inversi´on conjunta de datos el´ectricos de corriente continua

U NIVERSIDAD S IM ÓN B OL ÍVAR
I NGENIER ÍA G EOF ÍSICA
INVERSIÓN CONJUNTA DE DATOS ELÉCTRICOS DE
CORRIENTE CONTINUA Y RADIOMAGNETOTELÚRICOS
BAJO UN ESQUEMA TSVD
Realizado por:
Marı́a de los Ángeles Garcı́a Juanatey
Proyecto de Grado
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolı́var
Como requisito parcial para optar al tı́tulo de
I NGENIERO G EOF ÍSICO
Sartenejas, Diciembre 2007
U NIVERSIDAD S IM ÓN B OL ÍVAR
I NGENIER ÍA G EOF ÍSICA
INVERSIÓN CONJUNTA DE DATOS ELÉCTRICOS DE
CORRIENTE CONTINUA Y RADIOMAGNETOTELÚRICOS
BAJO UN ESQUEMA TSVD
Realizado por:
Marı́a de los Ángeles Garcı́a Juanatey
Con la asesorı́a de:
Thomas Kalscheuer
Universidad de Uppsala
Proyecto de Grado
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolı́var
Como requisito parcial para optar al tı́tulo de
I NGENIERO G EOF ÍSICO
Sartenejas, Diciembre 2007
Este trabajo ha sido aprobado en nombre de la Universidad Sim ón Bolı́var por el siguiente jurado
calificador:
Presidente
Prof. Mario Caicedo
Tutor académico
Prof. Carlos Izarra
Miembro del Jurado
Prof. Milagrosa Aldana
El presente trabajo es la traducción del proyecto de grado presentado ante la Universidad de
Uppsala con la asesorı́a de Thomas Kalscheuer bajo el tı́tulo “Joint inversion of Direct Current
and Radiomagnetotelluric data.”, durante el perı́odo de intercambio 2006 – 2007, conforme a las
Normas para realizar actividades de intercambio de estudiantes de pregrado entre universidades
extranjeras y la USB, capı́tulo de Normas Generales, numeral 12.
II
Agradecimientos
A la Universidad Simón Bolı́var por la excelente educación que me ha brindado, además de
darme la oportunidad de completar mi programa de estudios en el extranjero.
A la Universidad de Uppsala por recibirme de la mejor manera y contribuir significativamente
en la completación de mis estudios.
Al profesor Laust B. Pedersen, por confiar en mi para realizar este trabajo.
A Naser Meqbel, por proveer las rutinas necesarias para el método eléctrico de Corriente Continua.
Muy especiales a mi mentor, Thomas Kalscheuer, por introducirme en el mundo de la programación en geofı́sica, tener la paciencia de contestar todas mis preguntas de manera instantánea,
mantener mi motivación y resolver todos los problemas que causé.
Al profesor Carlos Izarra, por ayudarme con la traducción de este trabajo, enseñarme de qué trata la geofı́sica y motivarme desde el primer dı́a de clases de la carrera hasta el dı́a de hoy.
A Claudia, Hanka, Martin y Michael, por aligerar mis dı́as de trabajo en Suecia y ayudarme
siempre que lo necesité.
Además, he de reconocer que el cumplimiento exitoso de mis metas se lo debo principalmente
a mis padres y hermanos, quienes me han guiado y prestado su apoyo a lo largo de toda mi vida,
ası́ como al resto de mi familia. A ellos el mayor de mis agradecimientos.
Finalmente quiero agradecer de manera muy especial a mis compañeros de Campo 2005 y
geofı́sica, Astrid Torres, William Marı́n, Christian Olbrich, Carla Carvajal, Esteban Dı́az, Alejandro Lemmo, Joan Marie Blanco, Adriana Moreno, Andrea Vega, Sary Zambrano, José AlejanIII
dro Cruces, Daniel Rendón, Luis Lezama, Fernando Castellanos, Adriana Justiniano, Erik Garcı́a,
Luis Godoy, Cristina Graü, Alegrı́a Hinestrosa, Gustavo Guariguata, Javier Martı́n, Alfredo Peralta, Ruyman Gilbert, Daniel Rossell, Cindy Herrera, Vicente Oropeza, Gabriel Matos, Mario Petito,
Mario Rada, Edgar Corzo, Julián Cuesta, Israel Roche, Vanesa Urdaneta, Daniel Chramcow, David Sánchez, Ana Victoria Somoza, Luis Alberto Gómez, Dignorah Altamiranda, Noris Caraballo,
Melissa Céspedes, Débora Piemonti, Pilar Cuadra y todos los que compartieron conmigo la sala de
lectura, por brindarme su apoyo y comprensión, además de acompañarme a través de mi trayectoria
como estudiante universitaria y hacer de la geofı́sica algo tan divertido.
IV
INVERSIÓN CONJUNTA DE DATOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA Y
RADIOMAGNETOTELÚRICOS BAJO UN ESQUEMA TSVD
P OR
Marı́a de los Ángeles Garcı́a Juanatey
R ESUMEN
Varios estudios han demostrado que los métodos eléctricos y electromagnéticos, a pesar de
responder a la misma propiedad fı́sica de las rocas, lo hacen de manera distinta, por lo que su
combinación siempre conlleva a mejores resultados (Vozoff y Jupp, 1975). Considerando esto, se
plantea en el presente trabajo la inversión conjunta de datos eléctricos de corriente continua (CC)
y datos radiomagnetotelúricos (RMT). Para ello se adapta el programa REBOCC (Siripunvaraporn
y Egbert, 2000) para invertir datos CC y RMT de manera independiente y conjunta, utilizando el
esquema TSVD.
Luego se configura un modelo de resistividades para generar datos sintéticos CC y RMT con
el fin de realizar inversiones simples y una inversión conjunta, que permitan estudiar el comportamiento de cada método y su combinación. Adicionalmente, se realiza un análisis de resolución
y varianza no lineal (Kalscheuer y Pedersen, 2007) para comprobar la fiabilidad de cada modelo
estimado.
Los resultados permiten concluir que el modelo estimado de la inversión conjunta se asemeja
más al modelo verdadero, que los modelos estimados a partir de las inversiones simples.Particularmente
presenta un buen desempeño recuperando el ancho y la forma de las estructuras involucradas,
ası́ como la resistividad del medio en el cual se encuentran sumergidas. Cabe destacar que esta
inversión logra reducir notablemente la aparición de artefactos resistivos poco profundos, presentes
en el modelo estimado CC.
V
Índice general
Agradecimientos
III
1. Introducción
1
1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Estructura del presente informe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. Propiedades eléctricas de las rocas
5
2.1. Mecanismos de conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2. Ley de Archie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3. Método eléctrico con corriente continua (CC)
9
3.1. Potenciales en un semiespacio homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2. Configuración de los arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3. Profundidad de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4. Método radiomagnetotelúrico (RMT)
16
4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2. Ecuaciones de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.3. Profundidad de penetración (skin depth) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.4. Funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.5. Modos TE y TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
VI
5. Teorı́a de inversión
23
5.1. El problema de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.2. El problema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.3. Tipos de problemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.3.1. Problemas de inversión con determinabilidad mixta . . . . . . . . . . . . .
27
5.4. Descomposición en valores singulares (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.5. Resolución y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.5.1. Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.5.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.5.3. Equilibrio entre resolución y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.5.4. Análisis no lineal de resolución y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.6. Nota acerca de la raı́z cuadrática media (RMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6. El programa de inversión
35
6.1. REBOCC previamente modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
6.2. Nuevas modificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.2.1. Tres modalidades para CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.2.2. Respuestas del problema directo CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.2.3. Matriz de sensitividades CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.2.4. Rutina para el número de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.3. Descomposición en valores singulares truncada (TSVD) . . . . . . . . . . . . . .
40
7. Las inversiones
44
7.1. El modelo sintético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
7.2. Datos sintéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.3. Productos de la inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
VII
8. Análisis de resolución
54
8.1. Valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.2. Semiejes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
8.3. Comparación entre semiejes lineales y no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.4. Kernels de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
9. Conclusiones
63
Recomendaciones
65
Referencias
67
Apéndice
70
VIII
Índice de figuras
3.1. Arreglo genérico de cuatro electrodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2. Campo eléctrico y lı́neas equipotenciales originados por electrodos de corriente. . .
10
3.3. Tendidos de electrodos más comunes en el método de resistividad CC. . . . . . . .
13
3.4. Patrón de datos en una pseudosección eléctrica para los tres arreglos considerados.
14
4.1. Modos TE y TM en una discontinuidad vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.1. Ilustración de la superficie pseudo hiperelipsoidal, como aproximación a la superficie de confianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.1. Esquema general del programa de inversión empleado. . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.2. Datos de entrada y de salida para la rutina de respuestas directas del método CC. .
38
6.3. Datos de entrada y de salida para la rutina de sensitividades del método CC. . . . .
39
6.4. Matriz de sensitividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.5. Datos de entrada y de salida para la rutina de números de onda. . . . . . . . . . . .
40
6.6. Diferencia entre respuestas directas con cantidades distintas de números de onda. .
41
6.7. Diagrama de flujo simplificado de la rutina de TSVD. . . . . . . . . . . . . . . . .
43
7.1. Modelo sintético utilizado para generar datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7.2. Malla utilizada para los modelos discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7.3. Datos de CC simulados a partir del modelo sintético. . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.4. Datos RMT sintéticos para el modo TE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
IX
7.5. Decaimiento del RMS con respecto al incremento del nivel de truncamiento. . . . .
49
7.6. Modelo producido en la inversión CC simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.7. Modelo estimado en la inversión RMT simple con el modo TE. . . . . . . . . . . .
51
7.8. Modelo producido en la inversión conjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
8.1. Valores singulares del modelo sintético para las tres técnicas. . . . . . . . . . . . .
55
8.2. Semiejes no lineales para las tres técnicas con respecto al modelo sintético. . . . .
56
8.3. Semiejes lineales y no lineales de los tres problemas de inversión para el modelo
sintético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8.4. Las diez celdas analizadas en el modelo sintético . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
A.1. Kernels de resolución de la celda 1 (50 m a la izquierda del conductor y 15 m de
profundidad). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
A.2. Kernels de resolución de la celda 2 (50 m a la izquierda del conductor y 55 m de
profundidad). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
A.3. Kernels de resolución de la celda 3 (sobre el conductor). . . . . . . . . . . . . . .
73
A.4. Kernels de resolución de la celda 4 (en el tope del conductor). . . . . . . . . . . .
74
A.5. Kernels de resolución de la celda 5 (en la base del conductor). . . . . . . . . . . .
75
A.6. Kernels de resolución de la celda 6 (debajo del conductor). . . . . . . . . . . . . .
76
A.7. Kernels de resolución de la celda 7 (sobre el resistor). . . . . . . . . . . . . . . . .
77
A.8. Kernels de resolución de la celda 8 (en el tope del resistor). . . . . . . . . . . . . .
78
A.9. Kernels de resolución de la celda 9 (en la base del resistor). . . . . . . . . . . . . .
79
A.10.Kernels de resolución de la celda 10 (debajo del resistor). . . . . . . . . . . . . . .
80
X
Índice de tablas
2.1. Resitividad eléctrica de algunos minerales, rocas y sedimentos. . . . . . . . . . . .
6
3.1. Relación entre la profundidad de investigación y la longitud total del arreglo (Edwards,
1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.1. Suposiciones del método RMT (modificado de Simpson y Bahr (2005)). . . . . . .
18
7.1. Frecuencias usadas para simular datos RMT del modo TE. . . . . . . . . . . . . .
47
7.2. Resumen de los resultados de inversión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
8.1. Resumen de las propiedades de resolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
XI
Capı́tulo 1
Introducción
En su afán por descubrir lo que existe en el subsuelo, el geofı́sico recurre a técnicas que le
facilitan alcanzar su objetivo a partir de datos recolectados en superficie. Sin embargo, todavı́a no
existe método alguno, que permita extraer de observaciones indirectas información exacta y precisa
de lo que existe en el subsuelo. Todos los métodos geofı́sicos conllevan, en menor o mayor grado,
a resultados ambiguos.
Esto se debe principalmente a que limitaciones en el proceso de adquisición o inherentes a la
concepción del método (o una combinación de ambas), impiden la obtención de un conjunto de
datos vinculados a un único modelo del subsuelo (Roy, 1962). En el caso de la adquisición, las
restricciones más comunes son irregularidades en el terreno, factores ambientales o deficiencias de
los dispositivos utilizados. Mientras que los problemas del método como tal, son principalmente
circunstancias como la imposibilidad de colocar detectores alrededor del objeto de estudio y disponer de ellos sólo en la superficie o la presencia de más de una variable determinante, lo que en
lı́neas generales se reduce a una gran dificultad para obtener un problema bien constreñido.
Para reducir los efectos de esta situación, el empleo conjunto de más de un método es recomendable. La combinación de información de diferente naturaleza en distintos niveles de la investigación geofı́sica, permite precisar aún más los resultados y obtener un modelo más fiable (Harinarayana, 1999). Esta integración puede hacerse en cualquiera de las etapas requeridas para obtener
1
un modelo del subsuelo, ya sea durante el procesamiento, modelado o interpretación, teniendo en
cuenta que la mejor manera de combinar los datos dependerá en gran parte de las caracterı́sticas de
las técnicas empleadas.
