matemática i

MATEMÁTICA I
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
INDICE
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 4
CAPÍTULO 0: NOCIONES MATEMÁTICAS PREVIAS ........................................... 5
OPERACIONES BÁSICAS, TEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES,
LOGARITMOS ............................................................................................................ 5
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 0 ........................................................................... 23
CAPÍTULO 1: ECUACIÓN DE LA RECTA ................................................................. 34
PLANO CARTESIANO Y ECUACIÓN DE RECTA .............................................. 34
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 1 .......................................................................... 45
CAPÍTULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES .......................................................... 50
RELACIONES ........................................................................................................... 50
FUNCIONES .............................................................................................................. 50
FUNCIÓN LINEAL ............................................................................................... 52
PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL................................................................ 53
INGRESO, COSTO, UTILIDAD ........................................................................... 53
OFERTA Y DEMANDA ....................................................................................... 55
FUNCIÓN CUADRÁTICA ................................................................................... 57
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA .............. 60
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 2 ........................................................................... 62
FUNCIONES .............................................................................................................. 62
FUNCIÓN LINEAL ............................................................................................... 63
PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL................................................................ 65
INGRESO, COSTO, UTILIDAD ........................................................................... 65
OFERTA Y DEMANDA ....................................................................................... 67
FUNCIÓN CUADRÁTICA ................................................................................... 67
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA .............. 72
CAPÍTULO 3: PROPORCIONALIDAD ........................................................................ 74
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE ....................................................... 74
PORCENTAJES ......................................................................................................... 76
AUMENTOS Y DESCUENTOS ........................................................................... 84
FIJACIÓN DE PRECIOS ....................................................................................... 86
AUMENTOS Y DESCUENTOS Y FIJACIÓN DE PRECIOS ............................. 89
RESPUESTAS AL CAPÍTULO 3. ............................................................................ 90
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE ................................................... 90
2
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
PORCENTAJES ..................................................................................................... 91
AUMENTOS Y DESCUENTOS ........................................................................... 91
FIJACIÓN DE PRECIOS ....................................................................................... 92
AUMENTOS Y DESCUENTOS Y FIJACIÓN DE PRECIOS ............................. 94
CAPÍTULO 4: CONVERSIONES .................................................................................... 95
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 4 ........................................................................... 98
CAPÍTULO 5: MATEMÁTICA FINANCIERA ......................................................... 100
INTERÉS SIMPLE .................................................................................................. 100
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 5 ......................................................................... 105
GLOSARIO DE VARIABLES Y FORMULAS .......................................................... 107
VARIABLES ............................................................................................................ 107
FÓRMULAS ............................................................................................................ 108
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 110
3
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
INTRODUCCIÓN
El presente cuadernillo de problemas es una herramienta necesaria
nuestro alumnado pueda desarrollar correctamente los
para que
criterios matemáticos,
formulando, operando, y resolviendo ecuaciones aplicadas al mercado de bienes; de
forma tal, que le permita analizar situaciones futuras en la administración de los
negocios internacionales.
Este cuadernillo consta de un glosario de variables y fórmulas que permiten al
alumno desarrollar los diferentes problemas planteados,
los mismos que están
dosificados con grado de dificultad creciente. Así mismo, las respuestas
alcanzadas por los alumnos pueden ser contrastadas con el listado de respuestas
que el cuadernillo al final presenta.
4
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
CAPÍTULO 0: NOCIONES MATEMÁTICAS
PREVIAS
OPERACIONES BÁSICAS, TEORÍA DE EXPONENTES,
ECUACIONES, LOGARITMOS
NIVEL I
I.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
OPERACIONES BÁSICAS NÚMEROS NATURALES
9) 52 . 42 =
10) 105 : 103 =
11) 85 : 83 =
12) (23)2 =
13) 32 . ( 32)3 =
14) 52 . 253 =
15) 493 : 72 =
16 + 12 : 2=
38 + 4 -40=
(4 – 3) +5=
(16 : 4 + 2) . 4
(2 + 4 :4) – 3
28 : 7 + 3 . 2 =
5 – 4 . (3 – 6 : 3)
(7 – 3). 2 + 1.(9 : 3 + 4)=
Calcular el MCD y el mcm de:
II.
OPERACIONES BÁSICAS NÚMEROS ENTEROS
1) 10 – 7 =
10) -2 . (-5) . (-4) =
2) -10 + 7 =
11) -8 . 3 . (-4) =
3) 5 – 4 + 3 =
12) - (-5) =
4) -7 -2 +5 + 3 =
13) (-5) . (-1) . (-2) =
5) -20 + 35 – 234 + 120 =
14) (-2) . 3 . 5 =
6) -12 -14 – 18 – 20 + 4 =
15) 4 . (-1) . (-6) . (-2) =
7) 12 – 14 – 25 + 32 + 2 =
16) 8 – 2 . 3 . 4 =
8) 4 – 2 – 8 + 5 + 21 + 13 =
17) 12 . 4 – 4 =
9) 2 . (-3) . 5 =
18) 9 – 9 . 2 =
5
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
19) 12 – 4 : 2 =
21) 25 : 5 – 5 + 8 : 4 =
20) 15 – 20 : 4 =
22) 15 : 3 – 6 : 3 + 5 . 3 – 10 : 5 =
Efectúa considerando los signos de colección:
Efectúa las operaciones combinadas:
III.
OPERACIONES BÁSICAS NÚMEROS RACIONALES
Hallar el M.C.D. y el m.c.m.
Resolver:
6
Matemática I
IV.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Indica el número que falta en estas expresiones:
a) 24 + __ = 36
b) 15 – __ = 9
c) 12: ___ = 4
d) __ · 4 = 35
2.- Encuentra un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad:
a) x + 2 = 6
b) a – 2 = 8
c) 5 + x = 7
d) 4 + x = 10 – 2
3.- Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones:
a) x – 5 = 4
b) 2 – x = – 4
c) x + 10 = 0
d) t – 3 = 1
4.- Resuelve la siguiente ecuación.
2x + 8 = x + 25 + 8
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
2x
 10
3
b) 3x – 4 = 24 – x
c)
5x
 2  20  2
2
6.- Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones:
a) El doble de x es cuatro
b) El triple de x es 3
c) Si a x se le suma 2 se obtiene 4
d) Si a x le restamos 5 se obtiene 6
7 - Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 2 = x + 10
b) 1 + 3x = 2x + 7
c) 2 + 7x = 4 – 3x
d) x – 18 = 2x – 3
e) – 5 – 2x = 3 – 8x – 2
8 . Si x es un número expresa simbólicamente:
a) Su doble.
b) Su mitad mas su doble.
c) Su cuádruplo.
d) El siguiente a x.
e) El número anterior a x.
f) Los dos números que le siguen a x.
g) El doble del siguiente de x.
7
Matemática I
V.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
LOGARITMOS
1) Calcular los siguientes logaritmos:
a) log2 4
b) log2 64
c) log2 128
d) log2 /2
e) log2 1/4
f) log2 1/16
2) Calcular los siguientes logaritmos:
a) log 1
b) log 10
c) log 100
d) log 1/10
e)log 1/1000
3) Hallar el valor de:
a) log 1000-log0.001+log 1/1000
b) log 7 + log 1/7
NIVEL II
I.
OPERACIONES BÁSICAS
1) ¿Cuáles
de
las
siguientes
potencias tiene valor igual a - 1?
A.
B.
C.
D.
E.
2) El
B.
C.
D.
E.
( -1)2
17
10
(-1)7
12
valor


de

la

0
3
6
12
3) ¿Cuál es el valor de:
 8  5  9  5  4  3  ?
A. – 60
B. 45
C. 12
D. - 8
E. - 7
expresión
3  3  2  32  30  1   22 es:
A. -6
8
Matemática I
4) Al calcular
equivale a:
A.
B.
C.
D.
E.
el valor de
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
1
3
3 2
2
4 ,
8)
7
8
5
8
B.
3
8
C.
5

D. 28
0,25
0,75
0,7
-0,25
Ninguna de las anteriores.
E. Otro valor.
4  1 3
     ?
6  3 4
B.
9) El valor de
2
3
1
4
3
1
4
1
A.
B.
C.
D.
1
E. Otro valor.
C.
D.
E.
6) ¿Qué valor se obtiene al dividir
0,00365 por 3,65?
A.
B.
C.
D.
E.
1
4
11

20
1
de
5
3
2
5
3
1
2 es:
4
5
1
6
E. 2
D.
11) ¿Cuál
de
las
siguientes
afirmación(s) es(son) correcta(s)?
I.
(-1)2 – 1 = 0
II.
(-1)2 – 10= 0
III. (-1)2 + 1 = 0
IV.
(-1)2 + 10 = 0
A. – 4
B. 4
D.
E.
1 4 7  1
    ?
2  5 10  2
1
4
3
4
1

4
10) El valor
A.
B.
C.
7) ¿Cuál de los siguientes valores es
equivalentes a 2-2?
C.

7
0,1
0,01
0,001
0,0001
Ninguna de las anteriores.

es:
A.
5) ¿Cuál es el cuádruple del valor de
A.
El resultado de
5 3 1
  
8  4 2
1
4
1
4
2
A. Sólo I y II
B. Sólo II y IIII
C. Sólo III y IV
9
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
D. Sólo II, III y IV
E. I, II, III y IV
E.
16) Transformar a racional el
decimal 3,2 es equivalente a:
12) ¿Cuál es el valor de la expresión
2
1
 3  3
  :  
 4  4 ?
9

12
A.
27

64
B.
3

4
C.
4

D. 3
E.
29
A. 90
16
B. 5
32
C. 9
11
D. 33
E. Ninguna de las anteriores.
1
17) El decimal 0, 32 es equivalente
al racional:
13) Si a = 0,5 ; b = 0,05 y c=0,005.
ac
¿Cuál es el valor de b ?
A.
B.
C.
D.
E.
8
A. 25
16
B. 45
32
C. 99
11
D. 33
11
E. 30
0,005
0,05
0,5
5
50
14) ¿Cuál
es
la
expresión
equivalente al cubo de 0,00005?
A.
B.
C.
D.
E.
18) El
decimal
0,333…
equivalente al racional:
1,25•10- 13
12,5•10 - 11
0,125•10 - 10
125•10 - 14
Ninguna de las anteriores.
es
333
A. 1000
3
B. 10
1
C. 3
3
100
D.
1
E. 30
15) La distancia del Sol a Mercurio
es de 58 000 000 km,
expresada
en
notación
científica, es:
A.
B.
C.
D.
58• 109 km.
19) La mancha roja del planeta
Júpiter tiene una longitud de
25 000 000 000 metros. La
expresión de esta cifra en
notación científica es:
58• 106 km.
0,58• 108 km.
5,8• 107 km.
58• 107 km.
10
Matemática I
A.
B.
C.
D.
E.
20)
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
25•109 m.
25•1010 m.
2,5•1010 m.
0,25•1010 m.
25•109 m.
D. 1,7•10-9
E. 1,7•109
21)
El
número
0,000000017
expresado
en
notación
científica es:
¿Cuál
el
7
10
15
35
50
22) Hallar:
a) 12 - (4 - 5)  2  (-7  4 - 1) - 6 
b)  (2  3)  4  (5  2  1)  (7  3)  9  20 
c)  { 2  [9  (6  2)]  7  [4  (7  5)  1]}  3 
d) (32) : 8  (3)(4  9  2)  (7  3) : (2) 
e)  {([(2  10)  1]  (6)(2  1))  8}  1 
f) [12  (4)] : (8)  (5)(8) : 10  [4(5  1)  12.( 4  1)  12] 
g)  (16  8) : (4)  { 1  [(8  10)  1](6)  (12  4) : (4)}  1 
Resolver:
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
11
valor
5
1

incógnita en m 10 ?
A.
B.
C.
D.
E.
A. 0,17•10-7
B. 1,7•108
C. 1,7•10- 8
es
de
la
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
33) Realiza las siguientes operaciones:
a)
4 8 2 2
   
5 9 3 5
 3
e)   · (8) 
 4 
b)
5 3 2 5
   
6 4 3 7
f)
75
: 12 
95
2 8
:

 9 27
5
20 5
c)   2 
 
4
3 6
g)
2 4 2
d)  ·  : 
3 8 5
7 2  1
h)    ·    
8 9  2
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
12
4 

