luis fernando hoyos reyes

UNIVERSIDAD AUTONOMA
METROPOLITANA
IZTAPALAPA
-<'
LUIS FERNANDO HOYOS REYES
g'
presenta la Tesis: SIMULACION DE ,PROCESOS RIESGO
Y ESTIMACION DE LA PROBABILIDAD DE RUINA //
para obtener el grado debMaestria en Matemáticas
-*
%it
Marzo 1 9 9 3 . 1
Asesor: Dr. WOJCIECH SZATZSCHNEIDER
Agradezco a mi familia
y al Dr. Szatzschneider
su apoyo incondicional.
INTRODUCCION
CAPITULO I
1.1 HIPOTESIS
1.2 DEFINICIONES
1.3 RESULTADOS PRELIMINARES
Prop. 1.31
Ejemplo 1.1
0 . .
1
... 2
... 3
...3
... 5
... 5
0..
g
Prop. 1.32
... g
Prop. 1.33
***lo
Ejemplo 1.2
**.11
Ejemplo 1.3
* e *
Prop. 1.34
* * e
CAPITULO I1
2.1 DEFINICIONES
2.2 DESCRIPCION
Ejemplo 2.1
Ejemplo 2.2
Ejemplo 2.3
2.3 PRESTAMO BAJO RUINA
Ejemplo 2.4
Ejemplo 2.5
12
13
2.4 SIMULACION DE RIESGO
EN AMBIENTE MARKOVIAN0
Ejemplo 2.6
CAPITULO 111
3.1 PRELIMINARES
Prop. 3.1 1
Def. 3.12
Prop. 3.13
Prop. 3.14
Prop. 3.15
Prop. 3.16
3.2 DESCRIPCION
Teo. 3.21
Ejemplo 3.1
Ejemplo 3.2
Ejemplo 3.3
CONCLUSIONES
APENDICE
BIBLIOGRAFIA
23
**a26
INTRODUCCION
El problema fundamental en esta tesis consiste en calcular aproximaciones
a la probabilidad de ruina, tantoen tiempo finito Y(u,T), como infinito "(u),
haciendo énfasis enel modelaje.
Aunque existen estimaciones teóricas en algunos modelos como el clásico
Poisson-Exponencial para Y(u,T), la expresión explícita carece de interpretación
y la evaluación numérica es muy dificil y para muchos otros modelos la
estimación es un problema abierto [1,2].
Este trabajo ilustra técnicas de simulación de procesos de riesgo con el fin
de encontrar unaaproximación a la probabilidad de queen un intervalo de
tiempo [O,T]cierto proceso, digamos {U(t)} alcance por primera vez un conjunto
especificado por el capital inicial u.
En el primer capítulo se revisan el planteamiento del problema y una serie
de resultados preliminares.
El segundo capítulo examina la simulación cruda y se resuelven algunos
ejemplos, así como una perspectiva a modelos de préstamo bajo ruina y riesgo
en ambiente markoviano.
El tercer y último capítulo ilustra técnicas de procesos conjugados para
estimar Y(u)y Y(u,T) desarrolladas por Asmussen [1,2,3].
AI final se anexa un apéndice con los listados de los programas empleados
en las simulaciones.
CAPITULO I
RESULTADOS PRELIMINARES.
3
l. 1 HIPOTESIS
1.11 El proceso de ambo de reclamaciones {N(t) : t20} es un proceso de
Poisson con tasa de llegada h y tiempos entre reclamaciones { T(i) i2l}.
1.12 El proceso del monto de las reclamaciones {X(i) : i>l} es i.i.d. con
distribución F, tal que F(O)=O y p=EX < -J.
l . 13 {N(t) : t>O} y {X(i) : i2l } son independientes.
1.14 El proceso de ingreso es determinista: u + ct , con u el capital inicial y 00
la tasa de ingresos.
1.2 DEFINICIONES
1.21 Definimos el proceso acumulado de reclamaciones como:
1.22 Definimos el proceso de riesgo como:
u,=u+ct-2, , t20
También se define U,= u + (1+p)E(Z, ) - 2,
C
esdecir p=--1="AP
C-Ap
, t2O
; a p se le llama factor de recargo.
L.I-1
1.23 La ruina ocurre si 3t E [O, T ] 3 U, < O para el caso de horizonte finito
y si 3t 2 O 3 U, < O en el caso infinito.
A la probabilidad de ruina la denotamos como 'Y(u)=P{ 3t20: U, <O}
y cuando el horizonte es finito 'Y(u,T)=P{ 3 te [O, TI:U, < O } .
4
Imaginemos un proceso de riesgo de la siguiente manera:
En el intervalo [O,t] ocurre un número aleatorio k de reclamaciones (N,=k)
y la
i-ésima reclamación tiene un monto aleatorio Xi , I l i a , por tanto tenemos
k
que pagar
X,, en el instante t. Pero existe una tasa de ingresos constante c
fl=O
y un capital inicial u, por lo que al momento t el capital acumulado es
k
11+ct -
x,
1t=O
Una forma de fijarun valor adecuado para c consiste en observar que el monto
de las primas debe ser mayor que la esperanza de 2, si queremos evitar la ruina
(claro que estano es una condición suficiente), es decir ct > E(Z, ) = Apt
digamos ct
= (l+p)E(Z,
) > E(2, ) cuando p>O , donde se observa el
significado fisico del factor de recargo
Tenemos entoncesvarios problemas:
¿Cómo encontrar valores de p que aseguren U,20 , para el horizonte de
tiempo dado y que simultáneamente el pago de la prima continúe atrayendo
clientes (si c crece demasiado, nadie se asegura)?
Dados p>O y T>O , fijos. ¿Es posible encontrar expresiones para calcular y/o
aproximar Y(u) y Y(u,T) ?
Este trabajo tratará solamenteel segundo problema
*
5
1.3 RESULTADOS PRELIMINARES
Nuestro estudio de la probabilidad de ruina comienza analizando una serie de
resultados clásicos, donde esposible obtener una expresión para calcularde
manera exacta "(u) cuando u=O, o bien cuando las reclamaciones se
distribuyen exponencialmente.
También encontraremos un resultado asintótico para "(u) cuando u++-
y por
último, bajo ciertas condiciones obtendremos una cota para la probabilidad de
ruina.
Asumiremos el conjunto de hipótesis 1.1a menos que se especifique lo
contrario.
Prop. 1.31
Sea U , un proceso de riesgo
Y(0) ==
AP
~
c
1
=cuando
l+p
ohp
Dem.
Sea @(u) = 1-'€'(u)
la probababilidad de no ruina.
@(u) = E(@(u I X , , I;)) con T, la v.a. que describe el tiempo transcurrido hasta
la primera reclamación y X , la v.a. del monto de la primera reclamación,
:.
E(@(u 1 X,,
q))= E(@(u+cT - X,))
como la ruina no puede ocurrir en [O, T,) y tenemos un proceso de Poisson
compuesto:
E(@(u+c7;
-X,))
=
+"
-Y
pero
U+(<
Ae"'" Q(u+ct-x)dF(x)dt
-m
y X , son v.a. positivas, luego @(u)=JD
'"
I
o
O(u+ct-x)dF(x)dt
6
haciendo el cambio de variable
Supongamos que
Sea g(s,u)
j:
S = u+ct
tenemos
@(S-x)dF(x) existe y es continua en %.
A -A(s-u)’cj:
@(S-x)dF(x)
= -e
C
y G(r,u) = jmS(S,u)ds
* @(u) = G(u,u)
Q(s-x)dF(x)ds)-j” O @(u-x)dF(x))
luego@*(u)
=
A
-@(u)--j
c
A
C
1‘
@(u-x)dF(x) . . . O
(’
integrando sobre (0,z)
O(z) - @(O)
=
=
-SAc : @(u)du-Aj’r
c
o
o
-df
l.
Q(u)du +
C
0
-IA ?I”
C
O
O
@(u-x)dF(x)du
@(u-x)d( 1-F(x))du
integrando por partes
j,’ @(u-x)d( 1-F(x)) = @(O)(
1-F(u)) - @(u)( 1-F(O))
+
I,” @’(u-x)( 1-F(x))dx
sustituyendo
@(z) - @(O) =
-IA :
c o
@(u)du +
A I,: j:
+C
A :
-j0
@(O)(
1-F(u))du
C
@’ (u-x)( 1-F(x))dxdu
- -S, #(u)du
A :
C
. ..
7
Cambiando el orden de integración
@(z) - @(O)
=
A
-1'
=
-j;
A
@(O)( 1-F(u))du +
c o
@(O)( 1-F(u))du
C
+
cP'(u-x)( 1-F(x))dudx
a 5'
+ - (I - F ( x ) ) r
c o
(u-x)dudx
QT'
1-F(u))du + -
C
@(z) = @(O)
c o x
A joz(1 - F ( x))(cP(z-x)-@(O))dx
A ji @(O)(
=-
3
A
-p
C
-S'h
QT(z-x)(1-F(x))dx
C 0
A mayor capital inicial, mayor será la probabilidad de no ruina
(*) @(u) I @(u+h) I 1, h>O.
Sea { u , , } una sucesión creciente no acotada de números reales.
Sea
.f;,W
(1-F(x)) I[O,Zl,,)
= @(u,-x)
Como @( . ) es diferenciable j@( . ) es continua
por (*) .t,(x)2 f,+,(x)
VnE N ,
XE
j@(
. ) es medible,
[O,-)
Además l i r n . f ; > ( s ) = @ ( ~ r , - s ) ( l - F ( s ) ) / [ O , u , , )
PI+"
= O(-)
(I-F(x)) I[@,-)
= f(x)
VXE[O,-)
por el teo. deconvergencia monótona f es medible y
:. lim@(z)
=
lim( @(O) +
:---
= @(O)
+
-aSom
C
-Sa
@(=)(1-F(x))dx . . . O
A
a(-) = @(O) + -@(-).p
c
z @(z-x)( 1-F(x))dx )
c o
ya que EX = p
De la ley firerte degrandesnúmeros:
1
t k=l
l i m - x X k = hp
r")m
C.S.
a
N,
Luego
lim-
I+=-
ct - z, - lim
t
I +-
k=l
=c-kp
t
:.
como c = (l+p)hp , si p>O a o h p
Entonces 3 T v.a. 3 ct - Z, > O
Sea p , ( t ) = P(N, = k )
.