Particularmente, en el trabajo que aquı́ se presenta, se emplean métodos eléctricos y electromagnéticos, ambos dependientes de la misma propiedad fı́sica del subsuelo: la resistividad. Varios
estudios han demostrado que éstos, a pesar de responder a la misma caracterı́stica de las rocas, lo
hacen de manera distinta, por lo que su combinación siempre conlleva a mejores resultados que
cada uno de los métodos por separado (Vozoff y Jupp, 1975).
Considerando lo expuesto anteriormente y con la intención de obtener un mayor provecho de
los métodos eléctricos y electromagnéticos, se plantea en este trabajo su combinación en un mismo
proceso de inversión. En especı́fico, se utilizan las técnicas de resistividad eléctrica con corriente continua (CC) y radiomagnetotelúrica (RMT), que aunque detectan un mismo parámetro del
subsuelo envuelven concepciones fı́sicas muy distintas.
1.1. Objetivos
Como objetivos generales del presente trabajo pueden enumerarse los siguientes:
1. Adaptar un programa de inversión para realizar inversiones conjuntas de los métodos mencionados.
2. Probar el programa utilizando datos sintéticos y comparar los productos de inversiones simples (cada método por separado) con el de la inversión conjunta.
3. Analizar la resolución de los modelos estimados en las inversiones simples y conjunta.
Para la realización del primer objetivo, se modifica un programa de inversión para datos radiomagnetotelúricos que emplea la descomposición en valores singulares truncada (REBOCC Siripunvaraporn y Egbert 2000, modificado previamente), al cual se le añaden las rutinas correspondientes
2
para invertir datos eléctricos de corriente continua. Las modificaciones realizadas permiten tanto
inversiones simples de cualquiera de los dos métodos, como la inversión conjunta de ambos.
Posteriormente, se diseña un modelo del subsuelo que permitirá la obtención de datos sintéticos
para realizar las tres inversiones planteadas en el segundo objetivo, que luego serán sometidas a un
análisis de resolución no lineal (tercer objetivo) para descubrir la bondad de los modelos estimados.
1.2. Estructura del presente informe
El presente informe empieza exponiendo los conceptos básicos que sustentan el trabajo. Contiene una breve descripción de la resistividad eléctrica de las rocas, que es la propiedad fı́sica empleada, seguida de una reseña sobre el método eléctrico de corriente continua, incluyendo fundamentos
teóricos, adquisición y alcance. Luego se ofrece un breve recorrido sobre la teorı́a electromagnética,
necesaria para la comprensión del método radiomagnetotelúrico, además de presentar la adquisición y alcance de este método.
Posteriormente se discute la teorı́a de inversión, con especial énfasis en los problemas de determinabilidad mixta, ya que el problema de interés (la inversión de los métodos CC y RMT) es de
esta ı́ndole, y en la técnica de descomposición en valores singulares truncada (TSVD), puesto que
es la empleada para resolverlo. También se explican los términos de resolución y varianza, ası́ como
el método de análisis de resolución que se aplica sobre los modelos estimados. Adicionalmente se
detalla el concepto de raı́z cuadrática media (RMS), que se utiliza para escoger los modelos de
inversión.
Una vez concluido el marco teórico, se exponen los cambios realizados al programa base (REBOCC modificado) y las tres rutinas añadidas para el método eléctrico. Después se presentan el
modelo sintético utilizado, las respuestas calculadas a partir de éste y los modelos estimados de
inversión. De estos últimos además, se incluye el análisis y la comparación entre los mismos.
Después de ello, se especifican los resultados del análisis de resolución aplicado sobre 10 celdas
3
particulares, a través del estudio de los semiejes (lineales y no lineales) de cada problema y la
comparación de las propiedades de resolución de las celdas en cada uno de los modelos.
Finalmente, se presentan las conclusiones del trabajo y algunas recomendaciones para consideraciones a futuro.
4
Capı́tulo 2
Propiedades eléctricas de las rocas
Una de la propiedades más importantes y útiles de las rocas es su resistividad eléctrica, la cual se
halla relacionada con otras propiedades como porosidad, saturación de fluido y litologı́a. La resistividad eléctrica puede determinarse a través de diferentes métodos eléctricos y electromagnéticos,
lo que hace posible encontrar una técnica adecuada para cada situación y circunstancia. Además, la
resistividad del suelo varı́a dentro de un amplio rango de valores, desde 1,6 · 10−8 Ωm para el mineral de plata hasta 106Ωm para el azufre puro (Reynolds, 1997). Este aspecto facilita ampliamente
la interpretación, ya que rocas diferentes pueden poseer valores de resistividad muy distintos y ser
identificadas con cierta facilidad. Sin embargo esto no ocurre siempre, el solapamiento de valores
todavı́a ocurre (ver tabla 2.1).
La resistividad eléctrica (ρ), se define como la resistencia de un cilindro de área y longitud
unitaria (Dobrin, 1976). Las unidades SI correspondientes son ohms metro (Ω·m) y su inverso la
conductividad (σ), está dada en Siemens sobre metros (S/m). La ecuación que relaciona resistividad
y resistencia es:
ρ=
RA
,
L
(2.1)
donde R (en Ω) es la resitencia del cuerpo conductor, A (m2 ) es el área de la sección transversal y
L (m) es su longitud (Telford et al. , 1976).
5
Resistividad (Ω m)
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
3
10
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
11
10
12
10
13
10
Pirrotita
Hematita
Cuarzo
Granito
Granito meteorizado
Basalto
Mármol
Pizarras
Areniscas
Calizas
Morrena
Lutita consolidada
Sal rocosa
Grava (seca)
Grava (saturada)
Aluvión y arena
Arenas recientes/Cuaternario
Suelo arenoso seco
Arcilla arenosa/Arena arcillosa
Arcillas
Relleno no saturado
Relleno saturado
Tabla 2.1 Resitividad eléctrica de algunos minerales, rocas y sedimentos. Obsérvese
que para ciertos materiales existe solapamiento mientras que para otros no.
También se evidencia la influencia de la presencia de fluidos en la resistividad efectiva. (Valores de resistividad tomados de Reynolds 1997)
En un circuito eléctrico, la resistencia R cumple con la ley de Ohm:
R=
V
,
I
(2.2)
com V (v) la diferencia de potencial a través del resistor e I (A) la corriente que circula a través de
él. Entonces, la resistividad ρ también puede escribirse como:
ρ=
VA
.
IL
6
(2.3)
2.1. Mecanismos de conducción
Existen tres mecanismos que permiten la conducción de corriente a través de las rocas: conducción electrónica, dieléctrica y elctrolı́tica (Reynolds, 1997; Dobrin, 1976; Telford et al. , 1976).
Conducción electrónica ocurre en metales, donde los electrones son libres y pueden moverse
rapidamente. Tiene una gran importancia en el estudio de yacimientos.
Conducción dieléctrica es común en aislantes, donde los electrones no son libres y sólo pueden desplazarse ligeramente con respecto al núcleo. Este fenómeno puede despreciarse en
estudios eléctricos de baja frecuencia, pero tiene una gran importancia en la polarización
espectral inducida.
Conducción electrolı́tica es asociada a fracturas y poros, debido al movimiento de los iones en
el fluido intersticial. Este es el mecanismo más importante en estudios eléctricos y electromagnéticos someros.
2.2. Ley de Archie
En muchas situaciones, la resitividad del fluido contenido en poros y fracturas, es más importante y determinante que la resistividad de la roca caja. En esas ocasiones, la ley de Archie describe
la resistividad efectiva de toda la roca (incluyendo el fluido intersticial) considerando porosidad,
saturación de fluido y resistividad (Reynolds, 1997):
ρ = aφ−m s−n ρw ,
donde
ρ es la resistividad efectiva de la roca (Ω·m),
ρw es la la resistividad del fluido de poro (Ω·m),
7
(2.4)
φ es la porosidad,
s es la fracción de volumen de poros con fluido (saturación),
a es una constante entre 0.5 y 2.5 denominada factor de cementación,
m también constante entre 1.3 y 2.5, conocida como exponente de cementación
n otra constante muy cercana a 2.
Las constantes a, m y n son determinadas empı́ricamente y se conocen de antemano.
8
Capı́tulo 3
Método eléctrico con corriente continua
(CC)
Aplicar corriente directa al suelo y luego medir la diferencia de potencial producida en diferentes puntos de la superficie, es el método más común para determinar la resistividad del subsuelo.
Es ampliamente utilizado en arqueologı́a, en la ubicación y monitoreo de acuı́feros subterráneos,
en la localización de cavidades, fallas y fracturas, entre otras aplicaciones.
Para esta técnica se utilizan regularmente arreglos de cuatro electrodos. Dos de ellos empleados
en la inyección de corriente al suelo y los otros dos en la medición de diferencias de potencial (ver
la Figura 3.1).
3.1. Potenciales en un semiespacio homogéneo
Para un único electrodo de corriente en un semiespacio homogéneo, el potencial Vp en cualquier
punto p ubicado a una distancia r de la fuente (ver Figura 3.2(a)), se define como:
Vp =
ρI
,
2πr
9
(3.1)
C1
P1
P2
C2
U
+I
-I
A
M
N
B
ρ
AM
BM
AN
Figura 3.1
BN
Arreglo genérico de cuatro electrodos. Los electrodos P 1 y P2 son los electrodos potenciales (empleados para medir la diferencia de potencial), mientras que los electrodos C1 y C2 son los electrodos de corriente. Todos los
electrodos se hallan dispuestos dentro de la misma lı́nea. La nomenclatura
aquı́ empleada es la más utilizada.
r1
r2
+I
r
-I
p
I
p
ρ
z
(a) Un único electrodo de corriente
Figura 3.2
(b) Dos electrodos de corriente
Campo eléctrico y lı́neas equipotenciales originados por electrodos de
corriente.
donde ρ es la resistividad del semiespacio. Para dos electrodos de corriente y considerando el
principio de superposición eléctrico, el potencial en cualquier punto p es igual a la suma de los
potenciales originados por cada una de las fuentes individualmente, en este caso los electrodos:
1
ρI 1
,
−
Vp =
2π r1 r2
(3.2)
donde r1 y r2 son las distancias entre p y el primer (+I) y segundo (−I) electrodo de corriente,
respectivamente (ver Figura 3.2(b)).
10
Los potenciales en los puntos M y N, de un arreglo en general como el descrito en la Figura
3.1, vienen dados por:
VM
ρI 1
1
,
=
−
2π AM
BM
ρI 1
1
VN =
.
−
2π AN
BN
La diferencia de potencial entre ambos, es un voltaje VM N que puede medirse fácilmente en campo:
VM N = VM
ρI
− VN =
2π
1
1
1
1
−
.
−
−
AM
BM
AN
BN
(3.3)
En términos de la resistividad ρ (la propiedad fı́sica de interés), es posible reescribir la ecuación
3.3 como:
VM N
ρ=
2π
I
−1
1
1
1
1
−
−
−
AM
BM
AN
BN
ó
ρ=
VM N
K,
I
(3.4)
donde K es denominado el factor geométrico y depende únicamente de la disposición de los electrodos en un determinado arreglo.
Cuando la resistividad en el medio estudiado no es constante, ρ en la ecuación 3.4 no es igual a
la resistividad verdadera de éste, en cambio, es un promedio de las resistividades correspondientes
a un volumen del subsuelo, determinado por la posición relativa de los electrodos, denominado
resistidivad aparente ρa .
3.2. Configuración de los arreglos
Existen diferentes formas de organizar los electrodos en un arreglo en el momento de realizar
mediciones en campo. Algunos de estas están diseñadas para simplificar cálculos posteriores con
un factor geométrico sencillo asociado, y otros para facilitar el proceso de adquisición proveyendo
la practicidad necesaria para mover los electrodos con rapidez. Sin embargo, el arreglo del tendido
eléctrico no afecta únicamente estos dos parámetros, determina también parte de la resolución de
11
los datos y la profundidad de investigación. Entonces, el arreglo a utilizar depende del objetivo de
estudio, las estructuras involucradas y la profundidad de interés.
En la Figura 3.3, se muestran los arreglos más comunes: Wenner-alpha, Schlumberger, WennerSchlumberger y dipolo-dipolo. En todos ellos los electrodos se encuentran a lo largo de la misma
lı́nea. A continuación se ofrece una breve descripción de cada uno.
En el arreglo Wenner-alpha todos los electrodos tienen la misma separación a, la cual incrementa al multiplicarse por un factor entero n (comunmente llamado nivel) para alcanzar mayores
profundidades. Cada vez que el nivel aumenta se pierden 3 puntos de datos a lo largo del perfil. Esto
se evidencia en la Figura 3.4(a), donde se muestra el patrón de datos de los arreglos considerados.
En promedio, la profundidad de investigación es an/2. Los datos adquiridos con este arreglo son
particularmente sensibles a variaciones verticales en la resistividad del subsuelo, pero resuelven
pobremente cambios horizontales. El factor geométrico asociado es K = 2πa (Loke, 1999).
El tendido Schlumberger también favorece la detección de cambios verticales en la resistividad. Los electrodos potenciales están en el medio del arreglo separados por una distancia pequeña
a. Mientras que los electrodos de corriente se ubican en los extremos con una separación mayor
L del punto medio del tendido (tecnicamente debe cumplirse L ≥ 5a). Para incrementar la profundidad de penetración, L debe aumentar. Normalmente,L crece de forma logarı́tmica. El factor
geométrico K es
πL2
[1
a
−
a2
].
