progresión geométrica - Gobierno de Canarias

Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cada uno de ellos (menos el primero) es igual
al anterior multiplicado por un número fijo, llamado razón de la progresión “r”.
Término general
En una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por un número fijo “r”. Observa:
a2  a1·r
a3  a2·r  a1·r 2
a4  a3·r  a1·r 3
a5  a4 ·r  a1·r 4
y siguiendo así sucesivamente, se llega a:
an  a1·r n1
que es el término general de una progresión geométrica.
Suma de n términos
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:
Sn 
an ·r  a1
r 1
o bien
a1·(r n  1)
Sn 
r 1
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón
Sn 
Nota:
rn
r  1 r, es:
a1
1 r
es un número muy pequeño cuando n es muy grande.
Ejercicios:
1) Determina la razón de las siguientes progresiones geométricas:
a) 1, 2, 4, 8, 16....
b) 81, 27, 9, 3, 1,....
2) Escribe el término general de las siguientes progresiones geométricas:
a) 4, 12, 36, 108,....
b) 8, 16, 32, 64,....
3)
Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica: 1, 2, 4, 8, 16,...
Sol.: 1023
4) Calcula la suma de los términos de una progresión geométrica finita de primer término 1, razón 3 y último
término 243:
Sol.: 364
5) Calcula la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 8, 4, 2, 1,...
Sol.: 16
6) Cuenta la leyenda que el rey Shirham, rey de la India, estaba muy deprimido por haber perdido a su hijo en
una batalla. Un sabio de su corte llamado Sissa Ben Dahir le llevó el juego del ajedrez para animarlo y le
enseñó a jugar. El rey Shirham, quedó tan impresionado con el juego que se ofreció a regarle a su inventor
lo que pidiera como recompensa. Así, el inventor para darle una lección de humildad, le pidió lo siguiente: un
grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta...
y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última. El rey
extrañadísimo de lo poco con lo que se conformaba ordenó que le dieran lo que pedía, pero cuando sus
contables echaron cuentas, vieron asombrados, que no había trigo en el reino, ni siquiera en toda la tierra
para juntar esa cantidad. ¿De qué cantidad estamos hablando?
 Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un
kilo de trigo hay aproximadamente 20000 granos de trigo.
 ¿Qué dimensiones debería tener el granero para almacenar semejante cantidad de trigo, si sabemos
que en 1 cm3 caben 15 granos?