 3 
2 :2 
i) 
1

 5 
4

 3 1  2 1
j)    :  :  
 4 2  6 5
k)
2  1 2
:   
9  6 3
Matemática I
II.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Representación literal:
1) Nilda tiene dos veces más de lo que tiene Vanesa, si lo que tiene Vanesa es “x”,
¿cuánto tiene Nilda?
a) 2x
b) 3x
c) x / 2
d) x / 3
2) El aula A tiene el doble de discentes que el aula B, el aula C tiene el triple del
aula B menos 4, indicar la expresiones de C , si A es “x”.
Hallar cuánto tiene C
a) 6x – 4
b)
2x
+ 4 c)
3
3
2
x – 4 d)
x
2
e) 3x - 4
3) Tu edad es el doble de la edad que yo tenía hace 5 años. Si mi edad ahora es “x
+ 2” años, ¿cuántos años tienes tú?
a) 2x – 3
b) 2x – 5
c) -4x
d) x – 7
e) 2x – 6
4) 4 amigos van a pagar la cuenta en un restaurante, cada uno pagará lo que ha
consumido. Si Renato paga “2x + 5” soles. Andrés paga “ 4x – 1”, Jorge paga
la diferencia de lo que pagaron Renato y Andrés, y por último Pedro paga la
mitad de lo que paga Jorge más 3 soles. ¿Cuánto fue la cuenta total?
a) 3x + 16
b) 5x – 20
c) 45 soles d) 5x + 10 e) 3x + 5/ 2
5) Del problema anterior, ¿cuánto más pagó Renato que Pedro?
a) 5x + 6
b) 3x - 1
c) 2x – 4
d) 5
e) 3x
ENUNCIADO:
Las letras P y Q representan, respectivamente, al número de mujeres y hombres
de un aula.
6) ¿Cuál es la ecuación que representa el hecho de que el número de mujeres en
esa aula es 3 veces mayor al número de hombres?
a) P = 3Q
b) P = 3 + Q
c) Q = 3P
d) Q = 3 + P
7) ¿Cuál es la ecuación que representa el hecho de que el número de hombres en
esa aula exceda al número de mujeres en 12 ?
13
Matemática I
a) Q + P = 12
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
b) P – Q = 12
c) Q + 12 = P
d) P + 12 = Q
8) Indique la expresión que represente que la mitad del triple de mujeres es
igual al doble de los hombres.
a)
2P
 2Q
3
b)
3P
 2Q
2
c) 2(3 P ) 
Q
2
d) Simplificando: 3P  Q
ENUNCIADO:
Tres hermanos Alberto, Juan y Jorge recibieron una herencia, si Alberto
recibió el triple de la fortuna de Jorge menos $100 y Juan recibió la mitad de lo
que le tocó a Jorge. Si Juan recibió “x” dólares, responder:
9) ¿Cuánto recibió Jorge?
a) x / 2
b) 2x c) x + 2
d) x – 2
10) ¿Cuánto recibió Alberto?
a) 3x – 100 b) 3x + 100 c) 2x + 300 d) 6x – 100
11) ¿A cuánto asciende la herencia total?
a) 9x – 100
b) $ 190 c) $ 900 d) no se puede determinar.
12) Si Jorge le da la mitad de lo que le corresponde a Juan, ¿cuánto tendría
Juan?
a) x
b) 2x
c) 3x – 50 d) nada
13)
7x  2 - 4x  8x - 3 - 9x  1
14)
3x  2  6x  4
15)
7( x  1)  x  3(2x  3)  2
16)
x  3 x  2  6x  4
17)
6x  1  11x  9
18)
3 2x  4  2 1 2x   66
14
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
19)
2x - (x + 5) = 6 + (x + 1)
20)
8 - (3x + 3) = x - (2x + 1)
21)
4x - 2 = 7x - (x + 3) + (-x - 6)
22)
3 x  3  2 2x  1  x
23)
8x - 4 + 3x = 7x + x + 14
24)
14 - 12x + 39x - 18x = 256 - 60x - 657x
25)
30x  6  x   4  5x   3x  8  5x  6
26)
(x - 8)(x + 1) = (x + 5)(x - 3)
27)
(x + 1)(6x - 2) = (2x + 4)(3x + 2)
28)
2(x - 2)(x + 3) - (2x + 4)(x - 2) = 0
29)
(2x + 3)(2x - 3) + 7 = 4(x + 2)(x - 2) + 2x
30)
15x + (5 - 6x) - 2 - (3 - x) = (3 - 2x) - x - (7x + 23)
31)
3x 1 x  2 1

 x
5
15 3
32)
1
1
1
(2x - 3) - (8 - 4x) = (5x - 1)
2
4
5
33)
1
x  2  1 2x  3  1  4x  3
3
4
2
34)
x  3 x 1 x  3 x



2
4
3
2
35)
3 · ( x  5) 2 · ( x  4) 2


2
3
3
36)
2 · ( x  4) x 5
 
3
5 3
15
Matemática I
37)
x  4 3x  7 x  5 x  7



x
3
4
12
14
III.
LOGARITMOS
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
1) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas
a) log x + log 50 = log 1000
b) log x = 1 + log(22-x)
c) 2 log x - log (x-16)=2
d) log x3 = log 6 + 2 log x
2) Sabiendo que log a = 3 y log b = 5. Calcula:
3) Sabiendo que log 2 =0,3 y log 3 = 0.48. Calcula:
4)
Calcula los siguientes logaritmos. Utiliza una calculadora científica.
(5 decimales)
a) log 35
b) log 845=
c)log 12.38=
d) log 1.37=
e) log 0.04=
f) log 51.49=
g) log 9500=
h) log 36.728 =
i) log 0.03=
j) log 834.12=
16
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL III
I.
OPERACIONES BÁSICAS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2
1 

2
 1 
3   3 1  3 1   1  1  1  
9) 
2 4 2
3
21


3 2
2 8 1
 : 
10)  5 25 16
2
 5
3


2
5 14   1 
7
   :    
3 9  2
2

1
1 1 2 2
  :
4 3 5 5

11)
1 3 5
 1  5
  2 : 1    
6  2 4
 2  7
17
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
1
 3 1
  2:
3
 2 5
12)

 3 1 1  2
  : : 
 4 5  10  9 
2
 1  2 1

17    3 
2
13)    6   4   : 1 
 

64   5 
 3 

2
 1

1
1
14)  2  9 
 2   
16
 3
 16
18
Matemática I
II.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Representación literal
ENUNCIADO:
En un estudio de abogados se tienen dos archivadores A y B, el archivador A tiene
“6x + 5” expedientes archivados y el archivador B tiene “3x – 4” expedientes
archivados. Responda:
1) ¿Cuántos expedientes hay archivados en el estudio?
a) 9x + 1
b) 9x + 9
c) 3x + 1 d) 10x
2) ¿Cuántos expedientes menos tiene el archivador B que el A?
a) 4 b) 3x + 9 c) 3x + 1 d) No se puede determinar
3) Si sacamos del archivador B
4 expedientes y
¿cuántos expedientes habrían en total?
a) 9 x + 9
b) 9x – 3
c) 9x+1
los colocamos en A,
d) x + 1
4) En una convención se encontraban “x + 12” jueces de familia, el número de
jueces de paz excede en 3 al doble del número de jueces laborales. Y a su
19
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
vez, el número de jueces laborales es igual al número de jueces de familia
menos 10. La cantidad de jueces laborales en la convención es:
a) x + 3 b)
x – 10 c)
2
d) x + 2
5) La cantidad de jueces de paz es:
a) 2x + 5
b) 7x c) 2x + 7 d) 2x + 10
6) La cantidad de personas que asistieron a la convención fue:
a) 4x + 21
b) 3x + 18
c) 25 d) 25x
7) 2x + [2x - (x - 4)] = -[x - (5 - x)]
8) x - {5 + 3x - [5x - (6 + x)]} = -3
9) - {7x + [-4x + (-2 + 4x)] - (5x + 1)} = 0
10) - {-[-(-6x + 5)]} = -(x + 5)
11) 5x   2x   x  6  18   7x  6  3x  24
x 1 x  3
1 2x 2