4L2
Existe una variante del arreglo Schlumberger, donde L se elige de tal forma que L − a/2 = na
donde n es el nivel del arreglo (ver Figura 3.3(c)). Este arreglo hı́brido es llamado WennerSchlumberger y tiene la ventaja de poder implementarse con electrodos equiespaciados. Es sensible a estructuras verticales y horizontales. Como puede verse en la Figura 3.4(b), los datos tienen
mejor cobertura en la dirección horizontal que el arreglo Wenner, ya que sólo se pierden 2 puntos
de datos por nivel (Loke, 1999).
En el arreglo dipolo-dipolo, los electrodos de corriente se encuentran a un lado y los electrodos
potenciales al otro (ver Figura 3.3(d)). Cada par de electrodos tiene el mismo espaciamiento a,
12
C1
P1
P2
C2
U
+I
-I
ρ
na
na
na
(a) Arreglo Wenner-alpha
C1
P1
P2
C2
U
+I
-I
ρ
a
L
(b) Arreglo Schlumberger
C1
P1
P2
C2
U
+I
-I
ρ
na
a
na
(c) Arreglo Wenner-Schlumberger
C1
C2
P1
P2
U
+I
-I
ρ
a
na
a
(d) Arreglo Dipolo-dipolo
Figura 3.3
Tendidos de electrodos más comunes en el método de resistividad CC. P1 y
P2 son los electrodos potenciales C1 y C2 los de corriente, a es la separación
caracterı́stica de cada arreglo y n el nivel.
minetras que la distancia entre los pares es el nivel n multiplicado por a. Este arreglo presenta
buenos resultados en dirección horizontal, pero no en la vertical. Es ampliamente utilizado en la
detección de cambios resistivos laterales.
13
n
1
2
3
4
5
6
7
8
(a) Wenner-alpha
n
1
2
3
4
5
6
7
8
(b) Wenner-Schlumberger
n
1
2
3
4
5
6
7
8
(c) Dipolo-dipolo
Figura 3.4
Patrón de datos en una pseudosección eléctrica para los tres arreglos considerados, n representa el nivel necesario para obtener cada fila de datos.
El programa modificado para elaborar este trabajo, es compatible con los arrglos Wenner-alpha,
Wenner-Schlumberger y dipolo-dipolo.
3.3. Profundidad de investigación
La máxima longitud del arreglo determina la profundidad de penetración o investigación, para
aumentar ésta, la distacia entre los electrodos tiene que aumentar también. Edwards (1977) encontró relaciones lineales y factores que relacionan la longitud del arreglo con la profundidad
efectiva obtenida (ver tabla 3.1). Recientemente, Oldenburg y Li (1999) introdujeron un ı́ndice
de profundidad de investigación. Este ı́ndice indica qué tan relevante es un modelo a profundidad
obtenido con cierta técnica de inversión y ayuda a reconocer qué estructuras vienen dadas por los
parámetros de inversión (i.e. parámetros de amortiguación) y no por estructuras en el subsuelo.
14
Tipo de arreglo
Nivel
Wenner-alpha
PI/L
0.173
Dipolo-dipolo
1
2
3
4
5
6
0.139
0.174
0.192
0.203
0.211
0.216
Wenner-Schlumberger
1
2
3
4
5
6
0.173
0.186
0.189
0.190
0.190
0.190
Tabla 3.1 Relación entre la profundidad de investigación (PI) y la longitud total del
arreglo (L) (Edwards, 1977)
15
Capı́tulo 4
Método radiomagnetotelúrico (RMT)
El método radiomagnetotelúrico es una técnica electromagnética en el dominio de la frecuencia.
Las fuentes empleadas son transmisores de radio remotos, que proveen ondas electromagnéticas
planas con frecuencias entre 14 kHz y 250 kHz. Midiendo las componentes de los campos eléctricos
(E) y magnéticos (H) en la superficie, es posible obtener la resistividad aparente del subsuelo y la
fase electromagnética dependiente de la frecuencia. Para extraer esta información es necesaria la
aplicación de la teorı́a electromagnética. En este capı́tulo se presenta un breve recorrido a través de
los conceptos más básicos necesarios.
4.1. Ecuaciones de Maxwell
Las bases de la teorı́a electromagnética son la ecuaciones de Maxwell. Ellas describen y gobiernan el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos.
∂B
,
∂t
∂D
,
∇×H = j+
∂t
∇×E = −
[Ley de Faraday]
(4.1)
[Ley de Ampere]
(4.2)
∇ · D = q,
[Ley de Gauss]
(4.3)
∇ · B = 0,
[Ausencia de monopolos magnéticos]
(4.4)
16
donde
E es el campo eléctrico (V/m),
H es el campo magnético (A/m),
B es la densidad de flujo magnético (T),
D es el desplazamiento eléctrico (C/m2 ),
j es la densidad de corriente (A/m2 ) y
q es la densidad de carga (C/m3 ).
La inducción de los campos electromagnéticos está dada por la ley de Faraday (4.1) y la ley de
Ampere (4.2). El flujo eléctrico es descrito por la ley de Gauss (4.3) y la inexistencia de monopolos
magnéticos aislados está definida en la ecuación 4.4.
Los campos vectoriales en estas ecuaciones (4.1 – 4.4) se acoplan gracias a las relaciones
constitutivas:
D = εE,
(4.5)
B = µH,
(4.6)
j = σE,
(4.7)
donde las siguientes constantes son propiedades del medio
ε es la permitividad eléctrica (F/m),
µ es la permeabilidad magnética (H/m) y
σ es la conductividad (S/m).
Las ecuaciones 4.1 – 4.4 pueden simplificarse aplicando las suposiciones listadas en la Tabla
4.1. Luego, usando las relaciones constitutivas 4.5 – 4.7 y despreciando el efecto de las corrientes de
17
Suposiciones del método RMT
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Las ecuaciones de Maxwell se cumplen.
La Tierra no genera energı́a electromagnética, sólo la disipa o absorbe.
Todos los campos son conservativos y analiticamente lejos de la fuente.
Los campos electromagnéticos utilizados son generados por transmisores
lejanos al área de estudio y pueden tratarse como ondas planas.
No existe acumulación de cargas libres dentro de una subsuelo unidimensional estratificado. Sin embargo, cuando se consideran más de una dimensión, las cargas pueden acumularse en las discontinuidades. Esto genera un
fenómeno no inductivo, conocido como ruido estático.
La carga se conserva y la Tierra se comporta como un conductor óhmico.
A frecuencias suficientemente bajas, el desplazamiento del campo eléctrico
es quasi-estático y las corrientes por desplazamiento son despreciadas.
A bajas frecuencias, cualquier variación en las permitividades eléctricas y
permeabilidades magnéticas se suponen despreciables en comparación a las
variaciones de resistividades.
Tabla 4.1 Suposiciones del método RMT (modificado de Simpson y Bahr (2005)).
desplazamiento (i.e., ∂D/∂t = 0), las ecuaciones de Maxwell pueden reescribirse de la siguiente
forma:
∇×E = −
∂B
,
∂t
(4.8)
∇ × B = µσE,
(4.9)
∇ · E = q/ε,
(4.10)
∇ · B = 0.
(4.11)
4.2. Ecuaciones de difusión
Ahora es posible trabajar sobre las expresiones 4.8 – 4.11 para obtener las ecuaciones de E y
B. Usando la identidad vectorial ∇ × (∇ × F) = ∇(∇ · F) − ∇2 F y tomando el rotacional de las
ecuaciones 4.8 y 4.9, se obtienen las ecuaciones de difusión:
∂E
− ∇(∇ · E),
∂t
∂B µ
− ∇σ × j.
∇2 B = µσ
∂t
σ
∇2 E = µσ
18
(4.12)
(4.13)
Suponiendo ondas planas con una dependencia en el tiempo de la forma eiωt , las ecuaciones
4.12 y 4.13 pueden escribirse en el dominio de la frecuencia como:
∇2 E = iωµσE − ∇(∇ · E),
(4.14)
µ
∇σ × j.
σ
(4.15)
∇2 B = iωµσB −
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 4.14 y 4.15 son de la forma:
y
donde
k=
p
−iωµσ
o
E = E0 ei(ωt−kz) ,
(4.16)
B = B0 ei(ωt−kz) ,
r
ωµσ
k = (1 − i)
.
2
(4.17)
(4.18)
4.3. Profundidad de penetración (skin depth)
Los campos eléctricos y magnéticos, como puede verse en las ecuaciones 4.16 y 4.17, decaen
cuando z aumenta. La profundidad en que la amplitud disminuye en un factor igual a 1/e, se define
como profundidad de penetración (skin depth en inglés) y está dada por la siguiente fórmula:
δ=
r
2
,
ωµσ
(4.19)
donde ω es la frecuencia angular de la onda incidente y σ la conductividad del medio (inverso de la
resistividad). Nótese que la profundidad de penetración depende de las frecuencias utilizadas y la
distribución de conductividades en el subsuelo.
Sin embargo, esta profundidad no es igual a la profundidad de investigación, la cual se define
según Spies (1989) como la máxima profundidad a la que un cuerpo anómalo puede ser detectado
por una técnica y frecuencia en particular. Para el caso magnetotelúrico en general, él mismo establece que un estimado satisfactorio de la profundidad de investigación, es 1.5 veces la profundidad
19
de penetración:
δ = 1,5
r
2
.
ωµσ
(4.20)
La ecuación 4.20 es considerada una buena aproximación de las profundidades que pueden ser
alcanzadas efectivamente con el método RMT.
4.4. Funciones de transferencia
Las componentes horizontales del campo electromagnético se relacionan a través del tensor de
impedancia:


 Zxx Zxy 
Z=
,
Zxx Zxy
con EH = ZBH /µ:

Esto puede simplificarse como



 Ex  1  Bx 
.
 = Z

µ
By
Ey


 0 Zxy 
Z=

Zxx 0
(4.21)
(4.22)
(4.23)
si en el caso 2D, el perfil considerado es perpendicular al rumbo de las estructuras en el subsuelo.
La componente vertical del campo magnético se relaciona con las componentes horizontales, a
través del tipper:


 A 
T=
,
B
20
(4.24)
como puede verse en la siguiente ecuación:
Hz
=


1  Bx 
T
.
µ
By
(4.25)
También puede ser simplificado para el caso 2D, donde A = 0, y se relaciona con el modo TE (vea
sección 4.5), ya que las ecuaciones 4.26 y 4.28 consideran las componentes verticales del campo
magnético.
4.5. Modos TE y TM.
Consideremos ahora el caso presentado en la figura 4.1, donde la resistividad del medio ya no
es constante. Existe una discontinuidad vertical con rumbo paralelo a la dirección x. La corriente
debe conservarse a través de los bordes, lo que obliga a la componente perpendicular del campo
eléctrico Ey a ser discontinua (jy = σEy ). Si el cuerpo anómalo es significativamente mayor a la
profundidad de penetración en la dirección del rumbo, no habrán variaciones en los campos paralelos (i.e. ∂/∂x = 0). Particularmente, considerando el caso 2D ideal donde los campos eléctricos
y magnéticos son ortogonales, las eacuaciones 4.8 y 4.9 pueden desacoplarse en dos modos independientes.
Modo TE: donde las corrientes fluyen paralelamente al rumbo y el campo magnético inducido es perpendicular y contenido en el plano vertical. La componente del campo eléctrico a lo
largo del rumbo, Ex , es continua a través de la discontinuidad. Pero la densidad de corriente
j no lo es. Las variaciones en la impedancia, resistividad aparente y fase, son suaves. Las
21
ecuaciones desacopladas son:
∂Ex
∂Bz
=
,
∂y
∂t
∂By
∂Ex
=
,
∂z
∂t
∂By
∂Bz
−
= µσEx .
∂y
∂z
(4.26)
(4.27)
(4.28)
Modo TM: con corrientes que fluyen a lo largo del borde y el campo magnético es paralelo
al rumbo. En este caso j es continuo a través de la discontinuidad y Ex no lo es (jx = σEx ).
La impedancia, resistividad aparente y fase no son suaves y presentan saltos discontinuos.
∂Bx
= µσEz ,
∂y
∂Bx
= µσEy ,
−
∂z
∂Ez
∂Ey
∂Bx
−
=
.
∂y
∂z
∂t
Figura 4.1
Modos TE y TM en una discontinuidad vertical.
22
(4.29)
(4.30)
(4.31)
Capı́tulo 5
Teorı́a de inversión
Una vez discutidos las propiedades de las rocas y los métodos involucradas en este trabajo, es
conveniente mencionar los conceptos teóricos empleados. En este capı́tulo se ofrece una descripción de la teorı́a de inversión, la técnica de descomposición en valores singulares (SVD) utilizada
para calcular las inversiones, y finalmente, se comenta un método para analizar la resolución y
varianza de los modelos estimados.
5.1. El problema de inversión
El geofı́sico usa su conocimiento en fı́sica para estimar las propiedades del subsuelo a partir
de observaciones en la superficie. El vı́nculo entre las observaciones o medidas y los parámetros
estimados de un modelo del suelo, es un modelo fı́sico. En el caso más general, la situación puede
expresarse matemáticamente como (Menke, 1989):
f(d, m) = 0,
(5.1)
donde d es el vector que contiene las medidas adquiridas, m es un vector con los parámetros del
modelo y f contiene las ecuaciones implı́citas que relacionan a ambos (i.e. el modelo fı́sico).