C.S.
C.S.
c-hpo
Vt>T
Consideremos el intervalo [O,At]
P(N, I 2)= o(At)
m
pero
P ( N , 2 2) = z p , ( A r )
k =?
3
lim pk( A t )= O es decir, la probabilidad de que en un intervalo [O,At]
k+m
ocurra un número infinito de reclamaciones es cero
:.
sólo puede haber un
número finito de reclamaciones antes de T con probabilidad l .
Luego inf{ct - z,} es finito C.S. y entonces al crecer el capital inicial la
I >o
probabilidad de no ruina se acerca más a 1, es decir <S(-)
Al sustituir <S(-)
=
= 1.
1 en O tenemos:
1 = @(O)
AC1
+c
@(O) = 1" AP
C
Y ( 0 ) = 1-@(O)
AP
= -= -
c
(l+p)&f
1 cuando o h p
l+p
"
-
y(0) no depende de la forma funcional de la distribución de las reclamaciones
sino sólo de EX.
Ahora veamos un ejemplo.
9
Ejemplo 1.1
Sea N, - Poisson(O.5) y X--
1
-4
3
2
+-e
3
Tomemos c = 1 + 0.5(0.7)= 1 + 7/20 para que o h p
/ / L W
I
-por la Prop. 1.31 Y(0) = ___ - 0.26
-
271 20
27
es decir si el capital inicial es cero, hay aproximadamente un 26% de
probabilidad de ruina considerando un horizonte de tiempo infinito y un factor
de recargo p = 2017.
Prop. 1.32
Si p>O y X - E X:p(1/p)
+ "(u)
1
'+P
= --exp(-
pz'>
N + P>
Dem.
Hacemos el cambio de variable y = u - x en O
como g(y,u)
= @(y)exp(
21 - y
-~
) es continua en [O,-)x[O,-)
P
Y también lo es D , g ( ~ ~ ,=-@(y)--u)
exp(-(u
-y ) / p)
P
a @'(u) es diferenciable en [O,-)
10
y @"(u)
a
a
C
CP
= --@('u)--(
1 .
cP(u)---j
@(y)exp( -(u-y)/p)dy )
P o
A
a
la
C
CP
P. c
= -~yu)""(u)+"("(u)~'(u))
@"(u) = -
(1+ P)P
@'(u)
:.
l a solución debeserde
PI4
@(u) = c, - c2exp( - ___-
la forma:
)
P(1+P)
Para p 0 contamos con 2 condiciones:
luego
@(m)=
y @(O) = 1-c2 = 1
"
"(u)
1
= __ exp( -
P>
I+ P
c, = 1
c, -0
1
1+P
=. L',=-
1
1+P
pL )
Prop. 1.33 Aproximacibn de Cramér-Lundberg
Si 3k>O
3
A -
-Jo elCT
( 1- F ( x))& = 1 {
c
Condición exponencial )
11
Dem.
En realidad es un corolario del Teo.2 Cap. 1 1 de Feller [ 9 ] , basta observar que
al sustituir @(O)
=
1- - en O tenemos:
C
& +A :J @(u-x)( 1-F(x))dx
@(U)= 1- c
c
renovación de la forma @(u) = 1- L-
+ jam
con L la distribución defectuosa L(y)
=
-S
A
que es una ecuación de
@(u-y)L(dy)
Y
c o
(1- F(x))dx
.: L,
AP
=c
Aplicando el teorema antes mencionado:
l-<D(u)
L,
= ___ e
-ku
cuando u++m
kl
i.e. Y(u)
1 1- -)e-ku
&
= -(
kji
c
cuando u++-
LO que concuerda con la intuición, mientras el capital inicial sea "grande" la
probabilidad de ruina es pequeña.
Ejemplo I .2
X - Exp( 14). Observando la Prop. 1.32 un candidatopara k =
N
:.
+
Se cumple la condición exponencial para el valor k propuesto.
P)
>o
12
Para la segunda condición tenemos:
Integrando por partes
Para "recuperar" la Prop. 1.32 P.D.
1
--(I
lip
--)Ap = ___
1
c
l+p
Ejen~plo1.3
Las distribuciones donde ex crece más rápidamente de lo que 1-F(x) decae, son
candidatas a no cumplir la condición exponencial, en estos casos la distribución
F tendría una cola "pesada" es decir, 1 -F(x) es "grande" cuando x es %'ande a
diferencia del ejemplo anterior.
Tomemos X - Pareto(a,b)
h"
F ( s )= (1 --)I
xu
'
'
b>O, a>l (paraque 3 EX)
13
La distribución Pareto no cumple con la condición exponencial, por lo que no
podemos aplicar la Prop. 1.33.
Embrechts [7,8] desarrollo una técnica para este tipo de distribuciones llamado
caso subexponencial.
Prop. 1.34
Si la condición exponencial se cumple a Y(u)le-k" VUE9 3 .
Dem.
Sea Y,,(
1 1 ) la probabilidad de que la ruina ocurra antes o durante la n-ésima
reclamación. Claro que "(u)
=
lim Y,l( u )
17+-
Usando inducción demostraremos que Y12
(21) 5 e-ku VUE3.
Si U<O
Yo(
II ) = 1
:.
Si u20 Y(,(
2 1 ) = O .:
si
U<O
1I e+*
si u20 O 5 e+', luego Y(,
(21) 5 2 ' '
VUE
%.
Supongamos Y,,-,
( 1 1 ) 5 e-kuVUG%.
Si u<O es obvio que Y?:
(11) = 1 I
Sea
X,
Consideremos u20
la v.a. que describe el monto de la primera reclamación, T, la v.a. que
describe el tempo que transcurre antes de la primera reclamación,
Yll= ~ ( ~ ~ ( ~ 4 ~ ~ , , ~ ) ) = ~ ( ~ l , - , ( Z 4 + c ~ - X , ) )
+m
+n
=I,, J"Y,7-,b+cf-s);k""L¿F(K)dt
Por la condición exponencial 3k>0 3
s,i eks(1
..
'
- F ( .x))&
o
C
=-
a
C'
k
k
14
Luego la condiciónexponencial implica
I,
kc+d
e d F ( x )= ___
.. O
la
a
Simplificando O
Y,(#)5 1O ~ ~ ( - A - " " ' ~ - ~ ~ O ~ e ~ ~ F ( ~ ) ~ ~
Sustituyendo O
CAPITULO I1
SIMULACION CRUDA.
16
El objetivo en este capítuloconsiste en ilustrar una técnica de
simulación que llamaremos cruda para estimar Y(u,T), introduciremos el
concepto deinsolvencia y nos extenderemos a modelos de préstamo bajo ruina
y riesgo en ambiente markoviano.
2.1 DEFINICIONES
Sea R, =
U+p)W
OltlT. A R, le llamamos el proceso de solvencia.
De acuerdo con la directiva 73/239/EEC de la Comunidad Económica Europea
hay insolvencia si 3 tE[O,T]
3
R, < 0.18 [8].
L a idea de insolvencia es establecer una barrera de alerta de tal modo que una
compañia permanezca operativa, sólo cuando esté por arriba de dicha barrera.
A una secuencia de realizaciones de v.a.i.i.d.con distribución F, la llamamos
secuencia de números aleatorios con distribución F.
Debido a que los métodos para generar dichos números son deterministas, es
decir generan la misma secuencia de números dada la misma semilla, también se
les denomina pseudoaleatorios.
Para las simulaciones se empleó el generador de números aleatorios de Turbo
Pascal versión 4.0 y una computadora PC-compatible i486DX a 33MHz.
Los listados de los programas se anexan en un apéndice al final del texto.
17
2.2 DESCRIPCION
Bajo las hipótesis 1.1simularemos una realización del proceos de riesgo U,,
t e [O,T] aplicando técnicas de MonteCarlo para estimar Y(u,T).
Simularemos las v.a. de lostiempos de arribo de reclamaciones T,-Exp(h).
También los montos X,,
X,,
., .,X,*correspondientes a cadareclamación, de
acuerdo con la distribución F.
Cuando U , < O o cuando la suma de los tiempos de arribo sea igual o exceda
el horizonte de tiempo T, termina la simulación del proceso de riesgo.
Así obtendremos una secuencia U ’ ,U 2 ,..., (1,‘ de N realizaciones de U , .
1 ”
Fv( x )= -
N
Ir,,,(--,x] es la distribución empírica de las
U’ :.
F,(O) es el
I=I
número de veces que U, < O en las N simulaciones. De hecho el teorema de
Glivenko-Cantelli [6] garantiza que F , ( . ) +
prob. 1 cuando n+m. (
F
F(.)uniformemente en 3,con
es la distribución de U{)
Y(u,T) = F,.(O) para N suficientemente grande.
3
El algoritmo para efectuar N simulaciones es:
O
Cont
1
Haz N veces:
2
Y=O,t=O
3
Generamos un tiempo de arribo W
=
O
reclamación.
4
Y = Y + X - ctw= ,t + W
5
Si (Y%) y (t<T) regresa a 3
6
Si ( Y x )
7
FIN {Haz}
Cont
=
Cont +1
- Exp(h) y X - F monto de la
18
El algoritmo está dominadopor los tiempos de generación de las v.a. W y X,
por lo que los procesos de riesgo con tiempos de arribo "pequeños" tardarán
más en efectuarse.