2 2
12)
x 3 x3
x 9
13)
2 x  3
2
4


2
4 x  25 2 x  5 2 x  5
14) 3x 1  3x  2
x2
x 2
15) 1 
16)
17)
3
x

x 1 x 1
3x  16 5

x
3
x2  2  x 1
20
Matemática I
18) x 
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
x 2  5 x  10
19) 1  1  13  x  2
20) x  1  4  0
21)
2x  3  x  1
22)
x 2  5x  4  1  x  3
23) 2  45  15  x  1  3
24) x 2  3  x 2  3  2  x
25)
x5  2  0
26)
2x  4x 2  x  3
27) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del
padre tres veces mayor que la edad del hijo?
28) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
29) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si
el perímetro mide 30 cm?
30) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número
de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños
hay si la reunión la componen 96 personas?
31) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha
quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
32) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos
cerdos y pavos hay?
21
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
33) Luis hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto
lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el
depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:
a. Litros de gasolina que tenía en el depósito.
b. Litros consumidos en cada etapa.
34) En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un
cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería
tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
35) La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la
menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras.
¿Cuál es el número?
36) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la
edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del
hijo. Hallar las edades de ambos.
37) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más
que C y que A mide 40° más que B.
III.
LOGARITMOS
1) Calcular el valor de las siguientes expresiones:
2) Sabiendo que log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48 calcular los siguientes logaritmos:
22
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
3) Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce a la mínima expresión
logarítmica los siguientes desarrollos.
a) log a +log b + log c =
d)
1
1
log x  log y 
2
2
g) log 2 + log 3 +log 4 =
b) log x – log y =
c) 2 logx + 3 log y
e) log a – log x – log y = f)log p + log q – log r – log s=
h) log
1
1
 log 16  log  i) log a2 + log b – log a=
2
4
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 0
NIVEL I
I.
OPERACIONES BÁSICAS NÚMEROS NATURALES
(Solución con procedimiento)
126
23
Matemática I
II.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
OPERACIONES BÁSICAS NÚMEROS ENTEROS
=
III.
OPERACIONES BÁSICAS NÚMEROS RACIONALES
24
Matemática I
IV.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1) A) 12
B) 6
C) 3
D) 35/4
2) A) 4
B) 10
C) 2
D) 4
3) A) 4
B) 6
C) -10
D) 4
5) A) 15
B) 7
C) 8
6) A) 2X =4
B) 3X = 3
C) X + 2 = 4
D) X – 5 = 6
7) A) 2
B) 6
C) 1/ 5
D) 1
8) A) 2X
B) X/2 +2X
C) 4X
D) X+ 1
F) (X+1) Y (X+2)
G) 2(X + 1)
4) 25
E) X–1
V.
LOGARITMOS
1) RPTAS:
2) Rptas:
a) sol:2
b) sol:6
c) sol:7
d) sol:-1
e) sol:-2
f) sol:-4
a) sol:0
b) sol:1
c) sol:2
d) sol:-1
e) sol:-3
3) sol: a) 3 b) 0
25
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL II
I.
OPERACIONES BÁSICAS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
D
E
A
B
D
C
D
C
9) E
10) A
11) A
12) C
13) B
14) A
15) C
22) a) 5
b) 6
f) -30
23)
24)
25)
26)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
16) B
17) C
18) C
19) B
20) C
21) E
c) 0
d) -47
e) 4
g) -10
-10
4
4
0
27) 13
28) 20
29) 1
a) 8/45
g) ¾
b) 43/28
h) - 47/144
0
52
6
17
7
c) 31/12
i) -2 / 19
39)
40)
41)
42)
43)
30) -32
31) -1
32) -206
d) 5/6
j) 3/ 4
7
12
50
-151
-26
e) 6 f) 5/76
k) - 4/ 15
44)
45)
46)
47)
48)
-1
-53
1
1
4
II.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS
Representación literal:
1) En este caso la palabra “más” indica adicionar a lo anterior.
Nilda tiene dos veces más de lo que tiene Vanesa
=
2x
+
x
Entonces Nilda = 3x
26
Vanesa = x
Matemática I
2) A = x , entonces : B =
x
2
, C=3
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
x
2
-4
3) Mi edad actual = x + 2
Mi edad hace 5 años = ( x + 2) – 5 = x + 2 – 5 = x - 3
Tu edad es el doble: 2. (x – 3) = 2x – 6
4) Renato = 2x + 5
Andrés = 4x – 1
Jorge
= Renato – Andrés = (2x + 5)–(4x – 1) = 2x + 5 – 4x + 1=
2x– 4x + 5 + 1= – 2x + 6
Pedro
=
 2x  6
2
+ 3 = –x+3 +3 =–x+6
La cuenta total fue: 2x + 5 + 4x – 1 – 2x + 6 – x + 6 =
2x + 4x – 2x – x +5 – 1 + 6 + 6 = 3x + 16
5) Si Renato pagó: 2x + 5 y Pedro pagó: – x + 6 , entonces Pedro pagó:
(2x + 5) – (– x + 6 ) = 2x + 5 + x – 6 = (3x – 1) soles más
6) A
17) x = 3
28) x = 10
7) D
18) x = 8
29) x = incompatible
8) B
19) x = 5
9) B
20) X = 3
10) D
21) x = 7
11) A
12) B
13) x = -2
14) x = 2
15) x = todos los
reales
16) x = 1
30) x = -1
31)
X= -10/7
32) x = 33/10
22) x = -5/6
33) -19/22
23) x = 6
34) 27/11
24) x = 1/3
35) 5
25) x = -3/7
36) 5
26) x = 7/9
37) 7
27) x = -5/6
27
III.
LOGARITMOS
1) a) x = 20
2) a) 8
3) a) 2,34
b) x = 20
b) –2
b)1,88
c) x=20; x=80
c) 15
c) –1,35
d) x=6
d) 3/2
d) 0,4
NIVEL III
I.
1)
2)
3)
4)
OPERACIONES BÁSICAS
-5
26
2
-5
II.
5)
6)
7)
8)
3
0
16
-99995
ECUACIONES Y PROBLEMAS DE ECUACIONES
Representación literal:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A
B
C
D
A
C
7) 1/5
8) 4
9) 3/2
10) 0
11) 3/4
12) 11/10
13) -6
14) -2/15
18) 2
19) 2601
20) 15
21) 2
22) 4
23) 0
15) 2
24) -2
16) 12
25) incompatible
17) 1/2
26) 3
27) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad
del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
Matemática I
Años
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
x
35 + x = 3 · (5 + x )
35 + x = 15 + 3 · x
20 = 2 · x
x = 10
Al cabo de 10 años.
28) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el
número?
29) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus
dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
Altura
x
Base
2x
2 · x + 2 · 2x = 30
Altura
Base
2x + 4x = 30
6x = 30
x=5
5 cm
10 cm
30) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple
número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
Hombres
x
Mujeres
2x
Niños
3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x
x + 2x + 9x = 96
12x = 96
x=8
Hombres
Mujeres
8
2 · 8 = 16
29
Matemática I
Niños
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
9 · 8 = 72
31) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha
quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
32) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas.
¿Cuántos cerdos y pavos hay?
Cerdos
x
Pavos
35 − x
4x + 2 · (35 − x) = 116
4x + 70 − 2x = 116
2x = 46
x = 23
Cerdos
23
Pavos
35 − 23 = 12
33) Luis hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El
trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina
que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le
queda. Se pide:
1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.
30
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
1ª etapa
2ª etapa
2. Litros consumidos en cada etapa.
1ª etapa
2ª etapa
34) En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un
cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la
librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
Total
x
Libro
Cómic
31
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
35) La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas
y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las
cifras. ¿Cuál es el número?
Unidades
Decenas
x
x+1
Si tenemos un número de dos cifras, por ejemplo 65 podemos descomponerlo,
de este modo: 6 ·10 + 5.
Nuestro número de dos cifras es: (x +1) · 10 + x.
Como este número es seis veces mayor que la suma de sus cifras: x + x + 1 = 2x + 1,
tendremos:
(x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1)
10x + 10 + x = 12 x + 6
10 x + x - 12x = 6 - 10
−x = −4
x=4
Unidades
4
Decenas
4+1=5
Número
54
36) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a
la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad
del hijo. Hallar las edades de ambos.
32
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
Juan
Hace cuatro años
Hoy
Padre de Juan
x
2x
x+4
2x + 4
37) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40°
más que C y que A mide 40° más que B.
C
x
B
x + 40
A
x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180;
x + x + x = 180 − 40 − 80;
3x = 60; x= 20
C = 20º
B = 20º + 40º = 60º
A = 60º + 40º = 100º
33
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
CAPÍTULO 1: ECUACIÓN DE LA RECTA
PLANO CARTESIANO Y ECUACIÓN DE RECTA
NIVEL I
1) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
2) Indica las coordenadas de los puntos en el plano:
34
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
3) Indica las coordenadas de los puntos en el gráfico
4) Indica el cuadrante o eje en el que se encuentra el punto de coordenadas
dadas:
35
5) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsas?
6) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos:
a. (3;6) y (4;10)
b. (-2;-5) y (6; 9)
c. (-3;-4) y (-7;-2)
d. (1;2) y (-5;-6)
7) Verificar si el punto (-2; 3) pertenece a la recta 2x – y + 7 = 0
2
8) Verificar si el punto ( 6; -1) pertenece a la recta Y= - 3x +1
9) Determinar la ecuación de la recta con pendiente m y ordenada al origen b.
a) m = 2 ; b = 4
c)
m=3;b=6
b) m = -5 ; b = -1
d)
m = -2/3 ; b = -1/4
10) Dibujar la recta con ecuación
y = 3/2X -4.
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL II
1) ¿Cuál es el valor de p en la coordenada (3p -2; 5) sabiendo que este punto se
encuentra en el eje de las ordenadas (eje y)
a)
2
3
b) -
3
2
c)
3
2
d) -
2
3
e) Otro valor
2) ¿Cuál es el valor de p en la coordenada (11; 6p - 12) sabiendo que este punto se
encuentra en el eje de las abscisas (eje x)
a) -2
b) 2
c) -6 d) 6
e) 18
3) ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta 2x – 3y + 5?
A. (1; -1)
B. (-1; 1)
C. (-1; -1)
D. (1; 1)
E. Ninguno de los anteriores.
4) ¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el origen?
A. x – y + 5 = 0
B. Y=
3
x
2
-2
C. Y + 5 = 0
D. 𝑦 =
E.
5x – 4y = 0
𝑥−2
− 2
5) ¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el punto ( -2; 5)?
A. x – y + 5 = 0
C. Y= - x - 2
B. 2x + y + 9 = 0
D. Y= -
3
2
2
x
3
3
2
E. Y= - x + 2
-2
6) ¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el punto ( -1; -3)?
A. x – y + 2 = 0
C. y = -x – 2
B. x + y + 4 = 0
D. y = x + 2
E. y = x + 4
7) ¿Qué valor debe tomar k en la ecuación 3x – 2ky + 9 = 0, sabiendo que el punto
(1; 2) pertenece a la recta?
A. -1/5
C. 3
B. -3
D. -1
37
8) La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 2 ; -4) y
A. -1
C. 5/7
B. 1
D. – 5/7
(-12; 6) es:
E. – 1/7
9) La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -4 ; -5) y (-2 ; -7) es:
A. -1
C. 2
B. 1
D. -2
E. – 1/7
10) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I.
Las pendientes entre los puntos BE es la misma que entre ED y que entre
BD.
II. La recta que contiene a los puntos A y C su pendiente no está definida.
III. La recta L1 que pasa por los puntos A y E tiene pendiente negativa e igual a
la recta L2 que pasa por los puntos B y C.
IV. Las rectas que pasan respectivamente entre A y D; C y E son paralelas
entre sí y porque su pendiente es cero.
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
11) Escribe la ecuación correspondiente y = mx + b para cada gráfica:
a)
b)
c)
12) Calcula las pendientes de todas las rectas:
39
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
13) Indicar la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las siguientes
rectas:
a) y= -3x+8
b) 3 x + 2 y - 7 = 0
c) 4 x + 3 y + 8 = 0
d) Y = 7/3x - 1 /5
14) La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2 ; 3 ) y (5 ; 1) es:
A. 2x – 3y – 5= 0
B. Y =
2
x
3
+
13
3
2
C. Y = 3x +
10
3
D. Y = 2x + 3y – 13=0
E. Ninguno
de
los
anteriores
15) La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2 ; 1 ) y (-3 ; 6) es:
A. y = x + 3
C. y = x - 1
B. x – y – 3 = 0
D. Y = - x + 3
E. x + y + 1 = 0
16) Si una recta tiene pendiente m = -3 y pasa por el punto (-3; -3), entonces la
ecuación de su recta es:
A. Y = -3x – 12
C. Y = 3x + 6
B. 3x – y + 12 = 0
D. 3x + y – 12 = 0
17) Si una recta tiene pendiente m=−
3
10
E. N.A.
y pasa por el punto (-1; -7), entonces su
ecuación de recta es:
A. 3x – y + 67 = 0
C. 3x – 10y + 10 = 0
B. 3x + 10y + 73 = 0
D. 3x – y + 73 = 0
E. 3x + 10y + 4 = 0
18) En la ecuación de la recta 8x – 20y + 5 = 0, los valores correspondientes a lo
pendiente y el coeficiente de posición (ordenada en el origen) son,
respectivamente:
A. 4/10 y 4
C. 2/5 y -1/4
B. 2/5 y ¼
D. – 2/5 y ¼
40
E. 2/5 y -4
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
19) En la ecuación de la recta:
4y = -6x + 7. Los valores correspondientes a la pendiente y el coeficiente de
posición son, respectivamente:
A. – 6 y 7
C. – 3/2 y 7/4
B. 3/2 y 7
D. 2/3 y – 7/4
E. – 2/3 y 7
20) Si L1 pasa por los puntos A( 1; -2) y B(-4;3).¿Cuál de las siguientes rectas no son
paralelas a L1:
A. 3x + 3y – 1 = 0
C. y = -x – 4
B. x + y + 1 = 0
D. y = - x + 7
21) Si L1 pasa por los puntos (3;-1)
E. 2x - 2y – 9 = 0
y (-3;11) y es paralela a la recta L2 que
además pasa por el origen, entonces L2 tiene como ecuación:
A. 2x – y = 0
C. 2x + y = 0
B. X – 2y = 0
D. X + y = 0
E. Falta información
22) Si L1 pasa por los puntos (-2; 3) y (8; -1) y es perpendicular a la recta L2 que
pasa por el punto (0; 5). Entonces la ecuación de L2 es:
A. 2x + 5y + 19 = 0
C. Y= x + 5
B. 5x + 2y -3 = 0
D. Y=
5
2
2
x
5
+
1
3
E. Ninguna
de
las
anteriores
23) Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos.
a. (–2;5) y (3;2)
c. (6;4) y (-3;-4)
b. (-1;-5) y (-4;-3)
d. (7;0) y (3;4)
24) Encontrar la ecuación de la recta paralela a 2x + 3y -5=0 y que pasa por (4,3).
25) Hallar la ecuación de la recta paralela a −6x − 2y + 19 = 0 y que pasa por el