23
Las ecuaciones contenidas en f pueden ser de cualquier tipo, y muy frecuentemente, muy complicadas. El caso más simple ocurre cuando la relación entre d y m es lineal y explı́cita, entonces,
la ecuación anterior (5.1) puede escribirse de la siguiente forma (Menke, 1989):
d − Gm = 0,
(5.2)
que es el más simple y estudiado problema de inversión. G es una matriz llamada kernel de datos
de dimensión N × M, con N el número total de datos existentes y M el número de parámetros del
modelo.
El objetivo de la inversión es encontrar m, a partir de d conociendo G, es decir, m = G−1 d.
Este es el problema inverso ideal.
No todos los problemas tienen una solución única, o esta puede ser muy difı́cil de encontrar.
Pero encontrar soluciones aproximadas puede ser posible y mucho más sencillo. Entonces, la meta
es encontrar la mejor solución: un conjunto de parámetros m̂, que sean capaces de predecir observaciones sintéticas d̂ muy cercanas a las observaciones reales d. En otras palabras, el objetivo es
obtener el vector m̂ que ocasione el menor error predictivo e (Menke, 1989):
d − d̂ = d − Gm̂ = e.
(5.3)
Existen varias formas para minimizar e. Cada técnica de inversión involucra una función de
error dependiente de e, para ser minimizada de tal manera, que la solución posea unas caracterı́sticas determinadas.
5.2. El problema no lineal
Desafortunadamente, la mayor parte de los problemas de inversión no son lineales y no pueden
escribirse como en la ecuación 5.2. Sin embargo, existe la posibilidad de aproximarlos a problemas
lineales semejantes. Una manera de hacerlo es expandiendo el sistema de ecuaciones no lineales
24
g(m) = d a través del teorema de Taylor alrededor de un punto m̂n . Despreciando los términos de
orden superior, el sistema linealizado es el siguiente (Menke, 1989):
g(m) ≈ g(m̂n ) + ∇g[m − m̂n ] = g(m̂n ) + Gn [m − m̂n ],
donde Gn es una matriz de derivadas comúnmente llamada matriz de sensitividades en mn o Jacobiano. Escogiendo ∆mn+1 = m − m̂n , las ecuaciones aproximadas e iterativas son (Menke,
1989):
Gn ∆mn+1 = d − g(m̂n ),
(5.4)
m̂n+1 = m̂n + ∆mn+1 .
(5.5)
Para resolver este problema linealizado, se requiere entonces una estimación inicial de m̂n .
Luego se aplican pequeñas perturbaciones ∆mn+1 en cada iteración, hasta que el mı́nimo de la
función de error es encontrado.
La función de error de un problema no lineal, generalmente posee una forma irregular, puede
tener varios mı́nimos locales e incluso varios mı́nimos absolutos. Las ecuaciones iterativas anteriores (5.4 y 5.5) sólo consideran el comportamiento de la función de error alrededor de m̂n , no en su
totalidad. Esto implica que si la estimación inicial de m̂n no se encuentra lo suficientemente cerca
del mı́nimo global, la minimización de la misma sólo encontrará un mı́nimo local y no será capaz
de encontrar el mı́nimo absoluto (Menke, 1989).
Para asegurar el haber alcanzado un mı́nimo global, debe examinarse la función de error tratando con diferentes estimaciones iniciales. Sin embargo, es prácticamente imposible examinar con el
detalle requerido el comportamiento de toda la función.
25
5.3. Tipos de problemas inversos
La existencia o no de las soluciones de los problemas de inversión, provee un criterio para su
clasificación. En este sentido, los problemas inversos pueden ser (Menke, 1989):
Indeterminados: cuando los datos no proveen suficiente información para obtener una solución
única del problema. Es posible encontrar múltiples soluciones con un error de predicción
igual a cero (e = 0).
Compatibles determinados: cuando existe la información suficiente en los datos para determinar exactamente los parámetros requeridos. El problema puede resolverse de forma exacta
(solución única con e = 0).
Sobredeterminados: cuando los datos contienen más información de la necesaria para resolver
el problema de manera exacta. En consiguiente, es posible encontrar muchas soluciones,
pero ninguna con un error de predicción igual a cero. Por lo que se requiere un criterio para
seleccionar la mejor solución.
De determinabilidad mixta: son una combinación de problemas indeterminados y sobredeterminados. Los datos proveen mucha información para calcular ciertos parámetros y muy poca
para calcular otros.
Si el problema a invertir es compatible determinado y puede ser descrito por la ecuación 5.2,
entonces se resuelve sencillamente invirtiendo G, ya que existe sólo una solución para m̂:
m̂ = G−1 d.
(5.6)
Nótese que G debe ser cuadrada e invertible.
Cuando el problema no es de este tipo, se requieren técnicas adicionales. Los parámetros del
modelo m̂ se obtienen resolviendo:
m̂ = G−g d,
26
(5.7)
donde G−g es denominado el inverso generalizado en analogı́a a G−1 en 5.6. El inverso generalizado puede derivarse a través de diferentes métodos de inversión (Menke, 1989).
En el caso de problemas sobredeterminados e indeterminados, el método más empleado consiste en la minimización de normas. La solución de norma mı́nima se utiliza en casos indeterminados,
mientras que los mı́nimos cuadrados suelen utilizarse en problemas sobredeterminados. Para los
problemas mixtos, lo conveniente serı́a dividirlos en problemas indeterminados o sobredetermnados únicamente.
5.3.1. Problemas de inversión con determinabilidad mixta
Dado que los problemas de inversión mixtos son ciertamente los más comunes en el momento
de considerar datos reales, es conveniente discutirlos y entenderlos ampliamente para encontrar
la mejor forma de resolverlos. Una forma de abordar estos problemas, es separándolos en dos,
en problemas indeterminados y sobredeterminados, como se menciona en la sección anterior. A
continuación, se explora esta posibilidad, tal y como se encuentra en Menke (1989), desde un
punto de vista conceptual y haciendo uso de vectores espaciales.
Considerando el problema mixto Gm = d, se sabe que ciertos componentes de m no pueden
determinarse a partir de d (naturaleza indeterminada del problema) y, podrı́a decirse, se hallan
dentro del espacio nulo S0 (m), mientras que el resto de los parámetros (aquellos que sı́ se pueden
determinar) pertenecen a un subespacio Sp (m). Entonces se puede afirmar que m = mp + m0 ,
donde mp está contenido en Sp (m) y m0 en S0 (m).
Como el problema en consideración, es también parcialmente sobredeterminado, existen componentes en d que no son abarcados por ningún m posible, y por tanto están contenidas en el
subespacio nulo S0 (d), mientras que las otras componentes pertenecen al subespacio Sp (d). Por
tanto y de manera análoga, se obtiene que d = dp + d0 . Sustituyendo esta relación y la anterior en
el problema considerado inicialmente, se obtiene:
G(mp + m0 ) = dp + d0 ,
27
(5.8)
Restarı́a entonces encontrar los subespacios p y nulos, tanto para los datos como los parámetros,
para dividir el problema mixto. Sin embargo, esta tarea no es sencilla. Una forma de hacerlo es
aplicando una descomposición en valores singulares (SVD).
5.4. Descomposición en valores singulares (SVD)
La descomposición en valores singulares (abreviada SVD por sus siglas en inglés), a veces
denominada descomposición espectral, es una descomposición en autovalores. Puede utilizarse
sobre el kernel de datos para identificar (como se señala en la sección anterior) los subespacios p y
nulos (Menke, 1989). A continuación una breve descripción de esta técnica.
Cualquier matriz puede escribirse como:
G = UΛVT ,
(5.9)
donde G tiene dimensión N ×M (como en la ecuación 5.2), U es una matriz N ×N de autovectores
que abarcan el espacio de datos S(d), V es una matriz M × M de autovectores que abarcan el
espacio de los parámetros S(m) y Λ es una matriz diagonal N × M de autovalores ordenados,
llamados valores singulares.
Algunos valores singulares de Λ pueden ser iguales a cero. Si existen sólo p autovalores mayores a cero, la ecuación 5.9 se convierte en G = Up Λp VpT , donde Λp es la matriz diagonal con
todos los valores singulares distintos de cero, Up y Vp son las primeras p columnas de U y V,
respectivamente. Los otros vectores en las matrices se cancelan con los ceros en Λ, y G no contiene información acerca de los subespacios que ellos abarcan, pues estos son los subespacios nulos
esbozados en la sección 5.3.1.
La solución del problema inverso planteado anteriormente (ecuación 5.9) serı́a entonces:
T
m̂ = Vp Λ−1
p Up d.
28
(5.10)
T
Puede demostrarse que el inverso generalizado de la ecuación anterior (i.e., G−g = Vp Λ−1
p Up ),
se corresponde con el de mı́nimos cuadrados para problemas sobredeterminados y al de la solución
con norma mı́nima si son indeterminados.
Frecuentemente, los valores singulares en Λ decaen y son cada vez más pequeños sin llegar a
ser iguales a cero. En dado caso, es conveniente establecer un valor de corte y considerar todos los
valores menores a él, iguales a cero. Al hacer esto, la solución que se obtenga ya no es la verdadera
solución del problema, sin embargo, será una muy cercana a ella si sólo son despreciados valores
muy pequeños. Esta medida mejorará la varianza de los parámetros que conforman la solución,
pero su resolución será menor (ver sección 5.5.3 y Menke 1989).
En vez de escoger un valor de corte abrupto para los valores singulares, es posible incluirlos
todos amortiguando los más pequeños. Esto puede hacerse añadiendo un pequeño factor ε2 a todos
los autovalores en Λ, que tendrá un efecto despreciable en los valores grandes, pero prevendrá que
los pequeños conlleven a grandes varianzas. La resolución de la solución será inevitablemente
degradada (Menke, 1989). En este caso particular, el inverso generalizado se corresponderı́a con el
de mı́nimos cuadrados amortiguados.
Tanto el valor de corte como el factor de amortiguamiento, juegan un papel muy importante
en el balance entre resolución y varianza (ver la sección 5.5.3). Si son muy grandes (i.e., pocos
valores singulares son incluidos), los parámetros del modelo serán fuertemente afectados por el
modelo inicial. Si, en cambio, son muy pequeños, los parámetros de la solución serán muy inestables (Pedersen, 2004). De cualquier manera, la truncamiento del espectro elimina efectivamente
los subespacios nulos, ası́ como también parte de la información del sistema (Muiuane y Pedersen,
2001).
5.5. Resolución y varianza
Existen varias técnicas para resolver un problema de inversión, estas técnicas nos permiten
hacer un estimado de los valores reales de los parámetros de un modelo. Sin embargo, estas es29
timaciones por sı́ mismas no aportan la información suficiente para dar por resuelto un problema
inverso. Es necesario reportar también alguna medida de precisión y exactitud de los parámetros
que conforman la solución. Un modelo que carezca de estimaciones de calidad, es una solución
incompleta, ya que no es posible saber que tan confiable es.
5.5.1. Resolución
Los parámetros reales de un modelo (mr ) mantienen la siguiente relación con los datos sin
ruido (dr ), Gmr = dr . Sustituyendo esto en la ecuación para el problema inverso 5.7, donde d
contiene ruido (i.e., d = dr + n), se obtiene:
m̂ = G−g (dr + n) = G−g (Gmr ) + G−g n = Rmr + G−g n,
(5.11)
donde R se denomina matriz de resolución del modelo o kernel de resolución (Menke, 1989), e
indica la desviación de los parámetros estimados del modelo respecto a los reales y en qué escala
éstos están bien determinados. En el caso particular SVD, se puede observar de las ecuaciones 5.9
y 5.10 que:
R = G−g G = Vp VpT ,
(5.12)
y que la resolución del modelo depende únicamente de los autovectores del modelo (Menke, 1989).
Como M es el número total de parámetros, R es una matriz M × M. Si cada parámetro es
perfectamente resuelto, R serı́a la matriz identidad y los parámetros estimados serı́an iguales a
los reales (i.e., m̂ = Imr ⇒ m̂ = mr ). Esto puede ocurrir si Vp abarca todo el espacio de los
parámetros del modelo (i.e., p = M) (Menke, 1989). Entonces, los valores no diagonales en R son
usualmente diferentes de cero, indicando que un determinado parámetro es realmente un promedio
pesado de varios parámetros reales del modelo. Si alguno de los parámetros no es resuelto, el valor
diagonal correspondiente será igual a cero.
30
5.5.2. Varianza
Los datos (d) adquiridos en campo, siempre contienen ruido. Es imposible realizar medidas
que no sean influenciadas a cierto nivel por el entorno. Sabiendo esto, es de esperarse que los
ruidos contenidos en d, afecten de alguna manera la estimación de los parámetros del modelo
(m̂) a obtener. La matriz de covarianza del modelo, explica como los errores en d se propagan y
producen errores en m̂ (Menke, 1989):
T
[cov m̂] = G−g [cov d]G−g .
(5.13)
La matriz de covarianza de los datos ([cov d]) es una matriz diagonal que contiene los cuadrados de
los errores en las mediciones (i.e., la varianza de cada componente de d). Los valores no diagonales
se igualan a cero al suponer que los datos no están correlacionados.