Ejemplo 2.1
Resulta esencial saber que tan cerca estamos de los resultados exactos y lo
Único que tenemos para comparar son los resultados del primer capítulo.
Este ejemplo en su primera parte, nos da una idea del comportamiento de la
simulación cruda con respecto a los resultados asintóticos del capítulo anterior.
Caso P/E. N,- Poisson( 1 O), X -- Exp( 1/10),
Se hicieron N
= lO3 simulaciones
en cada caso. "(u, T ) es la estimación
u
p
T
\fi(zr,T)
2.1.1
O
0.1
50
0.901
0.909
2.1.2
O
O. 1
100
0.911
0.909
2.1.3
O
0.2
SO 0.833
0.834
2.1.4
O
0.5
50
0.667
0.666
2.1.5
1
0.1
50
0.903
0.900
2.1.6
11 0.1
"(u)
50 0.822
0.819
Sabemos que para T suficientemente grande Y ( u , T ) = "(u), lo que en efecto
sucede en los casos 2.1.1-2.1.6.( T = 50 es un horizonte de tiempo grande,
considerando un escaso o nulo capital inicial, Embrechts y Wouters [7,8]
trabajan con T = 25 o T = 30.)
Si
> 7; Y(O,7;) I Y ( 0 ,T,) que concuerda con 2.1.1 y 2.1.2.
19
Si consideramos p grande y un capital inicial escaso o nulo, como en los casos
2.1.3 y 2.1.4, la probabilidad de ruina a tiempo finito será muy parecida a "(u),
ya que los eventos de ruina ocurren en los primeros momentos de la simulación
y por ende la importancia del horizonte T diminuye.
En general se observa unatendencia a sobreestimar la probabilidad de ruina,
claro que nuestro algoritmo garantizaba
\P(u, T) = Y(u,T), no necesariamente
Y(u,T)--'@(u, T ) 2 O, y las diferencias de la estimación con YT(u)(cota superior)
1 Y(u)-'@(u,T) I son del orden de
En los casos 2.1.5 y 2.1.6 se trabaja con 00, comparándose las estimaciones
con el resultado asintótico de la Prop. 1.32, de nuevo los resultados
concuerdan con la intuición: mayor capital inicial, menor probabilidad de ruina.
En la segunda parte del ejemplo, estimaremos la probabilidad de insolvencia
,.
Y[(11, T ) , ejercicio de interés práctico, pues una compañía se enfrenta antes al
peligro de l a insolvencia financiera que a la ruina.
El horizonte T = 30. N
&
=
5000 simulaciones.
u
P
P
+,04,n
2.1.7
0.25 757.5 0.01
10
0.335
2.1.8
0.30
100
0.013
9900
0.1
Ejemplo 2.2
Veamos que sucede si X - Pareto(a,P), es decir al considerar una distribución
que no cumple con la condición exponencial.
,\', - Poisson( 1 O). T = 30. N = 5000 simulaciones.
20
Se seleccionó un capital inicial de 1500 (2.2.1y 2.2.2) y de 300 (2.2.3)por ser
el 50% de la esperanza de Z T , es decir
U
P
p
a
EZT
11 = -.
2
+,(U,T)
+W)
2.2.1
1500
O. 1 2.143
11.429
0.033
0.009
2.2.2
1500
0.2 11.429
2.143
0.026
0.008
2.2.3
300
0.1
2
2
0.016
0.043
Es evidente que al estar la barrera de insolvencia por encima de la barrera de
ruina, la probabilidad de insolvencia es mayor que la de ruina.
Por otra parte, al aumentar el factor de recargo p diminuyen las probabilidades
de ruina y de insolvencia. (casos 2.2.1y 2.2.2)
Ejemplo 2.3
Hemos trabajado con X distribuida Exponencial o Pareto, ahora tomaremos
una combinación lineal convexa F ( x ) = 3/F;(x)+ (1 - y)F, ( x ) con:
F, una distribución Pareto(a,P) y FL Exponencial(O.1).
T
=
30. N
=
5000 simulaciones.
%ups
p
y
T ) +(24T)
2.3.1
0.36 1200 0.1 2.143 11.429 0.75 0.063
0.013
2.3.2
0.39 1200 0.01 2.143 11.429 0.4
0.056
0.008
0.133
0.006
2.3.3
0.34
380 0.05
2
1
0.7
Al efectuarse el promedio pesado, la probabilidad de ruina disminuyó tanto,que
hubo necesidad de reducir el capital inicial (2.3.1y 2.3.2) con respecto al
ejemplo anterior (2.2.1 y 2.2.2) para poder obtener una estimación.
.41reducir y las probabilidades de ruina e insolvencia disminuyen, a pesar de
considerar un factor de recargo menor como compensación.(2.3.1 y 2.3.2)
21
2.3 PRESTAMO BAJO RUINA
La necesidad de mantener una empresa operativa a pesar de la ruina, por medio
de un préstamo motivó el estudio de estosmodelos.
Cuando U,< O para algún TE [O,T] se pide un préstamo -r = -U,con una tasa
de interés 6.
Definimos una nueva "constante" deingresos, que en realidad es fbnción del
préstamo r: c(r)
=c
+ F.r-I(r<O)
Construimos entonces un nuevo modelo U,fi= r + c(r)t
-
2,
tE
[r,T] ,
sustituyendo simplemente c por c(r).
Si existe V E (r,T]
3
Up < O repetimos el mismo' proceso anterior
Como l a tasa de interés 6 es la misma para cada préstamo, pagamos cuando
alcanzamos el horizonte T y por lo tanto no sumamos el préstamo -r a
[J: en
cada momento de ruina T, resulta trivial comprobar que esto es equivalente a
ajustar U t = O y pagar en el momento T, la suma de todos los préstamos que
se nos otorgaron
x-);
I
22
Observamos que c(r) permanece contante entre
reclamaciones y conforme r es
menor (el préstamo es más grande) c(r) disminuye. La ruina absoluta ocurre
cuando ya no es viable un préstamo -r porque c(r)50, es decir ya no podemos
pagar dicho préstamo.
C
= inf { t E [O, TI:U: I - Definimos el momento de la ruina absoluta rubs
6
}
Dassios y Embrechts (1989) demostraron que YUbs(u)
= kY(u) con O<k<l para
el caso P/E con horizonte infinito.
Ejemplo 2.4
N, - Poisson(l0).
u
X - Pareto(a,lJ). T = 30. N
p
6
P
a
+ubs(14,
2.4.1
100 0.2 O. 1 2.143 1 1 429
0.075
2.4.2
300 0.1 0.07
2
O. 006
2
=
5000
T)
El factor de recargoen 2.4.1 es 0.2 para compensar la tasa e interés
EZ,.
En el segundo caso 6 es cercano a p, pero con capital inicial grande: 2
Ejemplo 2.5
N,- Poisson(l0).
T = 30.
F; = Paretc(a,/3).
X - yF; + (l-y)&.
u
N
p
l
i
c
2.5.1
180 2.143
0.1
0.2
11.429
0.75
0.045
2.5.2
50 0.15 0.1
x
2
=
5000.
F, =Exp(O.l).
P
Y
+ob*(%T)
1 0.053
0.7
Se aumentó el capital inicial en 2.5.1 con respecto a 2.4.1, para compensar el
promedio pesado con l a distribución exponencial.
23
2.4 SLMULACION DE RIESGO EN AMBIENTE MARKOVIAN0
Una forma de generalizar un proceso de riesgo consiste en considerar
{ Y, = 2, - ct },, con la propiedad de que la tasa de arribo de {N,},2o y la
distribución F de X, no están fijas en el tiempo, sino que dependen del estado
de un proceso de salto markoviano subyacente {S,},,,, es decir
F=
< cuando
A = A, y
S, = i , t2O.
A esto se le llama Modulación Markoviana
Resulta útil para modelar ciertas clases de epidemias en seguros de salud y en
seguros de automóvil, donde el clima puede ser un factor determinante en
accidentes.
Sea E el conjunto de estados de {S,}, trabajaremos con E finito.
Supongamos E = { 1,2 1, de tal modo que si S, = 1 ocurren muchas
reclamaciones pequeñas y
Si
x,
= 2 hay pocas
{ y } tiene deriva positiva
reclamaciones (pero grandes) y
{ r] } tiene deriva negativa
El proceso se ve dela siguiente manera:
Sr
1
1
2
1
I
1
2
I
1
I
2
...
24
Supondremos que {S,) es ergódico, lo que significa que existe una distribución
estacionaria
TC
como c * = ( 1 + p ) ~ n 8 A l E , , pY=, IEE
c
C y A F
-I
es el margen de seguridad.
es decir G(r + t) = G(r).G(t) , r, t > O
*G
tiene que ser de la forma G(t)
=
e-"", con t, a, > O
A G la llamamos densidad de transición desde el estado i y
a, es la tasa de
transición correspondiente.
Observamos que los tiempos de espera de cambio de estado tienen distribución
ExP( al).
25
El algoritmo para la simulación es :
O
Cont
1
Haz N veces:
2
Y=O,t=O,H=O,S=i
3
Generamos B - Exp(aS)
4
H = H+B
5
Si (H>T) a
6
Generamos X - F, y W - E ~ p ( h , ~ )
7
Y = Y+X-cw,t
8
Si (Ylu) y (t<H) regresa a 6
9
Si (t>H)
t
10
Si ( Y x )
11
Si (S=i)
12
Si (H<T) regresa a 3
IS
FIN. {Haz}
=O
H =T
= t+W
=H
9
3
Cont = Cont+l
S = j si no S = i
Se genera un tiempo de espera en el estado i ( linea 3), obtenemos una
realización del proceso dado que estamos en i, en el intervalo de tiempo [t,H)
( líneas 6-8). En las líneas 5 y 9 se ajusta el posible desborde en el horizonte de
permanencia en el estado i ( H ) o en el horizonte de tiempo T.