punto (3,-2).
26) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-3) y es paralela a la
recta cuya ecuación es 2x + 3y − 6 = 0.
27) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es paralela a la
recta cuya ecuación es 4x − 2y − 4 = 0.
41
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
28) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,-5) y es paralela a la
recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (-3,4).
29) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,1) y es paralela a la
recta que pasa por los puntos (-3,-2) y (-2,3).
30) Hallar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas:
a) L1: 3x – 4y +6 = 0
L2: 2x + 4y -16 = 0
d) 2x - 3y + 14= 0
3x + 3y – 39 = 0
b) L1: 3x + y - 5 = 0
L2: 8x – 3y - 2 = 0
e) y= 3x + 5
y= 6x + 11
c) L1: 3x + 2y -7 = 0
L2: 4x – 3y +2 = 0
31) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-2) y es perpendicular
a la recta x + 3y − 6 = 0.
32) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,0) y es
perpendicular a la recta x − 2y = 6.
33) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x − 5y − 6 =
0 y pasa por el punto (-1, 4).
34) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-2,-3) y es perpendicular a la recta
que pasa por (2,3) y (1,0).
NIVEL III
1) Si m es la pendiente de una recta cualquiera ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdaderas?
I. Si m = 0, la recta es paralela al eje de las ordenadas.
II. Si m >0 la recta forma un ángulo 0° < ∝ < 90° con el eje de las abscisas.
III. Si m < 0 la recta forma un ángulo 90° < ∝ < 180° con el eje de las abscisas.
42
Matemática I
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a) Sólo I
c) Sólo I y II
b) Sólo II
d) Sólo II y III
e) I, II y III
2) ¿Qué valor debe tomar p en la ecuación px – (2p – 1)y + 11 = 0, sabiendo que el
punto (3, -4) pertenece a la recta?
C. 3
7
A. − 11
D.
B. -3
E. Otro valor.
7
11
3) ¿Qué valor debe tomar p en la ecuación 5x – (3 - p)y - 4 = 0, sabiendo que el
punto (0; 2) pertenece a la recta?
A. -1/5
C. 1
B. -5
D. -1
E. 5
4) Si m1 y m2 son pendientes de dos rectas. ¿Cuál(es) de los siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I.
Si m1 = m2, las rectas correspondientes son paralelas si b1 ≠ b2.
II.
Si m1 . m2 = -1, las rectas son siempre perpendiculares.
III.
Si m1 = m2, las rectas correspondientes son coincidentes siempre que
b1=b2.
A. Sólo I
C. Sólo I y II
B. Sólo II
D. Sólo II y III
E. I, II y III
5) La ecuación de la recta:
18x – 12y + 5 = 0 expresada en su forma principal (ec. pendiente ordenada en el
origen), queda:
3
5
12
5
12
A. Y = 2x +
3
2
B. Y = - x
3
C. Y = - 2x – 5
2
3
D. Y = x -
6) Si la ecuación y = (4-k)x + 3 e
E. N. A
5
12
y = (2k+1)x + 5 representan rectas paralelas,
entonces encuentre el valor de k.
43
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
7) Sean L1 y L2 rectas perpendiculares cuyas ecuaciones son L1 : y = kx − 2x + 1,
L2 : y = kx + 7. Determinar el valor de k.
8) Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y=mx+5, para que pase
por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones
y = -3x- 5, y = 4x + 2.
9) Las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son: L1 : y = kx + x−1 y L2 : y = 3x−5.
Si L1  L2, hallar el valor de k.
10) La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación (pendiente
ordenada en el origen), sabiendo que debe ser perpendicular a la recta
4 x + 9 y - 27 = 0 .
11) Dada la siguiente gráfica responde:
a) La ecuación del artículo A
b) La ecuación del artículo B
c) Las coordenadas del punto de intersección e interpretar.
44
Matemática I
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RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 1
NIVEL I
1) D
2) Las coordenadas de los puntos son:
A. (2, 4)
B. ( 3, 1)
C. ( 5, 3)
D. (-3, 2)
E. (-4, 3)
F. ( -1, 5)
G. (-2, -4)
H. (-5, -5)
I. ( -1,-2)
J. (3, -4)
K. (2, -2)
L. (4, -4)
3) Las coordenadas son:
A. ( 1, 3)
B. (4 , 2)
C. 5, 2)
D. (-2, 4)
E. ( - 3, 3)
F. (- 1, 2)
G. (-3, -5)
H. (-4, -4)
I. (-2, -1)
J. (5, -4)
K. (3, -2)
L. (4, -1)
45
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4) Los cuadrantes son:
IV
y
IV
II
x
IV
III
X
I
y
5) C
6) las pendientes son:
a) 4
b) 7/4
c) -1/2
d) 4/3
7) si
8) no
9) Las ecuaciones son:
a) Y = 2x + 4
b) Y = -5x – 1
c) Y = 3x + 6
d) Y = -2/3 x – 1 /4
10) El gráfico es:
46
Matemática I
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NIVEL II
1) a)
5) e)
2) b)
6) b)
3) b)
7) c)
4) e)
8) d)
9) a)
10) e)
11) Las pendientes son:
a) Y = -x +4
b) Y = 2x – 3
c) Y = -4/3x – 4
12) m1 = -2; m2 = 1 /2; m3= 3 ; m4 = -1 /4
13) La pendiente m y la ordenada en el origen b son:
a)
b)
c)
d)
y= -3x+8 pendiente m = -3 ord. en el origen b= 8
3x + 2y - 7 = 0
pendiente m = -3/2 ord. en el origen b= 7/2
4x + 3y + 8 = 0
pendiente m = -3 ord. en el origen b= 8
Y = 7/3x - 1 /5
pendiente m = 7/3 ord. en el origen b= -1/5
14) D
17) B
20) E
15) D
18) B
21) C
16) A
19) C
22) C
23) Las ecuaciones son:
a) 3x + 5 y – 19 = 0
b) 2x + 3y + 17 = 0
c) Y = 8/9x – 12/ 9
d) Y = -x +7
24)
25)
26)
27)
28)
29)
2x + 3y – 17 = 0
3X + Y – 7 =0
2X + 3Y + 13 =0
0=2X – Y -7
7X + 2 Y + 24 = 0
0= 5X – Y + 16
47
Matemática I
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30) Hallar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas:
A) G r á f i c a m e n t e
B) x = 1 , y = 2
48
Matemática I
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C) Rpta: ( 1;2)
D) Rpta: x = 5 ; y =8
E) rpta: x = - 2 ; y = - 1
31) 3X – Y – 5 = 0
32) Y = -2X – 6
33) 5X + 4Y – 11 = 0
34) X + 3Y + 11 = 0
NIVEL III
1) D
2) A
3) E
4) E
5) A
6) K = 1
7) K = 1
8) m = 7
9) K = - 4 / 3
10) Y= -4/9 x + 7
11) Rpts:
a) A : C = 15/ 2 n + 100
b) B: C = 5/ 2 n + 300
c) Cuando se fabrican 40 artículos de cada uno el costo es de $400 para cada
uno. Se tiene el mismo costo para ambos artículos.
49
Matemática I
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CAPÍTULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES
NIVEL I
RELACIONES
1) Dado: A = {2, 3, 4 } y B = { 3, 4, 5 }. Indicar la relación que implica: que el primer elemento sea
menor que el segundo o mejor dicho:
R = { (x, y)  A x B / x < y }
2) Si A = { -1, 0, 1, -2, -3 } y B = { 1, 2, 4, 5, 7, 9 }
Hallar los elementos del dominio y rango de las siguientes relaciones:
a) R1 = { ( x, y )  A x B / y + 2x = 0}
b) R2 = { ( x, y )  A x B / y = x2 }
c) R3 = { ( x, y )  A x B / y < x2 }
d) R4 = { ( x, y )  A x B / x2 + y2 < 3 }
e) R = { ( x, y )  A x B / y > 2x + 1 }
3) M =
3  x
Hallar R =
2
/
X  Z, - 4 < x
 4
x, y   Z x M / y = 3x - 1
así como su Dominio y Rango.
FUNCIONES
4) Indica si los siguientes pares ordenados representan una función.
a) (1,3), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3)
b) (1,3),(2,4),(3,5),(6,7),(8,5)
c) (2,4), (2,5),(3,4),(5,2),(1,4)
d) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)
e) (0,0), (1,1,(2,4,(3,9),(4,16)
f) (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)
g) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5)
50
Matemática I
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5) Dadas las siguientes relaciones que aplican A en B, mediante diagrama de flechas, determinar
si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.
6) Dadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata
de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.
51
Matemática I
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7) Cuáles de los siguientes conjuntos corresponde a una función:
a.
b.
c.
d.
{ (a ; 1) , (b ; 1) , (c ; 1) }
{ (1 ; 1) , (1 ; 3) , (1 ; 5) }
{ (a ; m) , (b; m) , (c ; n) , (b ; 1) }
{ (1 ; 1) , (2 ; 1) , (3 ; 2) , (4; 2) , (5 ; 2) }
8) Sean: A = { -2; 0; 1; 3; 5; 7} , B = { 0; 2; 8 ;10; 12} y la relación: R = {(x; y) ∈AxB / y = 2x}
a)
b)
c)
d)
Realiza el diagrama sagital para la correspondencia R.
¿R es función? ¿por qué?
Determina los elementos de R
Indica el dominio y rango de R
NIVEL II
FUNCIÓN LINEAL
1) Grafica las siguientes funciones lineales:
A) y = 2
B) y = − 2
C) x = − 5
D) y = x
E) y = − 2 x – 1
F) y = ½ x − 1
2) Dadas las siguientes funciones lineales
A) Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen.
B) Hallar el cero, igualando la función a cero y despejando la “x”.
C) Verificar su ubicación en el gráfico.
D) Decir si la función es creciente, decreciente o constante.
52
Matemática I
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3) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente.
NIVEL III
PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL
INGRESO, COSTO, UTILIDAD
1. Un fabricante de menaje de vidrio produce copas para vino a un costo variable de $ 0,85 cada
uno y costos fijos son de $ 80 al día. Si cada copa se vende a $ 1,10 determinar el punto de
equilibrio.
53
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
2. Los costos por producir un llavero publicitario son de $ 0,90 por unidad y los costos fijos son
de $ 30 al día. El llavero se vende en $1,20 cada uno. ¿Cuántos unidades deberá producir y
vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas
3. Los costos fijos por producir una lata de “Retbol” son de S/. 5 000 diarios y los costos
variables son de S/. 3,50 por lata. Si se vende a S/. 6,00 cada lata. Determine el número de
latas que deberán producirse y venderse al día para lograr el punto de equilibrio y represente
gráficamente todas las funciones involucradas.
4. El costo de editar “q” revistas de marketing a la semana está dado por: C(q) = 1000 + 5q
a) Si cada revista puede venderse a $ 7,00; determine el punto de equilibrio.
b) Si el fabricante puede reducir los costos variables a $ 4, 00 por revista incrementando los
costos fijos a $ 1 200 a la semana, ¿convendrá hacerlo?
5. Los costos fijos por elaborar el Menú Económico N° 1 en un Restaurant Turístico son de S/. 5
000 al mes y los costos variables son de S/. 3,50 por Menú. Si se vende cada menú a S/. 6,00:
a) Encontrar el punto de equilibrio.
b) ¿Cuál es el número de menús que debe preparar y vender al mes para obtener una utilidad de
S/. 1 500 mensuales?
c) ¿Cuál es la utilidad, cuando sólo 1 500 menús se producen y venden cada mes?
d) Si el Restaurant puede reducir los costos variables a S/. 2,50 por menú, incrementando los
costos fijos a S/. 7 000 al mes. ¿Convendrá hacerlo?
6. Un fabricante de muebles puede vender mesas para oficina por $ 70 cada una. El costo total de
fabricación está formado por los gastos generales fijos de $ 8000 dólares mensuales más los
costos de producción de $30 por mesa.
a) ¿Cuántas mesas debe vender el fabricante para llegar al punto del beneficio nulo?
b) ¿Cuántas mesas debe vender el fabricante para obtener un beneficio de $6000.
c) Calcule el beneficio ó pérdida del fabricante si se han vendido 150 mesas.
d) En el mismo sistema de ejes coordenados grafique las funciones ingreso total y costo total.
7. Un fabricante de cierto componente electrónico tiene costos fijos de $ 3 000 y costos
variables de $ 25 por unidad. Encuentre la ecuación que relacione los costos de producción “C”
con la cantidad producida “q”. ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades?
8. Una empresa cafetalera tiene en sus registros que el costo por el procesamiento (cosecha,
secado y molido) de un kilogramo de café es de S/. 1,75; mientras que por gastos de renta de
local y servicios básicos a la semana destina S/. 1 400
a) Establezca la función lineal del costo de producir “q” kilogramos de café, semanalmente.
b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de café a la semana
54
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
9. Un taxista decide regularizar su plan tarifario para poder cobrar lo justo por cada servicio
ofrecido. Debido a su experiencia y al modelo de automóvil que maneja establece que debe
cobrar S/. 3,00 más S/. 0,80 por cada kilómetro recorrido.
a) Establezca la tarifa por recorrer “ k “ kilómetros.
b) ¿Cuánto debería cobrarle a una señora que le pide un servicio de 6,5 kilómetros?
c) Si quiere reunir 50 soles en un día, ¿cuántos kilómetros debería recorrer?
10. Un hotel renta un cuarto a una persona; la tarifa es de $25 por la primera noche y $15 por
cada noche adicional. Considerando un modelo lineal:
a) Exprese en costo “C“ de alquiler de cuarto para “x“ noches de estadía.
b)Con 460 soles, ¿por cuántas noches podrá rentar el cuarto?
11. La empresa D&R SAC solicita los servicios de “Fantasy Party & Eventos” -especialistas en
catering- para la preparación y supervisión de banquetes. La empresa obtiene la siguiente
información: el costo por persona es de $ 20 además de un cargo fijo extra de $ 50.
a) Encuentre el modelo lineal que refleja el costo de la preparación de un banquete para “q”
personas
b)Si la empresa D&R SAC tiene un presupuesto de $ 3 050 para eventos de fin de año, ¿a
cuántas personas podrá invitar a la actividad?
12. Para “Rimax”, el costo total diario, en dólares, de producir “x” sillas plásticas está dado por:
C total = 2.5 x + 300.
a) Si cada silla se vende a $ 4.00 ¿Cuál es el punto de equilibrio de producción y venta?
b) Si el precio de venta se incrementa a $ 5.00 por silla, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio?
c) Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿Qué precio debería fijarse con el
objeto de garantizar que no haya pérdidas?
13. Un fabricante de Discos Compactos (CD´s) logra el punto de equilibrio de su producción si sus
ingresos por ventas son de $ 180 000 al año. Si los costos fijos anuales son de $ 45 000 y
cada millar de CD´s se vende a un precio de $ 30, hallar el costo variable por cada millar.
OFERTA Y DEMANDA
1. La empresa Movil Star prepara el lanzamiento de un nuevo modelo de teléfono celular.
Establece que a un precio (p) de $ 200 la unidad se venderán 5 unidades diarias (q) y si el
precio se fija en $ 180 la unidad, se venderán 9 unidades diarias. Encontrar la función de