De la ecuación 5.13, puede observarse que los errores en el modelo dependen de los errores
de los datos, ası́ como de la forma en que los parámetros son obtenidos de los mismos. En el
caso particular del inverso generalizado SVD, y suponiendo datos no correlacionados de varianza
uniforme σ 2 , la covarianza del modelo es:
T
T
2
−1 T T
[cov m̂] = G−g [cov d]G−g = (Vp Λ−1
p Up ) · (σ I) · (Vp Λp Up )
T
= σ 2 Vp Λ−2
p Vp .
(5.14)
Nótese que la covarianza del modelo es muy sensible a los valores singulares más pequeños (Menke, 1989).
5.5.3. Equilibrio entre resolución y varianza
La mejor solución para el problema de inversión, serı́a aquel conjunto de parámetros que posea
la menor varianza y la mayor resolución, sin embargo, esta situación no ocurre con frecuencia.
El modelo con menor varianza, muy dudosamente poseerá la mejor resolución, pues ésta decre31
ce cuando la varianza disminuye. La mejor solución es entonces, aquella que presente un buen
equilibrio entre los valores de varianza y resolución.
En el caso de la inversión con SVD, este equilibrio depende del punto de corte seleccionado
para igualar a cero los valores singulares. Kalscheuer y Pedersen (2007) muestran con las siguientes
expresiones iterativas el efecto del punto de corte en la resolución y la varianza del modelo:
T
T
Rp+1 = Vp VpT + vp+1 vp+1
= Rp + vp+1 vp+1
,
(5.15)
1 2
v
,
2
λp+1 k p+1
(5.16)
var(m̂k p+1 ) = var(m̂k p ) +
donde vp+1 es el autovector número (p + 1) del modelo, var(m̂k p+1 ) es la varianza del parámetro
número k (i.e., el valor diagonal en la posición k de la matriz de covarianza) y vk p+1 es la késima
componente del autovector p + 1 del modelo. Con estas expresiones (5.15 y 5.16), es muy sencillo ver como mejora la varianza añadiendo valores singulares al mismo tiempo que la resolución
decrece, especialmente debido a que λp ≥ λp+1 .
5.5.4. Análisis no lineal de resolución y varianza
La resolución y varianza de modelos estimados pueden analizarse tomando en cuenta la no
linealidad del problema de inversión. Una método para hacerlo fue desarrollado por Kalscheuer y
Pedersen (2007), se basa en una descomposición en valores singulares truncada (TSVD) y obtiene
una descripción simplificada de la superficie de confianza no linal del problema. A continuación se
anexa una breve explicación del cómputo de esta superficie (ver Kalscheuer y Pedersen, 2007 y las
referencias que allı́ se encuentran).
En el caso de un problema lineal, la superficie de confianza en el espacio de los parámetros es
un hiperelipsoide centrado en el modelo óptimo. Este modelo posee el mı́nimo error posible para
un valor de truncamiento dado, y la superficie de confianza indica la distancia entre este modelo y
aquellos que presentan un error superior en cierta cantidad ∆Q. Los semiejes del hiper-elipsoide
son paralelos a los autovectores del modelo y proporcionales al inverso del valor singular asociado.
32
En problemas no lineales, la forma de esta superficie es desconocida. La aproximación propuesta consiste en un pseudo hiperelipsoide donde los semiejes paralelos al mismo autovector, poseen
longitudes diferentes (ver Figura 5.1). Entonces, se calculan las longitudes reales de los semiejes
entre el modelo óptimo y la superficie de confianza, en dirección de los autovectores.
Figura 5.1
Ilustración de la superficie pseudohiper-elipsoidal para dos parámetros, m1
y m2 , como aproximación a la superficie de confianza del problema no
lineal. La lı́nea roja gruesa representa la verdadera superficie de confianza,
el pseudo hiperelipsoide es descrito por la lı́nea delgada azul. Los ejes a1 y
a2 se hallan en la dirección de los autovectores v1 y v2 , respectivamente.
Los puntos extremos mmin
y mmax
de m1 sobre el pseudo hiperelipsoide
1
1
sobrestiman y subestiman, respectivamente, la verdadera variabilidad del
modelo. (Kalscheuer y Pedersen, 2007).
5.6. Nota acerca de la raı́z cuadrática media (RMS)
La raı́z cuadrática media (o RMS por sus siglas en inglés) es utilizada para evaluar la bondad del
ajuste entre las predicciones realizadas a partir del modelo obtenido y los valores reales de datos.
Se define a través de la siguiente expresión:
RMS =
s
(d − d̂)T (d − d̂)
,
N[cov d]
33
(5.17)
donde [cov d] es la matriz diagonal que contiene las varianzas de los datos (como en la ecuación
5.13), N es el número de datos, d es el vector con todos los datos y d̂ es el vector que contiene las
predicciones de datos o respuestas directas del problema.
Cuando el desajuste entre los datos calculados y reales, es en promedio igual al error asociado
a estos últimos, el RMS será igual a uno. Un RMS menor, indica que el modelo está respondiendo
en parte al ruido, por lo que puede suceder que el RMS deseado en varias oportunidades no es 1,
sino un número un poco mayor.
34
Capı́tulo 6
El programa de inversión
Una vez expuestos los conceptos teóricos que sustentan el trabajo, se procede a detallar la
adaptación del programa de inversión que permitirá el cómputo de modelos estimados de cada
método y su combinación. Primeramente se presentan las modificaciones realizadas al programa
REBOCC (previamente alterado), luego las tres rutinas añadidas para el método CC y, finalmente
se describe la aplicación del esquema de descomposición en valores singulares truncada (TSVD).
6.1. REBOCC previamente modificado
El programa de inversión conjunta adaptado y desarrollado en este trabajo, utiliza como base
el código de Siripunvaraporn y Egbert (2000), denominado REBOCC (Reduced Basis OCCam’s
inversion) que consiste en una inversión OCCAM de base reducida para el método magnetotelúrico.
Este programa ha sido modificado en varias oportunidades, hasta alcanzar la versión empleada para
la realización de este trabajo.
Esta versión se halla escrita en FORTRAN95, contiene las modalidades de inversión originales
para el método magnetotelúrico: TE y TM para los modos con el mismo nombre y TP para el tipper
(ver secciones 4.4 y 4.5). Además posee la modalidad denominada DET, que trabaja con el determinante de los datos RMT, independientes de la orientación del perfil de adquisición en relación al
35
rumbo de las estructuras en el subsuelo. Cabe destacar que el programa tiene la capacidad de realizar inversiones simples para cada modalidad, o inversiones conjuntas para cualquier combinación
de éstas.
Adicionalmente, esta versión de REBOCC, se encuentra acoplada a una rutina de inversión
alterna y un análisis de resolución no lineal. Ambos procesos son opcionales y se realizan a través
de la técnica TSVD. De esta manera, el programa en cuestión, no sólo invierte bajo el esquema
OCCAM de base reducida, sino que también ofrece la alternativa de inversiones TSVD, que es la
empleada en este trabajo (ver sección 5.4, donde se muestran los detalles de la inversión TSVD
implementada). El análisis de resolución opera de manera independiente.
6.2. Nuevas modificaciones
Para dar cabida a inversiones CC, son necesarias nuevas adaptaciones a este programa. Las
cuales se pueden resumir en:
1. La creación de nuevas modalidades y estructuras de almacenamiento para los datos CC adquiridos con diferentes arreglos.
2. La añadidura de las rutinas necesarias, propias del método CC análogas a las RMT ya existentes en REBOCC. Es decir, se requieren rutinas para el cómputo de las respuestas del
problema directo y la matriz de sensitividades del método CC. Adicionalmente, se precisa de
una tercera rutina para el cómputo de números de onda, que complementa a las dos primeras.
La Figura 6.1 muestra de manera esquemática el diseño del programa de inversión obtenido,
señalando además, las rutinas adicionales.
A continuación se describen las adaptaciones señaladas anteriormente y cada una de las rutinas
añadidas.
36
Figura 6.1 Esquema general del programa de inversión empleado.
6.2.1. Tres modalidades para CC
Para que el programa de inversión admita datos eléctricos CC, se añaden nuevas modalidades
de inversión y las respectivas estructuras, que permiten el manejo de los datos eléctricos de manera
análoga a los electromagnéticos. Las modalidades añadidas son:
DCW, para el arreglo Wenner-alpha.
DCS, para el arreglo Wenner-Schlumberger.
DCD, para el arreglo Dipolo-dipolo.
A estas modalidades le corresponden estructuras que, si bien tienen particularidades propias
del método CC, son completamente compatibles con las modalidades originales del método RMT.
Esto permite que el programa sea capaz de realizar inversiones simples de cualquiera de estas
modalidades e inversiones conjuntas de cualquier combinación de éstas con las originales.
6.2.2. Respuestas del problema directo CC
La rutina utilizada para calcular las respuestas CC de un modelo en particular, fue escrita en
FORTRAN por Naser Meqbel (Meqbel, 2006), calcula el potencial eléctrico en cada nodo de un
modelo 2D discretizado, utilizando el esquema de diferencias finitas desarrollado por Dey y Morrison (1979). Este esquema, considera la tridimensionalidad de la fuente y los potenciales generados,
37
para ello resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales en el dominio del número de onda, aplicando transformadas de Fourier en los potenciales a lo largo del eje perpendicular al modelo propuesto.
Luego, los potenciales son recuperados en el dominio del espacio con la transformada de Fourier
inversa.
La subrutina requiere como parámetros de entrada la posici ón de los electrodos de corriente (las
fuentes), el modelo discretizado (malla) con la distribución de resistividades, ası́ como los números
de onda y los factores de conversión asocidos para obtener la transformada inversa de Fourier (éstos
se calculan con la rutina para el número de onda discutida en la sección 6.2.4). El resultado final de
la rutina de respuestas eléctricas, es entonces el potencial eléctrico en cada nodo de la malla (ver
Figura 6.2).
Figura 6.2
Datos de entrada y de salida para la rutina de respuestas directas del método
CC.
Una vez que los potenciales se hallan disponibles, se pueden calcular fácilmente las resistividades aparentes para cada arreglo en particular (Wenner-alpha, Wenner-Schlumberger o dipolodipolo) y un nivel especı́fico con la ecuación 3.4 y el factor geométrico K correspondiente (ver
sección 3.2). Un ejemplo de resistividades aparentes obtenidas con esta rutina, se encuentra en la
Figura 7.3.
6.2.3. Matriz de sensitividades CC
La rutina para el cómputo de sensitividades (o Jacobiano) en las modalidades CC, también
fue escrita en FORTRAN por Naser Meqbel, no emplea el método por peturbación, ya que éste
requiere el computo de las respuestas del modelo para cada parámetro, lo que invierte mucho tiempo
computacional. Se utiliza en cambio, el principio de reciprocidad (Meqbel, 2006 y LaBrecque et al.
38
, 1999), con el que la derivada del potencial en el nodo i debido al electrodo de corriente en el nodo
k se calcula con respecto a la conductividad de la celda j. De esta manera, no se requieren cálculos
adicionales de las respuestas del modelo o inversiones matriciales, ya que cada electrodo potencial
es usado también como electrodo de corriente y la matriz de problema directo es simétrica. Esto
último es la expresión matemática de reciprocidad. Sólo se requiere el cálculo de las derivadas de
la matriz del problema directo con respecto a la conductividad de cada celda. Para mayor detalle
ver Meqbel (2006) and LaBrecque et al. (1999).
Los parámetros de entrada necesarios para esta subrutina son las resistividades aparentes, la
posición de los electrodos, el modelo discretizado, los potenciales eléctricos y los números de onda
(ver sección 6.2.4); que permiten la obtención de una matriz de sensitividades para un conjunto
especı́fico de parámetros del modelo (ver Figura 6.3).
Figura 6.3
Datos de entrada y de salida para la rutina de sensitividades del método CC.
En la Figura 6.4 se muestran dos matrices de sensitividades calculadas con esta rutina para
diferentes niveles de un arreglo Wenner-alpha.
6.2.4. Rutina para el número de onda
Esta rutina complementa las anteriormente discutidas al proveer parte de los parámetros requeridas por éstas. Es detallada en Xu et al. (2000) y se implementó para calcular los números de
onda y los factores de conversión necesarios para obtener la transformada inversa de Fourier de los
potenciales eléctricos. Esta rutina utiliza un método de optimización para seleccionar los números
de onda que proveen una transformada inversas precisa y satisfactoria.
La rutina requiere la longitud máxima y mı́nima de las celdas del modelo, además de la cantidad
39
0.015
4
0.01
6
0.005
8
0
10
−0.005
12
−0.01
14
−0.015
16
−0.02
18
−0.025
20
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Número de nodos (verticales)
Número de nodos (verticales)
−3
2
x 10
2
4
4
3
6
2
8
1
10
0
12
−1
14
−2
16
−3
18
−4
−5
20
10
Número de nodos (horizontales)
20
30
40
60
70
80
90
100
Número de nodos (horizontales)
(a) Nivel 1
Figura 6.4
50
(b) Nivel 4
Matriz de sensitividades para dos niveles diferentes de un arreglo Wenneralpha con un espacio caracterı́stico de 4 celdas entre electrodos. Los cuadrados negros denotan las posiciones de los electrodos. La escala es adimensional y representa el cociente ∂logρa /∂logρ.
de números de onda deseados, para entregar los números de onda y los factores de conversión (ver
Figura 6.5).