A1 terminarse cada tiempo de permanencia, cambiamos de estado ( línea 11) y
repetimos el proceso hasta alcanzar T.
Hacemos N simulaciones y contamos el número de veces que ocurre la ruina y
estimamos Y,( 2 1 , T ) = Y ( u , TI&, = i ) mediante
Y
l
( u ,T ) =
Cont
~
N
26
Ejemplo 2.6
E = { 1,2)
Las transiciones de 1+2 ocurren con tasa a.
Las transiciones de 2+1 ocurren con tasa 2 a .
Si S, = 1
Si S, = 2
-
h =Al,
x - E X P ( ~ , ) :.
h =A,, X - Exp(&)
:.
1
pl = -
PI
p 2 =-
1
P2
La matriz de intensidad A de {S, es:
Calculamos la distribucion estacionaria x:
nA=O
( n , , n J2a
[ - a -2a
a )=(-an,+2un,,un,-2rra2~=(0,0~
1
a an, = 2an, , si hacemos n2 = - tenemos n =
3
Pedimos que
A l < PI' c
y h2 > p, .c , es decir en el estado 1
{E;}tiene
deriva negativa y en el estado 2 deriva positiva
Para las simulaciones consideramos A, = 0.45 , h2 = 1.8 que cumplen con la
condición arriba mencionada tomando en cuenta el resto de los parámetros de
la tabla de resultados.
27
a
T
u
P,
P2
c
"kI(u,T) '?2(u,T)
N
2.6.1
10 3030
1
1
1
0.033
0.033
1000
2.6.2
1 3030
1
1
1
0,010
0.010
5000
30
1
1
1
0.031
0.068
5000
2.6.4 1/64
250
50
1
1
1
0.208
0.394
1000
2.6.5 1/25
100
SO
1
10
7
0.529
0.864
5000
1
10
7
0.434
0.745 5000
2.6.3 1/10
30
2.6.6 1/25
100
100
Se seleccionó c-l (2.6.1-2.6.4)y c=7 (2.6.5, 2.6.6) porque implican que
p = O. 11 (un factor de recargodel 1170).
El algoritmo está dominadopor los tiempos de espera de cambio de estado,
esto significa que cuando a es más grande, el tiempo de ejecución crece por
lo que para 2.6.1 se efectuaron 1000 simulaciones.
El caso 2.6.4 es diferente: simplemente el horizonte de tiempo T es muy grande
Asmussen [4] lo resuelve empleando técnicas de procesos conjugados y
obtiene
Y l
(50,250) = O. 193,
(50,250) = 0.399 muy similar a nuestro
resultado, aún cuando la técnica desarrollada por Asmussen es muy superior
en precisión.
En general
1
- puede
a
ser considerada como una medida del grado de
.Modulación Markoviana: entre más grande es a los tiempos de permanencia
en un estado serán menores implicando que Yl y Y2son muy parecidas, por
otra parte si a es pequeña los tiempos de permanencia se hacen más largos
haciéndose significativa la diferencia cualitativa entre los estados, luego resulta
importante el estado de origen y las estimaciones lo muestran (2.6.3-2.6.6).
28
El siguiente capítulo resolverá algunas preguntas básicas:
¿Qué tan cerca está nuestraestimación de Y(u,T)?
] que permita ciertas ventajas sobre la
¿Existirá un proceso equivalente a {U,
simulación cruda?
¿Será posible estimar adecuadamente Y(u) en un nirmero finito de pasos?
CAPITULO 111
PROCESOS C O N J U G A D O S
30
Trabajaremos con una técnica más general, utilizando una familia de
procesosasociadaa
unafamilia
de distribuciones {P,},,
3
la ley de
probabilidad Y de nuestro proceso original de riesgo {U, ] sea igual a
cierro 8,
E
Go,para
O.
Construimosunav.a.
RB
3
Y'(u,T)= E,&.
Esto nos permite obtener diversas ventajas:
i) "(u) puede ser simulada practicamente en un número finito de pasos
ii) Las varianzas son pequeiias con respecto a la simulación cruda.
Las simulaciones al igual que en el capitulo anterior, se hicieron implementando
los algoritmos en Turbo Pascal 4.0, en una i486DX a 33MHz.
3.1 PRELIMINARES
= E ( ( E e " ) N ) ya que
X,,...,
X , 4 : son v.a.i.i.d
31
Def. 3.12
CJna familia { FHItkI-)
de distribuciones es llarnada una familia conjugada si las
4
son mutuamente equivalentes con densidades de la forma:
y si para algún O,, E O fijo, el conjunto de parámetros O contiene a todos los
$E
93
3
O define una distribución, donde
k,,
Clarotomamos
que
(e- e,,)= l o g E ~ , P ).U = I O ~ D & I - eo).
O = {eke((e- e,,)< -1.
(fl-H,
Decimos que 2 distribuciones G, H son conjugadas si G, HE {Fe}flE,
Definimos
Y, = 2, -ct
7
=3
, te [O,m)
= inf { t >,O:
Y(+
>
u > es el momento de la ruina
P( S < m) y Y(U,T)= P(T< T )
Po,= P es la ley de probabilidad del proceso
y O,< O es la solución de
Observe que @o,(.)
=
@:,(-e,,)= Ac
-
con @
,(a) = E@'
j,{?
Y
3.4
8 5
32
Prop. 3.13
%(PI
=
@,,(P+
8-80)
80)
8,8,
EO
arbitrarios 8 f 8,.
esdecir k , ( ~ ) = k ~ o ( p + 8 - 8 0 ) - k , o ( 8 - 8 0 )
Dem.
Sean 8,8, E O arbitrarios 8 # 8,.
por 3.11
33
= eb.O%(+@dOO(P)-l)
Lo que implica que bajo P, 2,es Poisson compuesto con tasa de llegada
A, = AQo0 (6- 8,) y reclamaciones con distribución F,.
Si sustituimos en la Prop. 3.14 E, por E y empleamos este hecho:
Prop. 3.15
Sea
Si
tE
(O,-)
fijo,
@E
O.
es doblemente diferenciable en un intervalo I alrededorde
a p , = E H y > O cuando 8 > O
y
Dem.
,uo
< O cuando 8< O
-eo
34
P,=ibote-s,)
3
Si
e > -8,
>O
tiene un mínimoen
Si
8- 8,)> -Bo y como
--eo :
e < o 8-eo<-8,
Escoger
Y P,=ioo(-8,)=o
p, =
3
(.) escóncava hacia arriba y
x;,(e- e,,)
> p,, = O
p,,=~H,(e-e,)<o
-e(,como lo hicimos, nos permite conocer el signo de ,ue siempre que
sepamos el signo de 8
Dem.
Bajo la ley <,,Z, es Poisson compuesto (Prop. 3.14), donde N,- Poisson(h,)
y XI - Fe. De la ley herte de grandes números :
i.e.
1
t
Iim-(Zl -A,~E,x)
=O
r+-
Basta demostrar que si p < O
+
Como 6 > O E,(z, - c t ) > O
:. p < O.
2, - A,tE,X
por ( 4 ) lim:+--
+m
- pA,tE,X
-
t
C.S.
C.S.
cuando t +
= -pA,E,X
>O
-
C.S.
35
3.2 DESCRIPCION
Necesitamos un teorema que permita plantear el problema original en términos
del proceso conjugado.
Sea
{ s , } ,una
~ ~caminata
~
aleatoria a tiempo continuo.
Definimos 3, = o(Sr;r I
r) y si z es u n tiempo de paro respecto a ( 3 ,},o
Teo. 3.21 Identidad Fundamental del Análisis Secuencial.
donde
1
xe(P)= -log
E,ebYf
t
Este teorema también se conoce como identidad fimdamental de Wald.
Dem.
Sean 6,6, E O. Consideremos primero una caminata aleatoria discreta
S,, = x , +...+
x,,
36
n
[
= exp (e, - m ,- l o g n E , e
= exp(
(Oo-0).Y
i=l
(e, - e)s,
- n log E , ~ ' ~ O - ~ ) . ~ )
En particular si G E 3, = dX,,
..., X,,)
e integramos sobre G tenemos:
(e,,- e)S,,- n log E,e
Definimos 3; =
L
S,, ;k = I , . . .,n
1
.
Pero
I,,-,).,)).
/,;l. . .
@
{ ,YkTjn}es una caminata aleatoria
X"(') y tenemos n incrementos,luego
discretacon incrementos con f.g.a. -~
rl
3, se genera a partir de las 3;., i.e. 3,
=
(u$)
n=l
Sea G E 3, , supongamos que C;c{
z 5 T},posteriormente extenderemos el
resultado a Gc{z < -} empleando convergencia monótona.
Claro que G E 3, , entonces O implica:
~,~~=~,[(eup((e,,-e)~,.-~~,(e,,-e))).~,;]
37
entonces (*) = 1
...
pH~ = ~ , , [ e x p ( ( e , - ~ ) ~ , - ~ x , ( e , - 8 ) ) . 1 , ]
Para extender el resultado a G c { T < m} consideramos
{ c } una sucesión
creciente no acotada de números reales.
G, = G n { r < T , ) ~ 3 ~ ~
Sean
y
.f, = e x p m , , -@S,
-
-e>).IGk
limf, =exp((8,-0)S,-rx,(8,-0)).IG = f
k -+"
luego por convergencia monótona E,j ;
Aplicando el Teo. 3.21 al proceso
+ E,f
cuando k+m.
{y} y tomando
z = inf { t 2 O:
> U}
38
Y ( u , T ) = EBRO
~,=exp((e,-e)y~-r~,(e,-e))./{.r<~},
donde
Entonces basta con simular Re como en el capítulo I1 y aproximar la esperanza
por la media muestral.
Observemos que si
e = 8,
y
tE
[O,T ]
R,, = I(Z< T}
Si consideramos horizonte infinito y 8 > O por la Prop. 3.16 { T < -}
luego es suficiente en este caso considerar R, = exp( (O,
C.S.