demanda, suponiendo que es lineal.
2. En un análisis de mercado, La Pastelería San Anatolio encuentra que sus ventas semanales por
tienda, en promedio, son de 1 500 sandwich cuando el precio es de S/. 7.00 cada uno, pero las
ventas se incrementan a 1 800 sandwich si el precio se reduce a S/. 5.00. Determine la función
de mercado correspondiente
55
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
3. Por temporada alta, el Hotel Prado Inn. puede ofrecer 7 habitaciones dobles si el precio es de
S/. 150 la noche (por habitación), pero si el precio lo incrementan a S/. 180 la noche, la empresa
puede ofrecer 13 habitaciones dobles. Establezca la correspondiente función de oferta.
4. Art & Desing, fabricante de artículos publicitarios puede confeccionar 8 000 polos al mes si el
precio es de $ 2,50 la unidad. Si el precio es de $ 4,00 la unidad, puede producir 14 000 polos
al mes. Suponiendo un modelo lineal, determine la correspondiente función de mercado.
5. Para la asistencia a un concierto musical, a un precio de S/. 50 por boleto, la cantidad
demandada es de 4 500 boletos, mientras que la cantidad ofertada es de 3 300 boletos. Si el
precio se incrementa en S/. 10 por boleto, las cantidades demandadas y ofertadas serán de 4
400 y 4 200 boletos, respectivamente. Suponiendo linealidad:
a) Determinar las funciones de mercado (oferta y demanda) correspondientes.
b) Encontrar el precio y cantidad de equilibrio de mercado
6. La gerencia de producción de una empresa que fabrica artículos deportivos ha establecido que
al precio de S/. 180 la docena se venden 800 artículos. Si el precio disminuye en $ 5 por unidad,
la cantidad de artículos ofrecidos se reduce en un 50 %. Además se sabe que la otra función de
mercado, correspondiente a dicho artículo es q = -40p + 1040, siendo q = cantidad; p = precio.
a) Hallar la función de oferta
b) Hallar la cantidad y precio de equilibrio de mercado.
7. Una conocida marca de Shampoo para cabello promociona un nuevo producto y al analizar sus
ventas encuentra que éstas son de 1 000 paquetes (six pack de sachets) diarios cuando el
precio es de $ 1,20 por paquete, pero las ventas se incrementan a 1 200 paquetes cuando el
precio se reduce a $ 1,10 por paquete. Determine la respectiva función de mercado.
8. La empresa Asia-Beach tiene proyectado lanzar para la temporada 2008 nuevos modelos de
ropas de baño. Según estudios realizados, el mercado respondería de acuerdo a lo que se
establece:
Si el precio es de S/. 30 c/u, confeccionarán 2 000 prendas semanales y si elevan el precio en
S/. 5 c/u. confeccionarán 2 500 prendas semanales. Determine la función de mercado
correspondiente para este modelo lineal.
9. Se solicitó la colaboración de los alumnos del primer ciclo de la carrera de Administración
quienes realizaron un estudio para proyectar la conveniencia o no un evento y se obtuvieron los
siguientes resultados:
56
Matemática I
Precio
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
Capacidad
Capacidad
Ofrecida
Solicitada
$5
50 personas
100 personas
$ 10
90 personas
60personas
de
Entrada
a) Determine las funciones de oferta y demanda correspondientes.
b) Determine el punto de equilibrio de mercado.
10. La empresa Nike, ha elaborado un nuevo modelo de T-Shirt donde están bordadas las insignias
de los equipos de fútbol profesional peruano y con el afán de despertar un mayor interés en la
asistencia a los estadios. En el siguiente cuadro se muestra el comportamiento del mercado
según el estudio realizado por alumnos de la carrera de Marketing de iSIL.
Precio
Unidades
Unidades
Ofrecidas
Demandadas
$ 12.50
3 600
8 000
$ 14.00
8 000
5 000
de
T –Shirt
a) Determine las funciones de oferta y demanda correspondientes.
b) Determine el punto de equilibrio de mercado.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
NIVEL I
1) Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
a)
y = (x−1)² + 1
b) y = 3(x−1)² + 1
c) y = 2(x+1)² − 3
d) y = −3(x − 2)² − 5
e) y = x² − 7x −18
57
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
f) y = 3x² + 12x − 5
NIVEL II
2) Representa gráficamente las funciones cuadráticas:
a) y = −x² + 4x – 3
b) y = x² + 2x + 1
3) Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:
a)
b)
c)
d)
y = x² - 5x + 3
y = 2x² - 5x + 4
y = x² - 2x + 4
y = -x² - x + 3
4) Graficar:
a)
b)
c)
5) Sabiendo que la forma de la función cuadrática es: (𝑥 − ℎ)2 = 𝑦 − 𝑘, dar la ecuación de las
funciones cuadráticas graficadas a continuación:
58
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
59
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL III
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1. El costo por unidad (en dólares) al producir x de juegos de vajilla para restaurantes es:
C ( x)  20  0,06 x  0,0002 x 2 . a) ¿Qué número de juegos de vajilla producidas minimizarían el
costo?.
b) ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad?
2. El ingreso mensual (en soles) por concepto de la venta de x Menús Ejecutivo en cierto
2
Restaurante de Miraflores está dado por: I (x)  12 x  0,01x .
a) ¿Cuál es el Nº de Menús que deben venderse para maximizar el ingreso?
b) ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo?
3. Para una imprenta, la utilidad U(x), (en dólares), obtenida por fabricar y vender x unidades de
gigantografías publicitarias está dada por:
U ( x)  60 x  x 2
a) ¿Cuál es el Nº de unidades que deben producirse para maximizar la utilidad?
b) ¿Cuál es esta utilidad máxima
4. La cantidad demandada mensual, q, de pantalones “jeans” al precio de p dólares por unidad, está
dada por la relación:
q  1350  45 p . El costo de mano de obra y de material con que se
fabrica este pantalón es de $ 10 por unidad y los costos fijos son de $ 2 000 al mes, ¿Qué
precio, por unidad, p deberá fijarse el consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima
mensual?
5. Se estima que el número de clientes que llega a una cafetería está relacionada con la hora del
día de la siguiente manera: Número de clientes = - hora² + 24 hora – 94, donde la hora se mide
entre las 06 y 22.
60
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
Se desea saber:
a) A qué hora habrá el máximo número de clientes y cuántos serán éstos?
b) A qué hora habrán 34 clientes?
c) Cuántos clientes habrán a las 6 de la tarde?
6. Una empresa fabricante de choco tejas para exportación (cajas de 24 unds.), tiene costos fijos
mensuales de
$ 2000 y el costo variable, por caja, de $ 25.
a) Determine la función de costo.
b) El ingreso mensual ($) al vender q cajas está dado por: I ( q )
 60q  0,01q 2 , ¿Cuántas cajas
deben venderse para maximizar el ingreso? ¿Cuál es este ingreso máximo?
c) ¿Cuántas cajas deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad
máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
7. Para la empresa Laboratorios Lima, función demanda de un determinado antibiótico es: p = -q +
26. Los costos variables de producir este producto son de $ 6 por unidad y los costos fijos son
de $ 50 diarios.
a) Halla las funciones costo, ingreso y utilidad.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima? y ¿para qué cantidad demandada se produce?
c) Grafica las funciones ingreso y costo en un mismo plano
8. Para
la empresa UNIKE, la función demanda de cierta fragancia de perfume es:
15 p  2q  720 .
El costo ($) de producir q unidades es: C (q)  200  8q . ¿Qué
precio p por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima?
9. Si una editorial fija el precio de un nuevo libro de matemática en $ 20 se venderán 10 000
ejemplares. Por cada dólar de aumento en el precio, las ventas se reducen en 400 ejemplares.
¿Qué precio deberá fijar a cada libro se manera que se logre el ingreso máximo? ¿Cuál es este
ingreso máximo?
10. La función demanda p = f(q) para un producto de exportación (espárragos) es lineal. Dos puntos
(q, p) que definen dicha función son (24800, 100), ( 8800, 500). Los costos variables de
producción son de
$ 80 por tonelada y los costos fijos ascendieron a $ 2 500 000. Sí q se
expresa en toneladas y p en dólares:
a) Calcula la función demanda
b) Calcula las funciones del ingreso y el costo.
c) ¿A qué precio se maximiza el ingreso?; ¿Cuál es la utilidad para el precio anterior?
61
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
11. Por cada dólar de incremento en el precio de un producto, la cantidad demandada disminuye en
una unidad. Una cantidad demandada de 80 unidades corresponde a un precio de $ 20 por
unidad. Se pide:
a) Exprese el ingreso como una función de la cantidad vendida, asumiendo que todo lo que se
produce, se vende.
b) Si el costo fijo de producción es de $ 400 y el costo variable es de $ 50 por unidad,
encontrar la utilidad como una función de la cantidad producida y vendida.
c) ¿Qué precio de venta hace máxima la utilidad?
12. Una empresa familiar de elaboración de alhajas de bisutería determina que por cada dólar de
aumento en el precio unitario de una sortija, la cantidad demandada del mismo se reduce en una
unidad; asimismo saben que cuando el precio fijado es de $ 5,00 por cada sortija, les comprarán
5 unidades.
Si el costo de material para la elaboración de una sortija es de $ 1,00 y los costos fijos son de $
5,00 diarios, Obtener:
a) La función demanda.
b) La función costo total.
c) La función Ingreso y el ingreso máximo
d) La función utilidad y la utilidad máxima.
RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 2
FUNCIONES
NIVEL I
4) Si si no si si si si si
5)
a) Sí es función.
b) No es función (no hay existencia para "2").
c) Sí es función.
d) No es función (no existe para "1" y no hay unicidad para "4")
e) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "3", etc.)
f) No es función (no existe para "2" y "4", no hay unicidad para "1" y "3")
6) RPTAS:
a) No es función (no se cumple unicidad).
b) No es función (no hay existencia en el intervalo [1,2)).
c) Sí es función.
d) Sí es función.
62
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
e) No es función (no hay unicidad para "3").
f) No es función (no hay existencia para "3").
7) Si no no si
NIVEL II
FUNCIÓN LINEAL
1) Las gráficas son:
A) Y= 2
B) y = − 2
C)
x = − 5
D) y = x
63
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
E) y = − 2 x – 1
F) y = ½ x − 1
2)
64
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
3)
NIVEL III
PROBLEMAS DE FUNCIÓN LINEAL
INGRESO, COSTO, UTILIDAD
1. qe = 320 unidades
2. qe = 100 artículos
3. qe = 2 000 latas
65
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
4. respuestas:
a) qe = 500 artículos
b) Conviene, punto equilibrio baja a 400
5. Respuestas:
a) qe = 2000 menús
b) 2600
c) Pérdida de S/. 1 250
6. Rptas:
a) 200 mesas
b) 350 mesas
c) .Pérdida de $ 2000
7. C(q) = 3 000+25q ; C(100) = $5 500
8. Rptas:
a) C(q) = 1,75q + 1400 nuevos soles
b) S/. 3 150
9. Rptas:
a) T(k) = 3 + 0,80k nuevos soles
b) 8.2 nuevos soles
c) 58,75 km
10. Rptas:
a) C(x)=15x+10
b) 30 noches
11. Rptas
a) C(q)=20q+50
b)150
12. Rptas:
a) 200 unds.
b) 120 unds
c) $ 4.5
13. $ 22.50
66
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
OFERTA Y DEMANDA
1. - 5q + 225
2. p(q) = - (1/150) q + 17 (función de demanda).
3. p(q) = 5q + 115
4. . p(q) = (1/4000)q + 0.50 (función de oferta).
5. rptas
g) Oferta: p(q) = (1/90)q + 40/3 ; Demanda: p(q) = - (1/10)q + 500
h) Punto de Equilibrio: q = 4 380 personas ; p = S/. 62
6. Rptas:
c)
p(q) = (1/80)q + 5
d)
p = S/. 12 ; q = 560 unds.
7. p(q) = - 0.0005q + 1.70 (función de demanda)
8. p(q) = (1/100)q + 10 (función de oferta)
9. rpta:
a)
Oferta:p(q) = (1/8)q – (5/4) ;
Demanda: p(q) = - (1/8)q + (35/2)
b) . q = 75 personas ; p = $ 8.12
10. rptas
a) Oferta: p(q) = 0.00034q + 11.2727 ;
Demanda: p(q) = - 0.0005q + 16.5
b). q = 6216.22 unidades ; p = $ 13.39
FUNCIÓN CUADRÁTICA
NIVEL I
1) E l v é r t i c e y l a e c u a c i ó n d e l e j e d e s i m e t r í a d e l a s s i g ui e n t e s p a r á b o l a s e s :
a) V = ( 1 , 1 )
x = 1
67
Matemática I
b) V = (1, 1)
c) V = (−1, −3)
d) V = (2, −5)
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
x = 1
x = −1
x = 2
e ) V = ( 7 / 2 , − 1 2 1 / 4)
x = 7/2
f) V = (−2 , −17 )
x = −2
NIVEL II
2)
a) 1 . V é r t i c e
x
v
= − 4/ −2 = 2
y
v
= −2² + 4· 2 − 3 = −1
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, −3)
68
(1, 0)
V(2, 1)
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
b) 1 . V é r t i c e
x
v
= − 2/ 2 = −1
y
v
= (−1)² + 2· (−1) + 1= 0
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + 2x + 1= 0
Coincide con el vértice: (−1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
c)
3)
a) y = x² - 5x + 3
b² - 4ac = 25 - 12 > 0 Dos puntos de corte
b) y = 2x² - 5x + 4
b² - 4ac = 25 - 32 < 0 No hay puntos de corte
c) y = x² - 2x + 4
b² - 4ac = 4 - 4 = 0 Un punto de corte
69
V(− 1, 0)
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
d) y = -x² - x + 3
b² - 4ac = 1 + 12 > 0 Dos puntos de corte
4)
a)
Interceptos en el eje de Y (0, -3)
b)
Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4
Dominio Números reales
Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo
Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo
70
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
c)
71
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL III
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
1. a) 150 juegos ; b) $ 15.5
2. a)
600 menús
b) S/. 3 600
72
Matemática I
3. a)
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
30 unds.
b) $ 900
4. precio = $ 20
5. Rptas:
a)
A las 12 horas ; 50 clientes
b) A las 8 de la mañana y a las 4 de la tarde
c)
Habrán 14 clientes
6. Rptas:
a) Ctot. = 2 000 + 25q
b) q = 3000 cajas ; I máx = $ 90 000
c) q = 1750 cajas ; U máx = $ 28 625
7. rptas
d) Ctot. = 50 + 6q ; I = -q² + 26q ; U = -q² + 20q - 50
e) ? q = 10 unds. ; U máx = 50
7. p = $ 28
8.
9.
p = $ 22.50 ; I máx. = $ 202 500