Figura 6.5 Datos de entrada y de salida para la rutina de números de onda.
El algoritmo permite la selección de la cantidad de números de onda, n, con el cual el intervalo
(0, ∞) será discretizado. Se estableció por defecto n = 7, que es el valor sugerido por Xu et al.
(2000) para un modelo de 1000 m de longitud (como el adoptado posteriormente para este trabajo,
ver capı́tulo 7). Para comparar la influencia de este parámetro, se calculó la diferencia entre las
respuestas directas de un semiespacio de resistividad constante de 100 Ωm con n igual a 4 y 7 (ver
Figura 6.6). Se observó que las diferencias no son mayores a ±3Ωm.
6.3. Descomposición en valores singulares truncada (TSVD)
A continuación se describe el esquema de inversión TSVD acoplado a REBOCC, el cual se
utiliza para realizar las inversiones del capı́tulo siguiente. Dado que los problemas de inversión
40
1
3
Nivel
4
5
6
7
8
9
∆ρapp(Ω m)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
−2.5
−3.0
2
10
0
100
200
300
400
Distancia horizontal (m)
Figura 6.6
Diferencia entre respuestas directas de un semiespacio homogéneo de 100
Ωm con un arreglo Wenner-alpha de 10 niveles y discretizaciones en el
intervalo (0, ∞) de 4 y 7 números de onda. Las diferencias no son mayores
a ±3Ωm.
CC y RMT no son lineales, han de resolverse con las ecuaciones iterativas 5.4 y 5.5, del problema
linealizado. Descomponiendo la matriz de sensitividades Gn en valores singulares (i.e., Gn =
UΛVT y considerando la expresión 5.10, el problema inverso es:
T
∆mn+1 = Vp Λ−2
p Up ∆dn .
(6.1)
Donde p es el valor de truncamiento, ∆mn+1 es la diferencia entre el modelo previo y el modelo a
estimar, y ∆dn es la diferencia entre los datos y las respuestas directas del modelo previo.
Entonces, el proceso de inversión comienza con un modelo inicial y un valor de truncamiento
determinado, que permiten el cálculo de ∆mn+1 , es decir, de la perturbación del modelo. Con la
cual se modifica el modelo previo para obtener un modelo estimado y dar inicio a otra iteración.
A través de iteraciones sucesivas los parámetros del modelo van cambiando hasta obtener aquel
conjunto de parámetros que mejor se ajuste a los requerimientos. En este caso, aquél que posea un
RMS cercano a 1,10.
Para regular la inversión y garantizar su convergencia, se especula con ciertos parámetros como
el factor de amortiguación y el valor de truncamiento. Lo que resulta en una rutina con tres ciclos:
41
uno que incrementa el valor de truncamiento p cada vez que se halla un mı́nimo con un RMS
asociado mayor al requerido; otro que itera con p constante hasta encontrar un mı́nimo; y el último,
que incrementa el factor de amortiguamiento cada vez que el modelo más reciente posea un RMS
superior al anterior (ver Figura 6.7).
42
Figura 6.7
Diagrama de flujo simplificado de la rutina de TSVD. Los valores con *
están definidos por el usuario. RMS* es el RMS deseado y RMSdif es la
mı́nima diferencia requerida para considerar dos RMS distintos.
43
Capı́tulo 7
Las inversiones
Se diseñó un modelo para simular datos CC y RMT. Con estos datos sintéticos se llevaron
a cabo tres inversiones: CC, RMT y la combinación de ambas, que luego fueron sometidas a un
análisis de resolución. En este capı́tulo se discutirán las respuestas directas y los productos de la
inversiones, dejando para el siguiente el análisis de resolución.
7.1. El modelo sintético
Se utilizó un modelo con estructuras conductivas y resistivas embebidas en un medio de resistividad intermedia, para comparar las propiedades de resolución de ambos métodos, CC y RMT. El
modelo se muestra en la Figura 7.1 y consiste en un semiespacio homogéneo de 100 Ωm, con una
caja conductiva y otra resistiva de 10 y 1000 Ωm, respectivamente. El tope de las cajas se halla a
10 m de profundidad y su base alcanza los 40 m. El espacio entre ellas es de 50 m.
El modelo se discretizó en una malla con celdas cada vez más amplias hacia los lados y la
base, para simular bordes en el infinito y permitir la aplicación de un esquema de diferencias finitas
(Aprea et al. , 1997; Dey y Morrison, 1979). La longitud total de la malla es 1015 m en dirección
horizontal y está dividida en 126 celdas, de las cuales, 106 en el centro son de extensión reducida y
constante (5 m). La máxima profundidad es de 211 m con 23 nodos. La alura de las celdas nunca es
44
0
3.00
2.75
2.50
2.25
40
2.00
1.75
1.50
60
log10 ρ(Ω m)
Profundidad (m)
20
1.25
1.00
0.75
80
0.50
100
0
Figura 7.1
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Modelo sintético utilizado para generar datos. La resitividad del medio es
de 100 Ωm mientras que la resistividad de los bloques es de 10 y 1000 Ωm,
respectivamente. Los triángulos negros en el tope indican la posición de los
electrodos CC.
constante y aumenta con la profundidad, siendo medio metro en la superficie y 25,7 m en la base.
El número total de celdas es 126 × 22 = 2772 (ver Figura 7.2). Los bloques se ubican en el centro
del mallado.
Malla empleada
Profundidad (m)
0
50
100
150
200
0
100
Figura 7.2
200
300
400
500
600
Longitud del perfil (m)
700
800
900
Malla utilizada para los modelos discretos. Las celdas anchas de los lados
tienen una extensión variable y ocupan 240 m, mientras que las celdas finas
(5 m) del centro se extienden a lo largo de 630 m. La longitud vertical en
cada celda aumenta con la profundidad y se mantiene constante sólo dentro
de una misma fila.
45
1000
7.2. Datos sintéticos
En el caso del método CC, se calcularon las resistividades aparentes para un arreglo Wenneralpha con un espaciado de 10 m (i.e., dos celdas entre electrodos). Para cubrir un perfil de 400 m
sobre los bloques se utilizaron 40 electrodos. Se simularon 7 niveles para un total de 196 mediciones, las cuales se contaminaron con 2 % de ruido Gaussiano (ver Figura 7.3). La profundidad
de investigación esperada para este arreglo (usando la Tabla 3.1) está alrededor de los 36 m, más
somera que la base de los bloques en el modelo sintético (Figura 7.1).
1
2.5
2
2.4
3
2.2
4
2.0
5
1.8
2.1
1.9
log10 ρapp(Ω m)
Nivel
2.3
1.7
6
1.6
1.5
7
0
100
200
300
400
Distancia horizontal (m)
Figura 7.3
Datos sintéticos CC del modelo presentado en la Figura 7.1 con un arreglo
Wenner-alpha de 40 electrodos y 7 niveles, más un 2 % de ruido Gaussiano
añadido. Los triángulos negros en el tope señalan la posición de los electrodos.
Para los datos RMT, sólo se simularon datos del modo TE. Se situaron 15 estaciones con un
espaciamiento de 20 m (i.e., 4 celdas entre estaciones) y se utilizaron 10 frecuencias contenidas en
la banda 14 - 250 KHz (ver Tabla 7.1), generando 300 mediciones, 150 de resistividad aparente y
150 de fase. A todos los datos se les añadió ruido Gaussiano, 4 % a las resistividades y 1, 1 ◦ a la
fase.
La profundidad de investigación calculada para un medio homogéneo de 100 Ωm con 14 KHz
de frecuencia (la menor frecuencia utilizada) es de aproximadamente ≈ 60 m. Por tanto, esta técnica
deberı́a ser capaz de detectar la base de la caja resistiva, sin embargo, lo mismo no puede esperarse
del bloque conductor, ya que bajas resistividades disminuyen la profundidad de penetración. Esto
46
2.5
2.1
2.0
1.9
Frecuencias (Hz)
2.2
log10 ρapp(Ω m)
Frecuencias (Hz)
2.3
105
1.8
1.7
105
1.6
1.5
104
Phase φ(°)
65.0
62.5
60.0
57.5
55.0
52.5
50.0
47.5
45.0
42.5
40.0
37.5
35.0
2.4
104
0
100
200
300
400
0
Distancia horizontal (m)
200
300
400
Distancia horizontal (m)
(a) Resistividad aparente
Figura 7.4
100
(b) Fase
Datos RMT sintéticos para el modo TE obtenidos a partir del modelo en la
Figura 7.1 con 15 estaciones, 10 perı́odos y 4 % de ruido Gaussiano. Los
triángulos negros en el tope señalan la posición de las estaciones.
puede ser observado en la Figura 7.4, donde se muestran los datos RMT sintéticos. La base del
conductor no parece visible, mientras que la base del resitor sı́, ya que las resistividades aparentes
vuelven a adquirir valores bajos.
Frecuencias (KHz)
14000
20882
25781
32620
42617
58007
83531
130517
180000
232030
Tabla 7.1
Frecuencias usadas para simular datos RMT del modo TE.
7.3. Productos de la inversión
Con los datos sintéticos descritos anteriormente, se realizaron tres inversiones: a) inversión CC
simple, b) inversión RMT simple y c) inversión conjunta de datos CC y RMT. Los parámetros ini-
47
ciales para todas las inversiones fueron los mismos: un semiespacio homogéneo de 50 Ωm como
modelo previo, un valor de truncamiento (p) igual al número de estaciones y electrodos y un incremento de éste (∆p) igual a la mitad del valor inicial. Este último fue alterado en ciertas ocasiones
de acuerdo al desarrollo de la inversión, para alcanzar el RMS deseado. Los modelos resultantes se
muestran en las Figuras 7.6 a 7.8 y en la Tabla 7.2.
Tanto en la inversión conjunta como en la RMT simple, los modelos resultantes alcanzan el
RMS deseado de 1,10 (ver Tabla 7.2). El modelo CC simple tiene un RMS mayor, ya que el incremento más pequeño del nivel de truncamiento, ocasionaba un RMS mucho menor y menos
conveniente (ver Figura 7.5). El nivel de truncamiento seleccionado para cada modelo fue diferente, pues cada inversión contaba con un número distinto de datos, lo que ocasiona que el decaimiento
del RMS en cada proceso sea diferente, como se evidencia en la Figura 7.5.
DC
RMT
Conjunta
Cantidad de datos
Valor de truncamiento
RMS
196
300
496
87
40
108
1.18
1.10
1.10
Tabla 7.2 Resumen de los resultados de inversión mostrando el número total de datos
calculados para cada técnica, el nivel de truncamiento empleado en cada
inversión y el RMS asociado de los modelos estimados.
La Figura 7.5 muestra como el RMS decrece con el aumento del nivel de truncamiento. La
inversión RMT simple reduce considerablemente el RMS con un nivel de truncamiento pequeño,
utilizando únicamente 13 % de los valores singulares para alcanzar el RMS igual a 1,10. La inversión CC simple, necesita incluir más valores singulares, 44 %, para alcanzar un valor similar.
Finalmente, en la inversión conjunta, el RMS decae rápidamente con los primeros valores singulares y luego lentamente con un nivel de truncamiento mayor. El número de autovectores incluidos
en la inversión conjunta es igual a 22 % del número total de datos.
Prestando atención a las resistividades, los tres modelos resultantes comparten las mismas caracterı́sticas principales y son muy parecidos a grosso modo. Sin embargo, cada uno de ellos tiene
48
9
CC
RMT
Conjunta
8
7
RMS
6
5
4
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Nivel de truncación
Figura 7.5
Decaimiento del RMS en las tres inversiones con el incremento del nivel de
truncamiento. Los cı́rculos muestran los modelos seleccionados y la lı́nea
discontinua señala el valor RMS igual a 1,10. En el caso de CC no fue
posible encontra un modelo que coincidiera exactamente con esta lı́nea.
ciertas diferencias, especialmente cerca del borde de las estructuras. A continuación se presenta
una breve descripción de las diferencias entre los modelos.
Inversión CC simple
En el modelo obtenido con los datos eléctricos (ver Figura 7.6), pueden distinguirse claramente
los dos bloques originales. Sin embargo, también se observan ciertas estructuras resistivas alrededor del conductor que no existen inicialmente. Las caracterı́sticas de los bloques en el modelo
recuperado, difieren en ciertos apectos de los originales, como se expresa a continuación:
El resistor es más ancho y profundo en la base y el tope es 5 m más somero que en el modelo
sintético.
El tope del conductor es también más somero, ası́ como su base (8 m menos profundo).
La resistividad del conductor está dentro del rango de 30 Ωm y 3 Ωm. Para el resistor, las
resistividades varı́an entre 300 y 600 Ωm.
49
0
3.00
2.75
2.50
2.25
40
2.00
1.75
1.50
60
log10 ρ(Ω m)
Profundidad (m)
20
1.25
1.00
0.75
80
0.50
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Distancia horizontal (m)
Figura 7.6
Modelo producido en la inversión CC simple, a partir de los datos sintéticos
obtenidos del modelo mostrado en la Figura 7.1 con un arreglo Wenneralpha. Los triángulos negros en el tope señalan la posición de los electrodos. Se observa que la inversión recuperó efectivamente la resitividad de
100 Ωm alrededor de las estructuras, sin embargo, no recuperó la posición
correcta de sus topes, ubicándolos a 5 m de profundidad en vez de a 10 m.