- @Y, - q,( 8,
- O))
al calcular EHRH.
Bajo la ley PHla ruina ocurre tarde o temprano excepto en un conjunto de
medida cero, por lo que podemos simular Re y terminar la ejecución de cada
simulaciór- en el momento de ruina
7,
entonces es posible estimar "(u) en un
número finito de pasos
También se simplifica R, para otros valores de 6 , en particular para 8, = y + 8,)
donde y > O es la solución de la ecuación de Lundberg
x, ( y ) = O .
A 8, ( es trivial ver que 8, E O) le llamamos el valor de Lundberg y al proceso
asociado, proceso de Lundberg.
Como xe,(O) = O y X,, es cóncava hacia arriba, la solución y>O tiene que ser
única, si es que existe.
Por 0 capítulo I, el exponente de Lundberg k de la condición exponencial
(Prop. 1.33), es la solución de la ecuación de Lundberg.
Ahora bien, la Prop. 3.13 implica:
~,,~~~~-~~~=~~,~~~~,-e,~+e,-~,,~-~,
-Xe,,(O)-Xe,(el-e,)=O-X,,(Y)=O
-
:.
R,, = e x p ( ( e , - e , ) ~ , ) . ~ { r < ~ } = e x p ( - y ~ , ) . 1 ( 2T.]<
39
Cuando T = - y 8 = 6, > O
{z<
-}
C.S.
:.
Y(u) = Eo,exp(-yY,)
Definimos B(u) = Y, - 14 el sobredisparo del proceso de riesgo, esta v.a. será
de importancia en el cálculo de vol .
De hecho en el caso P/E para 8 > O
40
Ejemplo 3.1
Consideremos el caso P E , con p = EX= 1,
A = 0.8,
p = O. 1 y T = OO.
Sea "(u) = 0.05. Calculamos el capital inicial 21, empleando la Prop. 1.32 :
[0 )
exp -~
=O.O5(1+p)
u = -~
('+p)10g(0.05(l+p))= 31.904
Despejando
P
c=(l+p)Ap=(1.1)(0.8)=0.88
Ahora resolvemos para 7 la ecuación de Lundberg.
(Prop. 3.14)
Xe,(~)=A(@,(y)-l)-cy=O
y( c y + cA - c) = 0
1 = O es la solución trivial.
y=
L'~
A
A = 0. 0909
Compararenlos las varianzas de la simulación de Lundberg Rol y de la
simulación cruda Re,,
= E e o I ' { ~m<} -
ES l { ~-}< ="(U) - Y2(14)
= 0.05 - (0.05)z = 0.0475
v,, = Vare, R
0,
- e - 2 ~ u . varele-@(")
= Vark,e-Y'.7
= Vur.,,e- y ( u + n ( u ) ) -
41
1
.*. E,, X = - esto implica R(zr) - Exp( 1-7)
I-Y
= ( 1-[)y
e-"clx = 1- y
=:
3.025~10"(0.8333-0.8264)
=:
2.08 X
<
\loo
Es notable ladiferencia entre las varianzas
lo que significa que la
y
simulación del proceso de Lundberg es más precisa
'I'[
El error en la estimación de la media es
Considerando
Neo =
1
.-. en nuestro ejemplo:
N,,es decir, el mismo número de simulaciones para cada
valor 3e 6.
También se observa quepara obtener con la simulación cruda un error similar
al del proceso de Lundberg, son necesarias muchas más simulaciones, lo que se
traduce en eficiencia de cómputo.
42
Además podemos calcular intervalos de confianza :
Supongamos un intervalo de confianza del 90% y N,, = 100
z,.? = z,,,,, = 1.645
el intervalo de confianza es (0.05 - 7.5 x 104,0. 05 + 7.5 X 10-j )
El algoritmo para estimar "(u) a partir de
1
N, simulaciones, es el siguiente:
Calculamos -8", escogemos 8 > O.
Si tomamos O , , resolvemos la ecuación de Lundberg
2
y-t=0
3
Generamos X - F, y W - Exp( A@," ( 8 - O, ))
4
Y==Y+X-cw
S
Si (Y I u) regresa a 3
si no Rh = exp( (O,
6
FIN
Hacemos E,$
7
- O)Y - ?X,(
=
--x
I
"
N, i=l
RA
FIN
A continuación algunos ejemplos
O,, - O ) ) , 1 I i 5 N,
43
Ejemplo 3.2
Implementación del ejemplo 3.1., caso P/E conp = 1, A = 0.8, p = O. 1, c = 0.88
Por 3.12 y 3.14 N , ( t )
- Poisson( c ) y
X,
- Exp(A / c).
Además y = 0.0909,8, = -0.0488, 8, = 0.042 1 .
u
T
N,, Y(u) @(u,T)
lo2
31.9
3.2.1
3.2.2
00
E
,
ES
0.0498 4 . 5 ~ 1 0 ~
5x10"
0.05
31.9
A
&,y
4~10-~
0.0499 1 . 4 ~ 1 0 "1 . 4 ~ 1 0 2X10-3
~
lo3 0.05
3.2.3
31.9
200 lo3
-
0.0173
-
7 . 5 ~ 1 0 ~-
3.2.4
31.9
500 IO3
-
0.0392
-
6.6~10"
3.2.5
16.7
00
200 103
-
3.2.7
16.7
500 lo3
-
Donde
E , es
~
estándar,
0.1997 5 . 7 ~ 1 0 ~ 5 . 9 ~ 1 01.5X10-3
"
lo3 0.20
3.2.6
16.7
-
O. 142
-
2.9~10-~-
o. 184
-
1.7~10-~
-
el error en la estimación de la media, también llamado error
c.j es la estimación del error estándar
E,< =
I
y
E,
es el error relativo:
Y(2 1 )
"
Y'(14)
Observe que la estimación en 3.2.1 está en el intervalo de confianza del 90%
calculado en el ejemplo anterior:
Y(31.9046)=0.0498~(0.05-7.5~10-',0.05+7.5X10")
En 3.2.2 incrementamos el número de simulaciones N,,= 1000, lo que causa
una mayor precisión, ~,,g, y E, son menores que en 3.2.l .
El intervalo de confianza del 90% también es más chico:
Y(31.9046)=0.0499~(0.05-2.3x10~,0.55+2.3x10~j
44
En los casos 3.2.3 y 3.2.4 se consideró horizonte finito T = 200 y T = 500
respectivamente, notamos que
i., disminuye conforme T aumenta, lo que
también se observa en los casos 3.25, 3.26 y 3.27.
R,, = e-''? . I { z < T)
:.
en las simulaciones donde no ocurre la ruina
4,= O
esto ocurre un mayor número de veces conforme más pequeño es el horizonte
de tiempo para el mismo capital inicial u, generando una varianza y por ende,
un error estandar mayor.
Para 3.2.5 también se cumple:
+(16.6554) = 0 . 1 9 9 7 ~ ( 0 . 2 - 9 . 4 9 ~ 1 0 4 7 0 . 2 +lo4)
9.49~
Ejemplo 3.3
Sea X - U(0, I ) , N,- Poisson( 1)
Calculemos FH:
Ahora bien,
A, = m y m - e o )
45
Resolvemos
@:y
c
(-6,) = -
A
En el ejemplo 3.2 obtuvimos diversas estimaciones variando T y u, en este
ejemplo, trabajaremos con diversos valores de 8 = e,( 1+A), buscando la mejor
,.
estimación Y(u , T ) para cada uno de los dos casos: T = 00 y T = 1000.
Se hicieron 100 simulaciones de cada caso, tomando u = 30.
A
3.3.1
1.0
3.3.2
1.0
3.3.3
o. 1
3 . 3 .4
0.1
7
1
0.05
3.3.5
T
00
IO3
IO3
00
lo3
0.05
3.3.6
3.3.7
0.0
3.3.8
0.0
00
lo3
Y(u,T)
,.
,.
VR
&.S
0.199
1.5~10"
1.2X10-'
0.041
3 . 6 ~ 1 0 - ~6 . 0 ~ 1 0 - ~
0.223
6 . 22~. 51 ~0 1" 0 - ~
0.053
8.2~10"
0.2200
9 . 9 ~9 1. 80 ~" 1 0 "
0.047
7 . 8 ~
0.2200
4.2~
2 .100~"1 0 "
0.049
8 . 4 ~9 1. 10 ~" 1 0 - ~
9.1~10"
8 . 8 10"
~
46
Se observa que conforme A-O
el error estándar estimado 2
, se hace más
pequeño para '?(u), es decir la mejor estimación ocurre cuando A = O (3.3.7).
No ocurre lo mismo en el caso de horizonte finito T = 1000, donde el error
estimado menor ocurre cuandoA = 0.05 (3.3.6).
Sin embargo, la peor estimación ocurre cuando A = 1, es decir para el valor
más grande de A que consideramos en el ejemplo.
Resulta natural preguntar por la existencia de un A Óptimo, en el sentido que el
error estimado y el tiempo de cómputo sean lo más pequeños posibles, ¡.e. si
i,, es el tiempo promedio de una simulación R,, buscamos A
3
f(A ) = io . ,v
sea m i n i m a
Empleando tkcnicas de difusión Asmussen [2,3] minimiza . f ' ( A ) ,demostrando
optimalidad asintcitica en el caso T = 03, para el valor de Lundberg 8, (A = O)
y encontrancfo que para horizonte finito A = O, no es óptimo.
Lo que concuerda con el comportamiento de los casos T = 00 y T =IO00
en nuestro ejemplo ( con el valor de Lundberg no se obtuvo el menor error
para el caso de horizonte finito).
...
CONCLUSIONES
Los resultados puramente teóricos nos proporcionaron una herramienta
limitada de cálculo, pero una base sólida para el desarrollo de técnicas
fundamentadas además enla simulación y métodos de Monte Carlo.