rptas:
a). p(q) = -0.025 + 720
b). I(p) = -40p² + 28880p ; C tot.= 2 500 000 + 80q
c) p = $ 360 ; utilidad = $ 1 532 000
10. rptas:
a)
I = -q² + 100q
b) C tot = 400 + 50q
c)
p = $ 75
12. rptas:
e) p = -q + 10
f) C tot. = 5 + q
g) I = -q² + 10q ; I máx = $ 25
h) U = -q² + 9q - 5 ; U máx = $ 15.25
73
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
CAPÍTULO 3: PROPORCIONALIDAD
NIVEL II
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE
1) La razón entre el gasto en alimentación y el sueldo de una familia es 1/3. ¿Cuánto gastará en
alimentación si gana al mes 1506 soles?
2) Dos socios han invertido 18000 y 24000 euros, respectivamente, para formar un negocio. Si
el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446€ ¿cuánto debe recibir el
segundo?
3) Si 12 vacas se comen un granero lleno de paja en 80 días, calcula cuanto tardarían 30 vacas.
4) Juan ha recibido 20 soles por un trabajo de 5h. ¿Cuánto recibirá si trabaja 8 horas?
5) Un famoso cuatrero del oeste americano sabe que por cada 30 caballos entregados percibe
$ 1500. ¿Cuántos caballos deberá conseguir para cobrar $ 6 000
6) Si abro tres desagües de una piscina, esta tarde en vaciarse dos horas. ¿Cuánto tardaré en
vaciarla abriendo doce desagües?
2
2
7) Si el valor de un local de 120m es de $ 120 200 . ¿Cuánto valdrá otro similar de 180 m ?.
8) Tras cronometrar 15s he contado 14 pulsaciones. ¿Cuántas pulsaciones tengo por minuto?
9) Un púlsar, cuerpo celeste de pequeño diámetro, gira sobre sí mismo 2500 veces en tres
segundos. ¿Cuánto tiempo necesitará para girar 20.000 veces?
10) Un reloj de atrasa 5s cada 6h. ¿Cuántos minutos se atrasará en 15 días?
11) Doce limpiadores barren todo un teatro en ocho horas. ¿Cuántos limpiadores hacen falta
para hacerlo en seis horas?
12) La barba de Robinson Crusoe creció 4 cm en tres meses. ¿Cuántos años tendremos que
esperar para que la barba le crezca 80 cm? (5 años)
74
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
13) Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 min. ¿Cuántas vueltas completará en 10h?
14) Vemos un relámpago y 5s más tarde oímos el trueno. ¿A qué distancia se encuentra la
tormenta si sabemos que el relámpago y el trueno se producen en el mismo instante y que la
velocidad del sonido es de 340 m/s?
15) Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días.
¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días?
16) Una pulga de 0,13cm puede llegar a saltar 19,5cm de altura. ¿Cuántos metros llegaría a saltar
un niño de 1,60m si tuviera la misma habilidad para el salto?
17) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en
hacer 25 de esas mismas cajas?
18) ¿cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma
hora una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m?
19) Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar
una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho?
20)Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana;¿ cuántos kg se necesitarán
para tejer una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo?
21) Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km?
22)Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4
obreros abandonan el trabajo. ¿cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan?
23)Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas
más, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá
alimentarlas?
24)Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos
rollos se necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m?
25)Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría
haber comprado con esa misma suma de dinero?
75
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
26)Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de
30días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?
27)A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué
tiempo empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h?
PORCENTAJES
NIVEL I
1) Hallar cada uno de los porcentajes indicados:
a) 18 % de 180
(32.4)
e) 2/3 % de 12400
(8 266.67)
b) 60.0 % de 400
(240)
f) 35.9% de 1/35
(0.0104)
c) 20.5 % de 340
(69.7)
g) 1 3/4% de 3 5/7
(0.065)
d) 2.80 % de 6420
(179.60)
h) 400.5 % de 65
(260.33)
a) 32 es el 20%
(160)
d) 2800 es el 3 ½%
(80 000)
b) 700 es el 5%
(14 000)
e) 90 es el 120%
(75)
c) 64 es el ¼ %
(25 600)
f) 120 es el 150%
(80)
2) ¿De qué cantidad:
3) ¿Qué porcentaje de:
a) 1720 es 129?
(7.5%)
b) 80 es 3/10?
(0.375%)
c) 2500 es 75?
(3%)
d) 43 es 86?
(200%)
e) 80 es 120?
(150%)
f) 240 es 150?
(62.5%)
e) 1036 el 12.5% más? (920.89)
15080 el 5 ¾% menos? (16 000)
4) ¿De qué cantidad es:
a) 416 el 4% más?
(400)
b) 552 el 4% menos?
c) 690 el 20% más?
dl 35% menos?
(575)
(575)
e) 182
(280)
76
f)
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL II
1) En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% están contentos con la gestión
municipal. ¿Cuántos ciudadanos son?
2) Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el 12% de los 50
dólares que ha cobrado. ¿Cuánto dinero recibiré
3) Pedro posee el 51% de las acciones de un negocio. ¿Qué cantidad le
corresponde si los beneficios han sido de 74 500 €?
4) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si
hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado
la máquina?
5) En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el
porcentaje de ausencias
6) Un hospital tiene 420 camas ocupadas, lo que representa el 84% del total.
¿De cuántas camas dispone el hospital?
7) El 24% de los habitantes de un pueblo tienen menos de 30 años. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años?
8) ¿Cuánto me costará un abrigo de $360 si me hacen una rebaja del 20%?
9) A un trabajador que ganaba 1300 soles mensuales le van a aumentar el
sueldo un 4%. ¿Cuál será su nuevo salario?
10) En una tienda en la que todo está rebajado el 15% he comprado un pantalón
por el que he pagado 102 soles. ¿Cuál era el precio antes de la rebaja?
11) El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 2 100 €. ¿Cuál era el valor
anterior?
77
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
12) El billete del autobús cuesta 1,45€ y lo van a subir un 3%. ¿Cuánto tendré
que pagar después de la subida? (1,49).
13) Este año el Dr. Rodríguez rindió el examen en la convocatoria para la
selección de trabajadores en una empresa exportadora. El universo de
exámenes para esta convocatoria comprende 120 preguntas.
El Dr.
Rodríguez respondió solamente el 75% de las preguntas, de las cuales el
30% estaban erradas. ¿Cuántas preguntas acertó?
a) 63
14)
b) 54
c) 48
d) 12
¿Qué porcentaje aumentó?
504
420
a) 120% b) 40% c) 30% d) 20%
15)
Si sombrea el 25% de la tarjeta adjunta. ¿A cuántos cuadraditos
equivale?
a.
16
b.
10
c.
8
d.
4
16) En la tienda Mipley, un producto tiene el precio de venta original de 250
soles, para las fiestas navideñas le suben el precio en 20%, para luego
anunciar una oferta de que todo artículo está a la venta con el 20% de
descuento. Además en el momento de la compra de un artículo, el vendedor
hace un descuento adicional del 10% sobre el precio ya rebajado. ¿Cuál fue
78
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
la diferencia en soles entre el precio de venta original y lo que realmente
se pagó por el artículo?
a) 18
b) 25
c) 34
d) 10
17) La producción de zapatos de cierto fabricante es de 5000 pares al mes,
distribuidos por color, en porcentaje, de acuerdo a la siguiente tabla:
Color
%
Negro
27
Blanco
23
Azul
18
Marrón
15
¿Cuántos pares de zapatos produce mensualmente en otros colores que no
aparecen en la tabla?
a) 850
b) 4150
c) 1850
d) 1350
18) En una convención, el 50% de los asistentes tiene maestría. Entre los que
tienen maestría, el 30% tiene doctorado. ¿Qué porcentaje de todos los
asistentes tiene doctorado?
A) 15%
B) 20%
C) 25%
D) 40%
19) El precio inicial de una casaca se disminuyó en un 20%. Para volverla al
precio inicial al nuevo precio se le hace un aumento de:
a) 7 %
b) 25 %
c) 30%
d) 20%
20) En la tienda de un amigo está a la venta un juego de video por $50. En
otra tienda, el mismo juego estaba la semana pasada $60, pero ahora me
hacen un descuento del 20%. Cuando se lo conté a mi amigo, él me dijo que me
podía hacer un descuento del 10%. En un gran almacén la semana pasada
estaba a $45, pero por la gran demanda ahora está con un precio del 10%
adicional.
79
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
¿Cuánto pagué en dólares por el videojuego si escogí el que me hizo mayor
descuento en dinero?.
a) 45
b) 48
c) 40
d) 49,5
21) Encontrar el valor final en:
40
30%
a) 28
b) 12
c) 52
d) 10
e) 20
22) El gráfico representa al número de postulantes de un aula.
El área
sombreada representa a los postulantes que recién han egresado del colegio,
de los cuales
1 es mujer y representa el 20 % del área sombreada.
¿Cuántos postulantes hay en esa aula?
a) 20
b) 40 c) 50 d) 30 e) faltan más datos.
23) Si las áreas en blanco representan los juicios perdidos por un abogado,
indicar el porcentaje de juicios ganados.
80
Matemática I
a) 20%
b) 80%
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
c) 50%
d) 75%
24) Un contenedor de 50 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 20
litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y
nuevamente se extraen 20 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua.
¿Qué porcentaje de jugo hay en la mezcla final?.
a) 24%
b) 36%
c) 30%
d) 27%
25) En una fiesta se observa que el 70% de los invitados son mujeres. Si se
fueran el 25% de las mujeres quedarían 42 mujeres. ¿Cuántas personas
asistieron a la fiesta?
a) 240
b) 120
c) 80
d) 60
e) 90
26) Un comerciante vende 2 artículos en S/. 960 cada uno. Si en la primera
gana el 20% de lo que le costó y en la segunda pierde el 20% de lo que le
costó. Determinar si hubo ganancia o pérdida y cuánto.
A. Gana S/. 80
B. Pierde S/. 80
D. Pierde S/. 70
E. Pierde S/. 90
C. Gana S/. 7
27) ¿Qué porcentaje aumentó?
650
500
a) 20% b) 30%
c) 120% d) 130% e) N. A.
GRÁFICO Nº 2
El gráfico muestra como se distribuyen los gastos mensuales de un padre
de familia.
Sueldo = S/.3600
81
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
Alimentació
Educación
28) ¿Cuánto gasta en alimentación?
A. S/. 900
B. $ 1 080
C. S/. 1 200
D. S/. 1 120 .
E. S/. 960
29) ¿Cuánto más gasta en educación que en vestido?
A, S/.640
B. S/. 600
C. S/. 540
D. S/.500
E. S/.480
30) ¿Qué porcentaje es lo que gasta en vestido respecto a lo que gasta en
educación?
A. 10%
B. 20%
C. 25%
D. 30%
E. 40%
31) Si el 5% de otros es diversiones, ¿cuánto gasta en este rubro?
A. S/.180
B. S/.126
C. S/. 189
D. S/.63 E. S/.100
32) Si el 20% del gasto en educación lo invierten en materiales de estudio.
¿Cuánto se invierte en dicho rubro?.
A. S/.160
B. S/.120
C. S/.180
D. S/.200
E. S/.140
33) Si el sueldo se incrementara en S/.180 y la distribución mantuviera
inalterable la proporción. ¿Cuánto más se gastaría en alimentación?.
A. S/. 48
B. S/. 52
C. S/. 42
D. S/. 54
E. S/. 35
GRÁFICO Nº 3
En el gráfico se muestra la distribución de aulas A, B, C y D de un total de 600
alumnos.
82
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
35%
30%
20%
15%
A
B
C
D
34) ¿Cuántos alumnos hay en C?
A. 200
B. 210
C. 140
D. 350
E. 280
35) La cantidad de alumnos en B es mayor en ……..que la cantidad de alumnos en
A.
A. 60%
B. 10%
C. 50%
D. 40%
E. 20%
36) La cantidad de alumnos en A excede a la de D en:
A. 30 alumnos
B. 33,3%
C. 32 alumnos
D. 30%
E. Más de una es correcta
37) Si de cada aula se retiran 25 alumnos. ¿Qué porcentaje del nuevo total
representan los alumnos en A?
A. 18%
B. 19%
C. 20%
D. 21%
E. 25%
38) ¿A cuánto se debe vender un artículo que costó S/. 300 para ganar el
20% del costo?
a) S/.380
b) S/.400
c) S/.330
d) S/.360
e) S/.340
39) En una reunión se encuentran 20 hombres adultos y 30 mujeres adultas y
75 menores de edad. ¿Qué tanto por ciento de los reunidos no son
menores de edad?
a) 40%
b) 50%
c) 60%
83
d) 45%
e) 25%
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
40) En un salón de clases el número de hombres equivale al 80% total, si se
retiran el 20% de los hombres, ¿Qué porcentaje el resto son mujeres?
rpta: 23,8%
AUMENTOS Y DESCUENTOS
NIVEL II
1) Se ha realizado una compra por un total de 350 soles, sin incluir IGV, pero me
hacen un descuento del 10% si el monto es menor a 300 soles y 13% si es mayor
a esa cantidad. ¿Cuánto tendré que pagar? Y ¿cuánto aportaré por el IGV?
2) Al precio de venta de un artículo se le ha hecho dos descuentos sucesivos; el
primero de 12 % y el segundo, que se calcula tomando como base el precio ya
rebajado, del 10 %. ¿Cuál será el descuento único equivalente, partiendo del
precio original?
3) Al precio de venta de un artículo se le rebaja el 10%. Determinar en qué
porcentaje sería necesario aumentar el precio rebajado para que, el nuevo
precio coincida con el original?
4) Una magnitud variable aumentó, en una primera etapa, en el 30% de su valor y,
en una segunda, disminuyó en el 20% del valor que tenía al finalizar la primera
etapa. Cuál era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa
era de 8 840?
5) Determinar el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 40 y
del 25%.
6) Determinar el porcentaje de incremento único, equivalente a dos incrementos
sucesivos del 3 % y del 6 %.
7) Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50% del 40% de
dicho precio. Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado,
¿que tanto por ciento del costo se ganó?.
84
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
8) Se estima que una mezcladora de concreto sufre una depreciación de 10% por
cada año de uso respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de
4 años su precio es $131220, entonces el costo original de la mezcladora fue
de….