La base del resistor es difuminada considerablemente.
Los 100 Ωm de resistividad del medio que embebe las estructuras en el modelo original, se
recupera únicamente alrededor del resistor, los artefactos resistivos y cerca de la superficie.
La resitividad en el área debajo de los electrodos hasta los 100 m de profundidad y alrededor de las estructuras, varı́a entre 50 Ωm (la resistividad del modelo inicial) y 100 Ωm (la
resitividad del modelo sintético).
Inversión RMT simple
En el modelo RMT (Figura 7.7), también se distinguen los bloques, sin embargo, la resistividad de fondo difiere significativamente del modelo verdadero. Los valores cercanos se encuentran
únicamente alrededor de las estructuras, exceptuando la parte inferior del conductor, donde la re-
50
0
3.00
2.75
2.50
2.25
40
2.00
1.75
1.50
60
log10 ρ(Ω m)
Profundidad (m)
20
1.25
1.00
0.75
80
0.50
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Distancia horizontal (m)
Figura 7.7
Modelo estimado en la inversión RMT simple a partir de los datos sintéticos
obtenidos del modelo mostrado en la Figura 7.1 para el modo TE únicamente. Los triángulos negros en el tope señalan la posición de las estaciones de
medición. El tope del conductor y la base del resistor se hallan bien definidos y correctamente localizados. Sin embargo, la resistividad del medio
que rodea las estrucuturas, fue pobremente recuperada, ası́ como la base del
conductor no es alcanzada y el tope del resistor no está bien precisado.
sitividad obtenida es de 50 Ωm (igual al modelo inicial). Lo que indica que se posee muy poca
información de estas celdas. A diferencia del modelo calculado con los datos CC, no se presentan
estructuras resistivas cerca de la superficie del lado del conductor.
Las principales caracterı́sticas de este modelo, en relaci ón al sintético, son:
La base del conductor es completamente desconocida, sin embargo, su tope se halla muy bien
definido y en la misma posición que en el modelo original.
El resistor es más delgado y somero en el tope, y a la vez más ancho en la base, la cual se
encuentra en la posición correcta (40 m de profundidad).
Las resistividades atribuidas al conductor se encuentran entre 50 y 3 Ωm y al resitor, entre
170 y 300 Ωm. La de este último es muy baja en comparación a los 1000 Ωm que posee esta
51
estructura en el modelo original. Esto ocurre, debido al uso del modo TE, que por lo general
no favorece a las estructuras resistivas.
La resitividad de fondo se recupera bastante bien alrededor del resistor, del lado izquierdo
del conductor y cerca de la superficie.
Inversión conjunta
0
3.00
2.75
2.50
2.25
40
2.00
1.75
1.50
60
log10 ρ(Ω m)
Profundidad (m)
20
1.25
1.00
0.75
80
0.50
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Distancia horizontal (m)
Figura 7.8
Modelo producido en la inversión conjunta a partir de los datos sintéticos obtenidos del modelo mostrado en la Figura 7.1. Los triángulos negros
en el tope señalan únicamente la posición de las estaciones de medición
RMT. La resistividad de fondo es ampliamente recuperada y las estructuras están bien definidas. Sus topes se hallan correctamente ubicados a 10 m
de profundidad, mientras que sus bases se encuentran 10 m más y menos
profundas,para el resitor y el conductor respectivamente.
El modelo obtenido de la inversión conjuta (Figura 7.8) muestra los dos bloques con algunas
distorsiones, pero se hallan significativamente mejor definidos que en los resultados previos. Los
aspectos más remarcables son:
52
Existen pequeños artefactos resistivos cerca de la superficie, mucho más pequeños que en el
modelo CC.
El tope del conductor está ubicado correctamente, pero su base se desconoce. Sólo la primera
mitad de la estructura es detectada propiamente.
El resistor se halla bastante bien definido en tamaño y forma. La base es correctamente localizada, aunque un poco dispersa. La mitad inferior del bloque es 30 m más ancha que en el
original, mientras que la parte superior presenta el ancho correcto. El tope se encuentra 5 m
más somero, pero su forma es bastante parecida a la del original.
Las resistividades están entre 2 y 50 Ωm para el conductor y entre 200 y 900 Ωm para el
resistor. Mucho mejor definidas que en los otros modelos en el caso particular del resitor.
El medio que contiene a los bloques se recupera mucho mejor en esta inversión que en las
demás. Presenta un resistividad cercana a los 100 Ωm en un área mucho más amplia, incluyendo la parte inferior al conductor.
53
Capı́tulo 8
Análisis de resolución
Para ver que tan confiables son los modelos estimados durante la inversión, se realizó un análisis
de resolución no lineal (ver sección 5.5.4). A continuación se discuten los resultados arrojados y el
comportamiento de los semiejes lineales y no lineales. Tómese en cuenta que los semiejes lineales
son el inverso de los valores singulares.
8.1. Valores singulares
Para comparar el comportamiento de los valores singulares en las tres inversiones (CC, RMT
y conjunta), éstos fueron calculados para las tres situaciones considerando el modelo original (Figura 8.1). Se observa que los valores RMT presentan el más rápido decaimiento y que, como se
esperaba, los autovalores de la inversión conjunta son los más elevados, pues el problema está más
constreñido.
Estudiando el comportamiento de las curvas con mayor cuidado, se advierte que los autovalores
iniciales del problema combinado siguen muy de cerca los del problema CC, para luego desviarse
sin presentar parecido alguno con las otras curvas. Esta desviación ocurre justamente cuando los
autovalores RMT y CC alcanzan valores parecidos.
El hecho de que los valores singulares CC no decaen tan rápido como los RMT, puede deberse
54
2
10
DC
RMT
JOINT
0
Singular values
10
−2
10
−4
10
−6
10
−8
10
−10
10
0
100
200
300
400
500
Index
Figura 8.1
Valores singulares del modelo sintético para las tres técnicas. Se observa
como los autovalores RMT decaen con mayor rapidez que los otros. Los
valores singulares iniciales en el caso CC son muy similares a los del caso
conjunto.
a la mejor resolución que esta técnica presenta de la resistividad de fondo. Como puede verse en los
modelos estimados (Figuras 7.6 y 7.7) el método CC recupera en una mayor extensión la resistividad de 100 Ωm propia del medio que rodea a los bloques. Otra particularidad del comportamiento
de los autovalores en el caso CC, es que decaen con mayor pendiente durante un corto intervalo
después de los 50 primeros valores, presentando una especie de escalón.
8.2. Semiejes no lineales
Como en el caso de los valores singulares, los semiejes no lineales se calcularon en relación
al modelo sintético, éstos se muestran en la Figura 8.2. El comportamiento general es bastante
consistente con los discutido anteriormente para los valores singulares: los semiejes RMT crecen
con mayor rapidez que los asociados a la inversión conjunta y CC, estos últimos son muy parecidos
hasta el semieje número 50, donde los correspondientes al método CC, presentan un cambio en la
pendiente y se separan.
Todos los semiejes alcanzan un punto en el que empiezan a oscilar a la vez que crecen muy
55
1
10
0
Semi−axes
10
−1
10
DC
RMT
JOINT
−2
10
0
100
200
300
400
500
Index
Figura 8.2
Semiejes no lineales para las tres técnicas con respecto al modelo sintético.
El comportamiento de los primeros semiejes es prácticamente igual al de
los valores singulares. Las oscilaciones en el último segmento, se deben a
la no linealidad de los problemas de inversión.
lentamente. Este comportamiento es atribuido a la no linealidad de los problemas de inversión.
El cálculo de estos semiejes se lleva a cabo despreciando la rotación de los autovectores de los
parámetros del modelo en su espacio, cosa que ciertamente ocurre en los problemas no lineales.
Este argumento se ilustra claramente al comparar los semiejes lineales y no lineales (Figuras 8.3(b)
y 8.3(c)), donde se observa que los semiejes no lineales no presentan oscilaciones mientras sean
iguales a los lineales.
8.3. Comparación entre semiejes lineales y no lineales
En las Figuras 8.3(b) y 8.3(c) se muestran los semiejes lineales y no lineales para cada proceso de inversión. El comportamiento general en cada caso es bastante similar, ambos semiejes son
prácticamente los mismos para los valores singulares iniciales. Luego, los semiejes lineales continuan creciendo mientras que los no lineales parecen mantenerse a longitud constante y empiezan
a mostrar oscilaciones causadas por la no linealidad del problema. Este comportamiento de los se-
56
8
7
0
6
log10(s)
log10(s)
5
4
3
2
−1
1
0
−1
100
200
100
singular value no.
200
300
400
singular value no.
(a) CC. Los semiejes divergen alrededor del valor singular número 130, cuando su longitud es todavı́a inferior a uno.
(b) RMT. Los semiejes son prácticamente los mismos
hasta aproximadamente el autovalor número 60, donde los semiejes lineales continuan su crecimiento y los
no lineales practicamente dejan de crecer.
4
9
8
3
7
6
log10(s)
log10(s)
2
5
4
3
2
1
0
1
0
−1
−1
100
200
300
400
500
600
100
700
(c) Conjunta. Como en los casos CC y RMT, los semiejes lineales y no lineales son los mismos hasta el
valor singular 150.
Figura 8.3
200
300
400
singular value no.
singular value no.
(d) CC ampliado. Se añadieron 9 electrodos y 3 niveles para obtener 325 datos. Se observa que el comportamiento es bastante similar al presentado por los
semiejes del método RMT.
Semeiejes lineales y no lineales de los tres problemas de inversión para
el modelo sintético y para el problema CC considerando más datos. Las
lı́neas rojas representan los semiejes lineales y las lı́neas verdes y azules los
no lineales.
57
miejes no lineales se corresponde bastante bien con los descubrimientos de Kalscheuer y Pedersen
(2007) para el caso RMT.
Para las técnicas RMT y CC, los semiejes empiezan a divergir antes de que su longitud sea
mayor a 1. Esta divergencia ocurre más rápido en los semiejes asociados a RMT que en los correspondientes a CC, por lo que este último incluye más semiejes lineales, confirmando la creencia de
que este problema es más lineal que el RMT (e.g. Friedel, 2003).
Para hacer una comparación justa al respecto, se introdujo una figura adicional (Figura 8.3(d))
que contiene los semiejes lineales y no lineales de un problema inverso CC, considerando el mismo
modelo sintético, pero con más datos. Se añadieron 9 electrodos y 3 niveles, obteniendo un total
de 325 datos, una cantidad más similar a los datos utilizados en RMT (300). Al comparar la nueva
Figura 8.3(d) de semiejes CC, con la Figura 8.3(b) de semiejes RMT, se observa claramente como la
no linealidad del problema RMT aparece mucho antes, presentando una menor cantidad de semiejes
lineales.
En particular, comparando las Figuras 8.3(a) y 8.3(d), que representan los semiejes CC para
menor y mayor cantidad de datos, respectivamente, se observa que la divergencia ocurre cerca
del mismo valor singular (≈ 130). Deberı́a hacerse la misma prueba en el caso RMT con más
estaciones y frecuencias.
8.4. Kernels de resolución
Para completar el análisis, se computaron los kernels de resolución de 10 celdas para cada
proceso de inversión, utilizando los mismos niveles de truncamiento que en los modelos estimados.
En la Figura 8.4 se muestra la posición de las celdas analizadas. Cinco de ellas son someras y las
otras cinco profundas. Dos se hallan a 50 m de distancia del lı́mite izquierdo del bloque conductivo,
para estudiar las propiedades de resolución con una reducida influencia de las estructuras presentes.
Las otras se encuentran en el tope y la base de los bloques, ası́ como encima y debajo de ellos, para
estudiar la definición de los bordes.
58
0
3
4
1
7
8
3.00
2.75
2.50
5
40
2.25
9
2.00
2
6
1.75
10
1.50
60
log10 ρ(Ω m)
Profundidad (m)
20
1.25
1.00
0.75
80
0.50
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Distancia horizontal (m)
Figura 8.4 Las diez celdas analizadas en el modelo sintético
En la Tabla8.1, se encuentra un pequeño resumen de las propiedades de resolución de cada
celda para cada modelo. Esta tabla provee una visión general del análisis de resolución, mostrando
las longitudes de resolución y las varianzas asociadas a cada celda. Las varianzas se calcularon con
el mismo nivel de truncamiento empleado para los kernels de resolución y los modelos estimados.
Cabe destacar que las longitudes de resolución son propiedades aproximadas, que intentan expresar
qué tan dispersa se halla la resolución de un parámetro en una dirección particular y no son tan
confiables como los mismos kernels de resolución de donde se deducen. Por lo tanto, estos últimos
se encuentran anexados en el Apéndice.
Para comparar propiamente las propiedades de resolución de diferentes celdas, sus varianzas
asociadas deben ser similares. Esto se debe a que, como se discute en la sección 5.5.3, las mejoras
en la varianza conducen a un deterioro de la resolución y viceversa, de tal manera que la única
forma de evaluar en base a estos parámetros, es manteniendo alguno de ellos fijo. Como puede
verse en la Tabla 8.1, este no es el caso, las varianzas de las celdas analizadas no coinciden. Sin
embargo, realizando un estudio cuidadoso de las propiedades de las celdas, se pueden obtener
algunas conclusiones.