La simulación cruda abarca un amplio panorama de modelos como
préstamo bajo ruina y modulación markoviana, además de liberarnos del yugo
de la condición exponencial para la distribución de los montos de las
reclamaciones, sin embargo su pocaeficiencia computacional y numérica la
hacen interesante sólo bajo la perspectiva de una técnica más elegante y
depurada, la simulación de procesos conjugados.
Aunque resentimos de nuevo la reducción de distibuciones admisibles
para S , resolvimos entre otros, el problemil d e estimar Y(u) en un número finito
d e pasos, imposible en la simulación crrtda.
Resulta natural pensar en la aplicación de procesos conjugados a
modulación markoviana [4] o el debilitamiento del conjunto de hipótesis 1.1
(considerar N(t) un proceso de renovación [12] por ej.), sin dejar a un lado las
aproximaciones por difusión [1,2,3], la construcción directa de martingalas [lo]
o modelos deterministas a trozos [7]. Existe pues, un camino de investigación
bastante amplio.
APENDICE
LISTADO DE PROGRAMAS.
49
PARA SIMULAR V.A. CON UNA DISTRIBUCION PARTICULAR
EL METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA [13,14,15,16].
SE
EMPLEO
Program POISSON-EXP;
(**
(**
(**
(**
ESTE PROGRAMA FUE EMPLEADO EN EL EJEMPLO 2.1
EN LOS CASOS 2.1.1-2.1.6
ESTIMA LA PROBABILIDAD DE RUINA CUANDO X SE
DISTRIBUYE EXP(E)
.
**)
**)
**)
** 1
VAR
X,R,E,T,HT,PROB,U,L,RltR2:RERt;
CONT,I,N:INTEGER;
BEGIN
WRITELN('DAME EL Nu" DE SIM.');
READLN
(N)
;
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN(L);
WRITELN('CAP1TAL INICIAL:');
READLN ( U );
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN (R) ;
WRITELN('PARAM. EXPONENCIAL:');
READLN ( E ) ;
WRITELN('EL HORIZONTEDE TIEMPO');
READLN(HT);
CONT: = o ;
RANDOM1 ZE;
FOR I:=l TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x:=o;
T:=O;
WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN
R1: =RANDOM;
R2 :=RANDOM;
T:=T-(LN(Rl)/L);
(*SE INCREMENTA EL TIEMPO*)
X:=X+((l+R)*LN(Rl)-LN(RZ))/E;
(*SE ACTUALIZA EL PROCESO*)
IF (X>U)AND(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5);
corn:=coNT+1;
END;
END;(*WHILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END;(*FOR*)
PROB:=CONT/N;
WRITEW('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:4);
END.(*POISSON-EXP*)
50
Program INSOLV;
( * * ESTE PROGRAMA
FUE EMPLEADO ENEL EJEMPLO 2.1 * * )
( * * EN LOS CASOS 2.1.7 Y 2.1.8
**)
( * * ESTIMA LA PROBABILIDAD DE INSOLVENCIA C u m * * )
.
( * * X SE DISTRIBUYE EXP(E)
**)
VAR
X,R,E,T,HT,PROB,U,L,Rl,R2,SOLV,CT:REAL;
CONT,I,N:INTEGER;
BEGIN
WRITELN('DAME EL NU". DE SIM. ' ) ;
READLN (N) ;
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
R E A D W (L);
WRITEW('CAP1TAL INICIAL:');
READLN (U);
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN
;
(R)
WRITELN('PARAM. EXPONENCIAL:');
READLN (E);
WRITELN('EL HORIZONTE DE TIEMPO');
R E A D W (HT);
corn :=o ;
CT:=(l+R)*L*HT/E;
RANDOMIZE;
FOR I:=l TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x: =o;
T:= O ;
SOLV:=U/CT;
WHILE (T<HT)AND(SOLV>=O.l8) DO BEGIN
R1 :=RANDOM;
R2 :=RANDOM;
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+((l+R)*LN(Rl)-LN(R2))/E;
SOLV:=(U-X)/CT;
IF (SOLV<O.l8)AND(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1,'INSOLV. % FINAL:',SOLV:2:5,' T=',T:2:5);
CONT:=coNT+ ; 1
END;
END;
(*WHILE*)
WRITELN('SOLV.FINAL:',SOLV:2:5,
' CAPITAL FINAL: ',U-X);
END; (*FOR*)
PROB:=CONT/N;
WRITELN('LA PROB DE INSOLV. ES:',PROB:1:3);
END.(*INSOLV*)
51
Program PARETO-RUINA;
(**
ESTE PROGRAMA FUE UTILIZADO EN EL EJEMPLO 2 . 2 * * )
( * * PARA ESTIMAR L A PROBABILIDAD DE RUINA CUANDO * * )
( * * X SE DISTRIBUYE PARETO(k,a)
** 1
VAR
X,R,T,BT,PROB,U,L,Rl,R2,M,K,A,Y,ESP:REAL;
CONT,I,N:INTEGER;
BEGIN
WRITELN( 'DAME EL NUM. DE SIM. ' ) ;
READLN (N);
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN(L) ;
WRITELN('CAP1TAL INICIAL:');
READLN (U);
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN(R) ;
WRITELN('D1ST. PARETO(k,a). TECLEE k>l');
READLN (K);
WRITELN('TECLEE A>O');
READLN(A) ;
WRITELN('EL HORIZONTEDE TIEMPO');
READLN ( HT ) ;
corn :=o ;
M:=((K*A/(K-1))-A)*(l+R);
ESP:=(K*A/(K-1))-~;
READLN ;
RANDG2.II2 E ;
FOR I:=l TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x:=o;
T:=O;
WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN
R1: =RANDOM;
R2 :=RANDOM;
Y:=(A/EXP((LN(R2))/K))-A;
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+Y+(M*LN(Rl));
IF (X>U)and(T<=HT) TEEN BEGIN
WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',X:7:5,'
CONT :=corn+ ; 1
END;
END;
(*WHILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END; (*FOR*)
PROB:=CONT/N;
WRITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:3);
END.(*PARETO -RUINA*)
T=',T:2:5);
52
Program INSOLPAR;
( * * ESTE PROGRAMA SE UTILIZO EN EL EJEMPLO 2.2 * * )
( * * PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE INSOLVENCIA * * )
( * * CUANDO X SE DISTRIBUYE PARETO(k,a)
**)
VAR
XrR,T,HT,PROB,U,L,R1,R2,MrK,A,Y,SOLV:REA;
CONT,I,N:INTEGER;
BEGIN
WRITEW('DAME EL
NUM.
DE SIM.');
READLN (N);
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN(L) ;
WRITEW('CAP1TAL INICIAL:');
READLN (U);
WRITEW('SAFETY LOADING:');
READLN (R) ;
WRITELN('D1ST. PARETO(k,a). TECLEE k>l');
READLN (K);
WRITELN('TECLEE A>O');
READLN ( A ) ;
WRITELN('EL HORIZONTE DE TIEMPO');
READLN
(HT)
;
CONT :=o ;
M:=((K*A/(K-1))-A)*(l+R);
RANDOMIZE;
FOR I:=l TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x :=o;
T:=O;
SOLV:=U/(HT*L*M);
WHILE (T<HT)AND(SOLV>=O.l8) DO BEGIN
R1: =RANDOM;
R2 :=RANDOM;
Y:=(A/EXP((LN(R2))/K))-A;
T:=T-(LN(R~)/L);
X:=X+Y+(M*LN(Rl));
SOLV:=(U-x)/(BT*L*M);
IF (SOLV<O.l8)AND(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1,' INSOLV. SOLV.FINAL:',SOLV:2:5,' T=',T:2:5);
CONT:=coNT+ ; 1
END;
END;
(*WHILE*)
WRITELN('SOLVENC1A FINAL: ',SOLV:2:5);
END; ( *FOR*)
PROB:=CONT/N;
WRITELN('LA PROB DE INSOLVENCIA ES:',PROB:1:3);
END.(*INSOLPAR*)
53
Program
POISPAR;
( * * ESTE PROGRAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2.3
( * * PAWL ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE RUINA
( * * CUANDO X SE DISTRIBUYE s P 1 + (l-~)F2
( * * DONDE F1 ES PARETO(a,b) Y F2 ES EXP(E)
**)
**)
**)
**)
VAR
X,R,T,EiT,PROB,U,L,Rl,R2,R3,M,B,A,Y,ESP,S,E:mrn;
CONT,I,N:INTEGER;
BEGIN
WRITELN('DAME ELNu" DE SIM.');
READLN
(N)
;
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN
