El problema de las monedas ¿Cuál es la probabilidad de que la

El problema de las monedas
¿Cuál es la probabilidad de que la moneda sea justa si cae
de cara?
x
c
x
c
justa
trucada
¿ p(m = j | r = c) ?
El problema de las monedas
p(m = j | r = c) =
p (r = c | m = j ) p (m = j ) 0.5 × 0.5 0.25
=
=
= 0.4
p(r = c)
p (r = c) 0.625
p(m = t | r = c) =
p (r = c | m = t ) p (m = t ) 0.75 × 0.5 0.375
=
=
= 0.6
p (r = c)
p (r = c) 0.625
p(r = c) = p (r = c | m = j ) p(m = j ) + p(r = c | m = t ) p (m = t )
p(r = c) = 0.5 × 0.5 + 0.75 × 0.5 = 0.625
Existe un 40% de probabilidad de que la moneda sea justa
si cae de cara.
El problema de las monedas
p(m = j | r = c) =
p(r = c | m = j ) p (m = j ) 0.5 × 0.5 0.25
=
=
= 0.4
p(r = c)
p(r = c) 0.625
p(m = t | r = c) =
p(r = c | m = t ) p(m = t ) 0.75 × 0.5 0.375
=
=
= 0.6
p (r = c)
p (r = c) 0.625
p(m = j | r = x) =
p (r = x | m = j ) p (m = j ) 0.5 × 0.5 0.25
=
=
= 0.67
p (r = x)
p(r = x) 0.375
p(m = t | r = x) =
p (r = x | m = t ) p (m = t ) 0.25 × 0.5 0.125
=
=
= 0.33
p(r = x)
p(r = x) 0.375
El problema de las monedas
¿Qué porcentaje de monedas justas debe haber para que las
probabilidades a posteriori coincidan?
p(r = c | m = j ) p(m = j ) 0.5 × p (m = j )
=
p (r = c)
p(r = c)
p (r = c | m = t ) p (m = t ) 0.75 × p (m = t )
=
p(m = t | r = c) =
p (r = c)
p(r = c)
p(m = j | r = c) =
p(m = j | r = c) = p(m = t | r = c)
0.5 × p(m = j ) = 0.75 × p(m = t )
0.5 × p(m = j ) = 0.75 × (1 − p(m = j ))
p(m = j ) = 0.6
Cuatro clasificadores
Existen cuatro clasificadores para el problema de las monedas,
es decir, cuatro funciones del espacio de atributos en el de clases:
r ∈ {c, x} → m ∈{ j , t}
Modelo A
y (c ) = t
Modelo B
y ( x) = j
Modelo C
y (c ) = j
y ( x) = j
y (c ) = j
y ( x) = t
Modelo D
y (c ) = t
y ( x) = t
Probabilidad de equivocarse
Modelo A
y (c ) = t
y ( x) = j
El modelo A responde trucada cuando sale cara y justa cuando
sale cruz. Por lo tanto, la probabilidad de equivocarse es la
probabilidad de que: una moneda justa caiga de cara o una
moneda trucada caiga de cruz:
p(error ) = p (m = j , r = c) + p(m = t , r = x)
p(error ) = p (m = j | r = c) p(r = c) + p (m = t | r = x) p (r = x)
p(error ) = 0.4 × 0.625 + 0.33 × 0.375 = 0.37
Probabilidad de equivocarse
Modelo B
y (c ) = j
y ( x) = t
p(error ) = p (m = t , r = c) + p (m = j , r = x)
p(error ) = p (m = t | r = c) p (r = c) + p(m = j | r = x) p (r = x)
p (error ) = 0.6 × 0.625 + 0.67 × 0.375 = 0.63
Probabilidad de equivocarse
Modelo C
y (c ) = j
y ( x) = j
p(error ) = p (m = t , r = c) + p (m = t , r = x)
p(error ) = p (m = t | r = c) p (r = c) + p(m = t | r = x) p (r = x)
p(error ) = 0.6 × 0.625 + 0.33 × 0.375 = 0.5
Probabilidad de equivocarse
Modelo D
y (c ) = t
y ( x) = t
p(error ) = p(m = j , r = c) + p (m = j , r = x)
p(error ) = p (m = j | r = c) p (r = c) + p(m = j | r = x) p (r = x)
p (error ) = 0.4 × 0.625 + 0.67 × 0.375 = 0.5
Porcentaje de error de cada modelo
A
y (c ) = t
y ( x) = j
B
63 % 13
y (c ) = j
y ( x) = j
D
7
y (c ) = j
y ( x) = t
C
37 %
50 % 10
y (c ) = t
y ( x) = t
50 % 10
El mejor modelo (A)
es el que clasifica
cada ejemplo en la
clase con mayor
probabilidad a
posteriori.