2 4 6 10. 4
160. 8 cm 2
2
20 Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 8 cm y de apotema 10 cm.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo EFG :
EG 2 EF 2 FG 2
10 2 4 2 FG 2
FG 2 100 16 84
FG
84
9. 165 2 9. 2 cm
área de la base x altura
8 2 9. 2
Volumen V
196. 27 cm 3
3
3
21 Halla la altura de una pirámide hexagonal regular de lado de la base 10 cm y arista 26 cm.
13
Como la base es un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita al hexágono
tiene de radio la medida del lado del hexágono.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AGH :
AG 2 AH 2 GH 2
26 2 10 2 GH 2
GH 2 676 100 576
GH
576
24. 0 cm
22 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 8 cm y altura 10 cm, calcula:
a) El área de la base.
Área 8 2 64 cm 2
b) El área de las caras laterales.
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo EFG :
EG 2 EF 2 FG 2 10 2 4 2 100 16 116
EG
116
10. 77 10. 8 cm
base x altura
10. 8 8
Area de una cara lateral
43. 2 cm 2
2
2
Finalmente, el área de todas las caras laterales será 4 43. 2 172. 8 cm 2
c) El área de toda la pirámide.
64 172. 8 236. 8 cm 2
d) El volumen de la pirámide.
área de la base x altura
64 10
V
213. 33 cm 3
3
3
23 Calcula el volumen de una pirámide de base hexagonal de 4 cm de arista básica y 8 cm de
altura.
14
Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AHI para calcular la apotema del
hexágono:
AH 2 IH 2 AI 2
4 2 IH 2 2 2
IH 2 16 4 12
IH
12
3. 464 1 3. 5 cm
6 3. 5 4 8
336. 0
2
112. 0 cm 3
Entonces el volumen será V
3
3
24 Dibuja una cuerda de 3 cm en una circunferencia de 4 cm de diámetro. ¿Qué longitud tiene la
cuerda más larga en esta circunferencia?
25
26
27
28
En cualquier circunferencia la cuerda de mayor longitud coincide con un radio, es decir, en
nuestro caso será 4 cm.
Halla el perímetro y el área de un círculo de 6 cm de diámetro.
Como el diámetro es 6 cm será el radio r 3 cm
Así, el perímetro serà L 2 3 6
18. 850 cm
2
Mientras que el área es A
3
9
28. 274 cm 2
Determina el área de un sector circular de 45 ° de una circunferencia de radio 3 cm.
3 2 45
9
Será el área A
3. 534 3 cm 2
360
8
Una porción de pizza de 25 ° de amplitud tiene una superficie de 30 cm 2 , calcula el radio de la
pizza.
r 2 25
30 360
Será 30
r2
137. 51
360
25
r
137. 51
11. 726 cm
Calcula el área de las siguientes figuras
a)
15
Será A
b)
62
22
32
100. 53 cm 2
64
Teniendo en cuenta el apartado anterior será 32 80
22. 34 cm 2
360
9
29 Calcula el área de un cilindro de 36 cm de altura y 12 cm de diámetro.
Área cilindro 2 x área de la base área lateral 2
6 2 base x altura
2
72
2 6 36 504
1583. 4 cm
Volumen área de la base x altura
6 2 36 1296
4071. 5 cm 3
30 ¿Qué cantidas de papel de celofán se necesita para envolver un paquete de galletas que tiene
una altura de 10 cm y cada galleta mide 4 cm de diámetro?
16
Se trata de calcular el área exterior del cilindro que es:
Área cilindro 2 x área de la base área lateral 2
2 2 base x altura
2
8
2 2 10 48
150. 80 cm
31 Calcula el área de un cilindro inscrito en un cubo de 8 cm de lado.
Área cilindro 2 x área de la base área lateral 2
4 2 base x altura
32
2 4 8 96
301. 59 cm 2
32 Calcula y dibuja sobre el plano el área total de un cono de 6 cm de diámetro básico y 4 cm de
generatriz.
17
Área cono área base área lateral
32
3 4 21
65. 973 cm 2
33 En un cono el radio de la base mide 2 cm y la altura 6 cm. Calcula el área lateral del cono.
Tenemos que calcular la generatriz. Para ello, aplicamos el Teorema de Pitágoras en el
triángulo rectángulo ABC :
CB 2 AB 2 CA 2 2 2 6 2 40
CB
40
6. 324 6 6. 3 cm
Área lateral
2 6. 3 12. 6
39. 584 cm 2
34 Calcula el volumen de un cilindro de 10 cm de diámetro cuya altura es el doble del radio.
10
Diámetro 10 2r r
5 cm
2
Altura 2 x radio 2 5 10 cm
V
5 2 10 250
785. 40 cm 3
35 Obtén el volumne de un cilindro inscrito en un cubo de arista 3 m.
18
V área de la base x altura
1. 5 2 3 6. 75
21. 206 m 3
36 Queremos construir un depósito de forma cilíndrica con chapa de alumnio, de forma que su
capacidad sea de 30 m 3 y su radio igual que su altura. ¿Cuánta chapa necesitaremos?