9) Una fábrica aumenta en un 20% el precio de venta de sus artículos debido al
costo de vida ¿en que porcentaje disminuyen sus ventas si su ingresos se
incrementaron en un 8%?
10) Un novato comerciante quiere vender un objeto aumentando su precio en un
20%, pero luego de unos días rebaja este precio en un 10% y a la semana
nuevamente aumetna el precio recién fijado en una 40%, decidiendo al día
siguiente rebajar un 20% de este último precio. ¿Podrías determinar si este
comerciante está ganando o perdiendo y en qué porcentaje?
11) Una persona ganó dos facturas; por la 1era. pagó $845000, luego de que le
hicieran el 35% de descuento, por la 2da. pagó $1400000 en la cual le
recargaron el 12%.¿cuanto ahorró o pagó de recargo en total?.
12) Un comerciante compra un artículo de $8000 (sin IGV).¿cuál debe ser el precio
a que debe fijarlo para que rebajando el 20% de este precio aún gane el 30%
del precio de costo?
13) Un comerciante poco honesto, antes de anunciar una rebaja del 25% aumenta
un 25% el precio de referencia de los artículos. ¿Cuál es el verdadero
descuento?.
14) Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%.¿Cuál debe
ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original?
85
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
FIJACIÓN DE PRECIOS
NIVEL I
1. Completa el cuadro:
Producto
Costo
unitario
Ganancia
MB y UB
Valor de
Venta
IGV
Precio
de
Venta
Tetera Eléctrica
Yelmo - Jarra de 1,8 $102.00
lts.
MB=20%
del costo
UB=
Jarra Electrica
Ultracomb de Acero
$164.00
220 W - Termotasto
Regulable
MB= 13%
del VV
UB=
Procesadora de
Alimentos Yelmo 250
W - Capacidad 800
Ml.
MB= 25%
del costo
UB=
$190.00
Tostadora
Electronica de Acero
Ultracomb - Acero
Inoxidable
MB= 11%
del VV
UB=
$134.00
Caja Herramientas
Grande C/Gavetero
48X20X22 Cm
MB= 27%
del costo
UB=
$26.99
Set caja
Herramientas X 3
(prods. 602, 604 y
606)
MB= 16%
del VV
UB=
$100.80
86
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL II
2. Un restaurante sabe que su costo por menú ejecutivo, de lunes a viernes, es
de S/. 20 y el margen de utilidad bruta (MB) que aplican es del 10% de su
costo. Hallar el valor de venta del menú.
3. Una casa de hospedaje sabe que su costo unitario diario, por habitación
simple, es de S/. 20 y su MB es de 10% del valor de venta. Hallar el valor
de venta de la habitación por día.
4.
Un taller de confección de polos publicitarios sabe que su costo unitario es
de S/. 40, su MB lo considera como un 50% del costo. Hallar el precio de
venta. Considere el IGV = 18% .
5.
Una empresa de producción de componentes para computadoras tiene un
costo total de S/. 35 000 y produce 500 artículos, su MB es de 70% del
valor de venta. Hallar el valor de venta de cada unidad.
6.
Una empresa vitivinícola tiene costos fijos de S/. 5 000 y costos variables
de S/. 10 000. Fabrica 1 500 botellas y establece un MB del 30% del costo.
Hallar el precio de venta unitario.
7.
La agencia de Publicidad “AKM” tiene los siguientes costos para la
instalación de afiches: Alquiler de local S/. 3 000; servicios de luz, agua y
teléfono S/. 2 000; insumos publicitarios S/. 1 000; mano de obra S/.
5 000. El Margen de utilidad es del 40% del costo y se confeccionan 800
afiches. Hallar el precio de venta.
8. Para un concierto musical una empresa de espectáculos compró una
determinada marca de cerveza en lata a un costo de S/. 2.35 cada unidad y
la vendieron a un precio (incluido el IGV) de S/. 4.46. Hallar:
a)
b)
El MB sobre el costo.
El MB sobre el valor de venta.
87
Matemática I
9.
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
Supermercados Bong vende, en su sección de alimentos preparados,
ensaladas a S/. 15.49 por kilo, aplicando un MB del 125.5 % del costo. Halle
el costo del kilogramo de ensalada.
10. Una importadora de vehículos compra un determinado modelo a un costo de
$ 8 453.95 y lo venden con un MB del 37.45% del valor de venta. Hallar el
valor de venta.
11. Una fábrica de toallas de baño para hoteles tiene un costo total de S/. 20
000 y produce 1 000 unidades, su MB es
de 60% del costo, Hallar el
valor de venta de cada unidad.
12. Una empresa de mantenimiento de lectoras de CD tiene un costo total de
S/. 10 000 y fabrica 1 600 componentes, su MB es de 10% del costo. Hallar
el precio de venta unitario.
13. Una empresa fabrica 200 quemadores para cocinas de hoteles y tiene los
siguientes costos: alquiler de local
S/. 4 000, servicios S/. 3 000,
en total; materia prima S/. 4 por artículo, mano de obra S/. 5 por artículo.
El margen de utilidad es del 20% del costo. Hallar el precio de venta y el
total de IGV pagado.
NIVEL III
14. El costo de fabricar copas de cristal, para eventos sociales, es de S/. 17.60
y se venden con un MB del 43.5% del valor de venta.:
a)
Hallar el valor de venta.
b)
Hallar el precio de venta.
c)
¿Cuál fue la utilidad bruta?
d)
Determine el MB sobre el costo.
e)
Determine el MB sobre el valor de venta
15. Una distribuidora de duraznos en conserva adquiere un lote exclusivo para
preparación de “aperitivos”. Compra 200 cajas, de 24 unidades cada una, a
88
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
S/. 80 por caja. Para la comercialización se agrega un MB del 60% del valor
costo.
a)
Calcular el valor de venta unitario (por lata) y el precio de venta unitario.
b) Si el 40% del lote se vende a S/. 4.80 por lata, ¿A qué precio se deberían
vender el resto de las latas para lograr el margen inicial sobre todo el lote?
16. Un grupo de alumnos emprende un proyecto empresarial de confección de
“polares”. El costo de cada polar se establece en $ 12 y le aplicarán un MB
del 52% del costo. Al finalizar la temporada de invierno, las unidades
sobrantes se venderán a $ 15 cada una. Si se confeccionaron 500 polares y
el 11% de vendió a precio rebajado:
a) ¿Cuál será el valor de venta total si venden todos los polares?
b) ¿Cuántos polares se vendrán a precio rebajado?
c) ¿Cuál es el valor de venta de los polares vendidos fuera de temporada?
AUMENTOS Y DESCUENTOS Y FIJACIÓN DE PRECIOS
NIVEL III
1) Al valor de venta de un artículo se le ha hecho dos descuentos sucesivos; el
primero de 12% y el segundo, que se calcula tomando como base el precio ya
rebajado, del 10 %. ¿Cuál fue el valor de venta inicial inicial si he pagado 650
soles?
2) El precio de un auto aumentó, en una primera etapa, en el 30% de su valor y, en
una segunda, disminuyó en el 20% del valor que tenía al finalizar la primera
etapa. Cuál era el valor de venta inicial del auto si al finalizar la segunda etapa
era de $18 840 (sin IGV)?
3) Se le aumenta el 30% al precio de venta de un producto, para luego hacer una
realización (rebaja) del 20% + el 15% de descuento. Finalmente el cliente paga
453 soles ¿cuál fue el precio de venta inicial?
4) Se le aumenta el 40% al valor de venta de un producto, para luego hacer una
realización (rebaja) del 30% + el 15% de descuento. Finalmente el cliente paga
658 soles ¿cuál fue el precio inicial sin IGV?
89
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
5) He comprado un estante en el que he invertido el 33% de su costo en pintarlo y
refaccionarlo, para luego venderlo ganando el 22%de todo lo gastado. Si me
pagan S/. 590 (sin IGV), ¿cuánto me costó el estante?
6) El precio sin IGV de un producto es de $26, luego de sufrir un aumento ahora
tiene un precio de venta de $34. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?
7) Pagué por un vestido de fiesta S/ 390 luego que me hicieran dos descuentos,
uno de 20% y otro, que no recuerdo, por ser cliente frecuente de la tienda. El
vestido tenía un precio sin IGV de S/. 470. ¿Cuál fue el descuento por ser
cliente frecuente?
8) Se le aumenta el 30% al precio de un producto que costaba inicialmente 451
soles (incluido IGV) y luego otro 12%, para luego hacer una realización del 40%
de descuento. ¿cuánto pagará finalmente el cliente?
9) Mi sueldo siempre ha sido una cantidad fija de S/.2200 pero el mes pasado
falté 3 días, por lo que se reducirá hasta el 91% de su valor. Y sobre eso me
han hecho los descuentos de ley de un 12%. ¿Cuánto recibiré?
RESPUESTAS AL CAPÍTULO 3.
PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE
NIVEL II
1)
(502 soles)
10) 5 min)
19) (16 kg)
2) (1928€)
11) (16 obreros)
20) (12,656 kg)
3) (32 días)
12) (5 años)
21) (55 min 12 seg)
4) (32 soles)
13) (120)
22) (27 h)
5) (120)
14) (1700m)
23)(18)
6) ( media hora)
15) (16 h/d)
24) (9)
7) (180 300 dólares)
16) (240m)
25)(31 kg)
8) (56 pulsaciones)
17) (20)
26)(32)
9) (24 s)
18) (3,5 m)
27)(3 hs 53 min 20 s)
90
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
PORCENTAJES
NIVEL II
1) 15980
15)
D)
29) C)
2)6 dólares
16)
C)
30) E)
3)37995 €
17)
A)
31)
4)1700
18)
A)
32) C)
5)20%
19)
B)
33) D)
6)500 camas
20)
B)
34) B)
7)375 habit.
21)
A)
35) C)
8) $ 288
22) B)
36) A)
9)1353 soles
23) D)
37) B)
10) 200 soles
24) B)
38) D)
11) 2000 €
25) C)
39)
12) (1,49).
26) B)
40) 23.8
13)
A)
14)
D)
27) B)
28) B)
AUMENTOS Y DESCUENTOS
NIVEL II
1) 362.36 y 57,86
8) :$200000
2) 20,8%
9) 10%
3) 11,11 %.
10) gana 20,96%
4) 8 500.
11) ahorró $305 000
5) 55%.
12) : 13000
6) 9,18%
13) 6,25%
7) rpta:8%
14) re:25%
91
D)
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
FIJACIÓN DE PRECIOS
NIVEL I
1. Cuadro:
Ganancia
MB y UB
Valor de
Venta
Tetera Eléctrica
Yelmo - Jarra de 1,8 $102.00
lts.
MB=20%
del costo
UB= 20.4
122.4
22,03
144.43
Jarra Electrica
Ultracomb de Acero
$164.00
220 W - Termotasto
Regulable
MB= 13%
del VV
UB= 24.51
188.51
33.93
222.44
Procesadora de
Alimentos Yelmo 250
152
W - Capacidad 800
Ml.
MB= 25%
del costo
UB= 38
$190.00
34,2
224.2
Tostadora
Electronica de Acero
119,26
Ultracomb - Acero
Inoxidable
MB= 11%
del VV
UB= 14,74
$134.00
24,12
158,12
Caja Herramientas
Grande C/Gavetero
48X20X22 Cm
MB= 27%
del costo
UB= 4,86
22.87
4,12
$26.99
MB= 16%
del VV
UB= 13,67
85,42
15.38
$100.80
Producto
Set caja
Herramientas X 3
(prods. 602, 604 y
606)
Costo
unitario
18,01
71,75
92
IGV
Precio
de
Venta
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
NIVEL II
2.
22
3.
(S/. 22.22)
4.
(S/. 70,8)
5.
(S/. 233.33)
6. (S/. 15.34)
7.
(S/. 22.72)
8. RPTAS
c)
El MB sobre el costo. (60.85%)
d)
El MB sobre el valor de venta. (37.83%)
9. (S/. 5.82)
10. ($ 13 515.50)
11. (S/. 32)
12. (S/. 8.11)
13. (S/. 62.30; S/. 1900)
NIVEL III
14. RPTAS:
a)
el valor de venta.
(S/. 31.15)
b)
el precio de venta.
(S/. 36.76)
c)
¿Cuál fue la utilidad bruta?
(S/. 13.55)
d)
Determine el MB sobre el costo.
(76.99%)
e)
Determine el MB sobre el valor de venta
(43.50%)
15. RPTAS
a) (S/. 5.33 ; S/ 6.34)
b) (S/. 7.37)
16.
a) ($ 9 120)
b) (55)
c) (S/. 825)
93
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
AUMENTOS Y DESCUENTOS Y FIJACIÓN DE PRECIOS
NIVEL III
1) Rpta: 695,52 soles
2) Rpta: $18115,38
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Rpta: S/.512,44
Rpta: 669,42
Rpta: 363,61 soles
Rpta: 10,82% de aumento
Rpta: 12,1% de dscto
Rpta: S/. 393,99
Rpta: S/. 1761,76
94
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
CAPÍTULO 4: CONVERSIONES
UNIDADES Y CONVERSIÓN DE UNIDADES
1. Unidades de Longitud.
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
1 Kilómetro (Km) = 1000 m
1 metro ( m )
=
=
100 centímetros(cm)
1 centímetro (cm) =
100000 cm = 39370 pulgadas (“)
=
1000 mm
10 milímetros (mm)
1 milímetro (mm) = 1000 micras (  )
1 micra (  )
SISTEMA INGLES
1 milla terrestre (mi)
= 1,609Km = 1609 m
1 milla marina ( náutica )
= 39,37 pulgadas (“)
= 1852 m
1 pie
=
3280,8 pies (‘)
= 3,2808 pies (‘)
= 10 Angstroms (  )
= 12 pulgadas = 30,48 cm = 304,8 mm
1 pulgada = 2,54 cm = 25,4 mm
1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0,914 m = 91,44 cm
2. Unidades de Área o superficie
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
1 Hectárea (ha) = 10000 m2 = 2,471 Acres
1 kilómetro2 ( km2) = 247,1054 Ac
1 metro2 (m2) = 10000 cm2 = 1550 pul2 = 10,7639 pie2
1 cm2 = 100 mm2
SISTEMA INGLES
1 Acre (Ac) = 4046,86 m2 = 0,4047 ha = 43560 pie2
1 yarda
2
2
(yd ) = 0,8361 m
2
1 milla2 (mi2) = 2,59 km2
1 pul2
= 6,4516 cm2
3.. Unidades de Volumen
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
1 litro (lt) = 1000 mililitros (ml) = 1000 cm3 = 61,024 pul3 =
2,205 lb (sólo para el agua)
1 m3 = 1000 lt = 35 pie3 = 106 cm3 =
2204,5 libras (sólo para el agua)
SISTEMA INGLES
1 galón USA
= 4 cuartos (qr) = 3,785 lt.
1 galón inglés
= 4,546 lt
1 pie3 = 1728 pulg3 = 7,48 gal USA
1 cuarto
= 0,946 lt
1 pinta
= 473 ml
= 1,2 gal USA
= 6,232 gal inglés = 28,317 lt
1 onza líquida = 29, 6 ml
1 Pulg3 = 16,3872 cm3
= 16 onzas líquidas
1 barril = 42 lt
4. Unidades de Masa:
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
1 Tonelada (Tn ) = 1000 Kilogramos (Kg) = 2200 lb.
1 gramo (g) = 1000 miligramos (mg)
1 Kilogramo (Kg) = 1000 gramos (g) = 2,2 Ib
1 miligramo (mg ) = 1000 microgramos (mcg)
SISTEMA INGLES
2,2 libras (lb) = 1 kilogramo (Kg)
1 onza (oz) = 28,35 (g)
1 libra (lb) = 16 onzas = 453,6 g
1 quintal (q) = 50 Kg.
1 arroba (@) = 25 Ib.
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Matemática I
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NIVEL I
1. Completar:
1a.
6 yd = ______ pie
1b. 120 pulg. = _____ pie
2a.
3 pie = ______ pulg.
2b.
27 pie = _____ yd
3a. 33 pie = _____ yd
3b.
9 pie = ______ pulg.
4a. 10 yd = ______ pie
4b.
12 pie = _____ yd
5a. 60 pulg. = _____ pie
5b.
15 pie = _____ yd
2. Completar:
1a. 10 m = ______ cm
1b. 3 km = ______ m
2a. 8 km = ______ m
2b. 1000 m = _____ km
3a. 6 cm = ______ mm
3b. 10 mm = _____ cm
4a. 1 kg = ______ g
4b. 8 m = ______ cm
5a. 600 cm = _____ m
5b. 5000 g = _____ kg
6a. 400 cm = _____ m
6b. 10000 m = _____ km
7a. 3000 ml = _____ L
7b. 10000 ml = _____ L
8a. 2 L = ______ ml
8b. 7000 g = _____ kg
9a. 9 cm = ______ mm
9b. 1 L = ______ ml
10a. 4000 ml = _____ L
10b. 6000 g = _____ kg
(ii)
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Matemática I
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NIVEL II