(L)
;
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN ( R) ;
WRITELN('HORIZ0NTE DE TIEMPO');
READLN (HT);
WRITELN('LA DIST. DE RECLAMCIONES ES S*Fl(x)+(l-S)*FZ(X)');
WRITELN('Fl(x)=PARETO(a,b). TECLEE a>l');
READLN(a);
WRITEW('TECLEE b>O');
READW (b ) ;
WRITELN('F2(x)=EXPONENCIAL(E). TECLEE E>O');
READLN( E) ;
WRITELN('TECLEE LA CONSTANTE DE CONVEXIDAD o<S<1');
READLN ( S ) ;
CONT: = o ;
M:=(l+R)'(((l-S)/E)+(S*B/(A-1));
ESP:=L*HT*M/(l+R);
WRITELN('LA ESPERANZA DEL PROCESO ES:',ESP);
WRITEW('CAP1TAL INICIAL SUGERIDO:', ESP/2);
WRITELN('TECLEE EL CAPITAL
INICIAL');
READLN(U) ;
RANDOMIZE;
FOR I:=l TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x: =o;
T:=O;
WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN
R3 :=RANDOM;
R1: =RANDOM;
R2 :=RANDOM;
IF (R3<S) THEN Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B
ELSE Y:=-LN(RZ)/E;
54
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+Y+(M*LN(Rl));
IF (X>U)and(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',X:7:5,'
coNT:=coNT+1;
END;
END; (*WHILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END;
(*FOR*)
PROB:=CONT/N;
WITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:3);
END.(*POISPAR*)
T=',T:2:5);
55
Program INSOLVCONVEX;
( * * ESTE PROGRAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2.3
( * * PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE INSOLVENCIA
( * * CUANDO LA DISTRIBUCION DE X ES DE L A FORMA:
(**
P = 8Fl + (1-8)F2
( * * DONDE
F 1 ES PAREM(a,b) Y P2 ES EXP(E)
**)
**)
**)
**)
**)
VAR
X,R,T,HT,PR0B,U,L,R1,R2,R3,M,B,A,Y,ESP,S,E,S0~~~RE~~
CONT,I,N:INTEGER;
BEG I
N
WRITELN('DAME EL NUM. DE SIM.');
READLN
(N)
;
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN( L) ;
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN (R) ;
WRITELN('HORIZ0NTE DE TIEMPO');
READLN (HT);
WRITELN('LA DIST. DE RECLAMACIONES ES S*Fl(x)+(l-S)*FZ(X)');
WRITEW('Fl(x)=PARETO(a,b). TECLEE a>l');
READLN ( a ) ;
WRITELN('TECLEE b>O');
READLN (b) ;
WRITELN('F2(x)=EXPONENCIAL(E). TECLEE E>O');
READLN ( E );
WRITELN('TECLEE L A CONSTANTE DE CONVEXIDAD O < S < 1 ' ) ;
READLN(S);
CONT:=o ;
M:=(l+R)*(((l-S)/E)+(S*B/(A-1));
ESP: =L*EiT*M/ (1+R);
WRITELN('LA ESPERANZADEL PROCESO ES:',ESP);
WRITELN('CAP1TAL INICIALSUGERIDO:', ESP/2);
WRITELN('TECLEE EL CAPITAL INICIAL');
READLN (U);
RANDOMIZE;
FOR I : = 1 TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x: =o;
T:=O;
SOLV:=U/(HT*L*M);
WHILE (T<HT)AND(SOLV>=O.l8) DO BEGIN
R3 := R A N D O M ;
R1 :=RANDOM;
R2 :=RANDOM;
IF (R3<S) THEN Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B
ELSE Y:=-LN(R2)/E;
56
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+Y+(M*LN(Rl));
SOL~:=(U-X)/(HT*L*M);
IF (SOLV<O.l8)and(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1;
INSOLV. SOLV.FINAL:',SOLV:3:6,'T=',T:2:5);
CONT :=corn+ 1;
END;
END;(*WHILE*)
WRITELN('SOLVENC1A FINAL: ',SOLV:3:6);
END; ( *FOR* )
PROB:=CONT/N;
WRITELN('LA PROB DE INSOLVENCIA ES:',PROB:1:3);
END.(*INSOLVCONVEX*)
57
Program
PRESTAMO;
( * * ESTE PROGRAMASE
EMPLEO
EN EL EJEMPLO 2 . 4 * * )
( * * PARA ESTIMAR L A PROB. DE RUINA ABSOLUTA
( * * CUANDO X ES PARETO(a,b), EN UN MODELO DE
( * * PRESTAMO BAJO RUINA.
**)
**)
**1
VAR
X,R,T,Br,PROB,U,L,Rl,RZ,B,A,Y,ESP,D,RO,L;
CONT,I,N:INTEGER;
BEGIN
WRITELN('DAME EL HUM. DE SIM.');
READLN (N);
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN (L);
WRITELN('CAP1TAL INICIAL:');
READLN(U) ;
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN (R);
WRITELN('D1ST. PARETO(a,b). TECLEE a>l');
READLN(a) ;
WRITELN('TECLEE b>O');
READLN(b) ;
WRITELN('EL HORIZONTEDE TIEMPO');
READLN
(HT)
;
WRITELN('TASA DE INTERES');
READLN ( D );
CONT :=o ;
ESP:=B/(A-l);
RO :=R;
LIM:=L*(~+RO)*ESP/D;
RANDOMIZE;
FOR I:=l TO N Do BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x: =o;
T:=O;
WHILE (T<HT)JWD(X<U+LIM) DO BEGIN
R1 : = R A N D O M ;
R2 :=RANDOM;
Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B;
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+Y+(ESP*LN(Rl)*(l+R));
I F (X>U)and(T<=HT) THEN R:=RO+(U-X)*D/(L*ESP);
IF (X>=U+LIM) THEN BEGIN
WRITELN(1,' RUINA ABS. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5);
CONT:=CONT+l;
END;
END;(*WBILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END;(*FOR*)
PROB:=CONT/N;
WRITELN('LA PROBDE RUINA ES:',PROB:1:3);
END. ( *PRESTAMO*)
Program
PRESTPOISPAR;
( * * ESTE PROGRAMA SE UTILIZO EN EL EJEMPLO 2 . 5
**)
( * * PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE RUINA ABSOLUTA * * )
( * * CUANDO X SE DISTRIBUYE6Fl + (1-~)F2
**)
( * * CONSIDERANDO
PRESTAMO
BAJO RUINA.
**)
.
VAR
XlR,T,HT,PROB,U,L,R1,R2,R3,M,B,A,Y,ESPlS,ElLIMlROlD:RE~~
CONT,I,N:INTEOER;
BEQIN
WRITELN('DAME EL NUM. DE SIM.');
READLN (N);
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN (L);
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN
(R)
;
WRITELN('BORIZ0NTE DE TIEMPO');
READLN ( AT) ;
WRITELN('LA DIST. DE RECLAMACIONES ES S*F~(X)+(~-S)*F~(%)');
WRITELN('Fl(x)=PARETO(a,b). TECLEE a>l');
READLN(a) ;
WRITELN('TECLEE b>O');
READLN(b) ;
WRITELN('FZ(x)=EXPONENCIAL(E).
READLN ( E ) ;
TECLEE E>O');
WRITELN('TECLEE LA CONSTANTE DE CONVEXIDAD
O<S<l');
READLN(S) ;
WRITELN('TASA DE INTERES:');
READLN
(D)
;
RO :=R;
CONT :=o ;
M:=((~-s)/E)+(s*B/(A-~));
ESP:=L*HT*M;
LIM:=L*M*(l+R)/D;
WRITELN('LA ESPERANZADEL PROCESO ES:',ESP);
WRITELN('TECLEE EL CAPITAL INICIAL');
READLN (U);
WRITELN('LA BARRERA DE RUINA
RANDOM1
ZE;
FOR I:=l TO N DO BEGIN
ES:',-LIM);
WRITEL,N('SIMULACION:',I);
x: =o;
T:=O;
WHILE (T<HT)AND(X<U+LIM) DO BEGIN
R3 :=RANDOM;
R1: = R A N D O M ;
R2 :=RANDOM;
59
5
IF (R3<S) THEN
Y:=(B/EXP(LN(R2)/A))-B
ELSE Y:=-LN(RZ)/E;
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+Y+((~+R)*W*LN(R~));
IF (X>U)AHD(T<=HT) THEN R:=RO+(U-X)*D/(L*M);
IF (X>=U+LIM)and(T<=HT) THEN BEGIN
m I T E U ( 1 , ' RUINA ABS. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5);
CONT :=cow+1 ;
END;
END; (*WHILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END;(*FOR*)
PROB:
=CONT/N;
WRITELN('LA PROB DE
END.(*PRESTPOISPAR*)
RUINA
ABSOLUTA
ES:',PROB:1:3);
60
Program MARKOVIANO;
( * * ESTE PROORAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 2.6
( * * ESTIMA L A PROBABILIDAD DE RUINA EN UN MODELO
( * * DE RIESGO BAJO AMBIENTE MARKOVIAN0 CON DOS
( * * ESTADOS: 1 CON DERIVA NEGATIVA Y 2 CON
( * * POSITIVA.