En primer lugar se observa que las celdas con mayor resolución pertenecen al modelo estimado
con el método RMT. Las longitudes de resolución obtenidas en casi todas las celdas para este caso,
59
Celda
Modelo CC
Modelo RMT
Modelo conjunto
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
1
1,09
137,57
53,27
1,06
82,74
22,51
1,25
185,86
22,85
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
2
1,02
312,77
53,27
1,01
271,55
37,89
1,03
251,06
60,69
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
3
1,06
150,94
18,82
1,09
46,41
15,72
1,13
64,44
16,57
4
1,14
211,36
30,50
1,11
38,98
19,16
1,24
82,29
19,90
5
1,03
251,87
45,28
1,01
97,32
28,54
1,05
279,45
62,73
6
1,01
289,87
57,27
1,00
265,16
44,56
1,03
331,25
70,09
7
1,09
159,62
22,54
1,05
38,07
17,36
1,12
98,83
18,04
8
1,09
198,87
26,89
1,04
49,25
21,14
1,17
118,02
21,08
9
1,03
236,12
60,56
1,04
175,49
49,24
1,10
217,10
53,93
10
1,02
250,58
71,99
1,03
325,22
53,80
1,06
257,94
71,36
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Varianza
Longitud horizontal
Longitud vertical
Tabla 8.1 Para facilitar la interpretación se reunieron las longitudes de resolución y las
varianzas de cada celda en esta tabla. Se debe tener en cuenta que las longitudes de resolución no son tan fidedignas como los kernels de resolución
(ver Apéndice) y que las varianzas se hallan expresadas en función del logaritmo en base 10 de la resitividad (i.e., el parámetro se encuentra en el rango
[log ρ − varianza, log ρ + varianza]).
60
son mucho más pequeñas que las asociadas a los otros modelos estimados, presentando al mismo
tiempo varianzas menores o iguales.
En el modelo estimado con los datos eléctricos, todas las celdas someras tienen una mejor resolución que las profundas. A excepción de la celda 4, en el tope del conductor, donde la resolución
no es tan buena. Esta última presenta longitudes de resolución mayores a las otras celdas someras
(1, 3, 7 y 8) y al mismo tiempo posee mayor varianza. Lo que indica que el método CC detecta
mucho mejor los cuerpos resistivos que los conductivos en el modelo particular aquı́ empleado.
Las celdas más profundas (2, 6 y 10), como se esperaba, no poseen buena resolución en el
modelo estimado CC. La profundidad de investigación teórica es de 36 m en el centro del perfil
(ver secciones 3.3 y 7.2) y estas celdas se hallan a 50 m de profundidad. Las celdas 5 y 9 (20 m
menos profundas que las anteriores) tienen una resolución un poco mejor, como puede observarse
en los kernels de resolución (ver Figuras A.5 y A.9 en el apéndice).
La situación es similar en el modelo RMT estimado. Las longitudes de resolución son pequeñas
en todas las celdas someras y las varianzas se mantienen bastante constantes exceptuando las celdas
en el tope y sobre el conductor (3 y 4), donde son significativamente más grandes. Lo que indica
que la resolución en estas celdas no puede ser tan buena como en las otras.
Se esperaba que el modo TE lograra resolver la celda profunda a 50 m del lı́mite izquierdo del
conductor (celda 2) y aquellas en la base y debajo del resistor (celdas 9 y 10), ya que la profundidad
de investigación hipotética es de 60 m en estas áreas. Sin embargo, la resolución es bastante pobre.
En el caso de las celdas en la base y debajo del conductor, la falta de resolución se debe a la baja
conductividad de la estructura suprayacente (ver sección 4.3).
Las varianzas asociadas a las celdas del modelo estimado con la inversión conjunta, son significativamente diferentes, lo que obstaculiza cualquier estudio comparativo. Es imposible afirmar que
el grupo de celdas someras (1, 3, 4, 7 y 8) posee mejor resoluci ón que las celdas profundas (2, 5, 6,
9 y 10). Sin embargo, es posible realizar comparaciones dentro de estos grupos.
Por un lado, en las celdas poco profundas, puede observarse que aquellas que se encuentran
61
por encima del tope de las estructuras (celdas 3 y 7), presentan longitudes de resolución más pequeñas que aquellas en el tope de las mismas (celdas 4 y 8). Mientras que la celda separada de las
estructuras (celda 1) tiene longitudes de resolución mayores a las otras cuatro. Por otro lado, las
celdas profundas parecen carecer de resolución alguna (tal y como puede observarse en los kernels
de resolución mostrados en el apéndice, Figuras A.2, A.5, A.6, A.9 y A.10).
La comparación de las propiedades de resolución entre las celdas de los diferentes modelos es
todavı́a más complicada o imposible. Para poder hacerlo se requirirı́a un análisis de resolución con
nivel de truncamiento variable.
62
Capı́tulo 9
Conclusiones
Para la configuración seleccionada del modelo sintético para este trabajo (ver capı́tulo 7, sección
7.1), el método eléctrico de Corriente Continua (CC) demuestra alcanzar mayores profundidades y
resolver áreas más amplias que el método Radiomagnetotelúrico (RMT). Sin embargo, la resolución con la que la técnica CC detecta las resistividades del subsuelo, no es tan buena como la RMT,
distingue las estructuras principales pero no sus lı́mites precisos.
RMT demostró un mayor poder de resolución para los detalles, como los lı́mites abruptos y
la extensión horizontal del tope del conductor, a cambio de proveer muy poca información de las
áreas profundas del perfil de interés, especialmente, debajo del conductor (capı́tulo 7).
De cualquier forma, estos resultados dependen fuertemente del modelo empleado y los parámetros de la adquisición (frecuencias, espaciado de las estaciones, número de electrodos, niveles, etc.).
Respecto a la inversión conjunta, se puede observar que los parámetros del modelo obtenido a
partir de ésta, estiman mucho mejor el modelo originario que las inversiones simples. Particularmente presenta un buen desempeño recuperando el ancho y la forma de las estructuras involucradas,
ası́ como la resistividad del medio en el cual se encuentran sumergidas. Cabe destacar que esta inversión logra reducir notablemente la aparición de artefactos resistivos poco profundos, presentes
63
en el modelo estimado CC.
El análisis de resolución no aportó resultados aptos para la comparación entre las celdas estudiadas, ya que las varianzas asociadas difieren significativamente de una celda a otra. Debido a
esto, no es posible saber si las propiedades de resolución de los parámetros del modelo mejoran o
no con la inversión conjunta (ver sección 8.4). Es necesario un análisis de resolución que mantenga
la varianza fija y emplee un nivel de truncamiento variable.
El comportamiento no lineal de los problemas de inversión CC y RMT, resultaron ser bastante
similares, como puede verse a través de los semiejes lineales y no lineales en la sección 8.3. Ambos
problemas se comportan linealmente para los primeros valores singulares y presentan su comportamiento no lineal en el resto de ellos. Cuando los semiejes asumen el comportamiento no lineal,
poseen una longitud menor a 1 para ambos casos.
La principal diferencia entre los dos procesos (inversión CC y RMT), reside en que la linealidad para la técnica CC es más pronunciada, pues un mayor n úmero de los semiejes no lineales,
coinciden con los lineales.
64
Recomendaciones
El trabajo presentado aquı́ debe considerarse apenas un inicio en el intento por comprender
ampliamente la combinación e interacción de estos dos métodos. Se necesitan más pruebas para
entender realmente este tópico. A continuación se destacan aspectos importantes que serı́a conveniente profundizar.
Se recomienda realizar una inversión de máximos cuadrados para comprobar la verdadera
variabilidad de los parámetros de los modelos estimados. Aunque debido a la semejanza
entre los semiejes lineales y no lineales, es de esperarse que las varianzas ya obtenidas sean
bastante precisas.
Deberı́an estudiarse los efectos de la inclusión de los modos TM y Tipper en la inversión
conjunta, para tener una mayor comprensión del comportamiento de los valores singulares
en la inversión.
Es necesaria la realización de las mismas pruebas aquı́ presentadas, a diferentes modelos con
combinaciones variadas de estrucutras, para poder generalizar o particulizar los resultados
aquı́ obtenidos.
Se deben considerar técnicas de inversión distintas a la aquı́ empleada (TSVD) para evitar la
dependedencia del modelo estimado en el modelo inicial.
Es recomendable aplicar un análisis de resolución (aunque sea en un subespacio del mode65
lo) con nivel de truncamiento variable, para obtener resultados comparables en los distintos
modelos estimados.
66
Referencias
Aprea, C., Booker, J. R., y Smith, J. T. (1997). The forward problem of electromagnetic induction:
accurate finite-difference approximations for two-dimensional discrete boundaries with arbitrary
geometry. Geophys. J. Int., 129, 29–40.
Dey, A., y Morrison, H. F. (1979). Resistivity modelling for arbitrarily shaped two-dimensional
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69
Apéndice
En esta sección se encuentran las Figuras correspondientes a los kernels de resolución de las
celdas analizadas (ver sección 8.4). Las Figuras se presentan agrupadas de acuerdo al número de
celda, en otras palabras, cada grupo presenta el kernel de resolución de la misma celda para los tres
modelos estimados diferentes.
Cada kernel de resolución proviene de una fila de la matriz R de la expresión 5.12, introducida
en la sección 5.5 de resolución. Como allı́ se explica, cada elemento del kernel indica en qué medida
un parámetro especı́fico es influenciado por otros en el modelo. En este caso, a cada celda se asocia
un único parámetro, por lo que el kernel de resolución señala a qué otras celdas se asocia el valor
obtenido para una en particular.
El eje vertical de las Figuras indica la profundidad, mientras que el horizontal expresa la distancia del perfil.
70
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
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0.50
2
40
0.30
0.10
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
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2
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2
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0
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100
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200
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300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
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0
2
1.00
2
0.90
1
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0.10
−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
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−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
2
0.30
2
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.1 Kernels de resolución de la celda 1 (50 m a la izquierda del conductor y 15
m de profundidad).
71
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
20
0.50
2
40
0.30
0.10
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
80
2
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
2
2
0
2
1.00
2
0.90
1
20
0.70
2
2
0.30
0.10
−0.10
2
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
80
−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
2
0.30
2
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.2 Kernels de resolución de la celda 2 (50 m a la izquierda del conductor y 55
m de profundidad).
72
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
20
0.50
2
40
0.30
0.10
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
80
2
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
2
2
0
2
1.00
2
0.90
1
20
0.70
2
2
0.30
0.10
−0.10
2
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
80
−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
2
0.30
2
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.3 Kernels de resolución de la celda 3 (sobre el conductor).
73
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
20
0.50
2
40
0.30
0.10
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
80
2
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
2
2
0
2
1.00
2
0.90
1
20
0.70
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0.30
0.10
−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
80
−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
2
0.30
2
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.4 Kernels de resolución de la celda 4 (en el tope del conductor).
74
0
2
2
2
2
2
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1.00
0.90
2
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0.50
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0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
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−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
2
2
0
2
1.00
2
0.90
1
20
0.70
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0.30
0.10
−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
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−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
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1.00
0.90
1
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−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
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50
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150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.5 Kernels de resolución de la celda 5 (en la base del conductor).
75
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
20
0.50
2
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0.10
−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
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−1.00
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0
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100
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200
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300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
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1.00
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rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
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−0.50
−0.70
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−0.90
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−1.00
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0
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150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
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1.00
0.90
1
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0.70
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0.50
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−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
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0
50
100
150
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250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.6 Kernels de resolución de la celda 6 (debajo del conductor).
76
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
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20
0.50
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−0.10
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rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
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−0.50
−0.70
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150
200
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300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
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1.00
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0.90
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0.10
−0.10
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Depth (m)
0.50
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−0.50
−0.70
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−0.90
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−1.00
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0
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100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
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2
−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
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300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.7 Kernels de resolución de la celda 7 (sobre el resistor).
77
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
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2
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−0.10
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
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2
−1.00
2
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0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
2
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0
2
1.00
2
0.90
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0.70
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0.30
0.10
−0.10
2
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
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−0.50
−0.70
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−0.90
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−1.00
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0
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150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
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1.00
0.90
1
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2
0.70
2
2
0.50
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0.30
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−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
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−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.8 Kernels de resolución de la celda 8 (en el tope del resistor).
78
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
20
0.50
2
40
0.30
0.10
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
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2
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
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300
350
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450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
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0
2
1.00
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0.90
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20
0.70
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0.30
0.10
−0.10
2
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−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
80
−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
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−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
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−0.50
−0.70
−0.90
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100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.9 Kernels de resolución de la celda 9 (en la base del resistor).
79
0
2
2
2
2
2
1
1.00
0.90
2
20
0.50
2
40
0.30
0.10
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
2
0.70
−0.50
−0.70
−0.90
80
2
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC
2
2
2
0
2
1.00
2
0.90
1
20
0.70
2
2
0.30
0.10
−0.10
2
60
−0.30
rij/maxj|rij|
Depth (m)
0.50
40
−0.50
−0.70
2
−0.90
80
−1.00
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT
0
2
2
2
2
1.00
0.90
1
20
2
0.70
2
2
0.50
2
0.30
2
−0.10
60
−0.30
rij/maxj|rij|
0.10
2
2
Depth (m)
1
40
−0.50
−0.70
−0.90
80
−1.00
2
100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Profile (m)
(c) Kernel de resolución para el modelo conjunto
Figura A.10 Kernels de resolución de la celda 10 (debajo del resistor).
80