1) Convertir:
A) 5,8724 meses, a trimestres, meses, día, horas, minutos y segundos.
B) 1148,25 días a bimestre, meses, días, horas, minutos y segundos.
C) 7 meses, 27 días, 45 horas, todo a bimestres.
D) 2,5 bim, 1,1 meses y 27 días, todo a días solamente.
2) Encuentra las equivalencias
A) 0,75 ha a pie cuadrado
B) 37428 pulgadas cuadradas a AC
C) En una recta se ubican los puntos A, B, C, D
Si AB = 45 ‘, BC = 781,8 ‘’ ; CD = 342050 µ
Hallar AD en cm
D) 54,81 gal USA a pintas
E) 67,8 @ a Tn
3) Hallar el volumen con las siguientes dimensiones:
A) 0,0004 mi x 57’’ x 0,28’, en metros cúbicos
B) 5,37 m x 407000 µ
x 5,1x 106 A, en pulgadas cúbicas
4) Hallar el área del rectángulo, para cada una de las siguientes dimensiones:
A) 4,8 yd x 0,023 mi náuticas, en metros cuadrados
B) 37,2cm x 78’’, en pies cuadrados
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Matemática I
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RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 4
NIVEL I
1)
1a) 18 2a) 36 3a) 11 4a ) 30 5a) 5 6a) 7
1b) 10 2b) 9 3b) 108 4b) 4 5b) 5 6b) 12
2)
1a. 1000 cm
1b. 3000 m
2a. 8000 m
2b. 1 km
3a. 60 mm
3b. 1 cm
4a. 1000 g
4b. 800 cm
5a. 6 m
5b. 5 kg
6a. 4 m
6b. 10 km
7a. 3 L
7b. 10 L
8a. 2000 ml
8b. 7 kg
9a. 90 mm
9b. 1000 ml
10a. 4 L
10b. 6 kg
NIVEL II
1) Convertir:
A) 1 trim, 2m 26 d 4 h 7 min 41seg
B) 19 bim 0 m 8 d 6 h
C) 3.981 bim
D) 210 días
2) Equivalencias:
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Matemática I
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A) 80729.25 pie2
B) 0,005967 AC
C) 3391,cm
D) 438.595 pintas
E) 0,77045 Tn
3) Volumen
C) 0,0792635 m3
D) 68022.552 pulgadas cúbicas
4) Área
A) 186.867 m2
B) 7,93 pie2
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Matemática I
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CAPÍTULO 5: MATEMÁTICA FINANCIERA
INTERÉS SIMPLE
NIVEL I
1) Calcular el monto de un depósito:
b) S/. 4000 por 4 años ,con una tasa simple anual de 5%
c) S/. 3800 por 3 meses ,con una tasa simple mensual de 1,2%
d) S/. 12450 por 3 trimetres ,con una tasa simple trimestral de 7,43%
2)
Hallar el capital depositado para los siguientes datos:
a) Interés S/. 390 por 5 años ,con una tasa simple anual de 6%
b) Interés S/. 120 por 7 meses ,con una tasa simple mensual de 0,9%
c) Interés S/.0, 70 por 13 días ,con una tasa diaria de 0,3 %
NIVEL II
1.
Un banco otorgó a una empresa un préstamo de S/. 10 000 para devolverlo
dentro de tres años, cobrando una tasa de interés del 24% anual simple. ¿Cuál
será el interés que pagará la empresa al vencimiento del plazo?
2. ¿Cuál será el interés acumulado en 200 días por un depósito de ahorros de S/.
2 500 percibiendo una tasa de interés del 2.48% bimestral simple?
3. Un préstamo de $ 65 400 se pacta pagarlo en 18 meses y a la tasa de interés
del 20% semestral simple. Hallar el monto que se tendrá que pagar.
4. Un inversionista depositó
$ 36 780 en una cuenta que le ofrecía un
rendimiento del 3.25 % cuatrimestral simple. La fecha en que se realizó el
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Matemática I
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depósito fue el 02 de junio y retiró su capital más los intereses el 28 de
noviembre del mismo año. ¿A cuánto ascendió dicho monto?
5. Calcular el monto que se podrá retirar de una inversión de S/. 5 890 que paga la
tasa de interés del 3.45 % trimestral simple durante 1 año 10 meses 20 días.
6. Se pide calcular el monto de un capital de $ 2 800 que se coloca bajo RIS a
una tasa del 2 % trimestral durante un tiempo total de 2 años 9 meses y 20
días.
7. Un inversionista depositó
rendimiento del
$ 35 890 en una cuenta que le ofrecía un
2.35 % cuatrimestral simple. La fecha en que se realizó el
depósito fue el 04 de Junio y retiró su capital más los intereses el 17 de
Octubre del mismo año. A cuánto ascendió dicho monto.
(contar excluyen el
primer día y se incluye el último día).
8. Usted dispone de un capital de S/. 75 000 y le ofrecen una tasa de interés
simple del
20 % semestral para que los invierta por 6 meses. Qué monto
obtendría si acepta dicha opción.
9. Un señor debe $ 1 400, los cuales iba a retornar sin intereses al cabo de 1 mes,
proponiendo retrasar dicho pago 5 meses más, convino en pagar lo
correspondiente a la tasa de interés del 25 % anual simple. ¿Qué cantidad
deberá recibir el prestamista transcurrido el plazo?
10. Una corporación accede a un préstamo de $ 300 000 a una tasa Líbor 5 ¾ %
más 4.5 % (anual simple) con fecha 23 de Marzo. Hallar el monto que deberá
pagar el 27 de Mayo.
11. Una corporación petrolera solicitó un préstamo de $ 1 800 000 con fecha 18
de
Agosto y que se cancelará el 13 de Octubre. El Banco aplica una tasa de
interés
simple anual Líbor 6 ½ % +
3.85 %. Determinar el monto que se
cancelará al vencimiento.
12. Hallar el capital que colocado a una tasa de interés del 10% semestral simple,
se convirtió en un monto de $ 30 000 al cabo de 9 años 7 meses y 5 días.
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Matemática I
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13. Se pide calcular la tasa de interés simple bimestral a la que estuvo colocado un
capital de $ 5 400 que se transformó en $ 9 700 al cabo de 2 años 1 mes y 17
días.
14. Cierta persona prestó a un amigo $ 3 672, sin intereses, que precisaba para
completar el capital para emprender un negocio. Sin embargo, a los 5 meses le
devolvió $ 3 916.80, indicándole que en gratitud participaba del beneficio.
¿Qué tasa de interés anual simple supone ese beneficio?
15. Mediante un avance en cuenta corriente se recibe $ 1 000 000 con fecha 10 de
Mayo y que se cancelará el día 20 de Mayo con el pago de $ 1 002 986.11.
Calcular la tasa anual de interés simple aplicada.
16. Por la compra de un terreno, valorizado en $ 185 790, una constructora se
compromete a pagar $ 16 837.85 como intereses por financiamiento al cabo de
1año 2 meses 3 días. Calcular cuál será la tasa de interés simple anual; mensual
y diaria que la constructora pagará.
17. En qué tiempo un capital de $ 4 000 se transforma en $ 7 500 a una tasa de
interés simple del 5 % cuatrimestral.
18. Una corporación accede a un préstamo de $ 4 300 000, que fue desembolsado
el 03 de Octubre. Si la tasa de interés simple fijada fue del 10.5 % anual y
hasta la fecha de cancelación generó $ 79 012.50 de intereses. Hallar la fecha
de pago.
19. Un inversionista deposita $ 15 000 en una cuenta que rinde el 11.5 % anual
simple. Aproximadamente en cuánto tiempo logrará incrementar su capital en un
40 %.
20. Una Asociación de Vivienda invirtió $ 87 650 en una cuenta a plazo fijo, la cual
pagaba la tasa de interés del 8.31 % anual simple. Si al vencimiento del plazo
establecido recibieron por concepto de intereses $ 9 424.85. Calcular el
tiempo del depósito en años, meses y días.
102
Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
21. ¿Por qué importe debe extenderse un pagaré
que vence el 04 de junio si lo
descontamos el 16 de abril pagando una tasa del 24 % anual simple y
necesitamos disponer de S/. 8 500 en la fecha de descuento?
22. Se desea comprar una nueva máquina industrial de limpieza. El precio al contado
de esta máquina es de S/. 7 000, pero existe un financiamiento que permite
pagar una cuota inicial de S/. 2 500 y el saldo con una letra a 45 días por el
importa de S/. 5 000. Calcular la tasa de interés simple bimensual que se está
cobrando.
23. David desea comprarse un auto de segunda, valorizado en S/. 8 570. En estos
momentos sólo posee S/. 1 500 y no desea solicitar un préstamo. Cuánto tiempo
necesitaría para juntar lo necesario para comprarse el auto si decide depositar
su dinero en un banco que le paga la tasa de interés simple del 15% mensual.
Expréselo en años, meses y días.
NIVEL III
24. En el proceso de adquisición de una maquinaria, la empresa TITAN SAC recibe
de sus proveedores las siguientes propuestas:
Cuota
Proveedor Inicial (en
$)
Cuotas Mensuales (en
$)
1ra.
2da.
A
6 500
3 000
3 500
B
7 500
2 500
2 800
¿Cuál es la mejor oferta evaluando, cada una a valor presente y asumiendo que el
costo de dinero es del 2% de interés simple mensual?
25. Una persona que ahorra puso su capital en un tiempo de 2 años 7 meses y 5 días
en una entidad financiera que pagaba el 0.11 % diario. Al finalizar el plazo
retiró el capital y los intereses que éste le había originado, invirtiendo todo el
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Matemática I
Elaborado por la prof. Alicia Herrera Ruiz
monto en un negocio que le reditúa el 20 % trimestral en un año, con lo que
acumuló $ 80 000. Hallar el capital inicial (Considérese RIS).
26. Actualmente tengo una deuda de S/. 5 000 la cual vencerá dentro de 3 meses y
acuerdo con mi acreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las
siguientes tasas mensuales de interés simple: 2 % para el primer mes y 2.5 %
para los dos últimos meses. Hallar el importe a cancelar.
27. Un artículo cuyo precio al contado es de S/. 2 000 se vende con una cuota
inicial de S/. 800 y sobre el saldo, a cancelarse dentro de 60 días, se cobran
las siguientes tasas de interés simple: 24% anual durante 7 días, 0.1% diario
durante 13 días, 14% semestral durante 15 días, 9% trimestral durante 25 días.
¿Qué monto deberá cancelarse al vencimiento del plazo?
28. El Sr. Lucas Juárez, ahorrista de Financiera Perú tiene depositado S/. 12 300
en su cuenta de ahorros. ¿Cuál será el interés que el Sr. Lucas habrá ganando
entre el 6 de julio y el 30 de setiembre, si entre el 6 de julio y el 16 de julio la
tasa fue de 24% anual; entre el 16 de julio y el 16 de setiembre la tasa anual
bajó a 21 % y a partir del 16 de setiembre la tasa fue de 17 % anual?
29. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. 8 000 para pagarlo dentro de un
año y a una tasa del 36% anual simple y sujeta a las variaciones de mercado. Si
al vencimiento de dicho contrato las tasas anuales fueron: 36% durante 2
meses, 34% durante 3 meses, 35% durante 4 meses y 34.5% durante 3 meses.
¿Qué interés deberá cancelarse al vencimiento del contrato? ¿Cuál es la tasa
acumulada?
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Matemática I
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RESPUESTAS DEL CAPÍTULO 5
NIVEL I
1) A) 4200 B) 3936,8 C) 2775,11
2) A) 1300 B) 1904,76
C) 17,95
NIVEL II
1.
Rpta. S/. 7 200
2. Rpta. S/. 206.67
3. Rpta. $ 104 640
4. Rpta. $ 38 563.06
5. Rpta S/. 7 425.33
6. 3428.44
7. Rpta. $ 36 838.84
8. Rpta. S/. 90 000
9. Rpta. $ 1 545.83
10. Rpta. $ 305 552.08
11. Rpta. $ 1 828 980
12. Rpta. $ 10 275.93
13. Rpta. 6.23 %
14. Rpta. 16 %
15. Rpta. 10.75 %
16. Rpta. 7.71 % anual ; 0.64 % mensual ; 0.021 % diario
17. Rpta. 5a 10m
18. Rpta. 5 Diciembre (63 días)
19. Rpta. 3a 5m 23d
20. Rpta. 1a 3m 16d
21. Rpta. S/. 8 777.67
22. Rpta. 14.81%
23. Rpta. 2a 7m 13d
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Matemática I
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NIVEL III
24. Rpta. A = $ 12 806.56 ; B = $ 12 643.29
25. Rpta. $ 21 910
26. Rpta. S/. 4 668.53
27. Rpta. S/. 1 265.20
28. Rpta. S/. 608.17
29. Rpta. I = S/. 2 783.33 i = 34.79%
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Matemática I
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GLOSARIO DE VARIABLES Y FORMULAS
VARIABLES
m= PENDIENTE
CU= COSTO VARIABLE UNITARIO
CV= COSTO VARIABLE TOTAL
CF= COSTO FIJO
q = Nº DE UNIDADES
C= COSTO TOTAL
I= INGRESO TOTAL
U= UTILIDAD
C´I= CANTIDAD INICIAL
C´F= CANTIDAD FINAL
MB = MARGEN DE UTILIDAD BRUTA
UB = UTILIDAD BRUTA
VV = VALOR DE VENTA
PV = PRECIO DE VENTA
I = INTERÉS SIMPLE
P = PRINCIPAL, VALOR PRESENTE, CAPITAL O STOCK INICIAL EFECTIVO.
i= TASA DE INTERÉS
n = NÚMERO DE PERÍODOS DE TIEMPO
S = MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL DE EFCTIVO, VALOR FUTURO
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Matemática I
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FÓRMULAS
ECUACIÓN DE RECTA
𝒎=
(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )
(𝒙𝟐 −𝒙𝟏 )
:
PENDIENTE DE LA RECTA
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
PUNTO PENDIENTE
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏:
FORMA PENDIENTE ORDENADA EN EL
ORIGEN.
𝑥
𝑎
FORMA CANÓNICA
+
𝑦
𝑏
= 1:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 :
𝐴
𝑚 = −𝐵
𝐶
𝑏 = − 𝐵:
FORMA GENERAL
PENDIENTE
ORDENADA EN EL ORIGEN
COSTOS
𝑐𝑉 = 𝑐𝑈 ∗ 𝑞 :
COSTOS VARIABLES
𝐶 = 𝐶𝐹 + 𝐶𝑉 :
COSTOS TOTALES
𝐼 = 𝑃𝑉 ∗ 𝑞:
INGRESO TOTAL
𝑈 = 𝐼 − 𝐶:
UTILIDAD TOTAL
PUNTO DE EQUILIBRIO
𝐶 = 𝐼:
COSTOS = INGRESOS
𝑂𝐹 = 𝐷𝑀 :
OFERTA = DEMANDA
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Matemática I
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
V (
−𝒃
;𝒇
𝟐𝒂
−𝒃
𝑥=
− 𝑏±√𝑏2 − 4𝑎𝑐
:
2𝑎
( 𝟐𝒂 )):
VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
INDICE DE VARIACIÓN
𝑛 = 𝑛1 . 𝑛2 . 𝑛3….
𝐶𝐹 = 𝑛. 𝐶𝐼
FIJACIÓN DE PRECIOS
VALOR DE VENTA
𝐶 + 𝑀𝐵 = 𝑉𝑉
𝑀𝐵 . 𝐶
𝑈𝐵 =
UTILIDAD BRUTA
𝑀𝐵 , 𝑉𝑉
𝑃𝑉 = 𝑉𝑉 + 0,18(𝑉𝑉)
PV = 1,18 (VV)
PRECIO DE VENTA
INTERÉS SIMPLE
𝐼 = 𝑃. 𝑖. 𝑛
INTERÉS SIMPLE
𝑆 = 𝑃+𝐼
MONTO FINAL
𝑆 = 𝑃[1 + 𝑖. 𝑛 ]
MONTO FINAL
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Matemática I
Prof. Alicia Herrera Ruiz
BIBLIOGRAFÍA
Textos

COVEÑAS NAQUICHE, Manuel.
2001 Problemas de Razonamiento Matemático. Lima. San Marcos. 1999.

SILVA SANTISTEBAN, Mario
Razonamiento Matemático-Teoría y Problemas. Lima. Edit. San marcos.
2000.

FATELA, Marcos A.,
Instituto Fatela Preuniversitarios. Mendoza, Argentina 2010

RÁZURI, Andrés.
Módulo de Matemática Financiera
Electrónicos:

ARACENA C., Víctor N.
Clases y Guías de Matemática M M X.
http://victornac.blogspot.com/

Waldo Márquez González
Rectas paralelas y perpendiculares
http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/rectaspara
lelasperpendiculares.pdf
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