**)
**)
**)
**)
**)
VAR
Tl,T2,Ll,L2,El,E2,U,C,Y,W,R,Rl,R2,T,ET,Pl,P2,ESP,A,P:REAL~
S,N,CONT,I,Sl:INTEOER;
PROCEDURE LEE;
BEGIN
WRITELN('TASA DE TRANSICION DE 1 A 2');
READLN(T1) ;
WRITELN('TASA DE TRANSICION DE 2 A 1');
READLN(T2) ;
WRITELN('TASA DE ARRIBO DE RECLAMACIONES EN1');
READLN(L1) ;
WRITELN('TASA DE ARRIBO DE RECLAMACIONES EN2');
READLN (L2) ;
WRITELN('X ES EXP(E1) EN 1.TECLEE EL PARAMETRO El');
READLN(E1);
WRITELN('X ES EXP(E2) EN 2.TECLEE E2');
READLN(E2);
WRITELN('HORIZ0NTE DE TIEMPO');
READLN (HT);
WRITELN('GR0SS PREMIUM RATE
C.);
RERDLN ( C ) ;
Pl:=T2/(T2+Tl);
P2:=Tl*Pl/T2;
WRITELN('D1ST. ESTACIONARIA (Pl,P2)=(',P1:1:4,',',P2:1:4,')');
ESP:=(Pl*Ll/El)+(P2*L2/E2);
WRITELN('LA ESPERANZA DEL PROCESO Y(t)/t ES:',ESP);
WRITELN('CAP1TAL INICIAL');
READLN(U) ;
R:=C/ESP-1;
WRITELN('SAFETY LOADING=',R:2:5);
WRITELN('TECLEE EL ESTADO INICIAL o1 2 ' ) ;
READLN ( S ) ;
S1 :=S;
CONT:=o;
RANDOM1 ZE;
Rl:=C*El/Ll-l;
R2:=C*E2/L2-1;
WRITELN('Rl=',R1:3:5,'
R2=',R2:3:5);
WRITELN ( ' EL NUMERO DE SIMULACIONES' ) ;
READLN (N);
END; ( *LEE*)
61
PROCEDURE ESTADOl(VAR
TO,Tl,X:REAL);
VFLR
Al
,A2
:REAL;
BEGIN
WHILE (TO<Tl)AND(X<=U) DO
BEGIN
Al :=RANDOM;
A2 :=RANDOM;
TO:=T~-(LN(A~)/L~);
IF (TO>Tl) TEEN BEGIN
TO:=TO+(LN(Al)/Ll);
X:=X-(l+Rl)*Ll*(Tl-TO)/El;
TO :=T1;
END
ELSE X:=X+((l+Rl)*LN(Al)-LN(A2))/El;
IF (X>U) THEN BEGIN
WRITELN('RU1NA.CAP.FINAL l:',U-X,' T=',TO:3:5);
CONT :=corn+1;
END;
END;
(*WHILE*)
END;(*ESTADOl*)
PROCEDURE ESTADOZ(VAR
MO,Ml,XZ:REAL);
VAR
B1 I B2 :REAL;
BEGIN
WHILE (MO<Ml)AND(XZ<=U) DO
BEGIN
B1: =RANDOM;
B2 :=RANDOM;
MO:=MO-(LN(Bl)/LZ);
IF (MOsM1) TEEN BEGIN
MO:=MO+(LN(Bl)/LZ);
X2:=X2-(1+R2)*L2*(MO-Ml)/E2;
M 0 :=M1;
END
ELSE X2:=X2+((1+R2)*LN(Bl)-LN(B2))/E2;
IF (X2>U) TEEN BEGIN
WRITELN('RUINA.CAP.FINAL 2:',U-X2,' T=',MO:3:5);
coNT:=coNT+1;
END;
END; (*WHILE*)
END;(*ESTAD02*)
62
BEGIN (*COMIENZA PROGRAHA PRINCIPAL*)
LEE ;
FOR I:=l To N DO
BEGIN
wRITELN( ' S I ~ C I O N ':,I);
Y: =o;
T:=O;
w: =o;
S : =s1;
REPEAT
A := R A N D O M ;
IF (S=l) THEN BEGIN
W:=W-(LN(A)/Tl);
IF(W>HT) THEN W:=HT;
ESTADOl(T,W,Y);
END;
IF (S=2) THEN BEGIN
W:=W-(W(A)/T2);
IF(W>ET) TEEN W:=HT;
ESTADOZ(T,W,Y);
END;
IF (S=1) THEN S:=2 ELSE S:=l;
UNTIL (W>=HT)OR(Y>U);
END;
(*FOR*)
P: =CONT/N;
WRITELN('LA PROBABILIDAD DE RUINA
END.(*MARKOVIANO*)
ES:',P:1:3);
63
Program
(**
(**
(**
(**
SIMLUNDBERG;
ESTE PROGRAMA SE EMPLEO EN EL EJEMPLO 3 . 2
PARA ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE RUINA Y EL
ERROR ESTANDAR, TANTO A TIEMPO FINITO COMO
INFINITO, UTILIZANDO EL VALOR DE LUNDBERO.
**)
**)
**)
**)
const
N=1000;
VAR
RL:ARRAY[l..N) OF REAL;
ERROR,G,C,X,RO,R,EO,E,T,BT,PROB,U,LO,LrRl,R2,Zl,ZO:RE~;
VARIANZA,ERMEDIO,V,SUMA:REAL;
I :INTEGER;
BEG IN
WRITELN('EL NUM. DE SIM.:',N);
WRITELN('TASA DE LLEGADA:');
READLN (LO) ;
WRITELN('CAP1TAL INICIAL:');
READLN ( U );
WRITELN('SAFETY LOADING:');
READLN
(RO
);
WRITELN('PARAM. EXPONENCIAL:');
READLN ( EO ) ;
WRITELN('EL HORIZONTE DE TIEMPO');
READLN(HT);
C:=(l+RO)*LO/EO;
L :=c;
E:=EO/ ( l + R O ) ;
G :=l-E;
ZO:=~-SQRT((~+RO)/EO);
Zl:=G+ZO;
R :=-G
VARIANZA:=((1-G)/(l+G)-(l-G)*(l-G))*EXP(-G*2*U);
ERMEDIO:=SQRT(VARIANZA/N);
WRITELN('BAJ0 EL VALOR DE LUNDBERG X ES EXP(',E,')');
WRITELN('N(t) ES POISSON(',C,')');
WRITELN('RO=',R);
WRITELN('LA SOL. DE LA EC. DE LUNDBERG G=',G);
WRITELN('ZO=',ZO);
WRITELN('EL VALORDE LUNDBERG Zl=',Zl);
WRITELN(' VARIANZA=',VARIANZA,' ERROR MEDIO=',ERMEDIO);
READLN;
RANDOM1ZE :
FOR I:=l TO N DO
RL[ I] : = o ;
64
FOR
I:=l TO N DO BEGIN
WRITELN('SIMULACION:',I);
x:=o;
SUMA: =o;
T:=O;
WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN
R1: =RANDOM;
R2 := R A N D O M ;
T:=T-(LN(Rl)/L);
X:=X+((l+R)*LN(Rl)-L(R2))/E;
IF (X>U)AND(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1,' RUINA. CAP.FINAL:',U-X:7:5,' T=',T:2:5);
RL[I]:=EXP(-G*X);
WRITELN('RL=',RL[I]);
END;
END;(*WHILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END; ( *FOR*)
FOR
I:=l TO N DO
SUMA:=SUMA+RL[I];
PROB:=SUMA/N;
WRITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:6);
v: =o;
FOR 1:=1 TO N DO
V:=V+(PROB-R.L[I])*(PROB-=[I]);
V: =V/
(N-1)
;
ERROR:=SQRT(V/N);
WRITELN('VAR1ANZA EST.=',V,' ERROR EST.=',ERROR:2:8);
END.(*SIMLUNDBERG*)
65
Program CONJUGADO;
(**
(**
(**
(**
(**
(**
(**
ESTE PROGRAMAFUE UTILIZADO ENEL EJEMPLO 3 . 3 * * )
PARA ESTIMAR L A PROBABILIDAD DE RUINA, CUANDO * * )
X SE DISTRIBUYE U ( O , l ) , EMPLEANM) PROCESOS
**)
CONJUGADOS CON DIVERSOS VALORES PARI4 DELTA.
**)
A L IGUAL QUJ3 EN EL PROQRAMA ANTERIOR SE ESTIMA**)
EL ERROR
ESTANDAR
Y
L A VARIANZA.
**)
LOS UNICOS PARAMETROS QUE EL USUARIO PUEDE
**)
( * * CAMBIAR SON: EL CAPITAL INICIAL, EL HORIZONTE
**)
( * * DE TIEMPO EL
Y
VALOR DE DELTA.
**1
const
N=100;
VAR
RL:ARRAY[l..N] OF REAL;
ESP,ERROR,G,C,X,R,Y,M,T,HT,PROB,U,LO,L,Rl,R2,Zl,ZO:RE~;
SUMA,V,K,D,DIF:REAL;
I :INTEGER;
BEGIN
WRITELN('EL NUM. DE SIM.:',N);
Lo:=l;
WRITELN('TASA DE LLEGADA:',LO:1:2);
WRITELN('CAP1TAL INICIAL:');
READLN(U) ;
C:=0.50843855;
WRITEW('GR0SS PREMIUM RATE c=',C:1:4);
WRITELN('X SE DISTRIBUYE UNIFORME(0,l)');
WRITELN('EL VALOR DE LUNDBERG Z1=0.024921');
WRITELN('DAME EL VALOR DE DI);
READLN(D) ;
G:=O . 0 5 ;
20:=-0.0250781717;
21:=0.0249218282;
WRITELN('ZO=-lZl=',Zl*(l+D));
WRITEW('EL HORIZONTE DE TIEMPO');
READIN( HT) ;
DIF:=Zl*D+G;
M:=EXP(DIF)-l;
L:=M/DIF;
ESP:=(EXP(DIF)-(EXP(DIF)/DIF)+(l/DIF))/M;
R:=c/(EsP*L)-~;
WRITELN('BAJO 2 N ( t ) ES POISSON(',L,')');
WRITELN(v~~=*,R);
mITELN('LA SOL. DE L A E C . DE LUNDBERG G=',G);
~ITELN('Ex=~,ESP);
IF (D=O) THEN K:=O
ELSE
K:=M/DIF-DIF*c-~;
WRITEW('K=',K);
READLN;
66
RANDOMIZE;
FOR I:=l TO N DO
RL[ I] : = o ;
FOR 1:=1 TO N DO BEGIN
WRITELN(
'SIMULACION:I);
I
,
x: =o;
T:=O;
WHILE (T<HT)AND(X<=U) DO BEGIN
R1: =RANDOM;
R2 :=RANDOM;
Y:=LN(M*R2.+1)/DIF;
T:=T-(LN(R~)/L);
X:=X+((l+R)*LN(Rl)*ESP+Y);
IF (X>U)AND(T<=HT) THEN BEGIN
WRITELN(1,' RUINA. X=',X:7:5,' T=',T:2:5);
RL[I]:=EXP(-DIF*X+T*K);
WRITELN('RL=',RL[I]);
END;
END;
(*WHILE*)
WRITELN('CAP1TAL FINAL: ',U-X);
END; (*FOR*)
SUMA: =o;
FOR I:=l TO N DO
SuMA:=SuMA+RL[I];
PROB: =SUMA/N;
WRITELN('LA PROB DE RUINA ES:',PROB:1:8);
v: =o;
FOR I:=l TO N DO
V:=V+(PROB-RL[I])*(PROB-RL[I]);
V:=V/(N-l);
ERROR:=SQRT(V/N);
WRITELN('VAR1ANZA EST.=',V,' ERROR EST.=',ERROR);
END.(*CONJUGADO*)
67
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