Será V
Pero V
x2 x
x3.
30. Entonces 30
x3
x3
30
x
3
30
2. 121 6
2. 1 m
Ahora hemos de calcular el área total del cilindro
2 x área del círculo de la base área lateral
2
2. 1 2 2
2. 1 2. 1 17. 64
55. 418 cm 2 es la cantida de chapa metálica
necesaria.
37 Calcula el volumen de un cono de radio 5 cm y altura 8 cm.
1
200
V
52 8
209. 44 cm 3
3
3
38 Calcula el volumen de una esfera de radio 2 cm. ¿Si se duplica el radio de una esfera en
cuanto varía el volumen?
Tenemos la tabla siguiente.
radio
volumnen
aumento
4
4
r 1
V
13
3
3
4
32
3
r 2 V
2
8 23
3
3
4
256
r 4 V
43
8 23
3
3
4
2048
r 8 V
83
8 23
3
3
El aumento es de 8 2 3 , y esto se debe a que en la fórmula del volumen aparece el radio al
19
39
40
41
42
cubo.
Pepe se ha comprado una bola de cristal. La bola mide 12 cm de diámetro. Pepe quiere
averiguar cuanto pesa la bola. ¿Podrías averiguar su peso si 1 cm 3 pesa 30 g?
Hemos primero de calcular el volumen de la esfera:
4
V
6 3 288 cm 3
3
Su peso será 288 30 8640
27143 g 27. 143 kg
Calcula el lado de un cubo que tiene la misma capacidad que una esfera de 3 m de radio.
4
Hallamos el volumen de la esfera V
3 3 36 m 3
3
El volumen de un cubo de lado x m es V x 3
Entonces será x 3 36
x 3 36
4. 836 0 4. 8 m
El área de una esfera es de 1519.76 cm 2 . Calcula su volumen.
El área de un esfera de radio x cm es
4 x2.
1519. 76
1519. 76
x2
x
10. 997 11 cm.
Por lo tanto 4 x 2 1519. 76
4
4
5324
4
V
11 3
5575. 3 cm 3
3
3
Tenemos que pintar la cúpula de una iglesia de 6 m de diámetro, si la empresa nos cobra a 400
euros el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla?
Será necesario calcular el área exterior de la esfera de radio r 3 m.
4 3 2 36 m 2
La cúpula es la mitad de esta superficie 36
18 m 2
2
Por último, el coste de pintarla será 18 400 7200
22619. euros.
43 Tenemos una esfera de radio 2 m dentro de otra de radio 5 m. Calcula el volumen que hay
entre las dos esferas.
4
V Vr 5 Vr 2
53 4
2 3 156
490. 09 m 3
3
3
44 Calcula el volumen que queda libre entre un cubo y una esfera inscrita en él, si el lado del cubo
es de 8 cm.
20
4
4 3 512 256
243. 92 m 3
3
3
45 Un vaso está lleno de agua. Si se introduce en él una canica se derraman 36 cm 3 de agua.
¿Cuál es el radio de la canica?
Desconocemos el radio de la canica, que será r.
Por otro lado, el volumen de una esfera en función del radio viene dado por:
36 3
4 r3
4 r3
36
r3
r 3 27
r 3 27
3 cm es el radio de la
V
3
4
3
canica.
46 El radio de una esfera mide 2. 1 m. Calcula:
a) El área de la superficie esférica.
4 2. 1 2 17. 64
55. 418 cm 2
b) El volumen de la esfera.
4
V
2. 1 3 12. 348
38. 792 cm 3
3
47 Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen de 125 cm 3 . ¿Cuál tiene menor área exterior?
Para el cubo hemos de calcular la arista, y para la esfera, hemos de encontrar su radio.
V cubo l 3
l 3 125
l 3 125
5 cm
4 r3
4 r3
125 3
375
125
r3
r3
V esfera
3
3
4
4
375
r 3
3. 101 8 cm
4
Ahora estamos en condiciones de calcular las superficies exteriores de ambas piezas.
6 5 2 150 cm 2 , recordemos que un cubo tiene seis caras cuadradas.
cubo
4 3. 101 8 2 120. 9 cm 2
esfera
El cubo tiene mayor área exterior.
Será V
V cubo
V esfera
83
21