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ANALISIS FRECUENCIAL
Objetivos:
Analizar un sistema en el espectro de frecuencias en
régimen forzado.
El espectro de frecuencia se logra excitando el sistema
estable, con una función senoidal de amplitud Cte. y leyendo
su respuesta de estado estacionario (Régimen Forzado).- Se
hacen sucesivos ensayos, para obtener la respuesta
variando la frecuencia de la excitación desde 0 a infinito.
X= A sen wt
y= Ymax sen(wt-ϕ)
SISTEMA
x
Y
A
t
Ymax
t
Aplicaciones:
• Trazado de diferentes representaciones
gráficas ( diagramas de Nyquist, Bode,
Nychols, etc.)
• Determinación de la estabilidad y
estabilidad relativa en el diseño a bucle
cerrado.
• Reconstrucción de la función de
transferencia a partir de los resultados del
ensayo.
Teorema
• Sea F(s) la f. de T. de bucle abierto ( o cualquier
función de s sobre la que se desea hacer el análisis
frecuencial). La relación de amplitud ( cociente entre los
módulos las funciones de salida y entrada,
respectivamente) y el ángulo de desfase de entre ellas, son
el módulo y el ángulo de desfase del complejo que se
obtiene de sustituir s por jω en la F(s).
Relación de amplitud =>
Desfasaje =>
[ ]
F ( jω ) = F( s )
ϕ =arg([ F( s ) ]
=
s= J ω
[
[
Y( j
ω)
X ( jω )
 ℑ F( jω )

)
=
tg
s =J ω
 ℜ F( jω )

−1
] 
] 
Sea una función de transferencia genérica del tipo:
K (1 + 2ς 1T1s + T1s )∏
2
G( s ) =
s (1 + 2ς 2T2 s + T s )∏
r
2 2
2
(1 + Ti s )
m
i =1
n
j =1
(1 + T j s )
e
−τ s
Por lo tanto los elementos que pueden componer la G(s) son:
• +K ó -K
constante con signo pos. O neg.
•s ± r
polo/Cero múl.(± r ) al origen
• ( 1 + T s) ± n
Binomio de orden ( ± n )
• [ 1 + 2ζTs + T2 s2] ± 1
Sist. de 2do Orden ( ± 1)
• exp( - τ s)
Tiempo muerto
Diagrama de BODE
El diagrama de Bode está constituido por dos gráficas:
gráfica de relación de amplitud o de módulo: donde se
representa la relación de amplitud (escala logarítmica) vs.
la frecuencia (escala logarítmica), se puede expresar
también en db = 20 log (RA) (escala lineal) vs. frecuencia
(escala logarítmica)
•gráfica de desfasaje: representando ángulo de fase vs.
frecuencia.
CASO 1:
G(S) = K
G(jw) = K
Módulo = K
ϕ= tg-1 (Im/Re) = 0
ϕ=Si (-K)= - 180
CASO 2-a:
G(s) = s
G(jw) = jw
Mod = w
ϕ = 90º
CASO 2-b:
G(s) = 1/s
G(jw) = 1/jw
Mod = 1/w
ϕ = -90º
Generalizando en el caso de polos multiples (± r ) al origen :
Módulo = ω
±r
CASO 3:
Modulo =
G(s) = (Ts+1)
1+(ωT )
2
Fase =
 ωT 
tg −1 

 1 
Modulo[dB] = 20 log 1+(ωT ) 2
Si:
w << 1/T
Módulo = 1
Fase
0º
Si:
w >> 1/T
Mód. = 20 log wT = 20 log (T)+20 log (w)
Fase
90 º
Graficando módulo y fase, obtenemos:
CASO 4:
Modulo =
G(s) = 1/(Ts+1)
1
1+(ωT ) 2
−1  − ωT 
tg


Fase =
1


Llamando al módulo = p
Para
w => 0
w => Inf
p = 1 =>
log(p) = 0
p = (1/Tw) => log(p) = -20log(T) - 20log(w)
Considerando la fase:
Para
w => 0
w => Inf
w=> 1/T
ϕ => 0
ϕ => -90 º
ϕ => -45 º
Graficando módulo y fase, obtenemos:
CASO 5: Para un sistema de segundo orden del tipo:
1
G (s) =
1 + 2ςTs + T 2 s 2
El módulo es:
1
(1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ςTω ) 2
− 2ςω 
2 2 
1− T ω 
Su ángulo de fase es: ϕ = tg −1 
Como podemos apreciar, tanto el módulo como el ángulo
dependen de ζ, graficando para varios valores de ζ,
obtenemos:
Graficando el módulo para varios valores de ζ ( 0,1; 0,3; 0,5; 1 y 2)
Apreciamos que a ζ < 0,7071 aparece un pico de resonancia ω r
que ocurre a: ω r = ω n 1−2ς 2 siendo M r = 1 2
2ς 1 − ς
Graficando la fase para varios valores de ζ ( 0,1; 0,3; 0,5; 1 y 2)